6 - Санкт-Петербургский промышленно

КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ
Санкт-Петербургское государственное бюджетное
образовательное учреждение среднего профессионального образования
«Промышленно-экономический колледж»
Заочное отделение
Специальность 080114 Экономика и
бухгалтерский учёт (по отраслям)
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине
Математика
Вариант 6
студента группы
32201
зачетная книжка № 13-2-026
ФИО студента
Сызченко Мария Юрьевна
Адрес
CПб, Будапештская 98, корпус 1, кв 322
E-mail:
89533791806@mail.ru
телефон:
__________________
2014 год
1
ВАРИАНТ 6
1. Вычислить пределы функций:
1. lim
x  2
х6 2 х3
х 2  2х
2x  6x 3  5
2. lim 2
x  3 х  x 3  2
sin 3x  sin x
3. lim
x 0
2x 2
х6 2 х3 0

0
х 2  2х
( х  6  2 х  3 )( х  6  2 х  3)
 x  5
4. lim 

x 
 x 
x
1. lim
x  2
lim
х  2 х( х  6  2 х  3 )
x  2
2

3
8
2x  6x3  5 

x  3 х 2  x 3  2

3
2x 6x
5
2
5
 3  3
6 3
3
2
x  0  6  0  6
lim x 2 x 3 x  lim x
x  3 х
x  3 х
0 1 0
x
2
2
 3  3
1 3
3
x
x
x
x
x
sin 3x  sin x
3. lim
0
x 0
2x 2
1
sin 3 x  sin x 1
sin 2 x  2 sin 4 x 3
lim
 lim

2
2 x 0
2 x 0
2
x
x
2. lim
 x  5
4. lim 

x 
 x 
x
x

 x 
lim 
  e x 
x  x  5


 lim( x*log(
x
)
5 x
 lim(log(
t 
e
1
)
1
( 5 ) t
t
e
 lim(
t 0
5
)
(1 5t )
e
5 lim(
2. Построить график функции, определив вид точек разрыва:

2
 ( х  3) при х  2

f ( x)   х  1 при  2  х  1

х2
при х  1

1 х

Точка -2
Точка 1
f(-2)=(-x-1)=1
f(-2-0)= lim y1( x)  1
x  2 
f(-2+0)= lim y 2( x)  1
x  2 
в точки -2 функция не прерывна
точка 1
f(1)=-2
f(1-0)= lim y 2( x)  2
x  1
f(1+0)= lim y3( x)  
x  1
точка 1 точка разрыва второго рода
2
t 0
1
)
(1 5t )
5
lim(1 5t )
 e t 0

1
e5
3. Найти производные функций:
5
5  (2)
16
16
 83 х 2  6  4 x 3 

х  24 х 3  10 х 3 
х
2
3
х
х
33 х 2
33 х 2
4 cos 2 x
4 cos 2 x
 8  sin( 2 х)  (1  3  sin( 2 x)  6 cos( 2 x)  4 cos( 2 x))
2) f ( x)  5 
 (5)  (
) 

1  3 sin 2 x
1  3 sin 2 x
(1  3  sin( 2 x)) 2
1) f ( x)  6 x 4 
 8  sin( 2 х)  (1  3  sin( 2 x)  24 cos( 2 x) 2

(1  3  sin( 2 x)) 2
1
3
3) f ( x)  ln x  2 x  3 ln x   (2 x  3 ln x)  ln( x)( 2  )
2
x
4) f ( x)  tg
x 1
x
 1  tg (
x 1
x
)2  (
x 1
x
)  1  tg (
x 1
x
x  ( x  1) 
)2 
( x)
1
2 x
2
 3x  y  4 z  13

4. Решить систему уравнений по формулам Крамера 2 x  3 y  3z  25
 5x  2 y  2 z  4

3
 3 1 4 
 13 1 4 
 3 13 4 
 2 3 3   57
 25 3 3   114
 2 25 3   171






D=  5 2 2 
D1=  4 2 2 
D2=  5 4 2 
D3=
3

1
13


 2 3 25   228


 5 2 4 
D1
D2
D3
=-2 х 2 
=-3 х3 
=4
х1 
D
D
D
5. Выполнить исследование свойств функции по первой и второй производным и
построить график функции f(x)= x3 + 6x2 – 12.
f’(x)= 3x2 + 12x.
f’’ (x)= 6x + 12
D(y)=(-∞;+ ∞)
y(-x)= (-x)3 + 6(-x)2 – 12= -x3 + 6x2 – 12 функция общего вида.
Точки пересечения:
С осью х: x3 + 6x2 – 12=0
х1=-5.6…. х2=-1,6….. х3=1,2…
С осью у: 03 + 602 – 12=-12
(-5,6..;0)(-1,6..;0) (1,2…;0)(0;-12)
x 3  6 x 2  12
  асимптот нет.
Асимптоты k  lim
x 
x
3x2 + 12x=0
х(3х-12)=0
х=0 х=4
Функция возрастает на всей области определения.
Точек экстремума нет.
6x + 12=0
6х=-12
х=-2
(-2; ∞) функция вогнута
(-∞; -2) функция выпукла
4
график
80
у
70
60
50
40
y(x)
30
y'(x)
20
y''(x)
10
х
3
2,6
2,2
1,8
1,4
1
0,6
0,2
-0,2
-0,6
-1
-1,4
-1,8
-2,2
-2,6
-10
-3
0
-20
6. Найти интегралы:

3
 3 5 3 5 1 
d x
1 4
5
4 2
1)   x   32x

2
х
dx


x  2  32ln (xx
dx   x 
 x

3
2
3

 ) 4
2х
2x
4 x
+С

1
1
2) 
dx
2 х 2  3 ln x

3
2

2
3)  2
0
 ( 2  3 ln ( x) )
sin2 x
cos( x)
 sin 2 xdx  2
2
 ln ( 2)
2
C

2
2
2
2
 

 2   ln ( 2)
cos
2
cos( 0)
- 2
2
1
 ln ( 2) = ln ( 2)
0 =
7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y + 2х - x2 =2,
x - у + 2=0. Сделать чертёж.
y =- 2х + x2 +2
у=х+2
- 2х + x2 +2= х + 2
x2-3х=0
х(х-3)=0
х=0 х=3
Парабола и прямая пересекаются в точках (0;2)(3;5)
3
3
3
2
2
(
х

2

2

2
х

х
)
dx

(
3
х

х
)
dx
 4,5
0
0
0
8. Найти сумму, разность, произведение и частное от деления комплексных чисел Z1 и
Z2;изобразить заданные числа на координатной плоскости
5
Z1=5-3i, Z2= 2+5i
Z1+ Z2=5-3i+2+5i=7+2i
Z1- Z2=5-3i-(2+5i)= 5-3i-2-5i=3-8i
Z1∙ Z2=(5-3i)∙ (2+5i)=10+25i-6i-15i2=25+19i
Z1 5 - 3i
(5 - 3i)(2 - 5i) 10  25i  6i  15i 2  31i  5  31
5





i
2
Z 2 2  5i (2  5i)(2  5i)
29
29
29
4  25i
9. Найти вероятность случайного события в задаче.
Имеется 8 карандашей, среди которых 5 синих и 3 красных. Наугад извлекают 4
карандаша. Найти вероятность того, что среди извлеченных карандашей 3 синих.
Пусть событии А 4 карандаша из них 3 синих
С84-из 8 по 4
С53 – 5 из 3 синие
С31 3 из 1 красные
5  4  3  2 1
3  2 1
8  7  6  5  4  3  2 1
C53 
 10 C 31 
 3 C84 
 70
1  2  3 1  2
1 1 2
1  2  3  4 1  2  3  4
m C 3  C 1 10  3 3

P(A)=  5 4 3 
n
70
7
C8
10. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины, составить
функцию распределения, начертить многоугольник распределения и график функции
распределения.
xi
yi
-3
0,2
-1
0,4
2
0,3
5
0,1
M(x)=-3(0,2)-1(0,4)+2(0,3)+5(0,1)=-0,6-0,4+0,6+0,5=0,1
D(x)=-32 (0,2)-12 (0,4)+22 (0,3)+52 (0,1)-(0,1) 2=9(0,2)+1(0,4)+4(0,3)+25(0,1)-0,01=1,8+0,4+1,2+2,5-0,01=5,90,01=5,89
F(x<=-3)=0
F(-3<x<=-1)=0,2
F(-1<x<=2)=0,4
F(2<x<=5)=0,3
F(x>5)=0,1
6
7