Тестовое задание Привести к каноническому виду уравнение лини второго порядка, определить тип линии, построить график 9 66 x 7 x 2 60 y 20 xy 32 y 2 0 Решение. 9 66 x 7 x 2 60 y 20 xy 32 y 2 0 7 x 2 20 xy 32 y 2 66 x 60 y 9 0 (A = 7, B = 10, C = -32, D = -33, E = 30, F = -9) Выясним сначала, какая кривая – распадающаяся на пару прямых или нераспадающаяся. Признак распадения: A B D B C D E 7 E 0 F 10 33 10 32 30 7(288 900) 10(90 990) 33(300 1056) 24948 0 33 30 9 Следовательно, у нас нераспадающаяся линия второго порядка – эллипс, гипербола или парабола: A B 0 - парабола, - при B C A B 0 - эллипс, - при B C A B 0 - гипербола. - при B C 7 10 224 100 324 0 , следовательно, наша кривая – гипербола. 10 32 Найдем центр гиперболы Ax0 By 0 D 0; A B 0 Bx Cy E 0 , B C 0 0 D B 33 10 E C 30 32 1056 300 756 189 19 x0 2 A B 324 324 324 81 81 B C A D 7 33 B E 10 30 210 330 540 135 54 y0 1 A B 324 324 324 81 81 B C 19 54 Центр гиперболы О’ ( 2 ; 1 ). 81 81 1 Найдем канонический вид кривой. Чтобы упростить преобразования, совершим перенос начала координат в центр гиперболы (исчезнут члены первой степени), а затем поворот осей (исчезнет член, содержащий xy). Угол поворота определяется по формуле: 2B tg 2 . AC 189 135 Переносим начало в центр x 0 . ; y0 81 81 С помощью формул переноса 189 x 81 x x x0 x y y0 y y 135 y 81 Получаем 2 2 189 189 135 135 189 135 7 x 20 x y 32 y 66 x 60 y 9 81 81 81 81 81 81 189 35721 378 25515 135 18225 270 7 x x 2 20 x y x y 32 y y2 81 81 81 81 6561 6561 6561 12474 8100 250047 2646 510300 2700 3780 66 x 60 y 9 x 7 x 2 x y 20 x y 81 81 6561 81 6561 81 81 583200 8640 4374 2646 2700 y 32 y 2 66 x 60 y 9 7 x 2 20 x y 32 y 2 x 66 6561 81 81 81 81 3780 8640 250047 510300 583200 4374 y 60 9 81 6561 6561 6561 8 81 7 x 2 20 x y 32 y 2 0 x 0 y 36 7 x 2 20 xy 32 y 2 36 0 Формулы поворота x x cos y sin y x sin y cos 2B 20 tg 2 . A C 39 1 cos 2 1 tg 2 2 1 cos 2 sin 2 cos 1 cos 2 2 1 1 1 1 400 1521 39 1921 2 (*) 1 1921 1521 1521 39 1921 1921 1921 39 2 1921 1 39 2 2 1921 1 39 2 2 1921 39 1921 2 1921 39 2 1921 Формулы преобразования принимают вид: 2 1 39 x x 2 2 1921 y 1 39 x 2 2 1921 1 39 y 2 2 1921 1 39 y 2 2 1921 Для удобства вычислений, пусть a 1 39 ; b 2 2 1921 1 39 . 2 2 1921 Подставим в (*) 7ax by 20ax by bx ay 32bx ay 36 2 2 64ab y 7b 7 a 2 x 2 2abx y b 2 y 2 20 abx 2 a 2 x y b 2 x y aby 2 32 b 2 x 2 2abx y a 2 y 2 36 x 2 7a 2 20ab 32b 2 x y 14ab 20a 2 20b 2 2 2 (**) 20ab 32a 2 36 Для удобства вычислим отдельно коэффициенты при x 2 , y 2 . Коэффициент при xy равен 0. Коэффициент при x 2 : 2 2 1 1 39 1 39 1 39 39 20 7 a 20ab 32b 7 32 2 2 1921 2 2 2 2 1921 2 1921 2 1921 2 2 1 39 7 20 2 2 1921 1 1 39 1 39 39 32 2 2 1921 2 2 1921 2 2 1921 7 7 39 1 39 39 32 39 39 39 400 25 1921 25 20 16 2 2 1921 4 4 1921 2 1921 2 1921 2 1921 2 2 1921 2 1921 25 2 Коэффициент при y 2 : 2 2 1 1 39 1 39 1 39 39 20 7b 20ab 32a 7 32 2 2 2 2 2 1921 2 1921 2 1921 2 1921 2 2 1 39 7 20 2 2 1921 1 1 39 1 39 39 32 2 2 1921 2 2 1921 2 2 1921 7 7 39 1 39 39 32 39 39 39 400 25 1921 25 20 16 2 2 1921 4 4 1921 2 1921 2 1921 2 1921 2 2 1921 2 1921 25 2 Подставим в (**) и получим 1921 25 2 1921 25 2 x y 36 2 2 1921 25 2 1921 25 2 x y 1 72 72 3 x2 72 1921 25 a2 b2 y2 72 1 - канонический вид кривой второго порядка. 1921 25 72 1921 25 72 3,82; a 1,96. 1,05; b 1,02. 1921 25 c 2 a 2 b 2 3,82 1,05 4,87; c 2,21. 2c – фокусное расстояние. Постоим график кривой x2 72 1921 25 y2 72 1. 1921 25 4