Классификация плоских и пространственных кривых линий

1. Кривые линии
1.1. Общие сведения о кривых линиях
Кривая линия – это линия, не имеющая прямолинейных отрезков.
Кривую линию можно рассматривать как траекторию движущейся в
пространстве или на плоскости точки. Кривая линия может являться
результатом пересечения между собой поверхностей или поверхности и
плоскости.
Все кривые линии можно разделить на плоские и пространственные.
Кривая линия называется плоской, если все точки линии лежат в одной
плоскости, в противном случае она называется пространственной.
Определение вида кривой линии графическим методом приведено на
рис. 1.
Рис. 1. Определение вида кривой линии:
а) пространственная кривая линия; б) плоская кривая линия
Если одной из проекций кривой линии является прямая (рис. 1б), то
можно заключить, что кривая линия лежит в проецирующей плоскости и,
соответственно, является плоской. В случаях, когда обе проекции кривой
кривые линии (рис. 1а), необходимо её пересечь двумя секущими линиями
(AC и BD) и проанализировать взаимное положение этих секущих. Если
секущие являются пересекающимися прямыми, то кривая линия является
плоской, если скрещивающимися прямыми, то пространственной. На рис. 1а
секущие линии являются скрещивающими, что можно определить методом
конкурирующих точек (3, 4 и 1, 2), следовательно, кривая линия,
изображенная на рис. 1а, является пространственной.
Различают закономерные (аналитические) и незакономерные
графические) кривые линии. Кривая линия считается закономерной, если
в своем образовании она подчиняется какому-либо геометрическому закону.
Закономерные кривые линии делятся на алгебраические, определяемые
алгебраическими уравнениями, и трансцендентные, определяемые
трансцендентными уравнениями.
Важной характеристикой кривой линии является ее порядок. Порядок
алгебраической кривой линии определяется степенью ее уравнения. Также
порядок кривой линии можно определить геометрическими методами. Для
плоской кривой порядок равняется максимальному числу точек пересечения
её с прямой линией. Для пространственной кривой линии порядок равняется
максимальному числу точек пересечения её с произвольной плоскостью.
Определение
порядка
проиллюстрировано на рис.2.
некоторых
плоских
кривых
Рис. 2. Определение порядка кривой линии:
а) параболы; б) декартова листа; в) лемнискаты Бернулли
линий
Классификация плоских и пространственных кривых линий на
основании их порядка и геометрического закона, которым они заданы,
приведена на рис. 3, 4.
Плоские кривые линии
Алгебраические
Трансцендентные
Линии второго
порядка
Линии третьего
порядка
- Эллипс
- Гипербола
- Парабола и др.
- Декартов лист
- Строфоида
- Циссоида
Диоклеса и др.
Линии четвертого
порядка
- Декартов овал
- Улитка Паскаля
- Лемниската
Бернулли
- Кардиоида и
другие
Линии высших
порядков
- Кривая Ламе
- Астроида и
другие
Спирали
Циклические
кривые линии
- Архимедова
спираль
- Спираль
Галилея
- Спираль Ферма
и др.
Графики
показательной и
логарифмической
функций
- Циклоида
- Трохоида и др.
Графики
тригонометрических
функций
Рис. 3. Классификация плоских кривых линий
Пространственные
кривые линии
Цилиндрическая
винтовая линия
Коническая
винтовая линия
Сферическая
винтовая линия
Глобоидная
винтовая линия
Рис. 4. Классификация пространственных кривых линий
Особый класс кривых линий составляют линии, произведенные от
других, то есть полученные от исходных линий путем некоторых
построений. Основные типы плоских кривых линий приведены на рис. 5.
Рис. 5. Плоские кривые линии:
а) эллипс; б) циссоида Диоклеса; в) декартов лист; г) спираль Архимеда; д)
синусоида; е) циклоида; ж) лемниската Бернулли; и) парабола; к) гипербола
Основные типы пространственных кривых линий приведены на рис.6.
Рис.6 Пространственные кривые линии:
а) цилиндрическая винтовая линия; б) коническая винтовая линия
1.2. Определение длины кривой линии
Длина некоторых кривых линий может быть определены путем
алгебраических вычислений (например, длина окружности или виток
цилиндрической винтовой линии). Для определения длины произвольной
кривой линии существует общий графический приближенный метод,
основанный на замене кривой линии ломаной, вписанной в эту кривую, и
измерении длин звеньев этой ломанной линии. Применение этого метода
продемонстрировано на рис. 7.
Рис. 7. Определение длины кривой линии
Кривая AB разбивается на малые участки точками 1, 2, 3…6. После
чего эти точки последовательно соединяются между собой отрезками. Если
получившиеся отрезки значительно расходятся с дугами кривой, то
необходимо разбить кривую линию на большее количество участков. Чем
меньше отрезки расходятся с кривой линией, тем меньше ошибка при
определении ее длины. Затем горизонтальная проекция ломанной
A1112131415161 B1
разворачивается
A11111211311411511611 B11 .
Из
точек
в
горизонтальную
A11,111 ,211 ,311 ,411 ,511 ,611 ,B11
прямую
проводятся
вертикальные линии связи, а из точек A2 ,12 ,2 2 ,32 ,4 2 ,52 ,6 2 , B2 горизонтальные
линии связи. На пересечение соответствующих линий связи отмечают точки
A12 ,112 ,212 ,312 ,412 ,512 ,612 ,B12 , последовательно соединив которые, получается
ломанная, длина которой приближенно равна длине кривой. Для удобства
можно развернуть ломанную A12112 212312 412512612 B12 в горизонтальную
прямую A010 2 030 4 050 6 0 B0 .
1.3. Секущая, касательная и нормаль к кривым линиям. Особые
точки
Секущая это прямая, пересекающая кривую линию в двух и более
точках.
Касательная к кривой линии – это прямая, имеющая с плоской или
пространственной кривой линией одну общую точку и представляющая
собой предельное положение секущей прямой. Общую точку принято
называть точкой касания. Кривые линии имеют определенную касательную
во всех точках, однако не у всякой непрерывной кривой во всех точках
имеется одна касательная.
Нормаль это прямая, перпендикулярная к касательной и проходящая
через точку касания. Для плоской кривой линии к каждой её точке можно
провести только одну нормаль. К каждой точке пространственной кривой
линии может быть проведено бесчисленное множество нормалей. Поэтому
для пространственной кривой линии вводят также понятие нормальной
плоскости.
Приведенные выше определения проиллюстрированы на рис. 8.
Рис. 8. Секущая, касательная, нормаль:
d – кривая линия; m – секущая; t – касательная; n – нормаль
Для некоторых кривых известны точные способы построения
касательной. Например, известно, что касательная к окружности
перпендикулярна её радиусу, проведенному из точки касания. Кроме точных
способов существуют также приближенные способы построения касательных
к плоским кривым линиям произвольного вида.
Приближенное построение касательной t и нормали n к плоской
кривой d в её произвольной точке K приведено на рис. 9.
Рис. 9. Приближенное построение касательной и нормали к плоской кривой
Сначала
проводится
вспомогательная
прямая
f
примерно
перпендикулярно к предполагаемому направлению касательной. Затем из
точки K проводятся несколько секущих прямых (чем больше, тем меньше
ошибка при построении касательной), пересекающих кривую d и
вспомогательную прямую f . После чего отмечают точки пересечения
секущих с кривой линией A, B,C, D, E, F , а также точки пересечения секущих
с вспомогательной прямой A0 , B0 , C0 , D0 , E0 , F0 . Из точек пересечения
секущих прямых и вспомогательной прямой проводят отрезки, длины
которых равны A0 A01  AK , B0 B01  BK , …, F0 F01  FK . Получившиеся
точки A01 , B01 , …, F01 соединяют плавной кривой линией. В месте, где эта
линия пересекает вспомогательную прямую, отмечают точку K 0 . Соединив
точки K и K 0 , получают прямую, касательную к кривой d в точке K .
Чтобы построить нормаль n необходимо из точки K провести прямую,
перпендикулярную к касательной KK 0 .
Отклонение кривой линии в некоторой её точке от прямой, являющейся
касательной к кривой в этой точке, характеризуется кривизной.
Средней кривизной дуги является отношение величины угла между
касательными, проведенными в точках начала и конца дуги к длине дуги.
Определение проиллюстрировано на рис. 10.
Рис. 10. Средняя кривизна дуги:
d - кривая линия; K1 , K 2 – точки начала и конца дуги соответственно; t1 , t 2
– касательные в точках начала и конца дуги соответственно;  - угол между
касательными
Кривизной плоской кривой k в какой-либо её точке A1 считается
предел, к которому стремится отношение угла между касательными,
проведенными в точке A1 и соседней с ней точке A2 , к дуге A1 A2 , если точка
A2 стремится к A1 :
lim
1

k
A1 A2
Также выделяют термин радиус кривизны.
Радиус кривизны кривой в данной точке r – это величина обратная
кривизне кривой в этой точке.
k
1
r
Для окружности радиус кривизны в любой её точке равен радиусу этой
окружности.
Центр кривизны кривой в какой-либо её точке – центр окружности,
проходящей через эту точку и две соседние точки кривой, стремящиеся к
этой точке.
Приближенное построение центра кривизны кривой линии d
некоторой её точке K показано на рис. 11.
в
Рис. 11. Построение центра кривизны кривой линии
Сначала на кривой d вблизи точки K отмечают точки A1 , A2 , A3 , A4 .
В каждой из этих точек, а также в точке K проводят касательные к кривой
линии. Построение касательной приближенным графическим методом
рассмотрено на рис. 9. На каждой из касательных откладывают
произвольные, но равные расстояния A1 A5  A2 A6  A3 A7  A4 A8  KK1 . Через
получившиеся точки проводят плавную кривую линию d1 и строят к этой
кривой линии касательную в точке K1 . После чего к касательным,
проведенным из точек K и K1 , строят нормали n и n1 соответственно. Точка
пересечения нормалей является искомым центром кривизны кривой линии d
в точке K . Зная центр кривизны, можно определить радиус кривизны,
который равен OK , и кривизну кривой линии в точке K , которая равна
1
OK
.
1.4. Особые точки кривой линии
Направление движения точки, перемещающейся по плоской кривой,
определяется положением касательной. Точки, в которых меняется
направление касательной, называются особыми точками кривой линии.
Кривая линия в особой точке может иметь одну или несколько касательных.
Особые точки, в которых кривая имеет одну касательную, могут быть
следующих видов (см. рис. 12):
 точка перегиба, в которой кривая пересекает касательную;
 точка возврата первого рода (“острие”), в которой кривая
изменяет свое направление и располагается по обе стороны
касательной;
 точка возврата второго рода (“клюв”), в которой кривая изменяет
свое направление, но остается расположенной по одну сторону от
касательной.
Рис. 12. Особые точки, в которых кривая имеет одну касательную:
а) точка перегиба; б) точка возврата первого рода; в) точка возврата второго
рода
Особые точки, в которых кривая имеет две касательные, могут быть
следующих видов (см. рис. 13):
 точка излома (или угловая точка) – точка, в которой направление
касательной меняется скачком;
 узловая точка – точка самопересечения кривой линии, в которой
касательные, проведенные к различным ветвям кривой линии, не
совпадают;
 точка самоприкосновения, в которой кривая линия встречает
саму себя, и касательные, проведенные к различным ветвям
кривой линии, совпадают.
Рис. 13. Особые точки, в которых кривая имеет две касательные:
а) точка излома; б) узловая точка
1.5. Проекционные свойства кривых линий
Отметим следующие основные проекционные свойства кривых линий:
 плоская кривая линия в общем случае проецируется в виде кривой;
 секущая к плоской кривой проецируется в секущую к проекции
кривой;
 касательная к плоской кривой проецируется в касательную к
проекции кривой;
 число точек пересечения плоских кривых равно числу точек
пересечения их проекций;
 порядок плоской кривой при проецировании не изменяется (эллипс
проецируется в эллипс или окружность, окружность проецируется в
окружность или эллипс, парабола и гипербола – в самих себя);
 если направление проецирования параллельно плоскости плоской
кривой, то она проецируется в прямолинейную линию;
 проекцией пространственной кривой линии является плоская кривая
линия.
Проекционные свойства плоских кривых линий проиллюстрированы на
рис. 14.
Рис. 14. Проекционные свойства плоских кривых линий:
d – плоская кривая линия; d1 – проекция плоской кривой линии на
плоскость проекций 1 ; m – секущая; m1 – проекция секущей; t –
касательная; t1 – проекция касательной; K – точка касания;
K1
– проекция
точки касания;  0 – плоскость, в которой лежит плоская кривая линия
Подробнее остановимся на построении и основных свойствах наиболее
часто встречающихся в начертательной геометрии и машиностроительном
черчении плоских и пространственных кривых.
1.6. Комплексные чертежи плоских кривых
1.6.1. Эллипс
Эллипсом называется плоская замкнутая кривая линия, образуемая
при пересечении прямого кругового цилиндра или прямого кругового конуса
плоскостью, наклоненной к их оси и пересекающей все образующие этого
цилиндра или конуса.
Способы образования эллипса приведены на рис. 15.
Рис. 15. Образование эллипса:
а) при пересечении цилиндра; б) при пересечении конуса.
Общий вид эллипса приведен на рис.16.
Рис.16 Общий вид эллипса
Отрезки прямой, лежащие на осях симметрии эллипса A1 A2 2a  и
B1B2 2b  , называются осями эллипса, а концы этих отрезков A1 , A2 , B1 , B2 -
вершинами эллипса. Различают большую ось эллипса A1 A2 2a  и малую ось
эллипса B1B2 2b  . Большая и малая ось эллипса взаимно перпендикулярны и
пересекаются в точке O , которая называется центром эллипса.
Отношение b / a  1 отражает форму эллипса и называется
коэффициентом сжатия. При a  b фокусы эллипса совпадают, и он
обращается в окружность, которую можно рассматривать как частный случай
эллипса.
Точки F1 , F2 называются фокусами эллипса и лежат на большой оси
эллипса на расстоянии от концов малой оси B1, B2 , равном половине большой
оси
A1 A2 . Отрезок прямой между двумя точками эллипса
M 1, M 2 ,
проходящий через его центр, называется диаметром эллипса. Отрезки,
соединяющие фокусы с точками эллипса r1 ,r2 , называются радиус-векторами.
Уравнение эллипса в декартовой системе координат имеет вид:
x2 y 2
 1
a 2 b2
Для каждой из точек эллипса справедливо равенство:
r1  r2  2a
Эллипс может быть построен одним из следующих способов:
 построение эллипса по двум осям с использованием фокусов;
 построение эллипса по двум осям с использованием
вспомогательных окружностей;
 построение эллипса по сопряженным диаметрам.
Построение эллипса по двум осям с использованием вспомогательных
окружностей приведено на рис. 17.
Рис. 17. Построение эллипса
Для построения эллипса данным способом необходимо знать длину
большой и малой осей эллипса, а также их расположение. Сначала на
большой и малой осях эллипса отмечают вершины A, B, C, D и в месте
пересечения осей отмечают точку O – центр эллипса. Затем проводят из
центра эллипса две окружности. Диаметр первой окружности равен длине
большой оси, а диаметр второй окружности равен длине малой оси. Из
центра эллипса проводят ряд отрезков O11, O 21,...,O121 до пересечения с
окружностью большего диаметра и отмечают точки пересечения этих
отрезков 12 ,22 ,...,12 2 с окружностью меньшего диаметра. Затем из точек
12 ,22 ,...,12 2 проводят линии, параллельные большой оси эллипса, а из точек
11,21,...,121 линии, параллельные малой оси эллипса. В местах пересечения
этих линий отмечают точки 1,2,...,12 . Соединив последовательно полученные
точки 1,2,...,12 и вершины эллипса A, B, C, D плавной кривой, получают
эллипс.
Свойства проекций эллипса:
 эллипс, плоскость которого параллельна плоскости проекций,
проецируется на эту плоскость в натуральную величину;
 эллипс, плоскость которого перпендикулярна плоскости
проекций, проецируется на эту плоскость в виде отрезка;
 если эллипс расположен в плоскости общего положения, то на
все три плоскости проекций он проецируется в виде эллипса;
 если плоскость эллипса находится в плоскости общего
положения, а большая ось эллипса принадлежит линии
наибольшего наклона к плоскости проекций и составляет с этой
  arccosb / a  , то эллипс
плоскостью угол, равный
проецируется в окружность.
1.6.2. Парабола
Парабола – это линия пересечения прямого кругового конуса
плоскостью, не проходящей через вершину конуса и параллельной одной из
его образующих.
Образование параболы приведено на рис. 18.
Рис. 18. Образование параболы
Общий вид и элементы параболы приведены на рис. 19.
Рис. 19. Общий вид и элементы параболы.
Парабола состоит из одной ветви симметричной относительно оси.
Точка O называется вершиной параболы, точка F – фокусом, прямая t –
директрисой. Вершина параболы равно удалена от директрисы и от фокуса.
Расстояние p от фокуса до директрисы называется фокальным параметром.
Расстояние от произвольной точки параболы до её фокуса равно расстоянию
от этой же точки до директрисы.
Уравнение параболы в декартовой системе координат имеет вид:
y   2 px
Парабола может быть построена одним из следующих способов:
 построение параболы по заданным вершине, оси и точке,
принадлежащей параболе;
 построение параболы по заданным фокусу и директрисе;
 построение параболы по заданным вершине, оси и хорде;
 построение параболы, касательной к двум известным прямым.
Рассмотрим построение параболы по заданным вершине, оси и хорде.
Построение приведено на рис. 20.
Рис. 20. Построение параболы
Сначала отмечают точку пересечения оси параболы и хорды BC . На
рис. 20 эта точка обозначена A . Отрезок оси OA делят на произвольное
количество равных частей (чем больше частей, тем точнее будет построена
парабола) O1,12,...,5 A . Из точек 1,2,...,5 проводят отрезки параллельно OB до
пересечения с хордой BC и отмечают точки пересечения 11 ,21 ,...,51 . Из этих
точек проводят линии параллельно оси параболы, также проводят линии,
соединяющие точку C с точками на оси 1,2,...,5 . В местах пересечения этих
линий отмечают точки 10 ,20 ,...,50 . Соединяя эти точки, вершину параболы O
и точку B гладкой кривой линией, получают половину параболы,
аналогично строят вторую половину.
Важной задачей является определение фокуса и директрисы уже
построенной (заданной) параболы. Построение фокуса и директрисы
параболы приведено на рис. 21.
Рис.21 Построение фокуса и директрисы параболы.
Сначала на параболе BOC выбирают некоторую точку M . Из точки
M проводят перпендикуляр к оси параболы. Точку пересечения обозначают
M 0 . Через вершину параболы O проводят прямую p перпендикулярную оси
параболы. Строят точку K , которая симметрична точке M 0 относительно
прямой p . Прямая MK является касательной к параболе в точке M . В
месте пересечения прямых MK и p отмечают точку P . Из точки P
проводят перпендикуляр к касательной MK . Точка пересечения
перпендикуляра с осью параболы F является фокусом. Для построения
директрисы необходимо провести прямую из точки M параллельную оси
параболы. В месте пересечения этой прямой и прямой PF отмечают точку
D . Прямая d , проведенная через точку D перпендикулярно оси параболы,
называется директрисой.
1.6.3. Гипербола
Гипербола – это линия пересечения прямого кругового конуса
плоскостью, не проходящей через вершину конуса и параллельной двум его
образующим.
Образование гиперболы приведено на рис. 22.
Рис. 22. Образование гиперболы
Общий вид и элементы гиперболы приведены на рис.23.
Рис. 23. Общий вид и элементы гиперболы
Гипербола состоит из двух ветвей d1 и d 2 . Точки F1 и F2 называются
фокусами гиперболы, а точки
A1 и
A2
её вершинами. Ось
x –
действительная ось гиперболы, ось y – мнимая ось гиперболы. Разность
расстояний от любой точки гиперболы до двух её фокусов – есть величина
постоянная, равная расстоянию между вершинами гиперболы.
Уравнение гиперболы в декартовой системе координат имеет вид:
y
b 2 2
x a ,
a
где a – половина расстояния между вершинами гиперболы;
b  c2  a2 ,
где c – половина расстояния между фокусами гиперболы.
Прямые t1 и t 2 , к которым ветви гиперболы неограниченно
приближаются при удалении в бесконечность, называются асимптотами
гиперболы.
Гипербола может быть построена одним из следующих способов:
 построение гиперболы по заданным вершине, фокусу и мнимой
оси;
 построение гиперболы по заданному направлению асимптот и
точке, ей принадлежащей;
 построение гиперболы по заданной вершине, оси и точке,
принадлежащей гиперболе.
Построение гиперболы по заданной вершине A , оси и точке C ,
принадлежащей гиперболе, приведено на рис. 24.
Рис. 24. Построение гиперболы
Сначала из точки C проводят перпендикуляр CB к оси гиперболы. На
точках A, B, C строят прямоугольник ABCD . Стороны прямоугольника CB
и
делят
на
равное
количество
частей
точками
CD
11,21,31,41,51 ,12 ,2 2 ,32 ,4 2 ,52 . На оси гиперболы симметрично точке B
относительно отрезка AD откладывают точку O . Из точки O проводят
отрезки O12 , O 22 ,...,O52 , а из точки A проводят отрезки A11 , A21 ,..., A51 . На
пересечении соответствующих отрезков отмечают точки 1,2,...,5 . Соединяя
последовательно вершину гиперболы A , полученные точки 1,2,...,5 и точку
С гладкой кривой линии, получают половину одной ветви гиперболы.
Вторая половина симметрична относительно оси и строится аналогично.
1.7. Комплексные чертежи пространственных кривых
1.7.1. Винтовые линии
Винтовой линией называется пространственная кривая линия,
являющаяся траекторией точки, которая равномерно вращается вокруг
неподвижной прямой (оси винтовой линии) и одновременно перемещается
поступательно вдоль этой оси.
Винтовые линии подразделяются на левые и правые, на однозаходные
и многозаходные, с постоянным и переменным шагом.
Направление винтовой линии определяется в зависимости от
направления движения точки по образующей поверхности. Если точка,
поднимаясь от нижней части поверхности к верхней, движется против
часовой стрелке (смотря сверху) – винтовая линия называется правой, в
противном случае левой.
На однозаходные и многозаходные винтовые линии подразделяются в
зависимости от количества точек, которые начинают свое движение
одновременно по поверхности цилиндра или конуса с его торца. При
движении одной точки винтовая линия называется однозаходной.
Различают следующие основные типы винтовых линий, приведенных
на рис. 25:
 Цилиндрическая винтовая линия. Образуется при движении
точки по поверхности кругового цилиндра.
 Коническая винтовая линия. Образуется при движении точки по
поверхности кругового конуса.
 Глобоидная винтовая линия. Образуется движением точки,
которая перемещается по поверхности глобоида (тела,
ограниченного при вращении дуги окружности).
Рис.25 Виды винтовых линий:
а) правая цилиндрическая винтовая линия; б) левая цилиндрическая винтовая
линия; в) правая коническая винтовая линия; г) левая коническая винтовая
линия.
Общий вид цилиндрической винтовой линии приведен на рис. 26.
Рис.26 Общий вид цилиндрической винтовой линии.
Шагом винтовой линии h называется величина перемещения точки
вдоль оси винтовой линии, соответствующая одному её полному обороту.
Витком винтовой линии называется длина дуги, соответствующая
полному обороту точки вокруг оси винтовой линии.
Угол подъема винтовой линии  – угол наклона касательной,
проведенной в некоторой точке винтовой линии к плоскости,
перпендикулярной оси.
Для того чтобы построить цилиндрическую винтовую линию
необходимо знать её параметры: диаметр цилиндра D и размер шага h .
Горизонтальная проекция точки, образующей цилиндрическую винтовую
линию перемещается по окружности, а фронтальная по синусоиде.
Построение правой цилиндрической винтовой линии приведено на
рис. 27.
Сначала строят горизонтальную и фронтальную проекцию прямого
кругового цилиндра. Окружность основания цилиндра (на горизонтальной
проекции) и шаг (отрезок длиной h на фронтальной проекции) разбивают на
одинаковое количество частей. На рис. 27 разбиение произведено на 12
частей. После разбиения на окружности отмечают точки A11 , A21 ,..., A121 .
Если необходимо построить правую винтовую линию, то нумерацию точек
необходимо вести против часовой стрелки, если левую винтовую линию, то
по часовой стрелки.
На фронтальной проекции линии разделения отмечены цифрами
1,2...,12 . Из точек A11 , A21 ,..., A121 проводят линии связи до пересечения с
прямыми
1,2...,12
и
отмечают точки
Последовательно соединяя эти
цилиндрическую винтовую линию.
точки
пересечения
плавной
A12 , A2 2 ,..., A12 2 .
кривой,
получают
Построение развертки цилиндрической винтовой линии приведено на
рис. 27 справа. По горизонтали откладывают отрезок длиной D и
разделяют его на тоже количество частей, что и окружность на
горизонтальной проекции. Линии разбиения обозначены 10 ,2 0...,12 0 . В месте
пересечения линий 1,2...,12 и 10 ,2 0...,12 0 отмечают точки A1, A2,..., A12 .
Соединяя эти точки, получают отрезок A1A12 , который и является
разверткой цилиндрической винтовой линии. По развертке винтовой линии
можно определить угол её подъема – это угол наклона отрезка A1A12 к
горизонтальной линии.
Рис. 27. Построение цилиндрической винтовой линии и её развертки.
2. Поверхности
2.1. Общие сведения о поверхностях
Поверхность – общая часть двух смежных областей пространства.
Общий вид поверхности приведен на рис. 28.
Рис. 28. Общий вид поверхностей:
а) многогранная поверхность; б) кривая поверхность
Поверхность может быть задана одним из следующих способов:
 кинематически, то есть, как множество последовательных
положений движущейся линии;
 аналитически, то есть, описана математическим уравнением.
Если это уравнение является алгебраическим уравнением степени
n , то поверхность называется алгебраической поверхностью n-го
порядка. Если уравнение, описывающее поверхность, является
трансцендентным,
т.е.
содержащим
показательную,
логарифмическую или тригонометрическую функции, то
поверхность называется трансцендентной;
 каркасным способом, который используется при задании
сложных поверхностей.
Начертательная геометрия изучает кинематические способы
образования и задания поверхностей. Поверхности, заданные таким
способом, называются кинематическими. Линия, движущиеся в пространстве
и образующая поверхность, называется образующей. Как правило,
образующая движется по второй линии, которая называется направляющей.
Одна и та же кривая поверхность может быть образована перемещением
различных линий и согласно разным условиям. Например, прямой круговой
цилиндр можно рассматривать как поверхность вращения, образуемую при
вращении прямой вокруг параллельной ей оси и как поверхность переноса,
образуемую в
окружности.
результате
непрерывного
поступательного
движения
Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит какой-нибудь
линии, принадлежащей поверхности. Линия принадлежит поверхности, если
она проходит через точки, принадлежащие поверхности.
Поверхность на чертеже может быть задана проекциями очерка или
проекциями геометрической части своего определителя. Очерком
поверхности называются линии, которые ограничивают области ее проекций.
Определителем
поверхности
называется
совокупность
элементов
поверхности, которые позволяют построить каждую её точку.
Определитель поверхности состоит из двух частей:
 геометрическая часть – совокупность геометрических фигур с
помощью которых образуется поверхность;
 алгоритмическая часть – алгоритм формирования поверхности из
фигур, входящих в геометрическую часть.
Пример задания на чертеже кривой поверхности проекциями очерка
приведен на рис. 29.
Рис. 29. Комплексный чертеж кривой поверхности
Данная поверхность образована при движении образующей AB на
расстояние l по направлению s .
2.2. Классификация поверхностей
Поверхности можно разделить на несколько классов в зависимости от
формы образующей, от формы, числа и расположения направляющих, а
также других факторов:
1. Поверхности закономерные и незакономерные.
Если образующая поверхности движется по определенному закону, то
поверхность называется закономерной или правильной, в противном случае
поверхность называется незакономерной.
2. Поверхности линейчатые и нелинейчатые.
Поверхность называется линейчатой, если она может быть образована
перемещением прямой линии.
3. Поверхности развертывающиеся и неразвертывающиеся.
Развертывающиеся поверхности – поверхности, которые после разреза
их по образующей могут быть односторонне совмещены с плоскостью без
наличия разрывов и складок.
Неразвертывающиеся поверхности – поверхности, которые не могут
быть совмещены с плоскостью без наличия разрывов и складок.
4. Поверхности с образующей постоянной формы и поверхности с
образующей переменной формы.
5. Поверхности с поступательным, вращательным или винтовым
движением образующей.
Достаточно полная классификация поверхностей приведена на рис. 30.
Поверхности
Линейчатые
Линейчатые
винтовые
поверхности
Вращения
Циклические
(трубчатые)
Циклические
(каналовые)
Графические
Поверхность цилиндрических
пружин, изогнутых труб и др.
Поверхность труб переменного
сечения и др.
Поверхность земли, фюзеляжа
самолета
Цилиндроид,
коноид,
косая плоскость,
косой цилиндр
С переменной образующей
Сфера, тор,
эллипсоид,
параболоид
Торсовые
С постоянной образующей
Геликоиды
Гранные
С 2-мя или 3мя
направляющ
ими
Конические,
цилиндрические,
торсовые
Неразвертывающиеся
Пирамидальные,
призматические
Развертывающиеся
Нелинейчатые
Рис. 30. Классификация поверхностей
В дальнейшем рассмотрим лишь основные (часто встречающиеся)
поверхности.
2.3. Гранные поверхности
Гранной поверхностью называется поверхность, образованная
перемещением прямолинейной образующей по ломанной направляющей.
Классификация гранных поверхностей приведена на рис. 31.
Рис. 31. Классификация гранных поверхностей
Общий вид незамкнутых гранных поверхностей приведен на рис. 32.
Рис. 32 Общий вид гранных поверхностей:
а) призматической; б) пирамидальной
Для пирамидальной поверхностей характерно, что все её образующие l
проходят через некоторую неподвижную точку S . Определителем
пирамидальной поверхности является ломанная направляющая m и точка S .
Для призматической поверхностей характерно, что все её образующие
l проходят параллельно некоторому заданному направлению s .
Определителем
призматической
поверхности
является
ломанная
направляющая m и направление s . Если образующие призматической
поверхности перпендикулярны плоскости проекций, то такую поверхность
называют проецирующей.
2.4. Торсовые
Выделяют следующие торсовые поверхности:
 цилиндрическая поверхность;
 коническая поверхность;
 поверхность с ребром возврата.
Цилиндрическая
поверхность
образуется
прямой
линией,
сохраняющей во всех своих положениях параллельность некоторой заданной
прямой линии и проходящей последовательно через все точки некоторой
кривой направляющей линии. Определителем цилиндрической поверхности
являются её направление и криволинейная направляющая.
Коническая поверхность образуется прямой линией, проходящей
через некоторую неподвижную точку и последовательно через все точки
некоторой кривой направляющей линии. Неподвижная точка называется
вершиной конической поверхности. Если вершину удалить в бесконечность,
то коническая поверхность превращается в цилиндрическую. Определителем
конической поверхности являются её вершина и криволинейная
направляющая.
Торс (поверхность с ребром возврата) кривая поверхность,
образуемая непрерывным движением прямой линии (образующей), во всех
своих положениях являющейся касательной к некоторой пространственной
кривой линии. Эту кривую линию называют ребром возврата.
Для задания поверхности с ребром возврата на ортогональном чертеже
необходимо задать проекции самого ребра возврата.
Общий вид конической и цилиндрической поверхности приведен на
рис. 33.
Рис. 33. Общий вид кривых поверхностей:
а) цилиндрической; б) конической.
m – направляющая кривой поверхности; l – образующая кривой
поверхности; S – вершина конической поверхности; s – направление
цилиндрической поверхности; K – точка, принадлежащая кривой
поверхности
В зависимости от вида направляющей линии можно выделить
следующие основные типы цилиндрических и конических поверхностей,
приведенных на рис. 34 и рис. 35:
 Эллиптическая цилиндрическая или коническая поверхность.
Направляющая данной поверхности представляет собой эллипс.
Частным случаем эллиптической поверхности является круговая
поверхность, когда направляющей является окружность.
 Гиперболическая цилиндрическая или коническая поверхность.
Направляющая данной поверхности представляет собой
гиперболу.
 Параболическая цилиндрическая или коническая поверхность.
Направляющая данной поверхности представляет собой
параболу.
Рис. 34. Типы цилиндрических поверхностей:
а) эллиптическая цилиндрическая поверхность; б) гиперболическая
цилиндрическая поверхность; в) параболическая цилиндрическая
поверхность
Рис. 35. Типы конических поверхностей:
а) эллиптическая коническая поверхность; б) гиперболическая коническая
поверхность; в) параболическая коническая поверхность
Важной задачей в начертательной геометрии является нахождение
недостающих проекций точек, принадлежащих кривой поверхности, по
одной заданной проекции. Построение горизонтальных проекций точек
A1, B1 , принадлежащих цилиндрической поверхности по заданным
фронтальным проекциям A2 , B2 , приведено на рис. 36.
Рис. 36. Построение недостающих проекций точек на цилиндрической
поверхности
Цилиндрическая поверхность задана проекциями направляющих
m11, m21, m12 , m22 и проекциями образующей l1,l2 . Известны горизонтальные
проекции точек A и B , принадлежащих поверхности. Необходимо
определить фронтальные проекции этих точек.
Горизонтальная проекция точки A лежит на горизонтальной проекции
направляющей m2 . Соответственно для определения горизонтальной
проекции точки A достаточно провести линию связи из точки A1 до
пересечения с фронтальной проекцией направляющей m2 . Для определения
фронтальной проекции точки B1 необходимо через горизонтальную
проекцию этой точки провести образующую с1 . Исходя из определения
цилиндрической поверхности, данная образующая будет параллельна
образующей l1 . В месте пересечения линии с1 и m11 отмечают точку K1 .
Исходя из принадлежности точки K1 m11 , находят её фронтальную проекцию
K1 . Чтобы построить фронтальную проекцию образующей с , из этой точки
проводят линию параллельную фронтальной проекции образующей l . Затем
проводят линию связи из точки B1 до пересечения с фронтальной проекцией
образующей c2 . Полученная точка пересечения является фронтальной
проекцией B2 .
Аналогичным образом может быть построена недостающая проекция
точки на конической поверхности.
2.5. С 2-мя или 3-мя направляющими
Остановимся
параллелизма.
на
рассмотрение
поверхностей
с
плоскостью
Поверхностью с плоскостью параллелизма называется кривая
поверхность образуемая перемещением прямой линии (образующей),
параллельной во всех положениях некоторой плоскости (плоскости
параллелизма) и пересекающей две скрещивающиеся прямые или кривые
линии (направляющие).
Выделяют следующие поверхности с плоскостью параллелизма:
 цилиндроид, если направляющими являются две кривые линии;
 коноид, если одна направляющая кривая линия, а другая прямая;
 косая плоскость (гиперболический параболоид), если обе
направляющие прямые линии.
На чертеже поверхности с плоскостью параллелизма задаются
проекциями двух направляющих и проекциями плоскости параллелизма. За
плоскость параллелизма целесообразно принимать плоскость частного
положения или одну из плоскостей проекций.
На рис. 37 приведён пример чертежа цилиндроида, коноида и косой
плоскости.
Рис. 37. Общий вид поверхностей с плоскостью параллелизма:
а) цилиндроид; б) коноид; в) косая плоскость
Цилиндроид на рис. 37 а) задан проекциями двух кривых
направляющих линий a, b и следами f  , h плоскости параллелизма  .
Коноид на рис. 37 б) задан проекциями кривой a и прямой b направляющих
линий и следами f  , h плоскости параллелизма  . Косая поверхность на
рис. 37 в) задана проекциями двух прямых a, b направляющих линий и
следами f  , h плоскости параллелизма  . В данном случае плоскость
параллелизма является фронтально-проецирующей плоскостью. Так как
плоскость параллелизма является фронтально-проецирующей плоскостью, то
фронтальные проекции образующих A2 E2 , B2 F2 , C2G2 , D2 H 2 || f .
Всякая плоскость, параллельная плоскости параллелизма пересекает
цилиндроид, коноид и косую поверхность по прямой линии (образующей).
Это утверждение используется для определения неизвестных проекций точек
на поверхности цилиндроида, коноида и косой плоскости по одной заданной
проекции.
На рис. 38 приведен пример построения недостающих проекций точек
на поверхности с плоскостью параллелизма. Необходимо найти недостающие
проекции K1, C1, E2 по заданным K 2 , C2 , E1. Так как проекции точек K 2
лежат на известных проекциях на проекции направляющей a2 , то проекция
точки K1 будет лежать по линии связи на проекции направляющей a1 .
Аналогично находится проекция C1 . Нахождение проекции точки E
несколько сложнее. Чтобы найти фронтальную проекцию E2 , необходимо
через горизонтальную проекцию провести образующую. Так как плоскость
 горизонтально-проецирующая, то образующая проводится через точку
E1 || h . Затем находят фронтальную проекцию образующей, на которой по
линии связи будет лежать фронтальная проекция E2 .
Рис. 38. Построение недостающей проекции точки
2.6. Линейчатые винтовые поверхности
Линейчатые винтовые поверхности (геликоиды) образуются
движением прямой линии, которая скользит по двум направляющим: одна
винтовая линия, а другая её ось.
В зависимости от того пересекает образующая геликоида его ось или
нет геликоиды делятся на два типа:
 открытые – образующая не пересекает ось;
 закрытые – образующая пересекает ось.
В зависимости от угла между образующей геликоида и его осью
геликоиды делятся на два типа:
 прямые – угол между осью и образующей равен  90  ;
 наклонные – угол между осью и образующей равен  90  .
Общий вид геликоидов разных типов приведен на рис. 39.
Рис. 39. Общий вид геликоидов:
А) прямой закрытый геликоид; б) прямой открытый геликоид; в) наклонный
закрытый геликоид; г) наклонный открытый геликоид
Построение геликоида сводится к построению его образующих и
направляющих. Методику построения винтовой линии можно найти на
рис.27.
Построение точки, принадлежащей поверхности геликоида, приведено
на рис. 40.
Рис. 40. Построение точки, принадлежащей поверхности прямого геликоида
Задан прямой геликоид, на поверхности которого лежат точки K, L ,
заданные проекциями K 2 , L1 , необходимо достроить недостающие проекции.
Чтобы построить недостающую проекцию точки необходимо через
существующую проекцию провести образующую. Построим через
фронтальную проекцию K 2 образующую. Так как геликоид прямой, то
образующая будет  оси геликоида. Затем находят горизонтальную
проекцию образующей и по линии связи отмечают на ней горизонтальную
проекцию K1 . Для нахождения проекции L2 , через горизонтальную
проекцию проведём образующую OL2 . Находят фронтальную проекцию
образующей и по линии связи отмечают на ней фронтальную проекцию L2 .
2.7. Циклические поверхности
Циклической поверхностью называется кривая поверхность,
образуемая при произвольном перемещении окружности (образующей)
постоянного или переменного диаметра. Кривая линия, по которой
перемещается центр образующей окружности, называется направляющей.
Выделяют каналовые и трубчатые циклические поверхности.
Каналовой называется циклическая поверхность, плоскость
образующей постоянного диаметра которой в каждом положении 
направляющей линии.
Трубчатой
называется
циклическая
поверхность,
плоскость
образующей переменного диаметра которой, в каждом положении 
направляющей линии.
Примеры трубчатых и каналовых поверхностей приведены на рис. 41.
Рис. 41. Циклические поверхности:
а) трубчатая; б) каналовая
2.8. Поверхности вращения
Поверхностью вращения называется поверхность, описываемая
кривой (или прямой) образующей при ее вращении вокруг неподвижной оси.
Геометрическая часть определителя поверхности вращения включает в
себя положение и форму образующей, а также положение оси вращения.
Общий вид поверхности вращения приведен на рис. 42.
Рис.42 Общий вид поверхности вращения
Параллели – окружности, которые описывают точки образующей при
своем вращении вокруг оси. Параллели лежат в плоскости  оси вращения.
Наибольшая параллель называется экватором, наименьшая – горлом.
Плоскость, проходящая через ось вращения, называется меридиональной.
Линия её пересечения с поверхностью называется меридианом. Главным
меридианом называется линия пересечения тела вращения и
меридиональной плоскости ||  2 . Профильным меридианом называется
линия пересечения тела вращения и меридиональной плоскости ||  3 . Все
меридианы равны между собой.
Поверхности вращения можно классифицировать:
1. Поверхности вращения, образованные вращением прямой линии:
 Цилиндр вращения – поверхность, полученная вращением
прямой вокруг параллельной ей оси.
 Конус вращения – поверхность, образованная вращением
прямой вокруг пересекающейся с ней оси.
 Однополостный гиперболоид вращения – поверхность,
полученная вращением прямой вокруг скрещивающейся с ней
осью.
2. Поверхности вращения, образованные вращением окружности:
 Сфера – поверхность, полученная вращением окружности
вокруг её диаметра.
 Тор – поверхность, полученная вращением окружности
вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности, но не
проходящей через её центр.
Поверхность, образованная вращением окружности вокруг оси,
проходящей вне окружности, называется открытым тором. Поверхность,
образованная вращением окружности вокруг оси, касающейся окружности,
называется закрытым тором. Поверхность, образованная вращением
окружности вокруг оси, пересекающей окружность, называется
самопересекающимся тором.
3. Поверхности вращения, образованные вращением кривых
второго порядка:
 Эллипсоид вращения – поверхность, полученная
вращением эллипса вокруг оси.
Поверхность, образованная вращением эллипса вокруг его большой
оси, называется вытянутым эллипсоидом вращения. Поверхность,
образованная вращением эллипса вокруг его малой оси, называется сжатым
эллипсоидом вращения.
 Параболоид вращения – поверхность,
вращением параболы вокруг её оси.
образованная
 Двухполостный гиперболоид вращения – поверхность,
образованная
вращением
гиперболы
вокруг
её
действительной оси.
Общий вид поверхностей вращения разных типов приведен на рис. 43.
Рис. 43. Поверхности вращения:
а) цилиндр вращения; б) конус вращения; в) эллипсоид вращения; г)
параболоид вращения; д) гиперболоид вращения; е) тор
На чертеже поверхность вращения задается своим очерком. Ось
вращения располагают перпендикулярно к одной из плоскостей проекций,
например, 1 . Тогда все параллели проецируются на эту плоскость в
истинную величину. Таким образом, экватор и горло определяют
горизонтальный очерк, а главный меридиан фронтальный очерк.
Недостающие проекции точек на поверхности тела вращения могут быть
найдены, исходя из их принадлежности параллели или прямолинейной
образующей.