МАТЕРИАЛЫ по теме «ОБОБЩЕНИЕ СТЕПЕНИ» 1.СТЕПЕНЬ 2.ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СТЕПЕНЬ → а n Краткий справочный материал по теме «Степень» an ∙ am = an+m an : am = an-m 𝑎𝑛 ; 𝑏𝑛 -n a = b≠ 0 1 ; 𝑎𝑛 4) 5 ∙ 5 a≠0 5 6 a a m 𝑛 1 10 = 5 1 6 6) 4 : 4 = 4 a0 = 1, a≠0 n 1) a3 ∙ a4 = a3+4 = a7 2) 42 ∙ 4-3 = 42+(-3) = 4-1 4 5 4 1 + 5 10 5 1 − 6 6 =5 9 10 4 6 =4 =4 2 3 8) 1 (3)3 1 3 ∙ = 1 (3)3 ∙ 1 (3)1 2 3 = 1 14 =(3)4 = 34 2 3 = 2 3 4 9 1 81 𝑛 𝑎 √𝑎 √ =𝑛 𝑏 √𝑏 𝑛 𝑎 𝑎3 𝑏3 1 𝑎 −4 9) (a ) = 𝑎 12)(𝑏 )3 = 16) a4 = 𝑛 𝑘 √ √𝑎 = 𝑛𝑘√𝑎 (𝑘 > 0) √𝑎 = √𝑎 𝑘 (𝑘 > 0) =3 14) a-3 = 1 𝑎3 10) (3 ) = 3 = 12 4 13) (5)2 = 42 52 = 16 25 17) 52 = 𝑏 𝑐 18) ( 𝑐 ) -3 = (𝑏)3 𝑛𝑘 5∙3 5 3 20) 6 0 = 1 1 5−2 2 5 1 3 2 15 11) (4 ) = 4 1 5 ∙ 2 3 15) 4-2 = =4 1 42 = 5 6 1 16 √𝑎 𝑘 𝑛 𝑘 = ( √𝑎) 3 4) (4) 6 : (4)-3 Упростите: 1 2) (32)7 3) (( 3)2 )4 1)(с7)2 Вычислите: 1) 6 7 0 2) (-9)0 3) (8)0 Раскройте скобки: 2 5 19) (5) – 4 = (2)4 1 21) (3)0 = 1 𝑐 𝑘 1) ( )4 2 3 2) ( )3 Запишите в виде дроби: 1) с-4 2) 6-3 3) b2 4) 34 Избавьтесь от знака «-» в показателе степени: 𝑥 1) (𝑦)-2 𝑛 1 3 3) 37 : 3−7 √𝑎𝑏 = √𝑎 ∙ √𝑏 4∙3 1 3) 23 ∙ 2−2 4) ∙ ( )4 2 2 Упростите: 1) a7 : a5 2) 48 : 4-5 𝑛 4 3 42 , √7. 1 7) ( ) 4 : ( )2 = ( )4-2 = ( )2 = 1 (3)3+1 5 y5 , Упростите выражения: 1) b4 ∙ b5 2) 32 ∙ 3-4 3) 3-2 : 3-5 = 3-2-5 = 3-7 5) a5: a3 = a5-3 = a2 2 3 Прочитайте: bn , 6 √5 , √3. 4 m n 𝑛 𝑛 Задания для самостоятельной работы a ∙ a = a2 ( читаем: a во 2-ой степени) x ∙ x ∙ x ∙ x = x4 ( читаем: x в 4-ой степени) 3∙ 3 ∙ 3 = 33 ( читаем: 3 в 3-ей степени) 3 √8 ( читаем: корень кубический из 8) a ∙ a ∙ … ∙ a = an Читаем: an – « a в n-ой степени» (an)m = anm (𝑎𝑏)n = Примеры решения типовых заданий 4 5 5 2 1) (6 ) 3 2) (7)-3 1 2) (27 ∙ 8 ∙ 125)3 Степенью числа "a" с натуральным показателем "n", бóльшим 1, называется произведение "n" одинаковых множителей, каждый из которых равен числу "a". 1. Степенью числа «а» с показателем n = 1 является само это число: a1 = a 2.Любое число в нулевой степени равно единице: a0 = 1 Ноль в любой натуральной степени равен нулю: 0n = 0 При возведении в степень положительного числа получается положительное число. При возведении нуля в натуральную степень получается ноль. Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел. Отрицательное число, возведённое в чётную степень, есть число положительное. Отрицательное число, возведённое в нечётнуюстепень, — число отрицательное. Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, то есть: a2 ≥ 0 при любом a. Обратите внимание! При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи (−5)4 и −54 это разные выражения. Результаты возведения в степень данных выражений будут разные. Вычислить (−5)4 означает найти значение четвёртой степени отрицательного числа. (−5)4 = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625 В то время как найти −54 означает, что пример нужно решать в 2 действия: 1. Возвести в четвёртую степень положительное число 5. 54 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625 2. Поставить перед полученным результатом знак «минус» (то есть выполнить действие вычитание). −54 = −625 Пример. Вычислить: −62 − (−1)4 −62 − (−1)4 = −37 1. 1. 23 = 2. (−1)3 = 1 4 3. (− 3) = РЕШАЕМ: 2. 1. 50 = 2. (−3,1)0 = 1 −4 2) ( ) 16 3. 1. 5−1 = 2. 10−2 = 1 −2 3. (10) = 1)0,5−4 3 = 2 3) 273 = 7 4)83 4. 1. 250,5 = 2. 823 = 5. 1. 25 ∙ 2У = 2. 7Х+2 = 5) 251,5 = 6. 1. 42−𝑛 = 2. 29= 7 7)26 ∙ 2−4 = 7. 1. (23 )10 = 8) (а2 )4 = 6)0,25−0,5 = 5 3 2 1 2. 52Х = 8. 1. 25 35 = 2. (3ху4 )2 = 1 9) 812 = 103 9. 1. 1 2 = 3 10) 12 = 2Х 4 11)(50 )4 = 2 1 2. ( У ) = ЗАПИШЕМ 1 1) = 3−1 3 3) 1 64 = 64−1 1 −1 4) ( ) 3 5) ИНАЧЕ: 1 2)(27 )7 = 2 1 1 3) = 125−1 = 3 = 5−3 125 5 1 1 1 = 2 = 8−2 = 3 = 4−3 = 6 = 2−6 8 3 −1 6) ( ) 8 6 −1 7) ( ) 7 2 5) 91,5 = =3 1 5 3 5 3 ((7) ) =7 7) 4 (0,25)−1 31,5∙2 = 33 = 27 7 2 4 7 3 1 8) 40,5 = 2 6 3 12) А. 83 = √8 = 2. 1 7 1 25 −1 1 −1 = ( ) = ( ) = (2−2 )−1 = 2 100 4 8 = = 27 6) (6 ) = 67∙4 = 62 = √6 1 1 В. 83 = (23 )3 = 23∙3 = 2. 3 2 1. Вычислите 9 + 27 2 3 2 3 3 1 −4 −( ) 16 3 − 1 4 2 3 = 32∙2 + 33∙3 − 2 3 (−4)∙(− ) 4 2 3 3 = (32 )2 + (33 )3 − (2−4 )−4 = Решение: 92 + 273 − ( ) 16 = 33 + 32 − 23 = 27 + 9 − 8 = 28 2. Вычислите 4 9𝑎5 9 𝑎5 + 1 2𝑎−5 при 𝑎 = 5 Решение: 4 4 9𝑎5 9 𝑎5 = 1 2𝑎−5 1 4 1 9𝑎5 ∙ 𝑎5 9 (𝑎5 9𝑎 + При 𝑎 = 5 1 = 𝑎5 45 1 2𝑎−5 ) 9∙5 + = 𝑎2 +2 52 +2 ∙ = 9𝑎5+5 9 1 1 1 𝑎5+5 + 2𝑎−5+5 9𝑎1 9𝑎 = 2 = 𝑎 + 2𝑎0 𝑎2 + 2 27 3.Решить 1 42 3 164 ∙ ∙ 3 − 16 4 1 ∙ 23 . 1 5 3 83 ∙ 814 + (65 ) . 2 1 −5 3 ∙9 +( ) 32 1 3 1 3 3 ∙ 0,0081 2 𝑎3 Вычислите 5 2 при 𝑎 = 9 27 Вычислите 𝑎3 +𝑎3 −0,25 1 1 4 (𝑎2 𝑏2 ) 1 9 1 −0,75 +( ) 16 при 𝑎 = 7, 𝑏 = 2 29 𝑎2 𝑏8 5 4 16 (0,01) 5 1 1 2 12 7 1 0 3 16 2 64 2 3 3 2 625 53 25 7 (40 ) 4 25 √5 7√55 ∙ 7√5−2 3 1 2 1 8 1 3 7 √322 + 34 ∙ (274 + 34 ) 6 5 1 3 (7 − √41) ∙ (7 + √41) 3 3 √9 + √73 ∙ √9 − √73 1 3 1 1 (√23 − √ 3 ) : (√2 − √ ) 2 2 33 (𝑎 √ 1 3 𝑎)5 (𝑎2 √ 1 𝑎 )7 Проверьте равенство √8 + 2√10 + 2√5 − √8 − 2√10 + 2√5 = √20 − 4√5 Найдите значение числового выражения √33 + √8 ∙ √6 + √3 + √8 ∙ √3 + √3 + √3 + √8 ∙ √3 − √3 + √3 + √8 Иррациональные уравнения Иррациональным называется уравнение, в котором неизвестное (переменная) содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в рациональную (дробную) степень. Для решения иррациональных уравнений обычно используются следующие п р и е м ы : 1) «уединение» корня в одной из частей уравнения и возведение в соответствующую степень; 2) следует помнить, что при решении иррациональных уравнений необходима проверка всех найденных корней путем их подстановки в исходное уравнение или нахождение ОДЗ ; Образец 1 √х − 4 = 6 Возведём в квадрат обе части 2 (√х − 4) = 62 Х – 4 = 36 Х = 40 ОДЗ: Х – 4 > 0 Х>4 Х = 40 > 4 Ответ: 40 Образец 2 √х = х −2 2 (√х) = (х − 2)2 х =х2 − 4х + 4 х2 − 5х + 4 = 0 Д=25-16=9=32 ; х1.2 = 4; 1; 1) х1 = 4 => √4 = 4 − 2; 2=2=> х1− удовлетворяет условию. 2) х2 = 1 => √1 = 1− 2; 1 ≠ −1 => х2 –не удовлетворяет условию Проверка: Ответ: х=4. Реши примеры 3. 3х+1 = √1 − х 1. 4. √4 − 6х − х2 = х + 4 2. 5. √8 − 6х − х2 – х = 6 6 4 х х2 4 х 6. 7. х 8. х 1 5 9 2х 5 9. х 5 1 0 10. 2х 5 2х 1 х 10 х 2 6 11. х 25 2 24 2 х х 2 0