Экзаменационная работа по курсу «Математическая статистика»

1
Экзаменационная работа по курсу «Математическая статистика»
Ф.И.О. ______________________________________________________ N группы _____
1. Цены акций двух компаний имею нормальные распределения: X ~ N(30, 2 = 2) и
Y ~ N(40, 2 = 9) и независимы. Из этих акций сформирован инвестиционный
портфель:
U = X + 2Y. Найти вероятность того, что стоимость этого портфеля опустится ниже
90.
(3 балла)
Ответ:
P(U < 100) =
2. Дана выборка из нормального распределения со средним значением 16
и стандартным отклонением 3:
16, 14, 18, 15, 15.5, 18, 17.5, 13.5, 15.8, 19
Найти разность между эмпирической и теоретической функцией распределения в точках:
x = 14.6 и x = 17.6
(2 балла)
Ответ:
3. Дана выборка: 127, 117, 115, 117, 154, 122, 124, 126, 131, 135, 120
Найти ранги первых трех наблюдений. Найти медиану, верхнюю и нижнюю квартиль.
Выяснить есть ли в выборке нехарактерные наблюдения.
(2 балла)
Ответ:
R1 =
Ответ:
Нехарактерное наблюдение:
R2 =
R3 =
med =
x 0.25 =
x 0.75 =
2
4. Дана выборка:
Y:
13, 11, 12, 15,
11,
10, 12
4.1. Найти несмещенную оценку дисперсии случайной величины Y
(2 балла)
Ответ:
4.2. Вычислить 98% доверительный интервал для среднего значения выборки Y:
(2 балла)
Ответ:
5. Даны две выборки: X: 15, 17, 21, 19, 19
Y: 16, 14, 15, 18, 14,
13
С помощью критерия Вилкоксона проверить нулевую гипотезу о равенстве
распределений выборок X и Y. Найти минимальный уровень значимости нормальной
аппроксимации статистики критерия против двусторонних альтернатив
(4 баллов)
Ответ:
3
6. Даны две нормальные выборки со следующими характеристиками:
Объем выборки
X
Y
10
6
Выборочное
среднее
17
12
Выборочная дисперсия
3
1
С помощью критерия Стьюдента проверить гипотезу о равенстве средних значений
этих выборок (считая их дисперсии равными) при 95% уровне доверия против
односторонней альтернативы («Среднее первой выборки больше среднего второй
выборки) .
(4 балла)
Ответ:
7. Даны пары наблюдений:
X:
Y:
7.1.
6,
1,
3,
2,
8,
0,
4,
4,
5
3
Вычислить коэффициент корреляции Спирмена:
(2 балла)
Ответ:
7.2 Найти минимальный уровень значимости статистики, используемой для проверки
нулевой гипотезы о равенстве коэффициента Спирмена нулю против двусторонних
альтернатив.
(2 балла)
Ответ:
4
8. Дана выборка x1, x2, x3, x4 из нормального распределения со средним значением
a и дисперсией 2 . Рассмотрим следующую оценку параметра a:
0.2 x1 + 0.2x2+0.5x3 +0.1x4
8.1. Является ли эта несмещенной? Почему?
(1 балл)
8.2. Вычислите дисперсию этой оценки.
(2 балла)
8.3. Является ли эта оценка эффективной? Почему?
(1 балл)
Ответ:
9.Дана выборка бинарной случайной величины: 0, 0, 1, 0,1, 1, 0, 0, 1, 1. Для этой выборки
сформулируйте: а) какую-нибудь простую гипотезу; б) какую-нибудь сложную гипотезу;
в) для нулевой гипотезы H0 : p = 0.5 сформулируйте какую-нибудь одностороннюю
сложную альтернативу; г) для нулевой гипотезы H0 : p = 0.5 выпишите какую-нибудь
выборку объема 10, которая маловероятна с точки зрения H0, но вполне типична для
альтернативы H1 : p= 0.9
(3 балла)
Результаты выполнения работы:
1
3
Оценка
2
2
3
2
4.1
2
4.2
2
5
4
6
4
7.1
2
7.2
2
8.1
1
Подпись преподавателя
8.2
2
8.3
1
9
3