ДОМАШНЯЯ РАБОТА (ф-ии многих переменных)

ДОМАШНЯЯ РАБОТА
(функции многих переменных),
2 семестр,
вариант – 1
1. Найти область определения функции z 
КАНТ - 99
2x  y
 1  x 2  y 2 . Является ли эта
x y
область определения ограниченной? замкнутой?
2. Для функции z 
2x  y  1
изобразить линии уровня z = –1; 1; 2. Могут ли линии
x y2
разного уровня пересекаться?
3. Изобразить объём, ограниченный поверхностями
z = 0, x2 + y2 =1, z =1– y2 .
4. Сформулировать теоремы Вейерштрасса. Построив семейство линий уровня
функции z = x2 + y2, определить её наибольшее и наименьшее значения в области
треугольника А(–1, 7), В(7, 1), С(5, 12).
5. Для функции z 
3x  5 y
 ln( x 2  y 2 ) проверить справедливость теоремы Шварx2  y2
ца. Проверить также, что данная функция удовлетворяет уравнению Лапласа
2z 2z

0.
x 2 y 2
6. Дать определение дифференциала функции двух переменных на данном отрезке.
Заменив приращение функции её дифференциалом, вычислить приближенное значение функции z  ln( 1  3 x  y ) в точке (27,027; 8,994).
7. Исследовать на экстремум функцию z = 3x2y – 2xy2 + 18xy . Изобразить на плоскости линию уровня z = 0 , области знакопостоянства функции и её критические
точки.
8. Проверить, что функциональное уравнение x 2  x 3 y  2 ln y  0 удовлетворяет
условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1). Для проходящего через указанную точку решения у = у(х) этого уравнения найти первые три слагаемых формулы
Тейлора – Пеано.
9. Проверить, что функциональное уравнение
8 x 2 y 6 z
 2  2  0 удовлетворяет
y2
z
x
условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1, 1). При помощи линеаризации
найти приближенное выражение для проходящего через указанную точку решения
z = z(x,y) этого уравнения.
10. В дифференциальном уравнении
x
z
z
 3  3 x 3  3e y произвести замену незаx
y
висимых переменных u  x 3  e y , v  x 3 e y .
11. Исследовать на условный экстремум функцию z = 2x +3y при условии
2 x2 + y2 –2x – 3y =0.
Построив кривую-условие и семейство линий уровня функции, обосновать графически полученные результаты.
12. Цены товаров Х и Y равны соответственно 7 и 5 за единицу товара. Сколько
единиц товаров Х и Y следует купить на сумму Q = 105, чтобы функция полезности
U = x2y была максимальной.
ДОМАШНЯЯ РАБОТА
(функции многих переменных),
2 семестр,
вариант – 2
КАНТ - 99
1. Найти область определения функции z  ( 2 x  y )( x  y )  1  x 2  y 2 . Является
ли эта область определения ограниченной? замкнутой?
2. Для функции z 
x  2y  3
изобразить линии уровня z = 0; 1; –2. Могут ли лиx y
нии разного уровня пересекаться?
3. Изобразить объём, ограниченный поверхностями
xy z = 0, x + y =2, z = x2 + y2 .
4. Сформулировать теоремы Вейерштрасса. Построив семейство линий уровня
функции z = 2x – y, определить её наибольшее и наименьшее значения в области,
ограниченной линиями у = х2 , у = х+2 .
5. Для функции z 
2x  y
y
 arctg
2
2
x
x y
проверить справедливость теоремы Шварца.
Проверить также, что данная функция удовлетворяет уравнению Лапласа
2z 2z

0.
x 2 y 2
6. Дать определение дифференциала функции двух переменных на данном отрезке.
Заменив приращение функции её дифференциалом, вычислить приближенное значение функции z  x 2  y 3 в точке (3,01; 1,99).
7. Исследовать на экстремум функцию z = x2y + 2xy2 – 6xy . Изобразить на плоскости линию уровня z = 0 , области знакопостоянства функции и её критические точки.
8. Проверить, что функциональное уравнение 2 y  x  2 x  y  2 xy  0 удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1). Для проходящего через
указанную точку решения у = у(х) этого уравнения найти первые три слагаемых
формулы Тейлора – Пеано.
9. Проверить, что функциональное уравнение 2 x
y
z
x
 8y
 6z
 0 удовлетвоz
x
y
ряет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1, 1). При помощи линеаризации найти приближенное выражение для проходящего через указанную точку решения z = z(x,y) этого уравнения.
10. В дифференциальном уравнении
3y2
z
z
 ex
 3 y 2 e x ( y 3  e x ) произвести заx
y
мену независимых переменных u  y 3  e x , v  y 3 e x .
11. Исследовать на условный экстремум функцию z = x2 + y2 при условии
x2 + y2 – 4x – 2y –15 =0.
Построив кривую-условие и семейство линий уровня функции, обосновать графически полученные результаты.
12. Цены товаров Х и Y равны соответственно 18 и 12 за единицу товара. Какую
минимальную сумму следует затратить на приобретение этих товаров для того, чтобы функции полезности U = x3y2 приняла значение U = 32 .
ДОМАШНЯЯ РАБОТА
(функции многих переменных),
2 семестр,
вариант – 3
КАНТ - 99
1. Найти область определения функции z  xy  1  ln( x  y ) . Является ли эта область определения ограниченной? замкнутой?
2. Для функции z 
2x  y  3
изобразить линии уровня z = –0,5; –1; 2. Могут ли
x  2y  1
линии разного уровня пересекаться?
3. Изобразить объём, ограниченный поверхностями
z = 0, z  1  x 2 , z  1  y 2 .
4. Сформулировать теоремы Вейерштрасса. Построив семейство линий уровня
функции z = (y + 1)/(x + 1), определить её наибольшее и наименьшее значения в
области треугольника А(1, 4), В(5, 1), С(6, 5).
5. Для функции z 
yx
x
 arctg
2
y
x y
2
проверить справедливость теоремы Шварца.
Проверить также, что данная функция удовлетворяет уравнению Лапласа
2z 2z

0.
x 2 y 2
6. Дать определение дифференциала функции двух переменных на данном отрезке.
Заменив приращение функции её дифференциалом, вычислить приближенное значение функции z  exp( 3 x  y ) в точке (8,012; 3,996).
7. Исследовать на экстремум функцию z = 3x2y – xy2 + 9xy . Изобразить на плоскости линию уровня z = 0 , области знакопостоянства функции и её критические точки.
8. Проверить, что функциональное уравнение 3 y xy  2 xy 2  1  0 удовлетворяет
условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1). Для проходящего через указанную точку решения у = у(х) этого уравнения найти первые три слагаемых формулы
Тейлора – Пеано.
9. Проверить, что функциональное уравнение
4 x 6 y 2 z


 0 удовлетворяет
yz zx x y
условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1, 1). При помощи линеаризации
найти приближенное выражение для проходящего через указанную точку решения
z = z(x,y) этого уравнения.
10. В дифференциальном уравнении
z
z
 y ln y
 e x  ln y произвести замену неx
y
зависимых переменных u  ln y  e x , v  e x ln y .
11. Исследовать на условный экстремум функцию z = x + 2y при условии
2x2 + y2 – 2x – 4y =0.
Построив кривую-условие и семейство линий уровня функции, обосновать графически полученные результаты.
12. Цены товаров Х и Y равны соответственно 5 и 4 за единицу товара. Сколько
единиц товаров Х и Y следует купить на сумму Q = 60, чтобы функция полезности
U = xy2 была максимальной.