механика сплошной среды - Воронежский государственный

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПРОГРАММА
ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ В АСПИРАНТУРУ
по специальности 01.02.04 «Механика деформируемого твёрдого тела»
Содержание программы вступительных испытаний
В основу программы по специальности 01.02.04 - «Механика деформируемого
твёрдого тела» положены курсы, читаемые в классических университетах для студентов, специализирующихся по прикладной математике и механике (уравнения математической физики, сопротивление материалов, теория упругости и пластичности,
газовая динамика, устойчивость, теория пластин и оболочек, численные методы).
МЕХАНИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Элементы тензорного исчисления.
Криволинейные системы координат. Преобразование координат. Понятие о тензорах и основы алгебры тензоров. Тензоры второго ранга, тензорные функции. Пространственные тензорные функции. Дифференцирование тензоров по пространственным координатам. Тензор Римана-Кристоффеля. Дифференцирование тензоров
по параметру.
Кинематика деформируемой среды
Основные гипотезы механики сплошной среды. Точка зрения Лагранжа и Эйлера
на изучение движения сплошной среды. Скалярные и векторные поля и их характеристики. Тензоры деформаций. Геометрический смысл ковариантных компонент
тензоров деформации. Связь главных компонент тензоров деформации. Способ
определения главных компонент тензора. Коэффициент кубического расширения.
Вектор перемещения. Выражение тензора деформации через компоненты вектора
перемещения. Уравнение совместности деформаций. Геометрическая картина преобразования малой частицы сплошной среды. Тензор скоростей деформаций. Кинематическое истолкование компонент тензора скоростей деформаций. Векторы вихря. Теорема Коши-Гельмгольца. Понятие дивергенции вектора скорости. Теорема
Стокса и Гаусса-Остроградского. Свойства векторных полей.
Динамические уравнения механики сплошной среды
Закон сохранения массы. Уравнения неразрывности в переменных Эйлера и Лагранжа. Уравнение количества движения для конечного объема сплошной среды
Основное свойство внутренних напряжений. Уравнения движения сплошной среды
в декартовой системе координат. Тензор напряжений. Уравнения движения сплошной среды в произвольной системе координат. Момент количества движения конечного объема сплошной среды. Уравнение моментов количества движения для конечного объема сплошной среды. Симметрия тензора напряжений в классическом
случае. Главные оси симметричного тензора напряжений.
Термодинамические уравнения
Теорема живых сил для конечного объема сплошной среды и работа внутренних
поверхностных сил. Закон сохранения энергии. Уравнение притока тепла. Цикл
Карно. Второе начало термодинамики. Теорема Карно. Понятие энтропии.
Замкнутые системы механических уравнений для простейших моделей сплошных
сред
Идеальные жидкости и газы. Уравнения движений идеальной жидкости в форме
Эйлера и Лемба-Громэки. Замкнутые системы уравнений идеальной несжимаемой и
сжимаемой жидкости. Уравнения движения газовых смесей с физико-химическими
взаимодействиями между компонентами. Линейное упругое тело и линейная вязкая
жидкость. Закон Гука и Навье-Стокса. Закон Гука и Навье-Стокса для изотропной
среды в произвольной криволинейной системе координат. Уравнения Навье-Стокса.
Полная система уравнений движения несжимаемой вязкой жидкости. Уравнения
Ламе. Метод составления реологических уравнений сложных сред.
Общие основы постановки конкретных задач
Примеры краевых условий. Линеаризация уравнений и задач механики сплошной среда. Условия на поверхности сильных разрывов.
Размерности физических величин и -теорема. Подобие и моделирование явлений.
Сопротивление материалов
Растяжение, сжатие. Кручение стержней круглого поперечного сечения. Вычисление напряжений и прогибов при чистом и поперечном изгибе. Теорема Кастелиано. Интеграл Мора. Теорема Бетти, Метод сил. Теория предельных напряженных
состояний. Устойчивость равновесия упругих и неупругих систем. Задача Эйлера.
Концепция двух модулей и продолжающегося нагружения. Критерии устойчивости.
Теория упругости и термоупругости
Задача Ламе. Уравнения Бельтрами-Митчелла. Теорема единственности Кирхгофа. Принцип Сен-Венана. Вариационные методы в теории упругости. Упругие волны в изотропной среде. Определяющие соотношения классической термоупругости.
Определяющие соотношения расширенной термоупругости. Недиссипативная термоупругость. Задача Даниловской. Термоупругие волны. Отражение и преломление
термоупругих волн. Удар стержня о жёсткую нагретую преграду.
Теория пластичности
Основные свойства пластических тел. Тензоры полных, упругих и пластических
деформаций. Поверхность нагружения и условие пластичности. Принцип максимума. Ассоциированный закон пластического течения. Основные соотношения пластических тел - жестко-пластического, упруго-пластического, идеального и упрочняющегося. Общие теоремы теории упругопластических сред. Теорема единственности. Минимальные принципы. Теория предельного равновесия. Теоремы приспособляемости. Плоская деформация, основные соотношения и их свойства. Теоремы
Генки. Аналитическое интегрирование уравнений плоской деформации. Разрывы
напряжений. Задача о штампе. Волочение полосы через прямолинейную и криволиненую матрицы. Вдавливание клина. Кручение стержней. Кручение призматических
стержней и стержней переменного сечения. Осесимметричное состояние. Задачи о
штампе.
Гидромеханика
Плоские потенциальные течения. Постановка задачи обтекания плоского неподвижного контура. Постановка задачи об обтекании неустановившимся потоком
двигающегося изменяемого контура. Метод преобразования области течения на
внешность круга. Теория присоединенных вихрей и образования подъемной силы
контура. Движение тела в идеальной несжимаемой жидкости. Присоединенные массы. Методы разрывного потенциала Кирхгофа, Жуковского, применение к задачам о
струйных течениях, истечения жидкости и глиссирования.
Распространение звуковых возмущений в совершенном газе. Сильные разрывы в
газах. Адиабата Гюгонио. Понятие о волнах детонации и явлении конденсации.
Уравнения, описывающие до и сверхзвуковые течения совершенного газа и общие
понятия о методах их исследований.
Реологические определения нелинейно-вязких и пластических жидкостей. Обтекание тел в приближении Стокса и Озеена. Понятие о разложении параметров течения по числам Рейнольдса. Течение вязких жидкостей с диссипацией тепла от внутреннего трения. Понятие о "гидродинамическом тепловом взрыве". Понятие о реологии вязких сред типа суспензий. Жидкости с внутренними степенями свободы.
Течения жидкости с малой вязкостью. Уравнения пограничного слоя в маловязкой жидкости и газе. Автомодельные решения уравнений пограничного слоя. Энергетические свойства газодинамического пограничного слоя.
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Гиперболические и параболические уравнения
Одномерное волновое уравнение. Задача с начальными условиями для волнового
уравнения в трехмерном пространстве. Метод спуска. Задача Коши с начальными
данными на произвольной поверхности. Физический смысл решений задачи Коши.
Смешенные задачи.
Линейные гиперболические дифференциальные уравнения. Решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами методом преобразования Фурье. Гиперболические системы однородных уравнений с постоянными коэффициентами.
Метод разложения на плоские волны. Симметричные гиперболические системы с
переменными коэффициентами. Численные методы решения.
Общие параболические уравнения. Уравнения теплопроводности. Принцип максимума в прямоугольнике, следствия. Метод Фурье для уравнения теплопроводности, его обоснование.
Эллиптические уравнения
Линейные эллиптические уравнения второго порядка. Принцип максимума.
Приложения к задаче Дирихле и обобщенной задаче Неймана. Теория потенциала.
Решение краевых задач. Конечно-разностные методы.
Вариационные методы: специальные функции
Вариационные методы решения задач математической физики. Постановка задачи на собственные значения. Физический смысл собственных значений и собственных функций. Метод Ритца. Свойства функций Бесселя. Цилиндрические функции.
Свойства гармонических функций. Полиномы Лежандра. Сферические функции.
Шаровые функции. Функция Грина. Решение краевой задачи с помощью функции
Грина. Сведение краевой задачи к интегральному уравнению.
ЛИТЕРАТУРА
1. Седов Л.И Введение в механику сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962.
2. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т. 1.2, М.: Наука, 1983.
3. А.Грин, Дж.Адкинс. Большие упругие деформации и нелинейная механика
сплошной среды. М.: Мир, 1965.
4. Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов. М.: Высшая
школа, 1989.
5. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука,
1998.
6. Койтер В.Т. Общие теоремы теории упруго-пластических сред. М.: ИЛ, 1961.
7. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гостехиздат, 1956.
8. Френденталь В., Генрингер Х. Математические теории неупругой сплошной
среды. М.: ИЛ, 1962.
9. Прагер Н. Проблема теории пластичности. М.: Физматлит, 1958.
10.Эйрих Ф. Реология. М.: ИЛ, 1962.
11.Лейбензон Л.С. Курс теории упругости. М.: Гостехиздат, 1947.
12.Кочин Н.Е., Кибаль И.А., Розе И.Н, Теоретическая гидромеханика. т.1, 2. М.:
Физматгиз, 1963.
13.Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. Изд.2 М.: Наука.
1965.
14.Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: ИЛ, 1949.
15.Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Физматгиз, 1973.
16.Д.Барс, Ф. Джон, Н. Шехтер. Уравнения с частными производными. М.: Мир,
1966.
17.Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике.
18.Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир. 1975.
19.Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1968.
20.Ланцош К. Вариационные принципы механики. М.: Мир, 1965.
21.Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.
22.Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М.: Мир, 1974.
23.Мак-Коннел А.Д. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии,
механике и физике. М.: Физматлит, 1963.
24.Найфэ А.Э. Метды возмущений. М.: Мир, 1976.
25.Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы прикладной математики. М.: Наука,
1972.
26.Тимошенко С.П., Янг Д.Х. Колебания в инженерном деле. М.: Машиностроение, 1985.
27.Гузь А.Н., Махорт Д.Г., Гуща О.И. Введение в акустоупругость. Киев: Наука
Думка, 1977.
28.Каудерер Г. Нелинейная механика. М.: ИЛ, 1961.
29.Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. М.: Мир, 1964.
30.Кольский Г. Волны напряжений в твёрдых телах. М.: ИЛ, 1955.
31.Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977.
32.Гольдсмит В. Удар. Теория и физические свойства соударяемых тел. М.:
Стройиздат, 1965.
33.Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966.
34.Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории устойчивости. М.: Физматгиз.
1961.
ВОПРОСЫ ПО СПЕЦИАЛИЗАЦИИ
Методы возмущений в задачах волновой динамики
1.Лучевой метод.
Поверхности разрыва (волновые поверхности). Геометрия движущейся поверхности разрыва. Различные типы поверхностей разрыва. Дельта-производная по Томасу. Условия совместности. Лучевые ряды. Свойства лучевых рядов. Применение
лучевых рядов к решению краевых динамических задач для упругих, вязко-упругих,
термо-упругих изотропных и анизотропных сред. Линии разрыва. Геометрия движущейся линии разрыва (поверхностная волна). Различные типы линий разрыва.
Краевые задачи, приводящие к возникновению линий разрыва.
2. Метод прифронтовой регуляризации и метод перенормировки.
3. Метод многих масштабов и его применение к нелинейным колебаниям и нелинейным волнам.
4. Метод сращивания асимптотических разложений и его использование в задачах, приводящих к распространению ударных волн.
5. Методы ускорения в нелинейных колебаниях,
6. Асимптотические решения уравнений. Коротковолновая асимптотика.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972, 456 с.
2. Бленд Д. Теория линейной вязко-упругости, М.: Мир, 1965. 199 с.
3. Мак-Коннел А.Дж. Введение в тензорный анализ. М.: Физматлит.
1963, 411 с.
4. Найфе А.Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976, 455 с.
5. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977,
383 с.
6. Томас Т. Пластическое точение и разрушение в твердых телах. М.: Мир 1964, 308
с.
7. Уизем Д. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977, 622 с.