Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа дисциплины «Дифференциальная геометрия -1» для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" Факультет Математики Программа дисциплины Дифференциальная геометрия-1 для направления 010100.62 "Математика" подготовки бакалавра Авторы программы: Казарян М.Э., д.ф.-м.н., kazarian@mccme.ru Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2012 г. Председатель С.М. Хорошкин Утверждена УС факультета математики «___»_____________2012 г. Ученый секретарь Ю.М. Бурман_____________________ Москва, 2013 Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы. Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа дисциплины «Дифференциальная геометрия -1» для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра Область применения и нормативные ссылки Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности. Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра. Программа разработана в соответствии с: Стандартом НИУ для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра; Рабочим учебным планом университета по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, специализации Математика, утвержденным в 2012г. Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины “Дифференциальная геометрия” являются получение представлений об основных понятиях теории многообразий – векторных полях и дифференциальных формах; получение знаний о внешней геометрии поверхностей в трехмерном пространстве, первой и второй квадратичных формах, гауссовой кривизне получение знаний об основных объектах дифференциальной геометрии расслоений, таких как связность, ковариантное дифференцирование, кривизна; получение знаний об основных объектах римановой геометрии — тензор кривизны Римана, геодезические. . Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины В результате освоения дисциплины студент должен: Овладеть способами заданий векторных полей и дифференциальных форм. Овладеть умением производить замены координат, проводить вычисление коммутаторов полей и дифференциалов форм. Научиться вычислять основные дифференциально-геометрические инварианты поверхностей, такие как метрика, главные кривизны, параллельный перенос. Овладеть языком дифференциальной геометрии расслоений — связности как ковариантное дифференцирование, параллельный перенос, кривизна, символы Кристоффеля. Научиться вычислять кривизну по явно заданной метрике на поверхности. Овладеть языком римановой геометрии — тензор Римана, связность Леви-Чивита, уравнения геодезических. В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции: Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа дисциплины «Дифференциальная геометрия -1» для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра Компетенция Код по ФГОС/ НИУ Дескрипторы – основные признаки освоения (показатели достижения результата) Правильно воспроизводит чужие результаты Умение формулировать результат ПК-3 Правильно формулирует собственные результаты Воспроизводит доказательства стандартных результатов, услышанных на лекциях умение строго доказать утверждение ПК-4 умение грамотно пользоваться языком предметной области ПК-7 Оценивает строгость и корректность любых текстов по классической механике и теории поля Распознает и воспроизводит названия основных дифференциально- геометрических объектов, возникающих при изучении данного раздела Владеет и свободно использует язык дифференциальной геометрии Понимает постановки только основных задач курса понимание корректности постановок задач выделение главных смысловых аспектов в доказательствах ПК-10 Свободно владеет языком и методами дифференциальной геометрии Понимает и воспроизводит основные моменты базовых доказательств и построений ПК-16 Обосновывает и оценивает логические ходы в произвольных рассуждениях и конструкциях Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции Компетенция формируется в любом сегменте учебного процесса Формируется в процессе активных занятий (участие в семинарах, выполнение курсовых и дипломных работ). Изучение базового курса За счет повышения общефизической и математической культуры в процессе обучения Продумывание и повторение услышанного на семинарах и лекциях. Беседы с преподавателями. Компетенция достигается в процессе решения дифференциальногеометрических задач Продумывание базовых понятий курса Вырабатывается в процессе решения задач, самостоятельного чтения, работы над курсовыми заданиями Продумывание ключевых моментов лекций Вырабатывается путем активного решения задач, самообразования, общения с преподавателями. Место дисциплины в структуре образовательной программы Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа дисциплины «Дифференциальная геометрия -1» для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра Настоящая дисциплина относится к циклу математических и естественно научных дисциплин и блоку дисциплин, обеспечивающих подготовку бакалавра. Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах: базовые курсы алгебры и математического анализа (1 и 2 годы бакалавриата); курс динамических систем (2 год бакалавриата); Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: топология, спецкурс по К-теории, алгебраическая геометрия, симплектическая топология Тематический план учебной дисциплины № Название темы Всего часов по дисциплине В том числе аудиторных Лекции Семинары Самостояте льная Практически работа е занятия 1 Многообразия, векторные поля и дифференциальные формы 24 6 6 16 2 Поверхности в трехмерном пространстве: риманова структура, II квадратичная форма, главные кривизны, гауссова кривизна. 20 4 4 1 3 Блистательная теорема Гаусса: формы связности и кривизны для метрики на поверхности. Евклидовы координаты для плоской метрики 30 6 6 12 4 Связность как ковариантное дифференцирование: векторное расслоение, сечения, матрица связности. Уравнение Картана, тензор кривизны 20 4 4 12 5 Римановы 26 6 6 12 Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа дисциплины «Дифференциальная геометрия -1» для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра многообразия: риманова связность. Симметрии тензора кривизны 6 Геодезические, их вариационные свойства, сопряженные точки Итого: 24 6 6 16 144 32 32 80 Формы контроля знаний студентов Тип контроля Текущий (неделя) Промежуточный Форма контроля Контрольная работа Зачет 1 8 1 год 2 3 8 v Итоговый Экзамен Параметры ** 4 Письменное задание, выдаваемое студентам на дом. Срок сдачи задания – от 7 до 14 дней (в зависимости от его объема). Письменная работа + беседа с преподавателем (всего 1,5-2 часа) v Письменная работа + беседа с преподавателем (всего 2-3 часа) 2 контрольные работы Критерии оценки знаний, навыков Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале. Главная форма контроля - сдача задач из текущих листочков(15-20 задач по каждой теме). Контрольная работа: студент должен продемонстрировать умение пользоваться основными техническими (вычислительными) приемами, которые используются в изученном разделе дифференциальной геометрии. Предлагается 5задач на 3 часа. Основная форма текущего контроля – решение задач из домашних заданий (5-7 задач по каждой теме). Экзамен (зачет): письменная работа, состоящая из 6 задач на 4 часа. Преобладают задачи, требующие хорошего понимания происходящего в курсе Дифференциальной геометрии отчетного модуля Порядок формирования оценок по дисциплине Результирующая итоговая оценка за дисциплину учитывает также оценку за экзамен Оитог.контроль, выставляемую по 10-бальной шкале, и определяется по формуле Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа дисциплины «Дифференциальная геометрия -1» для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра Орезультирующая итог = 0,4*Онакопленная итоговая + 0,6*Оитог.контроль Способ округления накопленной и результирующей итоговых оценок: в пользу студента. В диплом ставится результирующая итоговая оценка по учебной дисциплине. Содержание дисциплины Раздел 1. Многоообразия, поля и формы. Содержание темы Лекции Семинары Самостоятельная работа Многообразия, вектонные поля и дифференциальные формы Внешняя произодная формы, коммутатор векторных полей Первая и вторая квадратичные формы, гауссова кривизна Гауссово отображение, параллельный перенос 1 3 [1,2] 1 1 3 [1,2] Лекции Семинары Самостоятельная работа 1 1 Литература 1 4 [1,3] 1 4 [1,3] Раздел 3. Гауссова кривизна Содержание темы Блистательная теорема Гаусса. Вычисление гауссовой кривизны по метрике 1 Раздел 2. Геометрия поверхностей Содержание темы Литература Лекции Семинары Самостоятельная работа 1 1 4 Литература [1,3] Раздел 4. Ковариантная производная и кривизна Содержание темы Связность в векторном расслоении, матрица связности, замена тривиализации Кривизна в расслоении. Структурное уравнение Картана Лекции Семинары Самостоятельная работа Литература 1 1 4 [1,3] 1 1 4 [1,3] Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа дисциплины «Дифференциальная геометрия -1» для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра Раздел 6. Римановы многообразия Содержание темы Связность Леви-Чевиты, тензор Римана и его симметрии. Тензор Риччи и скалярная кривизна 1 1 3 Литература [1,3] Раздел 7. Геодезические Содержание темы Уравнение геодезических. Уравнения Эйлера-Лагранжа и Гамильтона для геодезических Лекции Семинары Самостоятельная работа Лекции Семинары Самостоятельная работа 1 1 4 Литература [1,3] Образовательные технологии На лекции даются основные определения курса, доказываются основные теоремы, формулируются вспомогательные утверждения, иногда оставляемые студентам в виде задач. Студентам выдается задание, с задачами для самостоятельного решения. Эти задачи соответствуют тематике текущих лекций. Студент сдает задачи во время семинарских занятий. Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента Тематика заданий текущего контроля Примерный список задач контрольного задания по теме Геометрия поверхностей. Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа дисциплины «Дифференциальная геометрия -1» для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра Образец варианта экзамена (зачета) Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины Базовый учебник 1. Дубровин, Новиков, Фоменко, Современная геометрия. Методы и приложения Основная литература 2. Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. - М., Мир, 1972. 280 с. 3. Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия: Учеб. пособие для вузов,—М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.—480 с Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа дисциплины «Дифференциальная геометрия -1» для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра Материально-техническое обеспечение дисциплины Для проведения семинаров не используется специальное оборудование.