6. Квантовые свойства света. - Вологодский государственный

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра физики
ОПТИКА. КВАНТОВАЯ ФИЗИКА. СТРОЕНИЕ ЯДРА.
ФИЗИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ ПО ФИЗИКЕ
для студентов-бакалавров по направлению 270100 (строительство)
ЧАСТЬ 5
Вологда
2009
Требования к оформлению и общие методические указания по
выполнению индивидуальных домашних заданий.
1. Студентам рекомендуется решить в течение семестра 10 задач по пятой
части пособия.
2. Номер варианта совпадает с порядковым номером фамилии студента в
журнале.
3. Номера задач в зависимости от варианта определяются по формуле:
Nзадачи=30n+Nварианта, где n=0, 1, …11.
4. Задания должны выполняться последовательно по пройденным темам.
Сроки представления решенных задач объявляются преподавателем.
5. Задачи оформляются в письменном виде на отдельных листах. Решение
каждой задачи необходимо начинать с новой страницы.
6. Требуется указать номер варианта и номер задачи по нумерации пособия.
7. Условие задачи переписывается полностью, без сокращений.
8. Решение записывается в стандартном виде:
Дано:
Решение:
Найти:
Ответ:
9. Все физические величины необходимо выразить в системе единиц СИ.
10. Сделать рисунок, схему, если это необходимо.
11. Сформулировать основные законы, записать формулы, на которых
базируется решение. Обосновать возможность их применения в условиях
данной задачи. Составить полную систему уравнений для решения
задачи.
12. Получить окончательное выражение искомой величины в общем виде.
Проверить размерность.
13. Подставить числовые данные и рассчитать искомую величину.
14. Проанализировать полученный результат.
15. Записать ответ.
16. Каждую задачу требуется защитить, то есть полностью объяснить
решение задачи преподавателю.
2
1. Геометрическая оптика и фотометрия 1).
c
– скорость света в среде;
n
L=nl ; L   ndl – оптическая длина пути;
v
i1  i1/ – закон отражения;
sin i1 n2

 n21 – закон преломления;
sin i2 n1
sin iпред.  n 21 – предельный угол полного внутреннего отражения;
1 1 1
  – формула тонкой линзы;
F a b
 1
1
1 
 – оптическая сила линзы;
D   ( n21  1 ) 
F
R
R
2 
 1
D
D=D1+D2 – оптическая сила системы двух линз, расположенных вплотную друг
к другу;
F  Fкрасн.  Fфиолет. – продольная хроматическая аберрация линзы;



b
– увеличение линзы;
a
l наилуч. зрения
F
l наилуч. зренияd
F1 F2
– увеличение, даваемое лупой, lнаилучшего зрения=0.25 м;
– увеличение, даваемое микроскопом, где d – расстояние между
фокусами объектива и окуляра.
Рис. 1. Кривая относительной спектральной чувствительности
глаза (кривая видности).
_________________________________________________________
1)
Решение задач 1-30 этого раздела не является обязательным.
3

dW V ( )
dW
– световой поток, соответствующий потоку энергии
, для
dt A
dt
монохроматического света с длиной волны λ, где А=0.0016 Вт/лм –
коэффициент перевода фотометрических величин в энергетические
(механический эквивалент света); [Ф] = лм (люмен);
I
d
– сила света, где dΩ – телесный угол, в котором распространяется
d
световой поток dΦ, [I]=лм/ср=кд (кандела);
d пад.
– освещенность, [E]=лм/м2=лк (люкс);
dS
I cos 
E
– освещенность, создаваемая точечным изотропным источником
r2
E
силой света I, на площадке, отстоящей от него на расстоянии r, где α – угол
между нормалью к поверхности и направлением на источник;
d исп.
– светимость;
dS
R  E – светимость тела, обусловленная его освещенностью, где ρ –
R
коэффициент рассеяния (отражения);
B
dI
– яркость светящейся поверхности, где θ – угол между нормалью к
dS cos 
элементу поверхности и направлением наблюдателя, [B]=кд/м2=нт (нит);
R  B – светимость тела, если оно излучает по закону Ламберта, т.е. если
яркость не зависит от направления (косинусный излучатель).
Примеры решения задач
Задача 1
Лист бумаги размером 10х30 см2 освещается светом от лампы силой света
100 кд, причем на него падает 0.5% всего посылаемого лампой света. Найти
освещенность этого листа бумаги.
Дано:
S=10.30 см2=300.10-4 м2
η=0.5%=0.005
I=100 кд
E
поверхности
dS
равна
d пад.
, где dФпад. – световой поток, падающий
dS
на поверхность. При равномерной освещённости
E
Найти:
Е=?
 пад.
S
.
Сила света лампочки определяется световым
потоком dΦ и телесным углом dΩ, в котором он
распространяется: I 
света, тогда I 
Решение:
Освещённость
d
. Будем считать лампочку изотропным источником
d

, где Ω=4π ср (стерадиан) – полный телесный угол.

4
По условию  
 пад.

 I 0,005  100кд  4ср
. Тогда E  пад. 


 209 лк .

S
S
S
0.03м 2
Ответ: E=209 лк.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Свет от электрической лампочки в 200 кд падает под углом 450 на рабочее
место, его освещенность 141 люкс. Найти, на каком расстоянии от
рабочего места находится лампочка и на какой высоте от рабочего места
она висит.
Лампа, подвешенная к потолку, дает в горизонтальном направлении силу
света в 60 кд. Какой световой поток падает на картину площадью 0.5 м2 ,
висящую вертикально на стене в двух метрах от лампы, если на
противоположной стене находится большое зеркало на расстоянии 2 м от
лампы?
21 марта, в день весеннего равноденствия, на Северной Земле Солнце
стоит в полдень под углом 100 к горизонту. Во сколько раз освещенность
площадки, поставленной вертикально, будет больше освещенности
горизонтальной площадки?
В полдень во время весеннего и осеннего равноденствия Солнце стоит на
экваторе в зените. Во сколько раз в это время освещенность поверхности
Земли на экваторе больше освещенности поверхности Земли на широте
600?
Над центром круглого стола диаметром 2 м висит лампа, сила света
которой 100 кд. Считая лампу точечным источником света, вычислить
изменение освещенность края стола при постепенном подъеме лампы в
интервале 0.5≤h≤0.9 м через каждые 10 см. Построить график зависимости
E=f(h).
В центре круглого стола диаметром 1.2 м имеется настольная лампа из
одной электрической лампочки на высоте 40 см от поверхности стола. Над
центром стола на высоте 2 м от его поверхности висит люстра из четырех
таких же лампочек. В каком случае получится большая освещенность на
краю стола (и во сколько раз): когда горит настольная лампа или когда
горит люстра?
Предмет при фотографировании освещается электрической лампой,
расположенной от него на расстоянии 2 м. Во сколько раз надо увеличить
экспозицию, если эту же лампу отодвинуть на расстояние 3 м от предмета?
Лампа, в которой светящим телом служит накаленный шарик диаметром 3
мм, дает силу света 85 кд. Сферическая колба этой лампы сделана а) из
прозрачного стекла; б) из матового стекла. Диаметр колбы равен 6 см.
Какую освещенность дает эта лампа на расстоянии 5 м при нормальном
падении света?
На лист белой бумаги размером 20х30 см2 нормально к поверхности падает
световой поток 120 лм. Найти освещенность, светимость и яркость
бумажного листа, если коэффициент рассеяния 0.75.
5
10. Лист бумаги размером 10х30 см2 освещается светом от лампы силой света
100 кд, причем на него падает 0.5% всего посылаемого лампой света.
Найти освещенность этого листа бумаги.
11. Какой поток энергии соответствует световому потоку в 100 лм,
образованному излучением, для которого относительная спектральная
чувствительность глаза равна 0.762?
12. Определить освещенность на расстоянии 4 м от источника света, если сила
света равна 180 кд и лучи падают под углом 370 к освещаемой
поверхности.
13. Точечный источник света освещает горизонтальную поверхность. Как
изменится освещенность в точке А, в которой лучи падают на поверхность
нормально, если сбоку от источника на одной высоте с ним на таком же
расстоянии от источника, как и освещаемая поверхность, поместить
зеркало, отражающее свет в точку А?
14. Над горизонтальной поверхностью помещены на высоте 2 м на расстоянии
1 м друг от друга два источника света, дающие световые потоки по 300 лм
каждый. Определить освещенность поверхности: а) в точках под
источниками света; б) на середине расстояния между ними.
15. Лампа накаливания, потребляющая мощность 40 Вт, дает световой поток
380 лм. 40% этого потока направлены на поверхность площадью 5 м2.
Определить среднюю освещенность этой поверхности.
16. Какова светимость волоска электрической лампы, если излучаемый ею
световой поток равен 400 лм, длина волоска 60 см, а его диаметр 0.05 мм?
17. Светящаяся часть люминесцентной лампы мощностью 15 Вт имеет форму
цилиндра длиной 42 см и диаметром 2.24 см. Яркость лампы равна 5 .103
кд/м2. Определить ее КПД. Длину волны считать равной 555 нм.
18. На плоскую поверхность падает по нормали к ней монохроматическая
световая волна с длиной волны 510 нм. Интенсивность волны 0.32 Вт/м 2.
Воспользовавшись
кривой
видности,
определить
освещенность
поверхности.
19. Точечный изотропный источник света испускает световой поток 1257 лм.
Чему равна сила света этого источника?
20. Параллельный пучок лучей, несущий однородный световой поток
плотности 200 лм/м2, падает на плоскую поверхность, внешняя нормаль к
которой образует с направлением лучей угол 1200. Какова освещенность
этой поверхности?
21. Найти с помощью кривой видности поток энергии, соответствующий
световому потоку в 1 лм с длиной волны 0.51 и 0.64 мкм.
22. Найти с помощью кривой видности световой поток, приходящийся на
интервал длин волн от 0.58 до 0.63 мкм, если соответствующий поток
энергии равен 4.5 мВт, причем поток энергии распределен равномерно по
всем длинам волн этого интервала. Считать, что в данном спектральном
интервале функция V(λ) зависит линейно от длины волны.
6
23. Над центром площадки на расстоянии 5 м от нее висит лампа. Рассчитать,
на каком расстоянии от центра площадки освещенность в 2 раза меньше,
чем в центре.
24. # В центре квадратной комнаты площадью 25 м2 висит лампа. Считая
лампу точечным источником света, найти, на какой высоте от пола должна
находиться лампа, чтобы освещенность в углах комнаты была наибольшей.
25. # Найти освещенность на поверхности Земли, вызываемую нормально
падающими солнечными лучами. Яркость Солнца равна 1.2.109 нт.
26. # Спираль электрической лампочки с силой света 100 кд заключена в
матовую сферическую колбу диаметром а) 5 см: б) 10 см. Найти
светимость и яркость лампы в обоих случаях. Потерей света в оболочке
колбы пренебречь.
27. # Лампа, в которой светящим телом служит накаленный шарик диаметром
3 мм, дает силу света 85 кд. Найти яркость этой лампы, если сферическая
колба этой лампы сделана а) из прозрачного стекла; б) из матового стекла.
Диаметр колбы равен 6 см.
28. # Электрическая лампа в 100 кд посылает во все стороны ежеминутно 122
Дж световой энергии. Найти механический эквивалент света и КПД
световой отдачи, если лампа потребляет мощность 100 Вт. Считать длину
волны света равной 555 нм.
29. # Найти с помощью кривой видности поток энергии, соответствующий
световому потоку 1 лм, если свет монохроматический и длина волны
равна: а) 610 нм; б) 520 нм.
30. # На экран площадью 3 м2, рассеивающий свет с коэффициентом
отражения 0.8, падает световой поток 150 лм. Определить светимость и
яркость экрана.
2. Интерференция
  L1  L2 – оптическая разность хода;
  2


– зависимость разности фаз от оптической разности хода;
  m , m  0,1,2,... – условие максимума при интерференции;
1
  (m  ) , m  1,2,3,... – условие минимума при интерференции;
2
m l
xm 
, m  0,1,2,3,... – расстояние от mой светлой полосы до нулевой в опыте
d
Юнга;
1

 m  l
2
xm  
, m  1,2,3,... – расстояние от mой темной полосы до нулевой в опыте
d
Юнга;
x 
l
d
– расстояние между центрами соседних максимумов в опыте Юнга;
7
  2d n 2  sin 2 i1 

2
– оптическая разность хода при отражении от тонкой
пленки;
rm  mR – радиус темных колец Ньютона в отраженном свете.
Примеры решения задач
Задача 2
Плосковыпуклая линза выпуклой стороной лежит на стеклянной пластине.
Радиус десятого темного кольца Ньютона в отраженном свете (длина волны 589
нм) равен 1.25 мм. Свет падает нормально. Определить фокусное расстояние
линзы, если она изготовлена из стекла с показателем преломления 1.6.
Решение:
Дано:
Фокусное расстояние линзы определяется
.
-9
λ=589 нм=589 10 м
радиусами
кривизны
её
поверхностей
и
n=1.6
 1
1
1 
 
 .
показателем
преломления:

(
n

1
)
.
-3
rm=1.25мм=1.25 10 м
F
 R1 R2 
m=10
Здесь R =R, R → ∞ (плоская поверхность); тогда
1
2
1
1
R
 n  1  , или F 
.
F
R
n 1
Найти:
F=?
Радиус m-го темного кольца Ньютона в
отраженном свете rm  mR , откуда R 


rm2
,а
m
2
rm2
R
1.25  10 3
F


 0.44 м .
n  1 m n  1 10  589  10 9  1.6  1
Ответ: F=0.44 м.
31. Расстояние между щелями в опыте Юнга равно 5.10-4 м, длина волны света
5.5.10-7 м. Определить расстояние от щелей до экрана, если расстояние
между соседними темными полосами на нем 10-3 м. Как и во сколько раз
изменится ответ в случае нахождения рассмотренных устройств на дне
озера (n=1.33)?
32. Зеркала Френеля расположены так, что ребро между ними находится на
расстоянии 20 см от параллельной ему щели и на расстоянии 1.8 м от
экрана. Какой угол должны образовывать зеркала, чтобы на экране
расстояние от первой темной до пятой темной полосы равнялось 1.4 см
при освещении красным светом с длиной волны 700 нм?
33. Расстояние между щелями в опыте Юнга 0.5 мм, длина волны 550 нм.
Каково расстояние от щелей до экрана, если расстояние между второй
темной и пятой светлой полосами на нем равно 3 мм?
34. Расстояния от бипризмы Френеля до узкой щели и экрана равны 25 см и
100 см соответственно. Бипризма стеклянная с преломляющим углом 20
минут. Найти длину волны света, если ширина интерференционной
полосы на экране 0.55 мм.
8
35. Плоская световая волна падает на бизеркала Френеля, угол между
которыми равен 2 минуты. Определить длину волны света, если ширина
интерференционной полосы на экране равна 0.55 мм.
36. На мыльную пленку падает под углом 450 параллельный пучок белого
света. Определить минимальную толщину пленки, если в отраженном
свете она кажется зеленой (длина волны 500 нм).
37. На тонкую пленку (показатель преломления 1.33) падает параллельный
пучок белого света. Угол падения 520. При какой минимальной толщине
пленки зеркально отраженный свет будет наиболее сильно окрашен в
желтый цвет (длина волны 600 нм)?
38. Найти минимальную толщину пленки с показателем преломления 1.33,
при которой свет с длиной волны 640 нм испытывает максимальное
отражение, а свет с длиной волны 400 нм не отражается совсем. Угол
падения света равен 300.
39. На тонкий стеклянный клин (показатель преломления 1.6) падает
нормально параллельный пучок света с длиной волны 500 нм. Расстояние
между соседними темными интерференционными полосами в отраженном
свете равно 0.5 мм. Определить угол между поверхностями клина.
40. На тонкий стеклянный клин падает нормально монохроматический свет.
Двугранный угол между поверхностями клина равен 2 минуты. Показатель
преломления стекла 1.55. Определить длину волны света, если расстояние
между соседними интерференционными максимумами в отраженном свете
равно 0.3 мм.
41. Между двумя плоскопараллельными стеклянными пластинками положили
тонкую проволочку на расстоянии 75 мм от линии соприкосновения
пластинок и ей параллельно. В отраженном свете (длина волны 500 нм)
видны интерференционные полосы. Определить толщину проволочки,
если на протяжении 30 мм насчитывается 16 светлых полос.
42. Мыльная пленка, расположенная вертикально, образует клин вследствие
стекания жидкости. Интерференция наблюдается в отраженном свете через
красное стекло (длина волны 631 нм). Расстояние между соседними
красными полосами при этом 3 мм. Затем эта же пленка наблюдается через
синее стекло (длина волны 400 нм). Найти расстояние между соседними
синими полосами. Свет падает перпендикулярно к поверхности пленки.
43. Мыльная пленка, расположенная вертикально, образует клин вследствие
стекания жидкости. При наблюдении интерференционных полос в
отраженном свете ртутной дуги (длина волны 546.1 нм) оказалось, что
расстояние между пятью полосами 2 см. Найти угол клина. Свет падает
перпендикулярно к поверхности пленки. Показатель преломления
мыльной воды 1.33.
44. Установка для наблюдения колец Ньютона в отраженном свете освещается
монохроматическим светом с длиной волны 500 нм, падающим нормально.
Пространство между линзой и стеклянной пластинкой заполнено водой.
9
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
Найти толщину слоя воды между линзой и стеклянной пластинкой в том
месте, где наблюдается третье светлое кольцо.
Плосковыпуклая линза выпуклой стороной лежит на стеклянной пластине.
Радиус десятого темного кольца Ньютона в отраженном свете (длина
волны 589 нм) равен 1.25 мм. Свет падает нормально. Определить
фокусное расстояние линзы, если она изготовлена из стекла с показателем
преломления 1.6.
Определить радиус 4-ого темного кольца Ньютона, если между линзой с
радиусом R=5 м и плоской поверхностью, к которой она прижата,
находится вода. Длина волны света λ=5.89.10-7 м.
Определить радиус кривизны плосковыпуклой линзы, которая вместе с
пластинкой позволяет наблюдать кольца Ньютона при освещении желтой
линией натрия (длина волны 589 нм), причем в отраженном свете
расстояние между первым и вторым светлыми кольцами равно 0.5 мм.
Расстояние между вторым и первым темными кольцами Ньютона в
отраженном свете равно 1 мм. Определить расстояние между десятым и
девятым кольцами.
Установка для получения колец Ньютона освещается монохроматическим
светом, падающим по нормали к поверхности пластинки. После того как
пространство между линзой и пластинкой заполнили жидкостью, радиусы
колец в отраженном свете уменьшились в 1.25 раза. Найти показатель
преломления жидкости.
От двух когерентных источников (длина волны 800 нм) лучи попадают на
экран. На экране наблюдается интерференционная картина. Когда на пути
одного из лучей перпендикулярно ему поместили мыльную пленку
(показатель преломления 1.33), интерференционная картина изменилась на
противоположную. При какой наименьшей толщине пленки это возможно?
На пути одного из интерферирующих лучей помещается стеклянная
пластина толщиной 12 мкм. Определить, на сколько полос сместится
интерференционная картина, если показатель преломления стекла равен
1.5, длина волны света 750 нм и свет падает на пластинку нормально.
На пути одного из интерференционных лучей помещается стеклянная
пластина толщиной 12.10-6 м. Найти, на сколько полос сместится
интерференционная картина, если nстекла=1.5; свет с длиной волны λ=750
нм падает на пластинку нормально.
Какой должна быть толщина пластинки при n=1.6 и длине волны 550 нм,
если с введением пластинки на пути одного из интерферирующих лучей
картина смещается на 4 полосы?
# На тонкий стеклянный клин падает нормально монохроматический свет.
Двугранный угол между поверхностями клина 2 минуты. Показатель
преломления стекла 1.55. Определить длину световой волны, если
расстояние между темными интерференционными полосами в отраженном
свете 0.4 мм.
10
55. # Определить толщину пленки, которая просветляла бы поверхность
стекла (nстекла=1.67), находящегося в воздухе, если показатель преломления
пленки nпленки= nстекла для длины волны 550 нм.
56. # На поверхности стекла находится пленка воды. На нее падает свет с
длиной волны 680 нм под углом 300. Найти скорость, с которой
уменьшается толщина пленки из-за испарения, если интенсивность
отраженного света меняется так, что промежуток времени между
последовательными максимумами отражения равен 15 мин.
57. # Для наблюдения интерференции от зеркал Френеля два плоских зеркала
расположили под углом 0.005 рад на расстоянии 4.9 м от экрана и на
расстоянии 10 см от узкой щели, параллельной обоим зеркалам.
Расстояние между соседними темными полосами на экране 2.5 мм.
Определить длину волны света.
58. # В опыте с интерферометром Майкельсона для смещения
интерференционной картины на 500 полос потребовалось переместить
зеркало на расстояние 0.161 мм. Найти длину волны падающего света.
59. # Для измерения показателя преломления аммиака в одно из плеч
интерферометра Майкельсона поместили откачанную трубку длиной 14
см. Концы трубки закрыли плоскопараллельными стеклами. При
заполнении трубки аммиаком интерференционная картина для длины
волны 590 нм сместилась на 180 полос. Найти показатель преломления
аммиака.
60. # В интерферометре Жамена на пути интерферирующих лучей помещены
две одинаковые трубки, закрытые прозрачными пластинами. Одна
заполнена воздухом при нормальных условиях, а из другой он выкачан.
Чему равен показатель преломления воздуха, если длина трубок 5 см и при
выкачивании воздуха интерференционная картина сместилась на 20 полос
(λ=0.73.10-6 м)?
3. Дифракция
abm
– радиус mой зоны Френеля при дифракции на круглом отверстии;
ab
a sin   m ; m=±1, ±2, ±3… – условие минимума при дифракции на щели;
a sin   m ; m=0; ±1.43, ±2.46, ±3.47, ±3.48… – условие максимума при
rm 
дифракции на щели;
1

a sin    m   ; m=1, 2, 3… – приблизительное условие максимума при
2

дифракции на щели;
d sin   m ; m=0, ±1, ±2, ±3… – условие главных максимумов при дифракции
на дифракционной решетке;
a sin   m ; m=±1, ±2, ±3… – условие главных минимумов при дифракции на
дифракционной решетке;
11
d sin  
m
 ; m≠0, ±N, ±2N, ±3N,… – условие дополнительных минимумов при
N
дифракции на дифракционной решетке;
d
m
– угловая дисперсия дифракционной решетки;

d d cos 
dl
Dl 
– линейная дисперсия дифракционной решетки;
d
1
– разрешающая способность оптического прибора,
R
D 

минимальное угловое расстояние
изображения которых разрешаются;
sin   1.22

D
между
точечными
где δΨ –
источниками,
– угловой радиус первого темного кольца при дифракции на
круглом отверстии;

R
– разрешающая способность спектрального прибора;

– разрешающая способность дифракционной решетки;
R  mN
2d sin   m ; m=±1, ±2, ±3… – формула Брэггов-Вульфа.
Примеры решения задач
Задача 3
Ширина прозрачного а и непрозрачного b участков дифракционной
решетки связаны с длиной волны так: а=0.5b=4. Определить углы,
соответствующие первым трем наблюдаемым максимумам.
Дано:
а=0.5b=4
Найти:
φ=?
Решение:
Условие главных максимумов при дифракции на решётке:
d sin   m , где m=0, ±1, ±2, ±3…. Найдём постоянную
дифракционной решётки: d=a+b=a+2a=3a=12, поскольку
а=4. Получим:
b=2a,
12 sin   m ,
или
sin  
m
,
12
m
.
 12 
  arcsin 
По условию постоянная решётки d кратна ширине щели a: d=3a, поэтому
один и тот же угол φ будет соответствовать и главному максимуму с номером
m, и главному минимуму с номером m’, если m= 3m’. В этом случае условие
главных максимумов можно записать так: 3a sin   m  3m , что является
также условием главных минимумов: a sin   m , и главный максимум не будет
наблюдаться. Таким образом, не будут наблюдаться максимумы с номерами
m=3, 6, 9, … . Искомыми первыми тремя наблюдаемыми будут максимумы с
номерами m=1, 2 и 4. Подставляем в расчётную формулу эти значения:
m
1
4
2
0
0
0
  arcsin    4.8 ,  2  arcsin    9.6 ,  4  arcsin    19.5 .
12
12
12
12
 
 
 
 
1  arcsin 
12
Ответ: 1  4.8 0 ,  2  9.6 0 ,  4  19.50 .
61. Свет от монохроматического источника с λ=5.10-7 м падает нормально на
диафрагму с круглым отверстием диаметром 6 мм. На расстоянии 3 м от
диафрагмы находится экран. Темным или светлым будет центр
дифракционной картины на экране?
62. Монохроматический свет с длиной волны 540 нм падает параллельным
пучком на круглое отверстие нормально к плоскости отверстия. На каком
расстоянии от отверстия должна находиться точка наблюдения, чтобы в
отверстии помещалась одна зона Френеля? Диаметр отверстия 1 см.
63. Дифракционная картина наблюдается на расстоянии l от точечного
источника монохроматического света с длиной волны 600 нм. На
расстоянии а=0.5l от источника помещена круглая непрозрачная преграда
диаметром 1 см. Найти расстояние l, если преграда закрывает только
центральную зону Френеля.
64. Интенсивность, создаваемая на экране некоторой монохроматической
световой волной в отсутствие преград, равна I0. Какова будет
интенсивность в центре дифракционной картины, если на пути волны
поставить преграду с круглым отверстием, открывающим: а) первую зону
Френеля; б) половину первой зоны Френеля; в) полторы зоны Френеля; г)
треть первой зоны Френеля?
65. Интенсивность нулевого максимума дифракционной картины от одной
щели шириной а равна I0. Определить интенсивность четырех
последующих максимумов, если известно, что максимумы наблюдаются
при условии sin=m/ а (m=1.43, 2.46, 3.47, 4.48,...).
66. На щель шириной а=6 падает нормально параллельный пучок
монохроматического света. Под каким углом будет наблюдаться третий
дифракционный минимум?
67. При нормальном падении света на дифракционную решетку шириной 10
мм обнаружено, что компоненты желтой линии натрия с длинами волн
589.0 и 589.6 нм оказываются разрешенными, начиная с пятого порядка
спектра. Найти период этой решетки. При какой ширине решетки с таким
же периодом можно разрешить в третьем порядке дублет спектральной
линии с длиной волны 460 нм, компоненты которого отличаются на 0.13
нм?
68. Дифракционная решетка шириной 12 мм содержит 4800 штрихов.
Определить: а) число максимумов, наблюдаемых в спектре дифракционной
решетки для λ=5.6.10-7 м, б) угол, соответствующий последнему
максимуму.
69. Две дифракционные решетки имеют одинаковую ширину 3 мм, но разные
периоды 3 мкм и 6 мкм. Определить их наибольшую разрешающую
способность для длины волны 589.6 нм.
70. Под углом 300 наблюдается четвертый максимум для красной линии с
длиной волны 644 нм. Определить период дифракционной решетки и ее
13
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
ширину, если в этом порядке спектра наименьший разрешаемый решеткой
интервал длин волн составляет 0.322 нм.
Сколько штрихов на 1 мм должна иметь дифракционная решетка, чтобы
углу 900 соответствовал максимум пятого порядка для света с длиной
волны 5.10-7 м?
Какую постоянную должна иметь дифракционная решетка шириной 2.5 см
для того, чтобы она могла разрешить в спектре первого порядка две
спектральные линии с разностью длин волн 55 пм? Длина волны света 0.55
мкм.
Период дифракционной решетки 4.10-6 м. Дифракционная картина
наблюдается с помощью линзы с фокусным расстоянием 0.4 м.
Определить длину волны падающего нормально на решетку света, если
первый максимум получается на расстоянии 0.05 м от центрального.
Постоянная дифракционной решетки в 4.6 раза больше длины световой
волны. На поверхность дифракционной решетки нормально к поверхности
падает монохроматический свет. Найти общее число К дифракционных
максимумов, которые теоретически возможно наблюдать в данном случае.
Угловая дисперсия дифракционной решетки для длины волны 668 нм в
спектре первого порядка dφ/dλ=2.02.105 рад/м. Найти период
дифракционной решетки.
Какое фокусное расстояние должна иметь линза, проецирующая на экран
спектр, полученный при помощи дифракционной решетки, чтобы
расстояние между двумя линиями калия 404.4 и 404.7 нм в спектре первого
порядка было равно 0.1 мм? Постоянная решетки 2 мкм.
Имеется зрительная труба с диаметром объектива 5 см. Определить
разрешающую способность объектива трубы и минимальное расстояние
между двумя точками, находящимися на расстоянии 3 км от трубы,
которое она может разрешить. Длина волны 550 нм.
В зрительную трубу рассматривается лунная поверхность. Диаметр
объектива трубы 4 см. При каком минимальном расстоянии между двумя
кратерами их можно увидеть раздельно? Длину волны принять равной 600
нм. Расстояние от Земли до Луны равно 3.84.108 м.
Узкий пучок рентгеновских лучей падает под углом скольжения 600 на
грань монокристалла NaCl, плотность которого 2160 кг/м3. При зеркальном
отражении от этой грани образуется максимум второго порядка.
Определить длину волны излучения.
При прохождении пучка рентгеновских лучей с длиной волны 17.8 пм
через поликристаллический образец на экране, расположенном на
расстоянии 15 см от образца, образуется система дифракционных колец.
Определить радиус светлого кольца, соответствующего второму порядку
отражения от системы плоскостей с межплоскостным расстоянием 155 пм.
# Между точечным источником света и экраном поместили диафрагму с
круглым отверстием, радиус которого можно менять. Расстояния от
диафрагмы до источника света и до экрана равны 1 м и 1.25 м
14
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
соответственно. Определить длину волны света, если максимум
освещенности в центре дифракционной картины на экране наблюдается
при радиусе отверстия 1 мм и следующий максимум при радиусе 1.29 мм.
# Плоская монохроматическая световая волна с интенсивностью I0 падает
нормально на непрозрачный экран с круглым отверстием. Какова
интенсивность света за экраном в точке, для которой отверстие: а) равно
первой зоне Френеля; б) внутренней половине первой зоны; в) отверстие
сделали равным первой зоне Френеля и затем закрыли его половину по
диаметру? Применить метод графической интерпретации зон Френеля.
# На щель шириной 0.1 мм нормально падает параллельный пучок света с
длиной волны 600 нм. Определить ширину центрального максимума в
дифракционной картине, проектируемой при помощи линзы с фокусным
расстоянием 1 м.
# Период дифракционной решетки 10-5 м, а ширина прозрачной части
2.5.10-6 м. Сколько максимумов не будет наблюдаться в спектре по одну
сторону от нулевого максимума до угла 300 из-за влияния главных
минимумов? Длина волны света 5.10-7 м.
# Дифракционная решетка содержит 1000 щелей. Какова ее ширина, если
под углом 900 наблюдается 4999-й добавочный минимум дифракционной
картины для длины волны 5.9.10-7 м?
# Ширина прозрачного а и непрозрачного b участков дифракционной
решетки связаны с длиной волны так: а=0.5b=4. Определить углы,
соответствующие первым трем наблюдаемым максимумам.
# Границы видимого спектра: 360-700 нм. На дифракционную решетку,
содержащую 1200 штрихов на мм, падает нормально белый свет. Спектр
проецируется на экран, расположенный недалеко от решетки, линзой с
фокусным расстоянием 4 м. Определить длину спектра первого порядка на
экране.
# Какова должна быть постоянная дифракционной решетки, чтобы в
первом порядке были разрешены линии спектра калия 404.4 нм и 404.7 нм?
Ширина решетки 3 см.
# Можно ли различить невооруженным глазом два находящихся на
расстоянии 2 км столба, отстоящих друг от друга на 1 м? Диаметр зрачка
принять равным 4 мм.
# Английские физики У.Г. и У.Л. Брэгги (отец и сын Брэгги) впервые
измерили в 1913 г. длину волны рентгеновских лучей. Измерив углы, под
которыми возникают дифракционные максимумы при отражении от
монокристалла каменной соли, Брэгги нашли длину волны. Вычислить
длину волны использованного в данном опыте рентгеновского излучения,
если максимумы интенсивности были получены при углах скольжения,
равных 5059`, 1203` и 18014`. Каменная соль NaCl принадлежит к
кубическому типу симметрии; ее плотность 2160 кг/м3.
15
4. Поляризация, поглощение
tgiB  n21 – закон Брюстера;
I  I 0 cos 2  – закон Малюса;
    d ;    Cd – угол поворота плоскости поляризации оптически
активными веществами;
I  I 0 exp   l  – закон Бугера; I  I 0 exp   C  l  – закон Бугера-Ламберта-Бэра.
Примеры решения задач
Задача 4
Плоскополяризованный свет падает на николь так, что угол между
плоскостями поляризации света и главного сечения николя равен 60 0.
Определить толщину николя, если интенсивность света уменьшилась в 6 раз.
Коэффициент отражения на грани призм =0.1, коэффициент поглощения
  20м 1 .
Дано:
I пад.
6
I прош.
φ=600
=0.1
Решение:
Пусть I0 – интенсивность света на входе в призму Николя, I
– на выходе. Для идеального николя по закону Малюса
I
 cos 2    – доля прошедшей световой энергии. Однако здесь
I0
надо учесть ещё две причины уменьшения интенсивности света:
отражение на грани призмы и поглощение. По условию 10%
Найти:
света отражается, 90% – проходит, тогда доля прошедшей
l=?
световой энергии от падающей на николь составит η1=(1–ρ).
Толщину слоя поглощающего вещества можно найти из закона
Бугера: I1  I 2 exp  l  ,то есть доля прошедшей световой энергии от всей
  20м 1
I1
 exp l  , если учитывать только поглощение.
I2
I
I
Теперь учтём все три процесса: прош.   1  2 , или прош.  cos 2   1     exp l  .
I пад.
I пад.
I
1
Отсюда exp l   прош.  2
, и далее после логарифмирования
I пад. cos   1   
падающей составляет  2 
l
l


1  I пад.
1  I прош.
1
2
 . После подстановки:



l


ln

cos


1


;
 ln


  I прош.
  I пад. cos 2   1    


 

1
 ln 6  cos 2 60 0  1  0.1  0.015 м .
-1
20м
Ответ: l=0.015 м =1.5 см.
91. Определить скорость света в алмазе, если угол полной поляризации света
при отражении от поверхности алмаза равен 67030’.
92. Предельный угол полного внутреннего отражения для некоторой жидкости
равен 490. Определить угол полной поляризации.
16
93. Естественный луч света падает на поверхность стеклянной пластинки,
погруженной в жидкость. Показатель преломления стекла равен 1.5.
Отраженный от пластинки луч образует угол 970 с падающим лучом.
Определить показатель преломления жидкости, если отраженный луч
поляризован.
94. Один поляроид пропускает 30% света, если на него падает естественный
свет. После прохождения света через 2 поляроида интенсивность падает до
9%. Найти угол между осями поляроидов.
95. Луч света последовательно проходит через 2 николя, плоскости
пропускания которых образуют угол 400. Принимая, что коэффициент
поглощения каждого николя равен 0.2, найти, во сколько раз луч,
выходящий из второго николя, ослаблен по сравнению с лучом, падающим
на первый николь. Свет естественный.
96. Угол  между плоскостями пропускания поляроидов равен 600.
Естественный свет, проходя через такую систему, ослабляется в 16 раз.
Пренебрегая потерей света при отражении, определить коэффициент
поглощения света в поляроидах.
97. Пучок естественного света падает на систему из 4-х николей, плоскость
пропускания каждого из которых повернута на угол 30 0 относительно
плоскости пропускания каждого предыдущего николя. Какая часть энергии
падающего пучка проходит через такую систему?
98. Угол между главными плоскостями поляризатора и анализатора равен 45 0.
Во сколько раз уменьшится интенсивность света, выходящего из
анализатора, если угол увеличить до 600?
99. Чему равен угол между главными плоскостями поляризатора и
анализатора, если интенсивность естественного света, прошедшего через
поляризатор и анализатор, уменьшилась в 4 раза? Поглощением
пренебречь.
100. Чему равен угол между главными плоскостями поляризатора и
анализатора, если интенсивность естественного света, прошедшего через
поляризатор и анализатор, уменьшится в 6 раз? Поглощение света в
поляризаторе и анализаторе по 15%.
101. Угол между плоскостями поляризации двух поляроидов 350. Как
изменится интенсивность прошедшего через них света, если этот угол
увеличить вдвое?
102. Естественный свет проходит через поляризатор и анализатор,
поставленные так, что угол между их главными плоскостями равен α. Как
поляризатор, так и анализатор поглощают и отражают 8% падающего на
них света. Оказалось, что интенсивность луча, вышедшего из анализатора,
равна 9% интенсивности естественного света, падающего на поляризатор.
Найти угол α.
103. При падении естественного света на некоторый поляризатор проходит
30% светового потока, а через два таких поляризатора – 13.5%. Найти угол
между плоскостями пропускания этих поляризаторов.
17
104. Плоскополяризованный свет интенсивностью 100 лм/м2 проходит
последовательно через два поляризатора, плоскости которых образуют с
плоскостью колебаний в исходном луче углы 200 и 500 (углы
отсчитываются от плоскости колебаний по часовой стрелке, если смотреть
вдоль луча). Определить интенсивность света по выходе из второго
поляризатора.
105. Интенсивность плоскополяризованного света, прошедшего через
поляроид, уменьшилась в два раза. После того, как перед поляроидом
установили пластинку оптически активного кристалла толщиной 510-2 м,
интенсивность света, вышедшего из поляроида, уменьшилась в 4 раза по
сравнению с начальной. Определить постоянную вращения кристалла.
106. Кварцевую пластинку поместили между скрещенными николями. При
какой наименьшей толщине dmin кварцевой пластинки поле зрения между
николями будет максимально осветлено? Постоянная вращения  кварца
равна 27 град/мм.
107. При прохождении света через трубку длиной 0.2 м, содержащую раствор
сахара с концентрацией 10%, плоскость поляризации света повернулась на
угол 13.30. Определить концентрация другого раствора, налитого в трубку
длиной 0.15 м, если угол поворота плоскости поляризации для второго
раствора 5.20.
108. Концентрация раствора сахара, налитого в стеклянную трубку, равна 300
кг/м3. Раствор вращает плоскость поляризации на 250. Определить
концентрацию раствора в другой такой же трубке, если он вращает
плоскость поляризации на 200.
109. Между скрещенными николями поляриметра поместили трубку с
сахарным раствором. Поле зрения при этом стало максимально светлым.
Определить длину трубки, если концентрация сахара 270 кг/м3, а его
удельное вращение 0.665 град.м2/кг.
110. Плоскополяризованный монохроматический луч света падает на поляроид
и полностью им гасится. Когда на пути луча поместили кварцевую
пластинку, интенсивность луча света после поляроида стала равна
половине интенсивности луча, падающего на поляроид. Определить
толщину кварцевой пластины. Постоянная вращения кварца 48.9 град/мм.
111. Определить наименьшую толщину пластинки в четверть длины волны из
исландского шпата. Как должна быть направлена оптическая ось кристалла
относительно граней такой пластинки (длина волны 589 нм, показатели
преломления обыкновенного и необыкновенного лучей соответственно
1.66 и 1.49)?
112. Коэффициент поглощения красного света с длиной волны =0.710-6 м в
воде равен 2.4 м-1. Какой толщины слой воды должен пройти
параллельный пучок лучей, чтобы световой поток уменьшился в два раза?
113. В некоторой среде распространяется плоская монохроматическая световая
волна. Коэффициент поглощения среды для данной длины волны 1 м -1
(коэффициентом поглощения такого порядка обладает стекло). На сколько
18
процентов уменьшается интенсивность света при прохождении волной
пути, равного: а) 5 мм (оконное стекло); б) 10 мм (зеркальное стекло); в) 1
м; г) 4.6 м?
114. # Определить угол полной поляризации, если свет падает из воды
(показатель преломления 1.33) в стекло (1.6). Как поляризован падающий
луч, если в этом случае отраженные лучи отсутствуют?
115. # Два николя расположены так, что угол между плоскостями их главных
сечений равен 300. Во сколько раз уменьшится интенсивность
естественного света при прохождении через оба николя? Коэффициент
отражения на грани призмы 5%, коэффициент поглощения 2 м-1, толщина
каждого николя 5 см.
116. # Плоскополяризованный свет падает на николь так, что угол между
плоскостями поляризации света и главного сечения николя равен 600.
Определить толщину николя, если интенсивность света уменьшилась в 6
раз. Коэффициент отражения на грани призм =0.1, коэффициент
поглощения ‫=אּ‬20 м-1.
117. # На систему из двух скрещенных поляроидов падает естественный свет.
После того, как между поляроидами установили кювету с раствором
сахара длиной 20 см, интенсивность света, вышедшего из второго
поляроида, оказалась в 4 раза меньше интенсивности естественного света.
Определить концентрацию раствора, если удельное вращение сахара 0.665
град.м2/кг. Потерями на поглощение пренебречь.
118. # Определить постоянную вращения кварца, если кварцевая пластинка,
вырезанная перпендикулярно оптической оси и помещенная между
николями с параллельными главными плоскостями, полностью затемняет
поле зрения. Толщина пластинки 4.0210-3 м.
119. # Плоско поляризованный свет падает нормально на пластинку в четверть
длины волны. Поверхность пластинки параллельна оптической оси. Какой
угол с оптической осью должна образовывать плоскость поляризации
падающего света, чтобы после прохождения пластинки получился
поляризованный по кругу свет?
120. # При прохождении в некотором веществе пути l интенсивность света
уменьшается в 2 раза. Во сколько раз уменьшится интенсивность при
прохождении пути 3l?
5. Тепловое излучение
r ,T 
dWизлуч.
tSd
–
спектральная
плотность
энергетической
светимости
(монохроматическая излучательная способность);
RT 
dWизлуч.
dtS
– полная (интегральная) энергетическая светимость;

RT   r ,T d – связь полной и монохроматической излучательной способности;
0
19
a ,T 
dWпоглощ.
– спектральная поглощательная способность, для абсолютно
dWпадающ.
черного тела aа,.Tч.т.  1 ;
r ,T
 а,.Tч.т. – закон Кирхгофа, где а,.Tч .т . – универсальная функция Кирхгофа,
a ,T
одинаковая для всех тел;
b
– закон смещения Вина, где b=2.90.10-3 м.К;
T
r ,T max  bT 5 – второй закон Вина, где b’=1.29.10-5 Вт.м-3.К-5;
m 
RT  T 4
– закон Стефана-Больцмана (для абсолютно черного тела), где
2 5 k 4
=5.67.10-8 Вт.м-2К-4;
2 3
15c h
4
RT  aT 4  Tрад
. – для серого тела, где а – коэффициент серости (черноты);

  ,T  2
2
c
h
2
e
h
kT
– формула Планка.
1
Примеры решения задач
Задача 5
Теплопроводящий шар по размеру равен объему Земли (R=6.4.106 м).
Удельная теплоемкость 200 Дж/кг.К, плотность шара 5500 кг/м3, начальная
температура 300 К. Определить время остывания шара на 0.001 К. Шар считать
абсолютно черным.
Решение:
Дано:
R=6.4.106 м
С=200 Дж/кг.К
Т0 =300 K
ρ=5500 кг/м3
ΔТ=0.001 K
По
светимости: RT 
dWизлуч.
dt  S
полной
энергетической
; здесь dWизл.  dQ – излучённая
телом площади S за время dt энергия; dQ  C  m  dT –
количество теплоты, полученной телом массой m при
нагреве на dT. По закону Стефана-Больцмана для
абсолютно
чёрного
тела
Тогда
RT  T 4 .
4
RT  S  dt  C  m  dT , или   T  S  dt  C  m  dT , откуда
Найти:
t=?
dt  
определению
C  m  dT
. Проинтегрируем это равенство и вынесем постоянные величины
S  T 4
за знак интеграла:
Cm
0 dt   S   
t
T0  T


T0
T0 T
dT
C m 
1 

. Отсюда t  

4
S    3  T 3  T0
T
, или:

 1
 Cm T03  T0  T 3
1

  3 

.
После
преобразований
3 
3
3
3
S

T




T


T
T
T


T
0
0
0
0


2
3
2
Cm 3T0 T  3T0 T   T 
получим: t 
. Поскольку T  T0 , в числителе

3
3S
T03 T0  T 
t
C m
3  S 


20
можно пренебречь двумя последними слагаемыми, и в знаменателе – вторым


Cm 3T02 T
CmT
.
 3 3 
3S T0  T0
ST04
4
Масса шара m    V    R 3 , а площадь поверхности S  4R 2 , тогда
3
4 3
C R T
CmT
CRT 200  5500  6.4  10 6  0.001
3
t



 5.11  10 6 с   59суток  .
ST04
4R 2T04
3T04
3  5.67  10 8  300 4
слагаемым; тогда t 
Ответ: t=5.11.106 с = 59 суток.
121. Приняв температуру Солнца равной 6000 К, определить: а) мощность,
излучаемую с 1 м2 его поверхности, б) длину волны, соответствующую
максимуму спектральной плотности энергетической светимости, в)
максимальную спектральную плотность энергетической светимости.
Принять Солнце за абсолютно черное тело.
122. Температура «голубой» звезды 30000 К. Определить: а) интегральную
интенсивность излучения, б) длину волны, соответствующую максимуму
спектральной плотности энергетической светимости, в) максимальную
спектральную плотность энергетической светимости.
123. Какую долю энергии, ежесекундно получаемой от Солнца, излучал бы
земной шар, если бы температура его поверхности везде равнялась бы 273
К и коэффициент поглощения равнялся бы 1? Солнечная постоянная
(мощность излучения, падающего на единицу площади, помещенной
перпендикулярно солнечным лучам за пределами земной атмосферы на
расстоянии от Солнца, равном среднему расстоянию между Землей и
Солнцем) равна 2 кал/см2.мин (перевести в единицы СИ).
124. Солнечная постоянная Ес (мощность излучения, падающего на единицу
площади, помещенной перпендикулярно солнечным лучам за пределами
земной атмосферы на расстоянии от Солнца, равном среднему расстоянию
между Землей и Солнцем 1.5.108 км) равна 1400 Вт/м2. Определить
радиационную температуру поверхности Солнца, если его радиус
Rс=6.9.105 км.
125. Определить температуру абсолютно черной не теплопроводящей
пластинки,
расположенной
за
пределами
земной
атмосферы
.
-4 2
перпендикулярно лучам Солнца, если при этом на каждый 1 10 м за 60 с
падает 8.2 Дж энергии. Излучение считать равновесным.
126. Определить температуру теплопроводящей сферы, помещенной за
пределами земной атмосферы. Сферу считать абсолютно черной, а
излучение равновесным. Солнечная постоянная равна 1400 Вт/м2.
127. Определить лучистые теплопотери человека в мороз при температуре
воздуха 250 К за 1 минуту. Площадь поверхности человека 2 м2,
поглощательная способность 0.2.
128. Вычислить энергию, теряемую человеком ежесекундно при теплообмене
лучеиспусканием (и поглощением) с окружающей средой. Рассмотреть два
21
случая: а) раздетый человек; б) человек, одетый в костюм из шерстяной
ткани. Принять коэффициент поглощения кожи человека 0.9, шерстяной
ткани 0.76. Температуры поверхности кожи 300, поверхности ткани 200 и
окружающего воздуха 180. Площадь поверхности 1.2 м2.
129. Определить поглощательную способность а серого тела, температура
которого равна 1400 К, если тело нагревается током силой 1 А, падение
напряжения на клеммах, соединенных с телом, 200 В, а площадь
поверхности тела 1.10-3 м2.
130. Поток излучения абсолютно черного тела 104 Вт, максимум спектральной
плотности энергетической светимости приходится на длину волны 10 -6 м.
Определить площадь излучающей поверхности.
131. Определить радиус сферического зеркала, используемого в качестве
конденсора гелиопечи, в фокусе которой помещен цилиндрический
теплопроводящий образец высотой 1.10-2 м и радиусом 1.10-2 м,
плавящийся при температуре 1300 К. Излучение сфокусировано на дно
цилиндра. Гелиопечь находится в вакуумированном сосуде.
132. Полагая, что Солнце обладает свойствами абсолютно черного тела,
определить интенсивность солнечного излучения вблизи Земли за
пределами ее атмосферы (солнечную постоянную). Температура
солнечной поверхности равна 5785 К.
133. Определить температуру и полную испускательную способность
абсолютно черного тела, если максимум энергии излучения приходится на
длину волны 400 нм.
134. Как и во сколько раз изменится полная испускательная способность
абсолютно черного тела, если максимум энергии излучения переместился с
красной границы видимого спектра (780 нм) на фиолетовую (390 нм)?
135. Температура вольфрамовой спирали электрической лампочки равна 2450
К, мощность излучения равна 25 Вт. Отношение интенсивности ее
излучения к интенсивности абсолютно черного тела при данной
температуре равно 0.3. Найти площадь излучающей поверхности спирали.
136. Абсолютно черное тело находится при температуре 3000 К. В результате
остывания этого тела длина волны, на которую приходится максимум
спектральной плотности энергетической светимости, изменилась на 12
мкм. До какой температуры охладилось тело?
137. Из смотрового окошечка печи излучается поток 4 кДж/мин. Определить
температуру печи, если площадь окошечка 8 см2, и длину волны, на
которую приходится максимум энергии излучения.
138. Определить количество теплоты, теряемое поверхностью расплавленной
платины площадью 50 см2 за 1 минуту, если поглощательная способность
платины равна 0.8. Температура плавления платины 17700С.
139. Полная энергетическая светимость черного тела 10 кВт/м2. Определить
длину волны, соответствующую максимуму спектральной плотности
энергетической светимости этого тела.
22
140. # Температура абсолютно черного тела увеличилась в 2 раза, в результате
чего длина волны, на которую приходится максимум спектральной
плотности энергетической светимости, уменьшилась на 6.10-7 м.
Определить начальную и конечную температуру тела.
141. # Какую температуру должно иметь тело, чтобы оно при температуре
окружающей среды 290 К излучало в 100 раз больше энергии, чем
поглощало?
142. # По пластинке идет электрический ток, в результате чего она достигает
равновесной температуры 1400 К. После этого мощность электрического
тока уменьшается в два раза. Определить новую равновесную
температуру.
143. # Равновесная температура тела равняется Т1. Площадь излучения S,
поглощательная способность а. Выделяемая в теле мощность
увеличивается на ΔP. Определить новую равновесную температуру.
144. # По пластинке длиной 3.10-2 м и шириной 1.10-2 м проходит ток
напряжением 2 В. После установления теплового равновесия температура
пластинки составила 1050 К. Определить силу тока, если поглощательная
способность пластинки 0.8. Температуру пластинки считать постоянной по
всей ее площади.
145. # Теплопроводящий шар по размеру равен объему Земли (R=6.4.106 м).
Удельная теплоемкость 200 Дж/кг.К, плотность шара 5500 кг/м3, начальная
температура 300 К. Определить время остывания шара на 0.001 К. Шар
считать абсолютно черным.
146. # Определить температуру абсолютно черной теплопроводящей
пластинки,
расположенной
за
пределами
земной
атмосферы
.
-4 2
перпендикулярно лучам Солнца, если при этом на каждый 1 10 м за 60 с
падает 8.2 Дж энергии. Излучение считать равновесным.
147. # Какова предельная температура нагревания электроутюга мощностью
600 Вт в вакууме, если площадь излучающей поверхности 3 .10-2 м2, а
поглощательная способность а=0.2? Температура поля излучения
окружающей среды Т0=300 К.
148. # Найти с помощью формулы Планка мощность излучения единицы
поверхности абсолютно черного тела, приходящегося на узкий интервал
длин волн 1 нм вблизи максимума спектральной плотности излучения при
температуре тела 3000 К.
149. # Определить относительную погрешность в определении постоянной
Планка по результатам пирометрического исследования теплового
излучения серого тела, проведенным без учета его интегральной степени
черноты. Радиационная температура, измеренная экспериментально, 1400
К. Температура, определяемая одновременно термопарой, равна 1700 К.
150. # Металлическая поверхность площадью 15 см2, нагретая до 3000 К,
излучает за 1 минуту энергию 100000 Дж. Найти коэффициент серости
поверхности и радиационную температуру. Чему равна энергия, которую
излучала бы эта поверхность, если бы была абсолютно черной?
23
6. Квантовые свойства света.
а) Энергия, импульс фотона. Давление света
E   h 
hc

– энергия фотона;
h h
 – импульс фотона;
c

E
p  e (1   )  w(1   ) – давление света;
c
dW
I
– интенсивность света.
S n  dt
p 
б) Внешний фотоэлектрический эффект
h  Aвых. 
0 
2
max
mv
2
 h 0  eU з – уравнение Эйнштейна для фотоэффекта;
Aвых.
ch
; 0 
– красная граница фотоэффекта;
Aв ых.
h
в) Эффект Комптона
      
h
1  cos  – изменение длины волны при эффекте Комптона.
me c
Примеры решения задач
Задача 6
Монохроматический пучок света интенсивностью 0.1 Вт/см2 падает под
углом 300 на плоскую отражающую поверхность с коэффициентом отражения
0.7. Определить нормальное давление, оказываемое светом на эту поверхность.
Решение:
Дано:
Пусть на поверхность площадью S за время
I=0.1Вт/см2=0.1.104Вт/м2
Δt падает N фотонов. По условию ρ=0.7, то есть
α=300
70% фотонов отражается (N1=ρN=0.7N), 30% –
ρ=0.7
поглощается (N2=(1–ρ)N=0.3N).
Импульс
h
Найти:
p 
фотона равен
. При отражении
c
p=?



p  p 2  p1
изменение импульса фотона
направлено по нормали к площадке и равно по

p  2 p cos  (см. рис.2; здесь p1 –
величине

импульс падающего фотона, p2 – отражённого).
α Sn
Изменение величины импульса поглощённого


фотона равно величине самого импульса; найдём его
p1
p2
проекцию на нормаль к площадке (поскольку
требуется найти нормальное давление): p  p cos  .

p
По закону сохранения импульса суммарное
α
изменение импульса фотонов равно величине
α
импульса,
полученного
площадкой:
S
Рис.2
p  N1 p  N 2 p  N  2 p cos   1   N  p cos  , или
24
p  Np cos  1    , откуда по второму закону Ньютона в импульсной форме
p Np cos  1   
, а

t
t
F Np cos  1    Nh cos  1    W cos  1   
затем – давление: p   
, где W –


S
t  S
c  t  S
c  t  S


p  F  t найдём силу нормального давления света: F 
суммарная энергия всех фотонов, падающих на площадку S за время Δt.
Выразим W через интенсивность света I: интенсивностью света называется
энергия световой волны, переносимая за единицу времени через единичную
площадку, перпендикулярную лучу: I 
W
; здесь S n – величина площадки,
S n  t
перпендикулярной лучу, так что S n  S  cos 
(см. рис.), S 
I
W cos  1   
, или p  cos 2  1    . Подставим
S
c
c  t  n
cos 
3
10
p
cos 2 30 0 1  0.7   1.59  10 6 Па  1.59 мкПа .
8
8  10
Ответ: p  1.59  10 6 Па  1.59 мкПа
p
Sn
. Тогда
cos 
численные
значения:
Задача 7
Угол рассеяния фотона при эффекте Комптона 900. Угол отдачи электрона
300. Определить энергию падающего фотона.
Решение:
Дано:
По закону сохранения импульса импульс падающего фотона
θ=900
равен сумме импульса электрона отдачи и импульса рассеянного
α=300

Найти:
Еγ=?

p
 θ


фотона: p  pe  p (см. рис.3). Из рисунка tg 
p
p
. Импульс
фотона выразим через длину волны падающего фотона λ и

p
, p 
h

, тогда tg  ,


Длины волн
падающего и
рассеянного   : p 
e

p
или
α
Рис.3
 

.
tg
h

рассеянного фотона связаны соотношением:
   
h
1  cos   .
me c
выражение для   :
Подставим
в
него

h
1  cos   . Отсюда
 
tg
me c
hc
h 1  cos  
. Энергия фотона E  , следовательно,

me c  1


 1
 tg

2
me c
 1

hc
E 

 
 1 . Подставим численные значения:
 1  cos    tg 
можно выразить λ:  
25
E 



 1

 
 1  6  10 14 Дж .
0
 tg30

14
Ответ: E  6 10 Дж
9.1  10 31  3  10 8
1  cos 90 0

2
151. В параллельном пучке 7.6.103 фотонов имеют суммарный импульс, равный
среднему импульсу атома гелия при температуре 300 К. Определить длину
волны света.
152. На расстоянии 5 м от точечного монохроматического изотропного
источника света с длиной волны 5.10-7 м расположена площадка площадью
10-6 м2 перпендикулярно падающим лучам. Определить число фотонов,
ежесекундно падающих на площадку. Мощность излучения 100 Вт.
153. Импульс, переносимый плоским монохроматическим потоком за 5 с через
площадку 10-3 м2, перпендикулярную световому потоку, равен 10-11 кг.м/с.
Определить интенсивность света и давление, оказываемое им на площадку.
Коэффициент отражения 0.5.
154. Монохроматический параллельный пучок света с длиной волны 6.6.10-7 м
нормально падает на зачерненную поверхность. Определить число
фотонов, ежесекундно поглощаемых 1 см2 поверхности, если давление
света на поверхность равно 0.1 Па.
155. Давление света, производимое на зеркальную поверхность, равно 4 мПа.
Определить концентрацию фотонов вблизи поверхности, если длина волны
света 500 нм.
156. Поток энергии, излучаемой электрической лампочкой, равен 600 Вт. На
расстоянии 1 м от лампочки перпендикулярно к падающим лучам
расположено круглое плоское зеркало диаметром 2 см. Определить силу
светового давления на зеркало. Лампочку рассматривать как точечный
изотропный излучатель.
157. Свет падает на плоскую пластинку под углом α≠0. В каком направлении
будет отталкиваться пластинка, если: а) поверхность поглощает весь свет;
б) поверхность зеркально отражает свет?
158. Найти длину волны света, которым освещается поверхность металла, если
фотоэффект исчезает при задерживающей разности потенциалов 0.3 В, а
работа выхода электрона из металла 7.5.10-19 Дж.
159. Калий с работой выхода 3.2.10-19 Дж освещается монохроматическим
светом с длиной волны 5.09.10-7 м. Определить максимально возможную
кинетическую энергию фотоэлектронов. Сравнить ее со средней энергией
теплового движения электронов при температуре 290 К.
160. На поверхность никеля падает монохроматический свет с длиной волны
200 нм. Красная граница фотоэффекта для никеля 248 нм. Определить
энергию падающих фотонов, работу выхода электронов, кинетическую
энергию электронов и их скорость.
161. Фотоэлектроны, вырываемые с поверхности некоторого металла светом с
частотой 2.2.1015 с-1, полностью задерживаются потенциалом 6.6 В, а
26
вырываемые светом с частотой 4.6.1015 с-1 – потенциалом 16.5 В. Найти
постоянную Планка.
162. Цинковую пластинку освещают ультрафиолетовым светом с длиной
волны 30 нм. Определить, на какое расстояние от пластинки может
удалиться электрон, если вне пластинки имеется задерживающее
однородное электрическое поле с напряженностью 10 В/см. Авых.=5.4.10-19
Дж.
163. Фотон с длиной волны 10 пм в результате эффекта Комптона был рассеян
на электроне на угол 1200. Определить длину волны рассеянного фотона и
его импульс.
164. Фотон с энергией 2mc2 был рассеян на свободном электроне. Определить
максимальную длину волны фотона после рассеяния и кинетическую
энергию электрона отдачи (m – масса электрона, с – скорость света).
165. Вычислить максимальное изменение длины волны при рассеянии фотонов
на протонах.
166. При рассеянии фотона на покоящемся электроне длина волны фотона,
рассеянного под углом 900, изменилась вдвое. Определить импульс и
кинетическую энергию электрона отдачи.
167. Определить угол, на который был рассеян γ-квант с энергией 1.02 МэВ
при эффекте Комптона, если кинетическая энергия электрона отдачи равна
0.51 МэВ.
168. Угол рассеяния фотона при эффекте Комптона 900. Угол отдачи электрона
300. Определить энергию падающего фотона.
169. Фотон с энергией 0.3 МэВ рассеялся под углом 180 0 на свободном
электроне. Определить долю энергии фотона, приходящуюся на
рассеянный фотон.
170. Фотон с длиной волны 0.1 нм рассеялся на свободном электроне под
углом 900. Какую долю своей энергии фотон передал электрону?
171. # Лампочка карманного фонаря потребляет мощность 1 Вт. Приняв, что
эта мощность рассеивается во всех направлениях в виде излучения и что
средняя длина волны излучения лампочки равна 1 мкм, определить число
фотонов, падающих на 1 см2 площадки, поставленной перпендикулярно
лучам на расстоянии 1 км, в течение 1 с.
172. # Найти показатель преломления среды, в которой свет с энергией кванта
4.4.10-19 Дж имеет длину волны 330 нм.
173. # Энергия, излучаемая в безвоздушном пространстве абсолютно черным
шаром диаметром 10 см за 1 с, равна 7.108 Дж. Определить энергию и
импульс фотона, длина волны которого равна длине волны,
соответствующей максимуму излучательной способности этого шара.
174. # Определить давление на стенки электрической 150-ваттной лампочки,
принимая, что вся потребляемая мощность идет на излучение и стенки
лампочки отражают 15% падающего на них света. Считать лампочку
сферическим сосудом радиусом 4 см.
27
175. # Монохроматическое излучение с длиной волны 600 нм падает на
фоточувствительную поверхность, чувствительность которой 9 .10-3 А/Вт,
освобождая при этом 930 фотоэлектронов. Определить число квантов,
попавших на поверхность.
176. # Железный шарик, отдаленный от других тел, облучают
монохроматическим светом с длиной волны 2.10-7 м. До какого
максимального потенциала зарядится шарик, теряя фотоэлектроны? Работа
выхода из железа 6.9.10-19 Дж.
177. # Монохроматический пучок света интенсивностью 0.1 Вт/см2 падает под
углом 300 на плоскую отражающую поверхность с коэффициентом
отражения 0.7. Определить нормальное давление, оказываемое светом на
эту поверхность.
178. # На поверхность металла падает монохроматическое излучение с длиной
волны 0.1 мкм. Красная граница фотоэффекта 0.3 мкм. Какая доля энергии
фотона расходуется на сообщение электрону кинетической энергии?
179. # Фотон с энергией mc2 при эффекте Комптона на свободном электроне
был рассеян на угол 900 (m – масса электрона). Определить импульс
электрона.
180. # Фотон рассеивается на покоящемся протоне. Энергия рассеянного
фотона равна кинетической энергии протона отдачи, угол рассеяния 900.
Найти энергию падающего фотона.
7. Строение атома. Постулаты Бора.
Спектры атомов. Закон Мозли
me v  r  n , n  1,2,3,... – постулат стационарных состояний (первый постулат
Бора);
h  Em  En – правило частот (второй постулат Бора);
En  
z 2 me 4 1
– полная энергия электрона водородоподобного иона, где n=1, 2,
2
2
8 0 h 2 n
… ∞.
1
 1
 z 2 R 2  2

m
n
1

 , здесь λ – длина волны в спектре водородоподобного иона, где

R=1.1.107 м-1 – постоянная Ридберга; m=n+1; n+2… .
n=1 – серия Лаймана;
n=2 – серия Бальмера;
n=3 – серия Пашена;
n=4 – серия Брэккета;
n=5 – серия Пфунда;
1 
2  1
  z    R 2  2  – закон Мозли для характеристического рентгеновского

m 
n
1
излучения, где σ – постоянная экранирования (σ=1 для К-серии).
28
Примеры решения задач
Задача 8
Определить длину волны Кα–линий характеристического рентгеновcкого
спектра, получаемого в рентгеновской трубке с молибденовым ( 42Mo)
антикатодом. Можно ли получить эту линию спектра, подав на рентгеновскую
трубку напряжение 25 кВ?
Решение
Дано:
Длина
волны
в
спектре
z=42
характеристического излучения определяется
σ=1
1
1
1
Законом Мозли:  z   2 R 2  2  . Здесь m и
U=25 кВ

n
m

n – номера энергетических уровней, между
которыми произошёл переход; для Кα–линии
m=2, n=1 (см. схему энергетических уровней
рис.4).
Найти:
λ=?
En
Отсюда  
n→∞
0
1
.
1 
2  1
 z    R 2  2 
m 
n
Подставим
Кδ
Lγ
Кγ
Lβ
n=5
n=4
n=3
Кβ

Lα
n=2
Кα
n=1
Рис.4

численные
1
42  12 1.1  10 7  12
1

1 

22 
значения:
 7.21  10 11 м  72.1пм .
Чтобы получить эту линию в спектре,
необходимо
освободить
место
на
энергетическом уровне n=1, то есть выбить
электрон с уровня n=1 на n→∞. Для этого
необходимо затратить энергию, больше или
равную разности энергий этих уровней:
eU  E  E1  E . А E можно найти, если
воспользоваться законом Мозли и правилом
1 
2  1
 hc  z    R 2  2  , где n=1 на m→∞. Тогда
1
m 
n
2
2
34
8
7
E  hc  z    R  6.63  10  3  10  42  1  1.1  10  3.68  10 15 Дж . Вычислим eU :
eU  1.6  10 19  25  10 3  4  10 15 Дж . Таким образом, eU  E , следовательно,
частот Бора: E  h  hc 
1
можно получить Кα–линию в спектре, подав на рентгеновскую трубку
напряжение 25 кВ.
Ответ:   7.21  10 11 м  72.1пм ; можно получить линию в спектре.
181. Пользуясь теорией Бора, определить для электрона, находящегося на
первой и второй орбитах в атоме водорода, отношение: а) радиусов орбит
(r2/r1); б) отношение магнитного момента к механическому (pm/L) для
каждой орбиты.
29
182. Исходя из теории Бора, найти орбитальную скорость электрона на
произвольном энергетическом уровне. Во сколько раз орбитальная
скорость на наинизшем энергетическом уровне меньше скорости света?
183. Вычислить, пользуясь теорией Бора, угловую скорость электрона,
находящегося
на
первой
стационарной
орбите
однократно
ионизированного атома гелия.
184. Во сколько раз отличаются кинетические энергии, линейные скорости и
ускорения у электронов в основном состоянии у ионов лития Li++ и
бериллия Be+++?
185. Определить, во сколько раз изменится орбитальный момент импульса
электрона в атоме водорода при переходе электрона из возбужденного
состояния в основное с испусканием одного кванта с длиной волны 97 нм.
186. Атомарный водород, возбужденный монохроматическим светом, при
переходе в основное состояние испускает только три спектральные линии.
Определить длины волн этих линий и указать, каким сериям они
принадлежат.
187. При переходе электрона с некоторой орбиты на вторую атом водорода
испускает свет с длиной волны 4.34.10-7 м. Найти номер неизвестной
орбиты.
188. В спектре атомарного водорода интервал между первыми двумя линиями,
принадлежащими серия Бальмера, составляет 1.71.10-7 м. Определить
постоянную Ридберга.
189. Атом водорода в основном состоянии поглотил квант света с длиной
волны 121.5 нм. Определить радиус электронной орбиты возбужденного
атома водорода.
190. Электрон в невозбужденном атоме водорода получил энергию 12.1 эВ. На
какой энергетический уровень он перешел? Сколько и каких линий
спектра могут излучаться при переходе электрона на более низкие
энергетические уровни?
191. Определить импульс фотона, соответствующего переходу в ионе лития
Li++ с третьей орбиты на вторую.
192. Какие спектральные линии появляются при возбуждении атомарного
водорода электронами с энергией 12.5 эВ?
193. Определить потенциал ионизации и первый потенциал возбуждения атома
водорода.
194. Определить потенциал ионизация и первый потенциал возбуждения для
иона гелия Не+.
195. Определить энергию фотона, соответствующего Lβ–линии в спектре
характеристических рентгеновских лучей. Антикатод изготовлен из
марганца (25Mn). Постоянную экранирования считать равной 1.
196. Коротковолновая граница сплошного рентгеновского спектра 0.5 нм.
Будут ли при этом наблюдаться в спектре К–линии характеристического
излучения алюминия (13Аl)?
30
197. К рентгеновской трубке с серебряным антикатодом приложено
напряжение, достаточное для возбуждения всей К–серии. Определить
энергию квантов, соответствующих α– и β–линиям этой серии. Постоянная
экранирования равна 1.
198. Антикатод рентгеновской трубки покрыт молибденом ( 42Mo). Найти
минимальную разность потенциалов, которую надо приложить к трубке,
чтобы в спектре рентгеновского излучения появились линии К–серии
молибдена.
199. Разность длин волн между Кα–линией никеля (28Ni) и коротковолновой
границей сплошного рентгеновского спектра равна 0.084 нм. Определить
напряжение на рентгеновской трубке с никелевым антикатодом.
Постоянная экранирования равна 1.
200. В рентгеновской трубке антикатод сделан из серебра (47Ag). Определить
длину волны и энергию кванта для линии Кα, а также наименьшее
напряжение, необходимое для возбуждения К–серии серебра. Постоянная
экранирования равна 1.
201. При переходе электрона в атоме с L на K–слой испускаются рентгеновские
лучи с длиной волны 78.8 пм. Какой это атом? Для K–линии постоянная
экранирования равна 1.
202. Найти постоянную экранирования для L–серии рентгеновских лучей, если
при переходе электрона в атоме вольфрама (74W) с M на L–слой
испускаются лучи с длиной волны 143 пм.
203. # Вычислить, пользуясь теорией Бора, скорость и ускорение электрона,
находящегося
на
первой
стационарной
орбите
однократно
ионизированного атома гелия.
204. # Найти числовые значения кинетической, потенциальной и полной
энергии электрона на первой боровской орбите атома 1H1.
205. # Вычислить для иона Не+ кинетическую энергию и энергию связи
электрона в основном состоянии, потенциал ионизации и первый
потенциал возбуждения.
206. # Разница между головными линиями серий Лаймана и Бальмера в длинах
волн в спектре атомарного водорода равна 534 нм. Определить по этим
данным постоянную Планка.
207. # Определить, во сколько раз изменится орбитальной момент импульса
электрона в атоме водорода при переходе электрона из возбужденного
состояния в основное с испусканием одного кванта с длиной волны 97.25
нм. Использовать постулаты Бора.
208. # Длина волны линии Lα равна у вольфрама (Z=74) 0.147635 нм, а у
свинца (Z=82) 0.117504 нм. Исходя из этих данных, определить атомный
номер элемента, у которого длина волны линии Lα равна 0.131298. Что это
за элемент?
209. # Найти наибольшую длину волны в ультрафиолетовой серии водорода.
Какую наименьшую скорость должны иметь электроны, чтобы при
возбуждении атомов водорода ударами электронов появилась эта линия?
31
210. # Определить длину волны Кα–линий характеристического рентгеновcкого
спектра, получаемого в рентгеновской трубке с молибденовым ( 42Mo)
антикатодом. Можно ли получить эту линию спектра, подав на
рентгеновскую трубку напряжение 4 кВ?
8. Волновые свойства частиц
а) Длина волны де Бройля. Принцип неопределенностей
h
– длина волны де Бройля;
p
p x x   – соотношение неопределенностей для координаты и проекции

импульса;
Et   – соотношение неопределенностей для энергии и момента времени
измерения энергии.
б) Уравнение Шредингера. Волновая функция
2m
E  U   0 – стационарное уравнение Шредингера;
2
2
dp   dV – вероятность обнаружить частицу в объеме dV;
 


2
dV  1 – условие нормировки волновой функции;

  A sin( kx) – решение уравнения Шредингера для частицы в одномерном
потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками, где:
k
n
l
; k
2mE
– модуль волнового вектора;
2
2
– амплитуда волновой функции;
l
 2 2 2
En 
n – энергия частицы в одномерном потенциальном ящике с
2ml 2
A
бесконечно высокими стенками, где n – квантовое число, принимающее
значения: n=1, 2, 3, …∞.
En  
z 2 me 4 1
– полная энергия электрона в атоме водорода, где n – главное
2
2
8 0 h 2 n
квантовое число, принимающее значения n=1, 2, … ∞;
Ls   s(s  1) – спиновый (собственный) момент импульса (механический
момент) электрона в атоме водорода, где s – спиновое квантовое число,
s=1/2;
Ls z  ms  – проекция механического спинового момента электрона в атоме
водорода на выделенное направление, где ms – магнитное квантовое число,
принимающее значения:
ms=1/2;
32
– орбитальный момент импульса (механический момент)
электрона в атоме водорода, где l – орбитальное квантовое число,
принимающее значения:
l=0, 1, 2 … n–1;
Ll z  ml  – проекция механического орбитального момента электрона в атоме
водорода на выделенное направление, где ml – магнитное квантовое число,
принимающее значения:
ml=0, 1, 2, … l;
L   J ( J  1) – полный момент импульса (механический момент) электрона в
атоме, где J – квантовое число полного момента: J=|l–s|, |l–s|+1, …l+s.
Ll   l (l  1)
Примеры решения задач
Задача 9
Частица
в
бесконечно
глубоком
прямоугольном
одномерном
потенциальном ящике шириной l находится в возбужденном состоянии с
квантовым числом 3. Определить, в каких точках интервала 0<x<l плотность
вероятности нахождения частицы имеет максимальное и минимальное
значения.
Решение
Для частицы в бесконечно глубоком прямоугольном
одномерном потенциальном ящике волновая функция равна
Дано:
l
0<x<l
n=3
  A sin( kx) , где k 
dp
 max
dx
dp
 min
dx
n
l
. Квадрат модуля волновой функции равен
искомой плотности вероятности:
сводится
F x  
Найти:
xmax=?
xmin=?
dp

dx
к
2
dp
2
  . Таким образом, задача
dx
поиску
экстремумов
функции
 n 
 A 2 sin 2 
 x  на промежутке 0<x<l. Поскольку
 l

функция F x  неотрицательна, её минимальным значением
будет нуль, и xmin можно найти, решая уравнение: F xmin   0 ;
 n

A 2 sin 2 
 x min   0 .
 l

Тогда
 n
l
 x min   ; 2 ; 3 ... .
При n=3 в
l
2l
и x min 
.
3
3
Для нахождения максимума функции F x  её производную приравняем к
 n   n   n
 x  cos
 x 
 0 , что даёт два уравнения:
нулю: F x   A 2  2 sin 
 l
  l
 l
 n 
 n 
sin 
 x   0 и cos
 x   0 . Первое, очевидно, соответствует уже
 l

 l

интервал 0<x<l попадают 2 решения: x min 
найденным
 3
l
 x max 
минимумам;
 3 5 
2
;
2
;
2
второе
;... Отсюда x max 
даст
искомые
l
l
5l
; x max  ; x max 
.
6
2
6
максимумы:
33
График функции F x  представлен на
рисунке 5.
F(x)
Ответ: x min 
0
l
3
2l
3
x max 
l
x
l
; x max
6
l
2l
и x min 
;
3
3
l
5l
 ; x max 
.
2
6
Рис.5
211. Вычислить длину волны де Бройля для электрона, движущегося по
круговой орбите атома водорода, находящегося в основном состоянии.
212. Определить длину волны де Бройля для электрона, находящегося на
второй орбите в атоме водорода.
213. Определить длину волны де Бройля для электрона, находящегося в атоме
водорода на орбите, радиус которой равен 2.12 ангстрем.
214. Какую энергию необходимо дополнительно сообщить электрону, чтобы
его дебройлевская длина волны уменьшилась от 100 до 50 пм?
215. При каком значении кинетической энергии дебройлевская длина волны
электрона равна его комптоновской длине волны?
216. Определить длины волн де Бройля α–частицы и протона, прошедших
одинаковую ускоряющую разность потенциалов 1 кВ.
217. Найти длину волны де Бройля для электрона, имеющего кинетическую
энергию: а) 10 кэВ; б) 1 МэВ.
218. Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов 200 В, имеет
длину волны де Бройля 2.02 пм. Найти массу частицы, если ее заряд равен
заряду электрона.
219. α–частица движется по окружности радиусом 8.3 мм в однородном
магнитном поле, напряженность которого 18.9 кА/м. Найти длину волны
де Бройля для α–частицы.
220. Время жизни возбужденного состояния атома водорода примерно 10 -8 с.
Чему равна неопределенность энергии энергетического уровня при этом?
221. Метастабильными состояниями квантовых систем называются такие
возбужденные состояния атомов или молекул, которые могут
существовать длительное время, так как переход в основное состояние
запрещен правилами отбора. Чему равна неопределенность энергии в
метастабильном состоянии, если время жизни для атома в этом состоянии
равно 0.5 с?
222. Оценить наименьшие ошибки, с которыми можно определить скорость
электрона, протона и шарика массой 1 мг, если координаты частиц и
центра шарика установлены с неопределенностью 1 мкм.
223. Оценить с помощью соотношения неопределенностей неопределенность
скорости электрона в атоме водорода, полагая размер атома 0.1 нм.
Сравнить полученную величину со скоростью электрона на первой
боровской орбите.
34
224. Время жизни атома в возбужденном состоянии составляет 10 -8 с, а частота
излучаемого фотона равна 5.1015 Гц. Чему равна относительная ширина


спектральной линии на частоте ν?
225. Показать, что для частицы, неопределенность местоположения которой
Δx=λ/(2π), где λ – ее дебройлевская длина волны, неопределенность
скорости равна по порядку величины самой скорости частицы.
226. Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимальную
кинетическую энергию электрона, локализованного в области размером 0.2
нм.
227. Электрон с кинетической энергией 4 эВ локализован в области размером 1
мкм. Оценить с помощью соотношения неопределенностей относительную
неопределенность его скорости.
228. Электрон находится в прямоугольном одномерном потенциальном ящике
с бесконечно высокими стенками. Ширина ящика 0.2 нм, энергия
электрона 37.8 эВ. Определить номер n энергетического уровня и модуль
волнового вектора k.
229. Частица находится в прямоугольном одномерном потенциальном ящике с
бесконечно высокими стенками в основном состоянии. Какова вероятность
обнаружения частицы: а) в средней трети ящика; б) в крайней трети
ящика?
230. Частица находится в прямоугольном одномерном потенциальном ящике с
бесконечно высокими стенками. Найти отношение разности ΔEn,n+1
соседних энергетических уровней к энергии En частицы в трех случаях: а)
n=2; б) n=5; в) n→∞.
231. Электрон находится в бесконечно глубоком прямоугольном одномерном
потенциальном ящике шириной 0.1 нм. Определить наименьшую разность
энергетических уровней электрона. Выразить в эВ.
232. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с
бесконечно высокими стенками. Найти ширину ямы, если разность
энергии между уровнями с квантовыми числами 2 и 3 составляет 0.3 эВ.
233. # Сколько длин волн де Бройля уложится на третьей орбите однократно
ионизированного атома гелия?
234. # Параллельный пучок моноэнергетических электронов падает нормально
на диафрагму в виде узкой щели, ширина которой 0.06 мм. Определить
скорость этих электронов, если на экране, отстоящем от щели на
расстояние 40 мм, ширина центрального дифракционного максимума
равна 10 мкм.
235. # След пучка электронов на экране электронно-лучевой трубки имеет
диаметр 0.5 мм. Расстояние от электронной пушки до экрана 20 см,
ускоряющее напряжение 10 кВ. Оценить неопределенность координаты
электрона на экране.
236. # Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии составляет 10 -8 с.
При переходе в основное состояние испускается фотон, средняя длина
35
волны которого равна 600 нм. Оценить естественную ширину Δλ
излучаемой спектральной линии, если не происходит ее уширения за счет
других процессов.
237. # Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии составляет 10 -8
с. При переходе в основное состояние испускается фотон, средняя длина
волны которого равна 400 нм. Оценить относительную ширину Δλ/λ
излучаемой спектральной линии, если не происходит ее уширения за счет
других процессов.
238. # Частица в бесконечно глубоком прямоугольном одномерном
потенциальном ящике шириной l находится в возбужденном состоянии с
квантовым числом 3. Определить, в каких точках интервала 0<x<l
плотность вероятности нахождения частицы имеет максимальное и
минимальное значения.
239. # Найдите энергию и орбитальный момент импульса электрона в атоме
водорода, соответствующие состояниям: а) 1s; б) 2s; в) 2p.
240. # Найдите проекции орбитального момента импульса электрона на
направление индукции магнитного поля, соответствующие l=2.
9. Ядро и элементарные частицы
m  zm p  ( A  z )mn  m Я – дефект массы;
E св .  mc 2 – энергия связи ядра;
Eсв.
– удельная энергия связи;
A
N  N 0 e t – закон радиоактивного распада;
ln 2
– период полураспада;
T1 
Eсв. 

2

1
– среднее время жизни радиоактивного ядра;

dN
A
 N – активность изотопа.
dt
Примеры решения задач
Задача 10
Определить период полураспада радона, если за сутки из 1 миллиона
атомов распадается 175 тысяч атомов.
Решение
Дано:
За
время
t
число
ядер
N0=106
уменьшилось из-за распадов на
ΔN=175.103
ΔN=N0–N, где N0 – первоначальное
t=1 сутки =24 ч=24.3600 с=86.4.103 с
число ядер, N  N 0et – число ядер,
Найти: T1  ?
оставшихся не распавшимися к
2
моменту
времени
t.
Отсюда:
N  N 0  N 0 e t  N 0 1  exp t  .
36
После
преобразований

1

N
0
.
   ln
t  N 0  N 
T1 
2
T1 
2
ln 2

,
поэтому
exp t   1 
N
N0
,
1  N 
,
    ln1 
t 
N 0 
или
Постоянная распада λ связана с периодом полураспада:
T1 
2
86.4  10 3  ln 2
получим:
t  ln 2
.
 N0 

ln
 N 0  N 
Подставим
численные
значения:
 311  10 3 с  8.63час .


10

ln  6
6 
 10  0.175  10 
Ответ: T1  311  103 с  8.63час .
6
2
241. Какую энергию нужно затратить для отрыва нейтрона от ядра 11Na24?
242. Найти энергию связи, удельную энергию связи и дефект массы ядра
изотопа углерода 6С12.
243. Найти постоянную распада радия, если период полураспада 1550 лет.
244. Период полураспада фосфора Р32 – 15 дней. Найти активность препарата
через 10, 20 и 90 дней после его изготовления, если начальная активность
равна 100 мКи.
245. Первоначальная масса урана 92U238 равна 1 г. Найти начальную активность
и активность через 1 миллион лет. Период полураспада 4.5.109 лет.
246. Радиоактивный натрий 11Na27 распадается, выбрасывая электроны. Период
полураспада натрия 14.8 часа. Вычислить количество атомов, распавшихся
в 1 мг данного радиоактивного препарата за 10 часов.
247. Определить период полураспада радона, если за сутки из 1 миллиона
атомов распадается 175 тысяч атомов.
248. Сколько процентов от начального количества радиоактивного
химического элемента распадается за время, равное средней
продолжительности жизни ядер этого элемента?
249. Активность изотопа углерода 6С14 в древних деревянных предметах
составляет 80% активности этого изотопа в свежесрубленных деревьях.
Период полураспада равен 5570 годам. Определить возраст древних
предметов.
250. В результате захвата α–частицы ядром изотопа азота 7N14 образуются
неизвестный элемент и протон. Написать реакцию, определить
неизвестный элемент и найти энергетический эффект реакции.
251. В результате захвата нейтрона ядром изотопа азота 7N14 образуются
неизвестный элемент и α–частица. Написать реакцию и определить
неизвестный элемент.
252. При бомбардировке изотопа азота 7N14 нейтронами получается изотоп
углерода 6С14, который оказывается β–радиоактивным. Написать
уравнения обеих реакций.
37
253. Изотоп радия с массовым числом 226 превратился в изотоп свинца с
массовым числом 206. Сколько α– и β–распадов произошло при этом?
254. Сколько энергии выделится при образовании одного грамма гелия из
протонов и нейтронов?
255. Найти энергию реакции 4Be9+1H1 → 2He4+3Li6, если кинетическая энергия
протона равна 5.45 МэВ, ядра гелия – 4 МэВ. Ядро гелия вылетело под
углом 900 к направлению движения протона, ядро-мишень неподвижно.
256. Какая энергия выделится, если при реакции 4Be9+1H2 → 5В10+0n1
подвергнуть превращению все ядра, находящиеся в одном грамме
бериллия?
257. Какое количество энергии можно получить от деления 1 г урана 92U238,
если при каждом делении выделяется энергия, приблизительно равная 200
МэВ?
258. Определить энергетический эффект реакции 7N14+2He4→ 8О17+1H1.
Выделяется или поглощается энергия?
259. Какое количество энергии выделяется в результате термоядерной реакции
синтеза 1 г гелия из дейтерия и трития?
260. Вычислить энергию, необходимую для разделения ядра Ne20 на две α–
частицы и ядро С12, если удельная энергия связи в ядрах неона, гелия и
углерода равна 8.03, 7.07 и 7.68 МэВ соответственно.
261. Определить энергию реакции 3Li7+p→22He4, если удельная энергия связи в
ядрах лития и гелия равны 5.6 и 7.06 МэВ соответственно.
262. При бомбардировке изотопа алюминия 13Al27 α–частицами получается
радиоактивный изотоп фосфора 15Р30, который затем распадается с
испусканием позитронов. Написать уравнения обеих реакций.
263. При образовании электрона и позитрона из фотона энергия фотона была
равна 2.62 МэВ. Чему была равна в момент возникновения полная
кинетическая энергия позитрона и электрона?
264. Определить пороговую энергию γ–кванта для образования электроннопозитронной пары в кулоновском поле ядра.
265. # Активность некоторого препарата уменьшается в 2.5 раза за 7 суток.
Найти его период полураспада.
266. # Вычислить число атомов радона Rn222, распавшихся в течение первых
суток, если первоначальная масса радона равна 1 г. Период полураспада
равен 3.82 суток. Найти постоянную распада радона.
267. # Определить энергию реакции B10(n, α)3Li7, протекающей в результате
взаимодействия весьма медленных нейтронов с покоящимися ядрами бора.
Найти кинетические энергии продуктов реакции.
268. # Точечный источник γ–излучения Co60 (период полураспада 5.3 года)
находится в центре сферического свинцового контейнера с толщиной
стенок 1 см и наружным радиусом 20 см. Определить интенсивность
потока на выходе контейнера, если активность препарата 100 мкКи, при
каждом распаде выделяется два γ–кванта, а линейный коэффициент
поглощения равен 0.64 см-1.
38
269. # Атомный ледокол имеет мощность 32 МВт и потребляет в сутки 200 г
урана 92U235. Определить коэффициент полезного действия реактора
ледокола.
270. # Электрон и позитрон, образованные квантом с энергией 5.7 МэВ, дают в
камере Вильсона, помещенной в магнитное поле, траектории с радиусом
кривизны 3 см. Найти индукцию магнитного поля.
Z
0
1
2
3
4
5
Таблица 1. Массы легких атомов.
Атом
Избыток
Z
Атом
Избыток
массы
массы
атома М-А,
атома М-А,
а.е.м.
а.е.м.
11
n
0.00867
6
C
0.01143
1
12
H
0.00783
C
0
2
13
H
0.01410
C
0.00335
3
13
H
0.01605
7
N
0.00574
3
14
He
0.01603
N
0.00307
4
15
He
0.00260
N
0.00011
6
15
Li
0.01513
8
O
0.00307
7
16
Li
0.01601
O
-0.00509
7
17
Be
0.01693
O
-0.00087
8
19
Be
0.00531
9
F
-0.00160
9
20
Be
0.01219
10
Ne
-0.00756
10
23
Be
0.01354
11
Na
-0.01023
10
24
B
0.01294
Na
-0.00903
11
24
B
0.00930
12
Mg
-0.01496
Здесь М – масса атома в а.е.м., А – массовое число.
10. Физика твердого тела
а) Упругие свойства твердых тел, тепловое расширение и классическая
теория теплоемкости твердых тел.
ε=‫ ׀׀‬l – относительное удлинение;
l
d
– относительное поперечное сжатие;
d
dF
 
– механическое напряжение;
dS

F  kl ; ε=‫ – ׀׀‬закон Гука;
E
K П    / ε ‫ –׀׀‬коэффициент Пуассона;
l  l0 1    t  – линейное расширение твердых тел при нагревании;
 
39
V  V0 1    t  – объемное расширение твердых тел при нагревании;
  3
– связь коэффициентов линейного и объемного расширения для
изотропных тел и для кристаллов с кубической решеткой;
C  3Rz – закон Дюлонга и Пти.
Вещество
Относительный
атомный
вес
Алюминий
Железо
Латунь
Медь
Платина
27
56
64
195
Сталь
Цинк
65
Плотность,
кг/м3
2600
7900
8400
8600
2140
0
7700
7000
Таблица 2. Свойства твердых тел
Коэффициент Модуль
Предел
линейного
Юнга,
прочности,
.
-10
теплового
Е 10 , Па σпр.10-8, Па
расширения,
α.105 К-1
2.4
6.9
1.1
1.2
19.6
6
1.9
1.7
11.8
2.4
0.89
1.06
2.9
21.6
-
7.85
-
б) Квантовые статистики. Энергия Ферми.
Работа выхода. Контакт двух металлов.
1
f (E) 
e
E 
kT
– распределение Бозе-Эйнштейна;  – химический потенциал;
1
1
f (E) 
e
E 
kT
1
– распределение Ферми-Дирака; здесь   EF – энергия Ферми;
2
h 2  3n  3
EF 
  – энергия Ферми;
8m   
E
TF  F – температура Ферми;
k
A
 Aвых.1
– внешняя контактная разность потенциалов;
 внеш.  вых.2
e
E  EF 2
– внутренняя контактная разность потенциалов;
 внутр.  F1
e
 2 n 2/3
TВ 
– температура вырождения.
3mk
в) Теплоемкость (квантовая теория)
T
C м олярная  234 R
 TD
3

 – молярная теплоемкость кристалла по Дебаю при T<<TD;

T2
Q    C м олярнаяdT – количество теплоты, необходимое для нагревания тела;
T1
40
h max
hv
hv


– характеристическая температура Дебая;
k
kmin kd
h
TE 
– характеристическая температура Эйнштейна.
k
TD 
г) Проводимость металлов и полупроводников. Температурная зависимость
сопротивления металлов и полупроводников.
 металл   0 1    t    0  T – зависимость сопротивления металла от
температуры, где  
1
K 1 – температурный коэффициент
273
сопротивления для чистых металлов;
E
 полупроводник   0 e 2kT – зависимость сопротивления собственного полупроводника
от температуры, где ΔE – ширина запрещенной зоны;
v
– подвижность носителей тока;
E
1
   ne(u p  u n ) – удельная электропроводимость.
u

д) p-n – переход

I  I 0  e

eU
kT

 1 – сила тока, текущего через p-n – переход (U>0 для прямого

включения и U<0 – для обратного).
е) Термоэлектричество
ε=ε0(T2–T1) – термоэлектродвижущая сила, где (T2–T1) – разность температур
спаев термопары;
ε0  k ln n1 – удельная термо-ЭДС.
e n2
Примеры решения задач
Задача 11
Медная проволока натянута горячей при температуре 1500С между двумя
прочными неподвижными стенами. При какой температуре, остывая,
проволока разорвется? Считать, что закон Гука выполняется вплоть до разрыва
проволоки.
Решение
Дано:
Длина нагретой проволоки при температуре t1
t1=1500 C
l1  l0 1    t1  ; при этом проволока не деформирована ( не
E=11.8.1010 Па
натянута). Длина остывшей до искомой температуры
α=1.7.10-5 К-1
ненатянутой проволоки l 2  l0 1    t 2  . Но, поскольку
σпр=2.4.108 Па
проволока закреплена между неподвижными стенами, она
оказывается растянутой на l  l1  l 2  l0    t1  t 2  . По
Найти:
t2=?
закону Гука ε=‫ ׀׀‬ , где ε=‫ ׀׀‬ l – относительное удлинение,
E
l2
41
σ=σпр. – механическое напряжение. Тогда
l 0 1    t 2 
 пр.
 l 0 t1  t 2  , откуда 1    t 2 
 пр.
l  l 2
 пр.
E
 l 0 1    t 2 
  t1 
  t1  t 2  , и t 2 
 пр.
 пр.
E
E
; или
. Далее,
  пр. 

  1 
E 

 пр.
2.4  10 8
150 
t1 
1.7  10 5  11.8  1010  30.30 С .
  E .Подставим численные значения: t 
t2 
2

  пр. 
2.4  10 8 
1 

1 

10 
E 
 11.8  10 

E
E
Ответ: t 2  30.30 С .
Задача 12
Определить число свободных электронов, которое приходится на один
атом натрия при температуре Т=0 К. Уровень Ферми для натрия равен 3.12 эВ.
Плотность натрия равна 970 кг/м3.
Решение
Дано:
Зная энергию Ферми, из формулы
EF=3.12 эВ=4.99.10-19 Дж
2
2
3
h
3
n


Т=0 К
можно определить концентрацию
EF 


8m   
ρ=970 кг/м3
3
  8mE F  2
Найти:
электронов
Ne
?
N ат.
отношение числа электронов к числу атомов
n
n:

3  h2
 .

равно отношению их концентраций:
Концентрацию
атомов
натрия
можно
найти,
зная
Искомое
Ne
n
.

N ат. nат.
плотность:
m
N
N
N ат.
 Ав. m N Ав.
nат. 


 
   Ав. , где  – число молей натрия,
V
V
V
V


  0.023кг / моль – его молярная масса, V – объём, N
– число Авогадро.
Ав.
  N Ав.
3
Таким
образом,
Ne
  8mEF
 
N ат. 3 
h
Ne
n
  8mE  2


  2 F 
.
N ат. nат. 3  h    N Ав.
Преобразуем:
3



 N

Ав.
и
Ne
3.14  8  9.1  10 31  4.99  10 19


N ат.
3 
6.63  10 34
подставим
численные
значения:
3

0.023

 0.98 .
 970  6.02  10 23

Результат
близок
к
единице, то есть на один атом натрия приходится приблизительно один
свободный электрон, что согласуется с валентностью натрия, раной единице.
42
Ответ:
Ne
 0.98 .
N ат.
Задача 13
Вычислить минимальную длину волны Дебая в титане, если его
характеристическая температура равна 280 К, а скорость звука в нем v=6·103
м/с.
Решение
Дано:
Характеристическая температура Дебая определяется
v=6·103 м/с
hv
hv
формулой: TD 
, откуда min 
. Подставим численные
TD=280 К
k
kT
min
Найти:
λmin=?
значения: min 
D
6.63  10  6  10
 1.03  10 9 м  1.03нм , что по
 23
1.38  10  280
-34
3
порядку величины соответствует межатомным расстояниям в
кристалле.
Ответ: min  1.03  10 9 м  1.03нм .
Задача 14
Чему равно отношение числа свободных электронов в единице объема у
висмута и сурьмы, если при нагревании одного из спаев на 100°С возникает
термо-ЭДС, равная 0.011 В?
Решение
Дано:
Термо-ЭДС пропорциональна разности температур спаев
ε=0.011 В термопары: ε=ε0(T2–T1)=ε0.ΔT, где ε0  k ln n1 – удельная
ΔT=100 К
e n2
термо-ЭДС. Тогда искомое отношение концентраций свободных
Найти:
электронов
в
двух
разнородных
металлах
равно:

 e 


 . Подставим
  exp
 k  T 



19
 1.6  10  0.011 
n1
  e1.28  3.58 .
 exp
 23
n2
 1.38  10  100 
n1
?
n2
n1
 e
 exp
n2
 k
Ответ:
0
численные значения:
n1
 3.58 .
n2
271. Какую длину должны иметь стальной и медный стержни при 00С, чтобы
при любой температуре стальной стержень был длиннее медного на 5 см?
272. Концы железной балки сечением 75 см2 упираются в две стены.
Температура 00С. Определить силу, которая будет действовать на стены,
если температура повысится на 20 К.
273. При каком растягивающем напряжении медный стержень получит такое
же удлинение, как и при нагревании от 00С до 1000С?
43
274. Какие силы надо приложить к концам латунного стержня с площадью
поперечного сечения 10 см2, чтобы не дать ему расшириться при
нагревании от 00С до 300С?
275. Груз математического маятника подвешен на стальной проволоке длиной
1.2 м. На сколько изменится период колебаний маятника при увеличении
температуры от 00С до 500С?
276. Вычислить по классической теории теплоемкости удельные теплоемкости
кристаллов: алюминия, меди, платины. Относительные атомные массы
алюминия, меди, платины 27, 63.5 и 195 соответственно.
277. Вычислить по классической теории теплоемкости удельные теплоемкости
кристаллов KCl и CaCl2. Относительные атомные массы калия, хлора и
кальция 39, 35.5 и 40 соответственно.
278. К стальной проволоке радиусом 1 мм подвешен груз. Под действием груза
проволока получила такое же удлинение, как при нагревании от 00С до
200С. Найти величину груза.
279. Пользуясь классической теорией теплоемкости, найти, во сколько раз
удельная теплоемкость алюминия больше удельной теплоемкости
платины. Относительные атомные массы алюминия и платины 27 и 195
соответственно.
280. Медная проволока натянута горячей при температуре 1500С между двумя
прочными неподвижными стенами. При какой температуре, остывая,
проволока разорвется? Считать, что закон Гука выполняется вплоть до
разрыва проволоки.
281. При 00С цинковый стержень имеет длину 200 мм, а медный 201 мм.
Поперечные размеры их при 00С одинаковы. При какой температуре их
длины одинаковы? При какой температуре их объемы одинаковы?
282. Сколько атомов приходится на одну примитивную ячейку в кристаллах с
простой, объемно-центрированной и гранецентрированной кубической
структурой?
283. #Алюминиевый диск, взятый при температуре 00С, при нагревании до
1000С увеличил свой объем на 4.6 см3. Какое количество теплоты
затрачено на нагревание?
284. #Разность длин медного и алюминиевого стержней при любой
температуре составляет 15 см. Какую длину при 00С будут иметь эти
стержни?
285. #Пользуясь классической теорией теплоемкости, найти, из какого
материала сделан металлический шарик массой 25 г, если для его
нагревания от 100С до 300С потребовалось 117 Дж теплоты.
286. #При нагревании некоторого металла от 0 до 5000С его плотность
уменьшается в 1.027 раза. Найти для этого металла коэффициент
линейного теплового расширения, считая его постоянным в данном
интервале температур.
287. #На нагревание медной болванки массой 1 кг, находящейся при
температуре 00С, затрачено 138 кДж. Во сколько раз при этом увеличился
44
ее объем? Теплоемкость меди найти по закону Дюлонга и Пти.
Относительная атомная масса меди равна 63.5.
288. # -железо имеет кубическую объемно-центрированную структуру
(а=2.86 А ), -железо – кубическую структуру с центрированными гранями
(а=3.56 А ). Как изменится плотность железа при переходе его из - в модификацию?
289. # Найти разницу энергий (в единицах kT) между электроном, находящимся
на уровне Ферми, и электронами, находящимися на уровнях, вероятности
заполнения которых равны 0.20 и 0.80.
290. # Металлы литий и цинк приводят в соприкосновение друг с другом при
температуре 0 К. На сколько изменится концентрация электронов
проводимости в цинке? Какой из этих металлов будет иметь более высокий
потенциал? Плотности цинка и лития 7150 и 530 кг/м3 соответственно,
относительные атомные массы – 65.4 и 6.9 соответственно.
291. # Каково значение энергии Ферми и температуры Ферми у электронов
проводимости двухвалентной меди? Выразить энергию Ферми в джоулях и
электрон-вольтах. Плотность меди 8600 кг/м3, относительная атомная
масса – 63.5.
292. При какой концентрации свободных электронов в кристалле температура
вырождения электронного газа в нем равна 0°С?
293. Как и во сколько раз изменится вероятность заполнения электронами
энергетического уровня в металле, если уровень расположен на 0.01 эВ
ниже уровня Ферми и температура изменяется от 200 до 300 К?
294. Чему равна максимальная энергия электронов в серебре? Считать, что на
каждый атом приходится по одному свободному электрону.
295. Определить вероятность того, что электрон в металле займет
энергетическое состояние, лежащее ниже уровня Ферми на Е=0.05 эВ и
выше уровня Ферми на Е=0.05 эВ в двух случаях:
а) температура металла Т=290К;
б) температура металла Т=58 К.
296. Вычислить максимальную скорость электронов в кристалле меди при Т=0
К. Чему равна длина волны де Бройля для этих электронов?
297. Определить число свободных электронов, которое приходится на один
атом натрия при температуре Т=0 К. Уровень Ферми для натрия равен 3.12
эВ. Плотность натрия равна 970 кг/м3.
298.
Оценить температуру вырождения для калия, если принять, что на каждый
атом приходится по одному свободному электрону. Плотность калия 860
кг/м3.
299. Определить максимальную скорость электронов в металле при Т=0 К,
если уровень Ферми равен 5 эВ.
300. Вычислить энергию Ферми при 0 К для алюминия. Считать, что на
каждый атом алюминия приходится три свободных электрона.
45
301. На какой высоте (в электронвольтах) от дна зоны проводимости находится
уровень Ферми в одновалентном натрии, который содержит 2.5.1023
атомов/м3? Считать температуру равной 0 К.
302. Какова вероятность заполнения электронами в металле энергетического
уровня, расположенного на 0.001 эВ ниже уровня Ферми, при температуре
18°С?
303. При какой температуре вероятность найти в проводнике электрон с
энергией 0.5 эВ над уровнем Ферми равна 2%?
304. До какой температуры надо было бы нагреть классический электронный
газ, чтобы средняя энергия его электронов оказалась равной максимальной
энергии свободных электронов в меди при T=0 К? Считать, что на каждый
атом меди приходится один свободный электрон.
305. Вычислить давление электронного газа в металлическом натрии при T=0 К,
если концентрация свободных электронов в нем 2.5·1022 см-3.
Воспользоваться уравнением для давления идеального газа.
306. Определить вероятность того, что электрон в металле займет
энергетическое состояние, лежащее ниже уровня Ферми на Е=0.05 эВ и
выше уровня Ферми на Е=0.05 эВ в двух случаях: а) температура металла
290 К; б) температура металла 58 К.
307. Вычислить максимальную скорость электронов в кристалле меди при Т=0
К. Чему равна длина волны де Бройля для этих электронов?
308. Чему равна длина волны де Бройля наиболее быстрых электронов в
алюминии при Т=0 К?
309. Имеются два металла с концентрацией свободных электронов n1=1028м-3 и
n2=1029м-3. Определить внутреннюю контактную разность потенциалов,
возникающую при приведении этих металлов в соприкосновение.
310. Чему равна вероятность того, что в состоянии с энергией, равной энергии
Ферми, будет находится свободный электрон?
311. Определить концентрацию свободных электронов при температуре 0 К.
Энергию Ферми принять равной 1 эВ.
312. Определить отношение концентраций п1/п2 свободных электронов при Т=0 К
в литии и цезии, если известно, что энергии Ферми в этих металлах
соответственно равны 4.72 эВ и 1.53 эВ.
313. Определить максимальную скорость электронов в металле при Т=0 К,
если энергия Ферми равна 5 эВ.
314. Oпределить концентрацию свободных электронов в металле при
температуре Т=0 К, при которой энергия Ферми равна 6 эВ.
315. Определить максимальную скорость электронов в металле при
абсолютном нуле, если энергия Ферми равна 57 эВ.
316. Полагая, что на каждый атом алюминия в кристалле приходится по три
свободных электрона, определить максимальную энергию электронов при 0
К.
46
317. Удельная теплоемкость кристалла KaCl при температуре 10 К равна
830.10-4 Дж/(м3.К). Оценить скорость звука в кристалле и его дебаевскую
температуру. Постоянная решетки КаСl равна а=0.3 нм.
318. Оценить скорость распространения акустических колебаний в алюминии,
дебаевская температура которого равна 396 К.
319. Найти частоту колебаний атомов серебра по теории Эйнштейна, если
характеристическая температура Эйнштейна для серебра равна 165 К.
320. Определить максимальную частоту собственных колебаний в кристалле
золота по теории Дебая. Характеристическая температура равна 180 К.
321. Вычислить максимальную частоту Дебая, если известно, что молярная
теплоемкость серебра равна 1.7Дж/(моль· К) при Т=20 К. Считать условие
Т<<TD выполненным.
322. Температура Дебая для алмаза равна 2000 К. Вычислить удельную
теплоемкость при температуре 30 К.
323. Молярная теплоемкость серебра при температуре 20 К равна 1.65
Дж/(К.моль). Вычислить характеристическую температуру Дебая. Условие
Т<<ТD считать выполненным.
324. Вычислить по Дебаю удельную теплоемкость хлористого натрия при
температуре ТD/20. Условие Т<<ТD считать выполненным.
325. Вычислить по теории Дебая теплоемкость цинка массой 100 г при
температуре 10 К. Температура Дебая равна 300 К. Условие Т<<ТD считать
выполненным.
326. Вычислить минимальную длину волны Дебая в титане, если его
характеристическая температура равна 280 К, а скорость звука в нем
v=6·103 м/с.
327. Найти максимальную энергию фонона, который может возбуждаться в
кристалле, характеризуемом температурой Дебая, равной 300 К. Фотон
какой длины волны обладал бы такой же энергией?
328. Какова (в эВ) максимальная энергия фононов в кристалле свинца, если его
температура Дебая равна 94 К?
329. Германий и кремний кристаллизуются в решетки с близкими параметрами
и имеют почти равные модули упругости. Оценить отношение их
дебаевских температур.
330. Найти максимальную частоту  max собственных колебаний в кристалле
железа, если при температуре T=20 К его удельная теплоемкость с=2.7
мДж/(г·К).
331. Можно ли считать температуры 20 и 30 К низкими для кристалла,
теплоемкость которого при этих температурах равна соответственно 0.226
и 0.760 Дж/(моль·К)?
332. При нагревании кристалла меди массой 25 г от 10 К до 20 К ему было
сообщено количество теплоты 0.80 Дж. Найти дебаевскую температуру
для меди. Условие Т<<ТD считать выполненным.
333. Оценить максимальные значения энергии и импульса фонона (звукового
кванта) в меди, дебаевская температура которой равна 330 К.
47
334. Найти частоту колебаний атомов серебра по теории Эйнштейна, если
характеристическая температура Эйнштейна для серебра равна 165 К.
335. Определить максимальную частоту собственных колебаний в кристалле
золота по теории Дебая. Характеристическая температура равна 180 К.
336. Вычислить максимальную частоту Дебая, если известно, что молярная
теплоемкость серебра 1.7Дж/(моль· К) при Т=20 К. Считать условие Т<<ТD
выполненным.
337. При нагревании серебра массой 10 г от 10 К до 20 К было подведено 0.71
Дж теплоты. Определить характеристическую температуру Дебая серебра.
Считать условие Т<< ТD выполненным.
338. Определить теплоту, необходимую для нагревания кристалла калия массой
200 г от температуры 4 К до 5 К. Характеристическая температура Дебая для
калия равна 100 К. Считать условие Т<<ТD выполненным.
339. Германиевый кристалл, ширина запрещенной зоны в котором равна 0.72
эВ, нагревают от температуры 00С до температуры 150С. Во сколько раз
возрастет его удельная электропроводимость?
340. При нагревании кремниевого кристалла от температуры 00С до
температуры 100С его удельная электропроводимость возрастает в 2.28
раза. Определить ширину запрещенной зоны кремния.
341. Во сколько раз изменится при повышении температуры от 300 до 310 К
проводимость: а) металла; б) собственного полупроводника, ширина
запрещенной зоны которого 0.3 эВ?
342. Во сколько раз уменьшится сопротивление полупроводника при
увеличении температуры на 10%, если его начальная температура 270С, а
ширина запрещенной зоны 0.6 эВ?
343. Найти минимальную энергию образования пары электрон - дырка в
беспримесном полупроводнике, проводимость которого возрастает в 5 раз
при увеличении температуры от 300 K до 400 К.
344. Собственный полупроводник (германий) имеет при некоторой температуре
удельное сопротивление 0.48 Ом·м. Определить концентрацию носителей
заряда, если подвижность un и uр электронов и дырок соответственно равны
0.36 м2/(В·с) и 0.16 м2/(В·с).
345. Собственный полупроводник (германиевый) имеет при некоторой
температуре удельное сопротивление 0.5 Ом.м. Определить концентрацию
носителей заряда, если подвижность un и uр электронов и дырок
соответственно равны 0.38 м2/(В·с) и 0.18 м2/(В·с).
346. p-n – переход находится под обратным напряжением 0.1 В. Его
сопротивление 692 Ом. Каково сопротивление p-n – перехода при таком
же прямом напряжении? Т=293 К.
347. Прямое напряжение, приложенное к p-n – переходу, равно 2 В. Во сколько
раз возрастет сила тока через переход, если изменить температуру от 300 К
до 273 К?
348. Термопара висмут-железо с постоянной 92 мкВ/Кл и сопротивлением 5
Ом присоединена к гальванометру с внутренним сопротивлением 100 Ом.
48
Какую силу тока покажет гальванометр, если температура одного спая
термопары 1000С, а другого 00С?
349. Термодатчик создает термоэлектродвижущую силу 3 мкВ при разности
температур спаев 1 К. Можно ли таким датчиком уверенно установить
повышение температуры тела человека от 36.5 до 37 0С, если потенциометр
позволяет измерять напряжение с точностью до 1 мкВ?
350. Какое количество последовательно соединенных термопар надо взять,
чтобы создать источник питания с ЭДС, равной 1 В, для
кардиостимулятора за счет разности температур внешних и внутренних
органов, считая ее равной 1 К? Использовать термопары железо-платина,
для которых термоэлектрическая постоянная равна 18.1.10-6 В/К.
351. Сила тока в цепи, состоящей из термопары сопротивлением 4 Ом и
гальванометра сопротивлением 80 Ом, равна 26 мкА при разности
температур спаев 50 К. Определить постоянную термопары.
352. Какое минимальное изменение температуры можно определить с
помощью термопары железо-константан, если гальванометр имеет
чувствительность 10-9 А/дел и сопротивление 20 Ом? Постоянная
термопары 50 мкВ/К, а ее сопротивление 5 Ом.
353. Чему равно отношение числа свободных электронов в единице объема у
висмута и сурьмы, если при нагревании одного из спаев на 100°С возникает
термо-ЭДС, равная 0.011В?
354. # Работа выхода электронов из меди 4.47 эВ, а из свинца – 3.74 эВ. Какова
внешняя контактная разность потенциалов этих металлов? Считать
концентрации электронов проводимости одинаковыми.
355. # Вычислить характеристическую температуру Дебая для железа, если при
температуре 20 К молярная теплоемкость железа равна 0.226 Дж/(К.моль).
Условие Т<<ТD считать выполненным.
356. # Медный образец массой 100 г находится при температуре 10 К.
Определить теплоту, необходимую для нагревания образца до температуры
20 К. Температура Дебая для меди равна 300 К, относительная атомная
масса – 63.5.
357. # Используя квантовую теорию теплоемкости Эйнштейна, определить
коэффициент упругости связи атомов в кристалле алюминия. Температура
Эйнштейна для алюминия равна 300 К, относительная атомная масса – 27.
358. # Найти минимальную энергию, необходимую для образования пары
электрон-дырка в кристалле полупроводника, если его удельная
проводимость изменяется в 10 раз при изменении температуры от 20 0С до
30С.
359. # Сопротивление p-n – перехода, находящегося под прямым напряжением
0.2 В, равно 10 Ом. Определить сопротивление p-n – перехода при таком
же обратном напряжении. Т=293 К.
360. # Определить сопротивление гальванометра с ценой деления шкалы 5
мкА/дел, если сопротивление термопары 6 Ом и ею можно измерить
минимальное изменение температуры 6 мК, отклонение стрелки
49
гальванометра при этом равно 1 делению. Термоэлектрическая постоянная
термопары 50 мВ/К.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Библиографический список
Волькенштейн, В.С. Сборник задач по общему курсу физики /
В.С.Волькенштейн. – СПб.: Лань, 1999. – 328 с.
Иродов, И.Е. Задачи по общей физике: учебное пособие / И.Е.Иродов. –
СПб.: Лань, 2001. – 416 с.
Калашников, Н.П. Основы физики: учеб. для вузов: в 2 т. / Н.П.Калашников,
М.А.Смондырев. - 2-е изд., перераб. – М.: Дрофа, 2003.
Детлаф, А.А. Курс физики: учеб. пособие для вузов / А.А. Детлаф, В.М.
Яворский. - М.: Высш.шк., 1989.- 608 с.
Курс физики: учеб. для вузов: в 2 т. Т. 1 / под ред. В.Н.Лозовского. – СПб.:
Лань, 2000. – 576 с.
Трофимова, Т.И. Курс физики/ Т.И. Трофимова.-М.: Высш. шк., 1999.-542 с.
Содержание
Требования к оформлению и общие методические указания по выполнению
индивидуальных домашних заданий ……………………………….........2
1. Геометрическая оптика и фотометрия……………………………………3
2. Интерференция………………………..…………………………………....7
3. Дифракция………………………………………………………………....11
4. Поляризация, поглощение…………………………………………….….16
5. Тепловое излучение……………………………………………………….20
6. Квантовые свойства света………………………………………………...24
7. Строение атома. Постулаты Бора. Спектры атомов. Закон Мозли.........28
8. Волновые свойства частиц…………………………………………….....32
9. Ядро и элементарные частицы…….……………………………………...36
10.Физика твердого тела………………………………………………......….39
Библиографический список………………….………………………….….…..50
50