Решение. Внутренняя энергия газа в начале процесса

1. Идеальный газ перевели из состояния с давлением с давлением p1 = 204 кПа и объемом V = 90 л в состояние с
давлением p2 = 170 кПа и объемом V2 = 108 л. Определите изменение внутренней энергии газа в этом процессе.
Решение.
Внутренняя энергия газа в начале процесса
U1 = (i/2)vRT1,
в его конце
U2 = (i/2)vRT2,
где i − число степеней свободы одной молекулы газа, v − его количество, R − молярная газовая постоянная, T1 и T2 − начальная и конечная температуры газа.
С учетом уравнений газового состояния
p1V1 = vRT1 и p2V2 = vRT2.
Искомая величина
ΔU = (i/2)(p1V1 − p2V2).
Выполнив арифметические расчеты, получим
ΔU = 0.
Задачу можно решить иначе. Если заметить, что
p1V1 = p2V2.
то из уравнения Менделеева − Клапейрона будет следовать, что температура T1 = T2, а значит и внутренняя энергия U1 = U2. Поэтому ее изменение равно нулю.
Примéним к газу I начало термодинамики:
Q=ΔU+A
где Q - теплота, сообщённая газу,
ΔU - изменение внутренней энергии газа,
A - работа, совершённая газом.
По условию задачи газ сжимается внезапно. Это значит, что теплообмен с окружающей средой не происходит,
и Q=0.
Процессы, протекающий при отсутствии теплообмена с окружающей средой, называются адиабатными.
Тогда ΔU+A=0
Перепишем равенство в виде: ΔU-A'=0
где A'=-A - работа, совершенная над газом при его сжатии.
Получаем: ΔU=A'
Следовательно, при внезапном сжатии газа его внутренняя энергия увеличится.
Внутренняяэнегрия идеального газа определяется по формуле:
U=[1/(γ-1)]*ν*R*T
где γ - показатель адиабаты газа,
ν - количество вещества газа,
R - мольная газовая постоянная,
T - температура газа.
Об увеличении внутренней энергии газа будет свидетельствовать повышение его температуры.
Задача 1.
На диаграмме показан процесс изменения состояния фиксированного количества вещества идеального одноатомного газа. Опираясь на свои знания по молекулярной физике, объясните, как изменяется объем газа по мере
его прохождения из состояния 1 в состояние 2.
Решение:
Обращаем внимание, что график дан в координатах р,Т. Анализом изменения другим параметров газа ответить
на вопрос однозначно нельзя. На графике представлены произвольные процессы перехода газа из одного состояния в другое. Потому для того, чтобы ответить на вопрос, нужно провести через точки 1, 2 и некоторую промежуточную точку изохоры.
По рисунку видно, что при переходе газа из состояния 1 в состояние 2 угол наклона изохор уменьшается. Следовательно, объем газа постоянно увеличивается.
Задача 2.
На рисунке приведен график зависимости концентрации молекул в насыщенном водяном паре от температуры.
Во сколько раз изменится внутренняя энергия 2 м3 насыщенного пара при изменении его температуры от 0 до
40°С?
Решение
Можно считать насыщенный пар идеальным газом. Потому для него применима формула для вычисления внутренней энергии, т.е. U ̴ pV. По закону Авогадро p = nkT. Тогда внутренняя энергия зависит от концентрации, объема и температуры так же прямо пропорционально:
U ̴ nVT. Можно составить пропорцию:
По графику находим, что при температуре 0°С, т.е. 273 К концентрация равна 2 ∙ 1024 м – 3, а при температуре 40°С,
т.е. 313К - 18 ∙ 1024 м – 3.
Внутренняя энергия увеличилась в 10,3 раз.
Задача 3.
Воздушный шар объемом 2500 м3 и массой оболочки 400 кг имеет внизу отверстие, через которое воздух в шаре
нагревается горелкой. До какой минимальной температуры нужно нагреть воздух в шаре, чтобы он взлетел вместе с грузом массой 200 кг? Температура окружающего воздуха 7°С, его плотность – 1,2 кг/м3. Оболочку шара считать нерастяжимой.
Решение.
Выделяем явления, которые происходят с телами в задаче:
1.
Шар начинает двигаться. Это означает, что силы, действующие на шар, должны быть уравновешены.
2.
На шар действуют: силы тяжести оболочки, груза и воздуха внутри оболочки; архимедова сила со стороны
окружающего воздуха.
3.
Так как шар не является закрытым, то давление внутри и снаружи шара одинаковы. Различны температуры.
Исходя из анализа текста применяем:
1.
Первый закон Ньютона, изобразив все силы, действующие на шар.
FA = mоg + mгg + mвg.
2.
Архимедова сила равна: FA = ρ g V
3.
Массу воздуха внутри оболочки можно выразить через уравнение Клайперона-Менделеева (уравнение состояния идеального газа):
4.
Так как давление газа одинаково снаружи и внутри, то можно найти его, снова используя уравнение состояния идеального газа для наружного воздуха:
3. Первое начало термодинамики. Внутренняя энергия. Теплоёмкость.
Одно из важных понятий – внутренняя энергия системы U.
Внутренняя энергия тела – это полная энергия тела, за исключением кинетической энергии движения тела как
целого (движения центра масс и вращения тела как целого) и потенциальную энергию тела во внешних полях.
В процессах важна не величина самой внутренней энергии, а её изменение в данном процессе.
^ Внутренняя энергия системы – это функция состояния, то есть однозначно определяется состоянием системы.
Изменение внутренней энергии системы в каком-либо процессе не зависит от пути перехода, а только от начального и конечного состояния; а в замкнутом процессе, когда система возвращается в исходное состояние, изменение внутренней энергии равно нулю.
Внутреннюю энергию системы можно изменить за счёт:
) совершения над системой работы;
) сообщения системе теплоты.
(Считаем, что система не обменивается веществом с окружающей средой.)
По закону сохранения энергии
(8.1)
Работа самой системы над внешними телами
, тогда
(8.2)
Соотношения (8.1) и (8.2) – первое начало термодинамики:
Количество теплоты, сообщённое системе, идёт на приращение её внутренней энергии и на работу системы
против внешних сил.
Теплота Q и работа A не являются функциями состояния системы, это – способы обмена энергией. Эти величины
зависят от пути перехода, в отличие от изменения внутренней энергии; поэтому эти величины на бесконечно малом участке процесса не будут с точки зрения математики полными дифференциалами, и для них используются
обозначения
и
.
^ 4. Работа идеального газа при изменении объёма.
Рассмотрим идеальный газ в сосуде под поршнем площадью S. Давление газа равно p (рис.8.1).
При подъёме поршня на малую высоту dh сила давления
газа
(8.7)
совершит работу
. (8.8)
,
, (8.9)
так как
– увеличение объёма газа.
Работа газа при переходе между состояниями 1 и 2 работа равна
. (8.10)
Работа равна площади под графиком
Работа газа в изопроцессах
(рис.8.2).
1) Изохорический процесс
, следовательно,
2) Изобарический процесс
, работа не совершается:
,
.
. (8.11)
То же самое получим из графика рис.8.3 как площадь прямоугольника.
Из уравнения Менделеева-Клапейрона
Отсюда работа из (8.9):
. (8.12)
То же самое можно получить в интегральном виде:
Тогда
Или:
. (8.12а)
Соотношение (8.12) проясняет смысл универсальной газовой постоянной R:
;
универсальная газовая постоянная численно равна работе одного моля идеального газа при изобарном
нагревании на 1 кельвин.
3) Изотермический процесс
Из уравнения Менделеева-Клапейрона выразим давление и подставим в (8.10):
,
(8.13)
Уравнение процесса:
; тогда
(8.14)
^ 5. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам с
идеальным газом
Первое начало:
1) Изохорический процесс
,
. (8.15)
Тогда молярная теплоёмкость при постоянном объёме (см. (8.5)):
; (8.16)
или
, (8.17)
Откуда получим, что внутренняя энергия
. (8.18)
Количество теплоты, переданной газу при постоянном объёме:
,
2) Изобарический процесс (
По первому началу:
. (8.19)
)
.
Из (8.12) и (8.17):
, (8.20)
где
– молярная теплоёмкость при постоянном давлении по определению (8.5)
(8.21)
равна
. (8.22)
Соотношение (8.22) – это уравнение Майера. Теплоёмкость при постоянном объёме оказывается меньше, так
как газ не совершает работу, и для нагревания газа на 1 К теплоты требуется меньше: как раз на величину R,
имеющей смысл работы одного моля газа при постоянном давлении.
В термодинамике для характеристики газа часто используют величину – показатель Пуассона (показатель
адиабаты). По определению, он равен отношению теплоёмкости газа при постоянном давлении к теплоёмкости при постоянном объёме:
, (8.23)
, (8.24)
и из (8.17) и уравнения Менделеева-Клапейрона:
. (8.25)
Можно получить ещё несколько полезных соотношений. Так, при постоянном давлении
;
;
;
.
В изохорическом процессе
.
3) Изотермический процесс
, следовательно,
,
.
о первому началу термодинамики и из (8.10), (8.13):
;
или
. (8.26)
4) Адиабатический процесс
По определению, адиабатический процесс протекает без теплообмена с окружающей средой: система не получает и не отдаёт теплоты.
;
.
Адиабатными процессами будут процессы, протекающие
1) в системе с хорошей теплоизоляцией;
2) очень быстрые процессы, – система не успевает обменяться теплотой с окружающей средой за время протекания процесса.
Первое начало термодинамики для адиабаты:
Из уравнения Менделеева-Клапейрона
Поскольку
, тогда
(8.24), то
это – уравнение Пуассона (уравнение адиабаты). Его можно записать по-другому, если воспользоваться уравнением Менделеева-Клапейрона:
. (8.28)
(8.29)
График адиабаты (8.28) в осях p-V идёт несколько круче, чем изотермы (рис.8.5), поскольку показатель степени
для V в (8.28)
, а для изотермы показатель степени V равен 1:
. Адиабата пересекается с любой
изотермой в единственной точке.
Найдём работу в адиабатическом процессе. По первому началу термодинамики
. (8.30)
По (8.27)
;
.
Подставим
в (8.30):
,
так как по (8.24)
. Далее,
, тогда
. (8.31)
Разобьём прямой цикл (рис.8.9) на два процесса:
1) расширения от минимального объёма
мального
до макси-
(1→2);
2) сжатия (2→1).
Работа А1, совершённая системой на участке 1→2, положительна и равна площади под графиком процесса – это
вся заштрихованная фигура на рис. 8.9. При этом система получает от нагревателя количество теплоты Q1, которое по первому началу термодинамики равно сумме работы А1 и приращения внутренней энергии системы при
переходе из состояния 1 в состояние 2:
. (8.32)
На участке 2→1 происходит уменьшение объёма, внешние силы совершают над системой положительную работу^ А2, равную площади под участком 2-1 (двойная штриховка). Работа самой системы отрицательна (–A2<0). Система на этом участке отдаёт охладителю теплоту Q2 (Q2>0), а получает отрицательное количество теплоты, равное (–Q2). По первому началу термодинамики
(8.33)
Объединяя (8.32) и (8.33), найдём количество теплоты, полученное системой за весь цикл:
. (8.34)
Система вернулась в исходное состояние, и полное изменение внутренней энергии равно нулю, так как внутренняя энергия является функцией состояния системы:
.
Работа A, совершённая за весь цикл, равна разности модулей работ на участках 1→2 и 2→1. Она равна площади
внутри цикла (рис.8.8, косая штриховка). Таким образом, за цикл в работу преобразуется количество теплоты,
равное разности теплот: полученной от нагревателя и отданной охладителю:
. (8.35)
Цикл Карно. Теорема Карно.
Обратимым может быть адиабатный процесс – теплопередачи там нет вообще; работа внешних сил идёт на приращение внутренней энергии или наоборот, работа системы совершается за счёт убыли внутренней энергии системы, и эти процессы обратимы.
;
.
В цикле Карно (рис.8.10 и 8.11) идеальный газ проходит цикл, состоящий из двух адиабат (2-3 и 4-1) и двух изотерм (1-2 и 3-4).
1-2 – изотермическое расширение от объёма V1 до V2; при этом газ находится в контакте с нагревателем при температуре T1;
2-3 – адиабатическое расширение от объёма V2 до V3; конечная температура газа равна температуре охладителя ^T2;
3-4 – изотермическое сжатие от объёма V3 до V4; при этом газ находится в контакте с охладителем при температуре T2;
4-1 – адиабатическое сжатие от объёма V4 до V1; конечная температура газа равна температуре нагревателя T1.
Для изотермических процессов:
Для адиабатических процессов:
;
.
Тогда из последних двух равенств:
0. Энтропия.
Определение энтропии
П
онятие энтропии было введено Клаузиусом. Энтропия –
это одна из функций состояния термодинамической системы. Функция состояния – это такая величина, значения которой однозначно определяются состоянием системы, а изменение функции состояния при переходе
системы из одного состояния в другое определяется
только начальным и конечным состояниями системы и
не зависят от пути перехода.
Внутренняя энергия U – функция состояния. Внутренняя
энергия идеального газа равна
менение определяется только начальной и конечной температурами:
молярная теплоёмкость идеального газа при постоянном объёме.
, и её из. Величина
– это
Количество теплоты Q и работа A не являются функциями состояния: они зависят от пути перехода системы из
начального состояния в конечное. Например, пусть идеальный газ переходит из состояния 1 в состояние 2, совершив последовательно сначала изобарный процесс, затем – изохорный (рис.8.12, а). Тогда совершённая за
весь процесс работа равна
. Пусть теперь из 1 в 2 идеальный газ переходит, сначала совершив
изохорный процесс, а затем изобарный (рис.8.12, b). Работа при таком переходе равна
. Оче-
видно,
. Величина работы оказалась разная, хотя начальное и конечное состояние одинаковы. Поскольку по первому закону термодинамики количество теплоты, сообщённое системе, идёт на приращение
внутренней энергии и на работу системы против внешних сил:
, то теплота, полученная системой
в процессах a и b, тоже будет разной, то есть теплота также не является функцией состояния.
1)Идеальный газ, масса которого т и молярная масса μ, расширяетсяизобарно при некотором давлении. Начальная температура газа Т1, конечнаяТ2. Определить работу, совершаемую газом.
Решение:
Работа в изобарном процессе
Из уравнения Менделеева—Клапейрона
Оказалось, что работу в изобарном процессе можно выразить не только через изменение объема по форму-
ле
но и через изменение температуры:
Полученный результат следует иметь в виду, так как он часто используется при решении более сложных задач.
Ответ:
2)Гелий (Не) нагревается при постоянном давлении. При этом ему сообщено Q = 20 кДж теплоты. Определить
изменение внутренней энергии газа и совершенную им работу.
Решение:
Так как по условию задачи р = const, то совершаемая газом работа
его молярная масса, ∆T— изменение температуры.
где т — масса газа, μ —
Гелий — одноатомный газ, поэтому его внутренняя энергия
а ее изменение
Сравнивая формулы для работы А и изменения внутренней энергии ∆U, получаем, что
Запишем
первый закон термодинамики для этого процесса:
Следовательно, работа
Изменение внутренней энергии
Ответ:
3)Температура некоторой массы т идеального газа с молярной массой μ меняется по закону
где а = const > 0. Найти работу, совершенную газом при увеличении объема от V1до V2. Поглощается или выделяется
теплота при таком процессе?
Решение:
Процесс
не является ни изобарным, ни изохорным, ни тем более
изотермическим. Запишем для любого состояния в этом процессе уравнение
Менделеева—Клапейрона:
Так как
то после
подстановки получим зависимость давления от объема в виде
сти представлен на рисунке.
Совершенная газом работа
График этой зависимо-
Для ответа на второй вопрос задачи воспользуемся первым законом термодинамики: Так как газ расширяется, то
его работа А > 0. Изменение внутренней энергии идеального газа пропорционально изменению
температуры: ∆U ~ ∆T. Так как
и объем возрастает, то возрастает и температура, поэтому ∆U > 0. Тогда и Q > 0, что соответствует поглощению газом теплоты.
4)При адиабатном сжатии 1 моля одноатомного газа внешними силами была совершена работа А. Во сколько раз
увеличилась среднеквадратичная скорость молекул этого газа, если начальная температура газа равна Т1?
Решение:
Первый закон термодинамики для адиабатного процесса записывается в виде 0 = ∆U + А', где ∆U — изменение
внутренней энергии газа, А' — работа газа в этом процессе. Так как газ сжимают, то А'<0, в то же время внешние
силы совершают положительную работу А, причем А'=-А. Следовательно,
Внутренняя энергия 1 моля идеального одноатомного газа поэтому
. Отсюда выражаем конечную температуру газа
Средняя кинетическая энергия молекул
рость
где Т —температура. Тогда среднеквадратичная ско-
Ответ:
5)Какое количество теплоты получит 1 моль идеального одноатомного газа при изобарном нагревании от некоторой начальной температуры и последующем адиабатном расширении, если при адиабатном расширении газ совершает работу А, а в конечном состоянии температура равна начальной?
Решение:
Построим график зависимости давления от объема в осях р, V (рисунок): 1—2 — изобарное нагревание, сопровождаемое увеличением объема; 2—3 — адиабатное расширение. Работа в адиабатном процессе
т.к.
Следовательно,
Количество теплоты, полученное газом в изобарном процессе:
Подставляя из формулы (1) разность температур
находим, что
Ответ:
6)Масса т идеального газа, находящегося при температуре Т, охлаждается изохорно
так, что давление падает в п раз. Затем газ расширяется при постоянном давлении. В
конечном состоянии его температура равна первоначальной. Молярная масса газа μ.
Определить совершенную газом работу.
Решение:
График указанного процесса приведен на рисунке. Здесь 1—2 — изохора, 2—3 — изобара. Искомая работа
где А1_2 — работа на участке 1—2, а А2—
работа
на
участке
2—3.
На
участке
1—2
V
—
const, поэтому А1-2 = 0. На участке 2—
3
3 р=const и
Выражения подобного вида преобразовывают так, чтобы выделить произведение давления на объем в состоянии, в котором задана температура:
(здесь учтено, что р2 = р3).
Из уравнения Менделеева—Клайперона для состояния 3 находим, что
так как
Из состояния 1 в состояние 3 можно переходить по изотерме 1—3 (в этом случае говорят, что
точки 1 и 3 расположены на одной изотерме). По закону Бойля—Мариотта
После постановки в формулу (1) получим
Ответ: