Математика с дополнительной специальностью

Экзаменационные вопросы по теории вероятностей и математической статистике
по специальности 032100.00
Математика с дополнительной специальностью
1. Принцип статистической устойчивости относительных частот.
2. Классическое определение вероятности. Простейшая урновая схема.
3. Геометрические вероятности. Задача Бюффона.
4. Парадокс Бертрана.
5. Комбинаторный анализ. Правила суммы и произведения. Размещения и перестановки. Размещения с повторениями. Применение комбинаторики к подсчету вероятностей.
6. Сочетания. Свойства числа сочетаний. Примеры.
7. Размещения данного состава. Полиномиальная формула. Формула сложного события*.
8. Независимые события. Условная вероятность. Правило умножения вероятностей.
9. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
10. Независимые испытания. Формула Бернулли. Теорема о наиболее вероятном числе успехов. Приближенные формулы Лапласа и Пуассона.
11. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Вероятностная схема. Аксиомы событий. Вероятностная мера. Следствия.
12. Свойство непрерывности вероятности.
13. Классическая вероятностная схема.
14. Схема с дискретным вероятностным пространством*.
15. Схема независимых испытаний*.
16. Случайная величина. Функция распределения (ф.р.) вероятностей с.в. и свойства ф.р.
17. Абсолютно непрерывные случайные величины. Свойства плотности распределения вероятностей.
18. Нормальное распределение на прямой, график плотности распределения. Функция Лапласа. Теоретико-вероятностный смысл параметров нормального распределения на прямой.
Понятие нормального распределения в плоской области.
19. Равномерное распределение на отрезке. Вычисление математического ожидания и дисперсии. Понятие равномерного распределения в плоской области.
20. Математическое ожидание(м.о.) дискретной случайной величины. Свойства м.о.
21. Дисперсия дискретной случайной величины. Свойства дисперсии. Среднее квадратичное
отклонение.
22. Биномиальное распределение, вычисление математического ожидания.
23. Вычисление дисперсии случайной величины (с. в.), распределенной по биномиальному закону.
24. Распределение Пуассона. Вычисление математического ожидания.
25. Вычисление дисперсии с. в., распределенной по закону Пуассона.
26. Математическое ожидание и дисперсия с. в., имеющей плотность вероятности.
27. Характеристики центра группирования значений случайной величины: математическое
ожидание, модальное значение xmod (мода), средневероятное значение xmed (медиана).
28. Характеристики степени рассеяния значений случайной величины: дисперсия, среднее
квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
29. Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс.
[2, гл.12, §9 или 5, 2.6.5]
30. Квантиль. Процентные точки*. [5, 2.6.4]
31. Дискретные двумерные случайные величины. Связь закона совместного распределения и
законов распределения составляющих двумерного случайного вектора.
32. Функция распределения (ф.р.) системы двух случайных величин. Свойства ф.р.
33. Плотность распределения случайного вектора. Независимые случайные величины.
34. Функция двух случайных аргументов. Плотность вероятности суммы двух независимых
случайных величин. [2, гл.12, §12]
35. Гамма – функция и ее свойства. [4, п.54.5]
36. Распределение хи–квадрат. [2, гл.12, §13]
37. Дисперсия суммы двух случайных величин. Ковариация.
38. Коэффициент корреляции. Свойства коэффициента корреляции. Независимость и некоррелированность двух случайных величин.
39. Условное математическое ожидание. Уравнение регрессии. Примеры.
40. Прямые линии среднеквадратической регрессии. Остаточная дисперсия.
41. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева.
42. Закон больших чисел в форме Чебышева. Теорема Пуассона. Закон больших чисел в форме
Бернулли.
43. Центральная предельная теорема. Теорема Ляпунова. Интегральная предельная теорема
Муавра – Лапласа. Применение центральной предельной теоремы.
44. Вариационный ряд. Таблица частот. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.
45. Задача оценки параметров распределения. Точечные оценки. Несмещенность и состоятельность выборочной средней. Эффективность.
46. Смещенность выборочной дисперсии. Исправленная выборочная дисперсия, “исправленное” среднее квадратичное отклонение.
47. Интервальные оценки. Оценка неизвестной вероятности по относительной частоте. [1, §44]
48. Выборочный коэффициент корреляции. Выборочное уравнение прямой линии регрессии.
49. Метод наименьших квадратов. [1, §46]
50. Статистическая проверка гипотез. Основная и альтернативные гипотезы. Ошибки первого
и второго рода. Функция мощности статистического критерия. Пример. [2, гл.19, §1-§7]
51. Критерии согласия. Простая и сложная гипотезы. Критерий согласия Пирсона. Проверка
гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности с помощью критерия согласия Пирсона. [2, гл.19, §23,§24]
52. Закон Стьюдента. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции. Распределение Фишера – Снедекора. [2, гл.12, §14,§15; гл.19, §22]
53. *Случайные процессы. Случайная функция. Математическое ожидание и дисперсия случайной функции. Простейший поток событий.
54. *Этапы развития теории вероятностей.
ЛИТЕРАТУРА
1.Солодовников А.С. Теория вероятностей. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Вербум – М, 1999. –
208с.
2.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - 6-е изд., стер. – М.:
Высш. школа, 1998. – 479с.
3.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – 5-е изд., стер. – М.: Высш. школа, 2001. – 400с.
4.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.2. – М.: Высш. школа, 1988. – 576с.
5. Прикладная статистика. Основы эконометрики: Учебник для вузов: В 2 т. 2-е изд., испр.Т.1:Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Теория вероятностей и прикладная статистика. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 656с.