Лабораторная работа № 34

Лабораторная работа № 34
Определение отношения Cp/Cv воздуха методом Клемана – Дезорма
Оборудование: стеклянный сосуд с краном, ручной насос, манометр.
Понятие о теплоемкости
Теплоемкость – величина, равная количеству теплоты, необходимому для
изменения температуры вещества на 1 К:
C в еществ а 
Q  Дж 
.
dT  К 
(1)
Удельная теплоемкость вещества - величина, равная количеству теплоты,
необходимому для нагревания 1 кг вещества на 1 К:
с уд 
Q  Дж 
.
mdT  кг  К 
(2)
Молярная теплоемкость - величина, равная количеству теплоты, необходимому
для нагревания 1 моль вещества на 1 К:
C 
Q 
Дж 
.

  dT  К  моль 
(3)
Теплоемкость газов существенно зависит от типа процесса, т.е. является
функцией процесса, а не состояния. В разных процессах теплоемкость может
быть положительной, отрицательной, бесконечно большой или же равной нулю.
Если в течение всего процесса теплоемкость газа неизменна, то такой процесс
называют политропическим. Для идеального газа уравнение политропического
процесса имеет вид:
𝑝𝑉 𝑛 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡,
(4)
где n - показатель политропы (любое действительное число), p – давление газа,
V – объем газа.
Молярная теплоемкость газа 𝐶
в политропическом процессе связана со
значением 𝑛 соотношением:
3
𝑛 CV − C p
𝐶=
𝑛−1
,
(5)
где CV - теплоемкость при постоянном объеме:
CV 
i
R,
2
(6)
𝐶𝑝 - теплоемкость при постоянном давлении:
C p  CV  R 
i
i2
RR
R ,
2
2
(7)
где R=8,31 Дж/(мольּК) – универсальная газовая постоянная; i – сумма числа
поступательных, числа вращательных и удвоенного числа колебательных
степеней свободы молекулы:
𝑖 = 𝑖пост + 𝑖вращ + 2𝑖колеб .
C p  CV , так как при V=const тепло расходуется только на увеличение
температуры, а при p=const - еще и на работу, совершаемую газом над внешними
телами.
Адиабатный процесс – процесс, при котором отсутствует теплообмен (𝛿𝑄 = 0)
между системой и окружающей средой. При адиабатическом равновесном
процессе 𝐶 = 0 и, как видно из (5), показатель политропы оказывается равным
отношению Ср/Сv :
 
Cp
CV

i2
,
i
(8)
где γ - постоянная адиабаты.
Уравнение равновесного
адиабатического
процесса
для
идеального
газа
(уравнение Пуассона):
𝑝𝑉 γ = const .
4
(9)
Теория метода
Одним из самых простых методов определения γ для газов является метод
адиабатического расширения (метод Клемана и Дезорма). Метод заключается в
следующем. В сосуд, снабженный
открытым манометром для измерения
давления в этом сосуде и краном для соединения воздуха в сосуде с атмосферой,
накачивают при закрытом кране немного воздуха. Через некоторое время
температура воздуха в сосуде станет равной комнатной температуре 𝑇1
давление 𝑝1 , будет несколько выше атмосферного (первое состояние газа).
Затем открывают кран и закрывают его в тот момент, когда давление р2 в сосуде
станет равным атмосферному (причем сделать это надо как можно быстрее, чтобы
теплообменом, происходящим за это время через стенки сосуда, можно было
пренебречь). В результате адиабатического расширения температура воздуха в
сосуде понизится до температуры Т2 (второе состояние газа).
С течением времени температура воздуха в сосуде будет повышаться и достигнет
комнатной температуры Т1; давление повысится до значения р3 (третье
состояние).
Переход газа из первого состояния во второе происходит адиабатически и
подчиняется уравнению Пуассона (9), которое в этом случае удобно записать в
переменных (р, Т):
𝛾−1
𝑝1
𝛾−2
=
𝛾
𝑇1
𝑝2
𝛾
𝑇2
.
(10)
Изохорический переход из второго состояния в третье может быть описан
уравнением Гей-Люссака:
𝑝3
𝑇1
=
𝑝2
𝑇2
.
Исключая из уравнений (10) и (11) температуру, найдем
𝑝1 𝛾−1
𝑝3 𝛾
=( ) .
( )
𝑝2
𝑝2
5
(11)
Подставляя в это равенство значения давлений и выраженные через атмосферное
давление р2 и разность столбов жидкости в манометре:
𝑝1 = 𝑝2 + 𝜌𝘨ℎ1 , 𝑝3 = 𝑝2 + 𝜌𝘨ℎ2 ,
получим:
(1 +
𝜌𝘨ℎ1 𝛾−1
𝑝2
)
= (1 +
𝜌𝘨ℎ2 𝛾
𝑝2
) ,
где ρ - плотность жидкости.
В условиях опыта 𝜌𝘨ℎ1 ⁄𝑝2 и 𝜌𝘨ℎ2 ⁄𝑝2 значительно меньше единицы, поэтому с
достаточной точностью можно ограничиться лишь двумя первыми членами
биномов, что дает:
1+
𝜌𝘨ℎ1
𝑝2
(𝛾 − 1) ≈ 1 +
𝜌𝘨ℎ2
𝑝2
𝛾.
Отсюда получаем расчетную формулу для γ:
𝛾=
ℎ1
ℎ1 −ℎ2
.
(12)
Если же расширение газа из первого состояния во второе производится более
медленно, то вследствие притока теплоты из окружающей среды процесс уже не
будет являться адиабатическим, но может считаться политропическим, так как
относительное изменение параметров состояния очень мало (порядка 10−2 ). В
этом случае вместо уравнения Пуассона (9) следует использовать уравнение
политропы (4), которое отличается от (9) лишь заменой γ на n. Поэтому по
значениям h1, и h2 можно вычислить показатель этой политропы n по формуле,
аналогичной (12):
𝑛≈
ℎ1
ℎ1 −ℎ2
.
(13)
Описание установки
Схема экспериментальной установки для определения отношения теплоемкостей
воздуха методом Клемана и Дезорма представлена на рисунке 1.
6
2
5
3
4
1
Рисунок 1 – Схема установки
Тонкостенный сосуд 1 вместимостью 25 л, соединяющийся с открытым
манометром 5 и насосом 4, с помощью крана 2 может соединяться с атмосферой.
Кран 3 позволяет изолировать насос 4 от сосуда. Избыточное по сравнению с
атмосферным давление воздуха в сосуде измеряют U-образным манометром 5,
заполненным жидкостью.
Выполнение работы и обработка результатов измерений
Упражнение 1. Определение показателя адиабаты γ воздуха.
7
1. При закрытом кране 2 (рисунок 2) с помощью насоса наполните баллон
воздухом до давления, превышающего атмосферное на 20—30 см жид. ст., и
перекройте кран 3 (рисунок 3).
Рисунок 2 – Закрытый кран 2, открытый кран 3
2. При накачке температура в баллоне немного повысится. Подождите, пока в
результате изохорического охлаждения температура воздуха в баллоне
вернется к комнатной температуре 𝑇1 . Убедившись, что столбики жидкости
в манометре перестали перемещаться, зафиксируйте разность уровней ℎ1 .
3. Быстро откройте кран 2 (рисунок 4) и, как только уровни жидкости в
коленах манометра сравняются, закройте его (это выравнивание происходит
практически мгновенно).
4. Снова
дождитесь
установления
термодинамического
равновесия
окружающей средой и определите по манометру разность уровней ℎ2 .
8
с
Рисунок 3 – Закрытый кран 2, закрытый кран 3
Рисунок 4 – Открытый кран 2
9
5. Повторите опыт 10 раз. По полученным данным вычислите показатель
адиабаты γ по формуле (12).
6. Результаты измерений и вычислений представьте в виде таблицы.
Таблица 1
№ опыта
h1 , см
h2, см
γ
1
…
10
7. Рассчитайте среднее значение γср.
8. Оцените доверительный интервал среднего результата по формуле (для
доверительной вероятности 0,95):
2
10
∑ (𝛾𝑖 −𝛾ср )
∆𝛾 = 2,26 ∙ √ 𝑖=1
.
90
9. Окончательный результат представьте в виде:
𝛾 = 𝛾ср ± ∆𝛾.
10.По значению γср вычислите молярные теплоемкости 𝐶𝑣 и Ср, используя
формулы (6), (7), (8).
Упражнение 2. Определение показателя политропы n воздуха.
1. Повторите опыт (из упражнения 1) 10 раз, медленно поворачивая кран 2
(что бы расширение до установления атмосферного давления продолжалось
несколько секунд).
2. Рассчитайте по формуле (13) для каждого опыта значение показателя
политропы n.
3. Результаты измерений и вычислений представьте в виде таблицы.
10
Таблица 2
№ опыта
h1 , см
h2, см
n
1
…
10
4. Рассчитайте среднее значение nср.
5. Оцените доверительный интервал среднего результата по формуле (для
доверительной вероятности 0,95):
2
10
∑ (𝑛𝑖 −𝑛ср )
∆𝑛 = 2,26 ∙ √ 𝑖=1
.
90
6. Окончательный результат представьте в виде:
𝑛 = 𝑛ср ± ∆𝑛.
7. Рассчитайте молярную теплоемкость С в процессе расширения.
Контрольные вопросы.
1.
Дайте определение и приведите формулы адиабатного и политропного
процессов.
2.
Дайте определение теплоемкости газа.
3.
Как теплоемкость газов зависит от температуры? Как объясняется эта
зависимость?
4.
Сформулируйте первое начало термодинамики.
5.
Выведите формулы для теплоемкостей при изохорном и изобарном
процессах.
11
Рекомендуемая литература
1. И.В. Савельев. Курс общей физики. Том 1. Механика. Молекулярная
физика. C-Пб.-М.-Краснодар: ЛАНЬ, 2008.
2. Т.И. Трофимова. Курс физики: учебное пособие для вузов. М.:
Издательский центр «Академия», 2008.
3. И.Е.Иродов. Физика макросистем. Основные законы. Учебное пособие для
вузов. 4-е издание. Издательство: БИНОМ. Лаборатория знаний. 2010.
12