Механические колебания и волны

Лекция №4. Механические колебания и волны
1. Гармоническое колебание. Энергия колебательного движения.
2. Затухающие и вынужденные колебания. Резонанс.
3. Сложение гармонических колебаний. Биения. Фигуры Лиссажу.
4. Поперечные и продольные волны. Плотность потока энергии. Вектор Умова.
5. Звуковые волны. Эффект Доплера.
Гармоническое колебание. Энергия колебательного движения.
1
Колебания – движения или процессы, которые характеризуются определённой повторяемостью во времени. В зависимости от физической природы процесса различают: механические и электромагнитные колебания.
Свободные (или собственные) колебания - колебания, происходящие за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на
колебательную систему.
Затухающие колебания – колебания, амплитуда которых уменьшается со временем.
Вынужденные колебания происходят под действием внешней периодически изменяющейся силы.
Автоколебания, сопровождаются внешним воздействием на систему, но моменты
этого воздействия задаются самой системой, т.е. система сама управляет внешним воздействием.
При параметрических колебаниях за счет внешнего воздействия происходит изменение какого-либо параметра системы (например, длины нити математического маятника).
Гармонические колебания - колебания, при которых некоторая физическая величина (смещение, скорость, потенциальная или кинетическая энергии и т.п.) изменяется по
закону синуса или косинуса.
x0
Простейшей механической системой, движение которой
описываются линейным дифференциальным уравнением с
постоянными коэффициентами, является пружинный маятник. В этом случае груз массой m подвешен к пружине с
жесткостью k . Равнодействующая сил определяет движение массы в соответствии со вторым законом Ньютона:
kx 0
kx
x
mg
mg
Рис. 4.1.
m  a x   kx
и x  02  x  0 ,
(4.1)
k
где 02  ,  0 -собственная циклическая частота коm
2
лебаний, а период - T0 
.
0
Никитин П.В.
Ландшафтная архитектура
1
Система, совершающая колебания под действием квазиупругой силы, описываемые
уравнением вида (4.1) называется одномерным гармоническим осциллятором, которым так же являются маятники, балки, консоль, перекрытия моста …
Физический маятник – твёрдое тело, совершающее под
действием сил тяжести колебания вокруг неподвижной
горизонтальной оси подвеса, не проходящей через центр
масс тела (рис.4.2).
Математическим маятником - материальная точка,
подвешенная на нерастяжимой нити, совершающая колебания в поле тяжести (рис. 4.3).
Общее решение однородного дифференциального
уравнения x  02  x  0 имеет вид
x  x 0  cos  0 t  0  ,
(4.2)
где x 0 и 0 – произвольные постоянные, обусловленные начальными условиями.
Величина наибольшего отклонения системы от положения равновесия x 0 называется амплитудой колебания. Величина  0 t  0 
называется фазой колебания, а 0 – начальная фаза. Периодом колебания называется промежуток времени в течение, которого фаза
колебания изменяется на 2 , т.е. система совершает одно полное ко2
m
лебание, T 
. Тогда для маятников пружинного – T  2
, фиk
0
зического – T  2
I
, математического – T  2
(4.3)
mgd
g
Дифференцируя уравнение x  x 0  cos  0 t  0  по времени можно найти выражения для
скорости и ускорения тела при гармоническом колебании:
dx
  v 0 sin  0 t  0 
dt
.
(4.4)
dv
a
 a 0 cos  0 t  0 
dt
Квазиупругая сила является консервативной силой и поэтому полная механическая
энергии колеблющейся системы остается величиной постоянной:
v
E  Tкин  U пот
Никитин П.В.
m 2 kx 2 mx0202



 const .
2
2
2
Ландшафтная архитектура
(4.5)
2
Затухающие и вынужденные колебания
2
Учтя силу сопротивления F  r  v , уравнение второго закона Ньютона преобразуется
m  x  r  x  k  x  0
к виду
x  2  x  02  x  0 ,
(4.6)
где   r 2m  - коэффициент затухания, 02  k m .
Решение этого дифференциального уравнения в случае малого затухания    0 
x
x1
x  x 0  e t  cos  t  0  , где   02  2 .
x2
(4.7)
Это решение можно рассматривать как гармоническое
t колебание, амплитуда которого с течением времени
изменяется по экспоненциальному закону (рис. 4.5).
Коэффициент затухания численно  равен обратному
значению промежутка времени t , в течение которого амплитуда колебания уменьшается в е=2,71 раз.
Рис.4.5.
Затухание колебаний характеризуют логарифмическим декрементом затухания –
натуральным логарифмом отношения двух амплитуд колебания, отстоящих друг от
друга на время равное периоду T (см. рис. 4.5).
  ln
x  e   t
x1
 ln 0   t T     T .
x2
x0  e
(4.8)
Так как   1 t то, для логарифмического декремента затухания получим   T t . Величина t T  N e – число колебаний, которое должна совершить система, чтобы амплитуда
колебания уменьшилась в «е» раз. Следовательно, логарифмический декремент затухания  численно равен величине обратной числу колебаний, в течение которых амплитуда колебания уменьшается в е=2.71 раза,

1
.
Ne
(4.9)
Для характеристики колебательной системы часто используют величину называемую
добротностью системы:
Q
2E

=
,
  E
(4.10)
где E - энергия, запасённая в колебательной системе в данный момент,
 Е  - убыль энергии за один период колебаний.
Рассмотрим систему, на которую действует внешняя периодическая сила, изменяющаяся по закону F  F0 cos t . Дифференциальное уравнение, описывающее колебания
такой системы будет иметь вид:
x  2  x  02  x  f  cos t ,
где
f  F0 m
(4.11)
Решение этого неоднородного дифференциального уравнения надо искать в виде суммы
двух слагаемых:
Никитин П.В.
Ландшафтная архитектура
3
x1  xm  e  t  cos1t   
где 1  02  2 ,
x0 
и
f

2
0

2 2

x 2  x 0 cos  t    ,
(4.12)
2  
.
02  2
(4.13)
, а
tg 
 4  
2
2
Первое слагаемое играет заметную роль только
в начальной стадии процесса, при так называемом установлении колебаний. С течением времени роль этого слагаемого уменьшается ввиду
t наличия множителя et и по прошествии достаточного времени им можно пренебречь.
x
Следовательно, второе решение описывает установившиеся вынужденные колебания. Они
Установление
представляют собой гармонические колебания с
колебаний
частотой, равной частоте вынуждающей силы
(рис. 4.6). Амплитуда вынужденных колебаний заРис. 4.6.
висит от амплитуды вынуждающей силы и ее частоты. Зависимость амплитуды колебаний от
частоты приводит к тому, что при некоторой частоте амплитуда вынужденного колебания достигает максимального значения. Это явление получило название резонанса, а соответствующая частота – резонансной частоты (рис. 4.7).
х
x хр
Дифференцируя выражение
f0

2
0

2 2

по частоте,
 2  
2
2
и приравнивая производную к нулю можно найти резонансную частоту:
х 0
 р  0  2 2 .
р
(4.14)

xp 
  Q показывает во скольРис. 4.7.
x0 
ко раз увеличивается амплитуда колебания при резонансе по сравнению с отклонением системы от положения равновесия под действием постоянной силы, где
x0  F0 m02   F0 k .
Добротность системы
Сложение гармонических колебаний. Биения. Фигуры Лиссажу
3
O
Решение задач значительно облегчается при использовании метода векторА ных диаграмм, используя понятие вращающегося вектора - проекция конца вектора на ось Х совершает гар0
моническое колебание с амплитудой равной длине
x
вектора x 0 , и частотой равной угловой скорости вращения 0 согласно уравнению: x  x 0  cos  0 t  0  .
Рис. 4.8.
Никитин П.В.
Ландшафтная архитектура
4
Сложение колебаний вдоль одной прямой. Пусть точка совершает два колебания с
одинаковой частотой  , описываемых уравнениями:
x1  A1  cos  t  1 
y
x 2  A 2  cos  t  2 
2
1
x
.
(4.15)
Представив оба колебания в виде векторов и
сложив их по правилу сложения векторов, получается
результирующее колебание в виде
x  A  cos  t    .
Рис. 4.9.
(4.16)
Запишем результирующее колебание, где амплитуда и сдвиг фазы определяются из выражений:
A 2  A12  A 22  2A1  A 2  cos  2  1 
и tg 
A1 sin 1  A 2 sin 2
.
A1 cos 1  A 2 cos 2
(4.17)
(4.18)
Частные случаи:
1) 1  2 , cos  2  1   1 , A2  A12  A22  2A1  A 2   A1  A 2  т.е. A  A1  A 2 ;
2
2) 2  1  , cos     1, A2  A12  A22  2A1  A 2   A1  A 2  т.е. A  A1  A 2 ;
2


cos  0 , A 2  A12  A22 .
2
2
Особый интерес представляет случай, когда частоты двух складываемых колебаний мало отличаются друг от друга. Пусть 1     , причем    . Тогда слагаемые колебания могут быть представлены в виде:
3) 2  1 
x1  A  cos t
x 2  A  cos      t
,
(4.19)
а их сумма даёт уравнение биений - гармонических колебаний частоты  , амплитуда
которых, медленно изменяется по некоторому закону:
x  A cos t  cos     t   2Acos

t  cos t  x cos t .
2
(4.20)

t изменяется
2
гораздо медленнее, чем второй множитель
(рис. 4.10).
Множитель x  2Acos
x
t
Рис. 4.10.
Никитин П.В.
Ландшафтная архитектура
5
Поперечные и продольные волны.
4
Плотность потока энергии. Вектор Умова
Процесс распространения колебаний в упругой среде, периодичный во времени и
пространстве называется волной.
Если колебания отдельных частиц среды происходит перпендикулярно направлению распространения волны, то волна называется поперечной. Поперечные волны
могут распространяться только в твердых телах и на поверхности жидкости.
В продольной волне направление колебания частиц среды совпадает с направлением распространения волны. Такие волны могут распространяться в любой среде.
y

х
Волна называется гармонической, если соответствующее ей колебание является гармоническим. Гармоническая волна может быть изображена синусоидой (рис. 4.1).
Расстояние между двумя ближайшими точками
среды, колеблющимися в одинаковой фазе,
называется длиной волны  (рис. 4.11). Эти точки
по времени отстают друг от друга в
колебаниях
на один период Т. Как оказалось величина
Рис.7.1.
Рис. 4.11.
v

T
(4.21)
1
) для заданной частоты колебаний в каждой среде имеет постоT
янное значение, зависящее от свойств среды, и получившее название фазовой скорости
волны.
(или v    , т.к.  
Для характеристики волны вводят еще одну величину, волновое число
Учитывая, что  
v

k
2
.

(4.22)
k

.
v
(4.23)
и   2   получим
Геометрическое место точек, до которых в данный момент времени доходит волна называется волновым фронтом.
Волновая поверхность – геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе. Волновые поверхности могут быть любой формы – совокупность плоскостей
параллельных друг другу или концентрических сфер. Соответственно волна называется
плоской или сферической.
Никитин П.В.
Ландшафтная архитектура
6
Бегущей называется волна, которая с колебаниями переносит в пространстве
энергию. Уравнение бегущей волны в общем случае имеет вид

   0  cos t  r     0  cos t  k r ,
(4.24)


где r – радиус-вектор точки, а k – волновой вектор,  - фазовая скорость.


Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается
дифференциальным уравнением в частных производных
 2   2   2  1  2



,
x 2 y 2 z 2 v 2 t 2
(4.25)
которое называется волновым уравнением.
Наряду с фазовой скоростью для характеристики движения пакета волн и переноса
энергии используется понятие групповой скорости, определяемой
u
d
.
dk
Формула, связывающая групповую и фазовую скорости, имеет вид
u   
d
.
d
Волна, распространяясь в окружающем пространстве, переносит энергию, объемная
плотность которой для упругих сред определяется
dE
w
dV
  A 2  2
w
.
2
(4.26)
Количество энергии переносимой через некоторую поверхность dS в единицу времени называется потоком энергии d через эту поверхность
d 
dE
.
dt
(4.27)
Для ориентации перемещения энергии волной в различных точках среды вводится
величина называемая плотностью потока энергии j , которая определяется энергией переносимой в единицу времени через единицу площади поверхности, перпендикулярной к
направлению скорости волны. Это позволило Умову ввести векторную характеристику


d
dE
j  w  ,
j

.
или
(4.28)
dS dS  t

где плотность энергии w – скаляр, а скорость  – вектор, и перенос энергии осуществляется в направлении распространения волны.
Никитин П.В.
Ландшафтная архитектура
7
Звуковые волны. Эффект Доплера
5
Звук представляет собой колебания упругой среды, воспринимаемые
нашими органами слуха. Человеческое ухо способно воспринимать колебания, частота
которых лежит в пределах от 16 до 20000 Гц.
Музыкальным тоном мы называем звук, которому соответствует одна строго
определенная частота. Высота тона определяется частотой колебания, чем больше частота, тем выше тон.
Звуки с различными частотами получили название шумов.
Интенсивностью звука называется величина равная энергии переносимой звуковой волной в единицу времени через единицу площади поверхности, перпендикулярной
направлению распространения звука, т.е. модуль среднего значения плотности потока
энергии
I
dW
.
dS  dt
(4.29)
Если интенсивность звука является объективной величиной, характеризующей волновой процесс, то субъективной характеристикой звука, связанной с его интенсивностью, является громкость звука. По физиологическому закону Вебера - Фехнера, с ростом интенсивности звука, громкость возрастает по логарифмическому закону, т.е. при
увеличении интенсивности в 100 раз громкость возрастает в 2 раза.
Поэтому для оценки громкости звука вводится величина L , называемая уровнем
громкости
L  lg
I
,
I0
(4.30)
Вт
порог слышимости. Громкость звука измеряется в белах. На практике
м2
обычно используется единица в 10 раз меньшая – децибел.
где I0  1012
Эффектом Доплера называется изменение частоты колебаний, воспринимаемых приемником, при движении источника этих колебаний и приёмника относительно друг друга.
Пусть источник и приёмник движутся вдоль соединяющей их прямой; 1 – скорость
источника,  2 – скорость приемника, причем они положительны в случае сближения и
отрицательны при удалении источника и приемника звука,  - скорость распространения
звука,  0 - частота звука источника, посылаемая источником.
В общем случае частота колебаний, воспринимаемых приёмником определяется
выражением,
  0
Никитин П.В.
  2
  1
Ландшафтная архитектура
(4.31)
8
Верхние знаки соответствуют сближению источника и приемника, а нижние удалению их друг от друга.
Эффект Доплера широко используется в технике (например, для определения скорости движения автомобиля радаром).
Никитин П.В.
Ландшафтная архитектура
9