Вариант 2. Решение

ВАРИАНТ 2
№1 (1 балл)
Велосипедное колесо, у которого вместо металлических спиц обод вокруг
втулки удерживают натянутые резинки, установлено в вертикальной
плоскости и может свободно вращаться вокруг своей горизонтальной оси,
зажатой в штативе. К неподвижному колесу подносят мощную лампу и
начинают нагревать горизонтальные «спицы». Положение лампы не
меняется. Резина в отличие от металла, при нагревании не расширяется, а
сжимается, и её температурный коэффициент сжатия гораздо больше,
чем коэффициент расширения у металлов. Как будет вести себя колесо?
 Нагрев резиновых спиц лампой вызовет их сокращение. В результате
обод с этой стороны приблизится к втулке.
 Масса колеса сосредоточена, в основном, в ободе, а не в спицах.
Поэтому центр масс колеса, практически, совпадает с центром масс обода.
Приближение одной стороны обода к втулке по горизонтали означает
горизонтальное смещение центра масс колеса из закреплённой оси вращения.
 Если центр масс протяжённого тела не находится на одной вертикали с
закреплённой осью вращения, то сила тяжести заставляет тело
поворачиваться. Таким образом, колесо начнёт вращаться. Нагретые спицы
будут уходить от горячих лучей лампы и остывать, удлиняясь, а спицы, вновь
попадающие под лучи, будут нагреваться, сжимаясь. Следовательно, центр
масс всё время будет смещён по горизонтали из оси вращения. Значит,
колесо будет вращаться всё время, пока светит лампа.
№2 (2 балла)
Идеальный газа совершает цикл, указанный на рисунке.
Процесс 12  изотерма; процесс 23  изохора;
процесс 31  адиабата. Давление p2=105 Па; давление
p3=8105 Па. Чему равен КПД цикла?
p
p3
p2
3
2
1
V
Обозначим объём изохоры 23 V23 .
 Цикл в осях  p,V  «завёрнут» по часовой стрелке, поэтому это цикл
теплового двигателя. Следовательно, искомый КПД определяется по
формуле
 1
Qх
,
Qн
где Qн  тепло, полученное газом в цикле, Q х  тепло, отданное газом в
цикле, в арифметической записи ( Qн  0; Qх  0 ).
 Термодинамическое тепло процесса 12
Q12  A12  RT12 ln
V23
, так как это изотерма с температурой T12 .
V1
Тогда по уравнению Менделеева-Клапейрона для состояния 2:
RT12  p2V23  Q12  p2V23 ln
V23
 0,
V1
следовательно, в этом процессе газ отдаёт тепло, то есть,
Qх  Q12  p2V23 ln
V1
V23
V
 Для определения Q х нужно выразить V2 ln 1 через давления p 2 и
V23
p3 . Запишем уравнение адиабаты 31 и изотермы 12 соответственно:

p1V1  p3V23
p1V1  p2V23 .
Поделим верхнее уравнение на нижнее почленно:
 1
V1
1 /  1
p 
p
 1
 V1  V23   3 
 3 V23
p2
 p2 
Тогда тепло, отданное холодильнику,
.
 V  p 1 /  1 
p
p
1
i
 p V
Qх  p2V23 ln 23   3 
ln 3  p2V23 ln 3 ,
2
23
 V23  p2 

  1 p2 2
p2


где i  количество степеней свободы молекулы.
 Процесс 31  адиабата  тепло Qн газ получает в процессе 23.
 Тепло, полученное от нагревателя:
i
Qн  Q23  СV T3  T12   RT3  T12 
2
по определению теплоёмкости процесса и по формуле теплоёмкости при
постоянном объёме. Раскроем скобки и применим уравнение МенделееваКлапейрона:
Qн 
i
RT3 RT12   i  p3V23  p2V23   i V23  p3  p2 .
2
2
2
 Выразим КПД цикла:
i
Qх
p  i

 1   p2V23 ln 3  /  V23  p3  p2  
Qн
p2   2

2
p
p2
1
 1
 ln 3  1 
 ln 8  0,7 .
p3  p2
p2
8 1
  1
№3 (2 балла)
Заземлённый металлический шар радиусом
R1=1 м окружён сферической оболочкой радиусом
R2=3 м, заряженной зарядом Q=1 мКл. Чему равна
энергия такой системы?
Q
R1
R2
 Найдём заряд Q заземлённого шара.
Поскольку он заземлён, его потенциал равен 0, но он определяется как
зарядом Q , так и зарядом Q по принципу суперпозиции:
Q R1   Q R1    R1  
R
kQ kQ

 0  Q   1 Q .
R1 R2
R2
 Энергия системы равна энергии поля за пределами сферы, и энергии
поля внутри сферы:
W  Wext  Wint
 Энергия поля за пределами сферы равна энергии уединённой сферы с
зарядом Q  Q
Wext
k Q  Q2
.

2R2
 Энергия поля внутри сферы равна энергии поля шара с зарядом Q ,
которая равна энергии уединённого шара радиуса R1 минус энергия
уединённой сферы радиуса R2 с таким же зарядом
q
Q
Q
Wint
kQ2 kQ2


2 R1 2 R2
 Подставляем в выражение полной энергии:
k Q  Q2 kQ2 kQ2 k  Q  Q2  Q2 Q2 
W





2 R2
2 R1 2 R2 2 
R2
R1 
k  Q  Q  2Q Q2  k  Q 
2 R1  1 R12 2 
Q 
 


Q  
Q 
2
R2
R1  2  R2 
R2  R1 R22

k  Q 2  2 R1  R1 2  kQ2  2 R1 R1 
1 

1 
 
 
Q 

2  R2 
R2  R22
2
R
R
R
2
2
2

kQ 2  R1  9 109 10 6  1 
3
1 
 
W 
1    10 Äæ 
2 R2  R2 
23
 3
 Решить задачу можно
конфигурации проводников:
проще,
исходя
из
формулы
энергии
1N
W   qii ,
2 i
где qi и i  заряд и потенциал i-го проводника соответственно.
В нашей системе 2 проводника, потенциал заземлённой сферы равен
0, поэтому
Q   R2 
;
2
Q  заряд внешней сферы,  R2   её потенциал. По принципу
W
суперпозиции:
 R2   Q R2   Q R2  .
kQ
 потенциал, созданный зарядом внешней сферы на ней
R2
kQ
самой;  Q R2  
 потенциал, созданный зарядом заземлённым шаром
R2
Здесь
Q R2  
на сфере. В результате,
 R2  
kQ kQ k


 Q  Q .
R2 R2 R2
R
Было найдено: Q   1 Q . Следовательно,
R2
 R2  
R  kQ  R1 
k 
.
  Q  1 Q  
 1 
R2 
R2  R2  R2 
kQ 2 
R 
1  1  .
W
2 R2  R2 
№4 (5 баллов)
Хорошо известно, что перед отправлением грузового состава на
современных железных дорогах локомотив сдаёт назад, так чтобы сцепки
между, например, цистернами оказались в расслабленном состоянии. Тогда
при начале движения вперёд цистерны начнут приходить в движение по
очереди, поскольку по очереди будет выбираться «люфт» каждой сцепки.
Это делается для того, чтобы не разорвалась сцепка между локомотивом и
первой цистерной, или для того, чтобы избежать пробуксовки локомотива.
В результате, после начала движения локомотива по составу идёт волна
«включения» сцепок (или волна движения цистерн), сопровождаемая их
лязгом. Чему равна скорость такой волны, если масса одной цистерны 80
тонн, «люфт» сцепки равен 7 мм, длина цистерны 12 м? Считать, что сила
сопротивления пренебрежимо мала по сравнению с постоянной силой тяги
локомотива, равной 900 кН.
Дано:
Рисунок-условие
m=8104 кг
s=710-3 м
l=12 м
F=9105 Н
*=?
m

F
M
l
 Длина современного грузового поезда составляет несколько
километров, то есть, несколько сотен цистерн. Сразу нужно отметить, что
скорость волны движения не будет одинаковой по составу. Мы будем искать
её стационарное значение, которое достигается, когда масса уже движущихся
цистерн значительно больше массы одной цистерны:
M  m ,
где M  общая масса движущихся цистерн.
 На рисунке-условии изображено динамическое состояние массы M в
момент времени, когда сцепка между готовящейся к движению массой m и
массой M находится в свободном состоянии.
m
Рисунок-решение
M
I
m
M
II



 
s
m
III


M



F

F
На рисунке-решении изображены механические состояния, которые
необходимо брать в расчёт при включении в движение очередной цистерны:
Состояние сразу после начала движения предыдущей по порядку
включения цистерны.
Состояние непосредственно перед началом движения очередной
цистерны.
Состояние сразу после начала движения очередной цистерны.
Первые два механических состояния дополнены динамическим состоянием
движущейся части состава. Между состояниями I и II происходит
равноускоренное выбирание люфта сцепки. Состояния II и III являются
начальным и конечным состояниями абсолютно неупругого удара,
представляющего собой включение очередной сцепки. После удара скорость
движущейся части состава возвращается к своему первоначальному
значению в силу стационарности волны движения.
На переходе от I ко II из-за равноускоренности движения средняя
скорость движущейся части равна среднему арифметическому между
скоростями  и   :
 
    
2
.
Кроме этого, запишем закон изменения кинетической энергии массы M на
этом переходе:


M
 2   2  F  s .
2
На переходе от II к III выполняется закон сохранения импульса при
абсолютно неупругом ударе:
M   M  m  .
В результате, получается система из трёх уравнений


 M 2
2




 F s
2

M   M  m  

    
 
2

с тремя неизвестными,  ,  и   из которых нас будет интересовать
только первое.
 Разложив разность квадратов в первом уравнении и сделав подстановку
из третьего уравнения в первое, получаем:
M         F  s 1

m




2


1


 

M



      2 
3.
Подставим выражение   из второго уравнения в третье:
2

m
m


.
   1     2     2    2     

m
m
M
M




2
1
M
2M
Тогда


   1 
Следовательно,




m
m
.

 
  

M 1
M  1 m 1 m M 1 m

2M
2M
2M
m 2
     
Но

M 1

m 2
.
m
M
1

      
. Подставив это выражение в первое
m
2
M
уравнение, получим:
M
m
   F s   
M
Fs
.
m
 Очевидно, что время выбирания люфта одной сцепки

s

 s
m
ms

Fs
F
равно времени распространения волны движения вдоль состава на длину
одной цистерны. Следовательно, искомая скорость распространения волны
вдоль состава
F
9 105
*   l 
 12 
 40 м / с  .

ms
8 104  7 103
l