Запись уравнений квантовой механики в вязкой среде Е.Г.Якубовский С-ПГГУ

Запись уравнений квантовой механики в вязкой среде
Е.Г.Якубовский
С-ПГГУ
E-mail yakubovski@rambler.ru
Введение
В квантовой механике определяется понятие квазистационарного состояния,
т.е. состояния, когда энергия частицы становится комплексной.
Если уравнение Шредингера сократить на величину i , то оно содержит
мнимую величину i / m , где  - постоянная Планка, m масса частицы,
имеющую размерность кинематической вязкости. Уравнение Навье – Стокса
содержит действительную величину, кинематическую вязкость. Эти два
уравнения имеют аналогичный вид, и возникает идея ввести комплексную
вязкость. В предлагаемой статье вводится понятие комплексной вязкости и
на основе понятия комплексной вязкости вводится понятие эффективной
комплексной постоянной Планка в вязкой среде.
Влияние вязкости среды
квантуется, и энергия выделяется при фазовых переходах, когда меняется
вязкость разных фаз вещества. Так же как квантуется вращательная и
колебательная энергия молекул, квантуются и потери кинетической энергии,
связанные с затуханием значения скорости или кинетической энергии и
переходе ее в другое фазовое состояние (кинетическая энергия внутренней
структуры твердого тела, жидкости, газа).
Уравнение Шредингера решается для движения электронов вокруг ядра в
вакууме см. [1]. Решение определяет энергию атома при движении
приведенной массы. При этом решение уравнения Шредингера соответствует
статистическим
значениям
решения,
что
позволяет
вводить
такие
статистические характеристики как вязкость. Тогда, так как величина i /( 2m) в
уравнении Шредингера играет роль кинематической вязкости, добавка к ней
2
величины  , где  кинематическая вязкость среды,  l плотность среды,  b
плотность тела, и значит, вязкость среды равна величине    l  i b /( 2mb ) ,
определяет уравнение
(  2iml /  b ) 2

i(  2iml /  b )

  U ,
t
2m
При этом кинематическая вязкость  соответствует вязкости в твердом теле,
жидкости или в газе.
Механизмом
образование
вязкости
является
расталкивание
движущимся макротелом жидкость и образование градиента скорости в этой
жидкости, при этом слои жидкости с большой скоростью проникают в слои
жидкости с малой скоростью и при этом происходит обмен скоростью и
выделяется тепло. Совершенно аналогично при движении заряженной
элементарной частицы в среде, возникает градиент скорости в среде
и
проникновение частиц из слоев с большей скоростью в слои с меньшей
скоростью и наоборот и выделяется тепло. Отличие в том, что скорости частиц,
как и энергии дискретны, и тепло выделяется только при переходе частиц с
разными уровнями энергии. Доказать это можно подставляя в формулу (3)
значение скорости частиц, выраженное через волновую функцию по формуле
(2) и получим дискретный спектр (5), причем уровни энергии с ростом главного
квантового
числа
для
водородоподобного
атома
становятся
квазиклассическими. При этом двигающееся классическое тело возбуждает
много
уровней
отрицательной
энергии
 tnl   t 00 ( )[1   nrl nr /(l  1)]2 /(nr  l  1) 2 ,|  nrl | 1 , где величина nr радиальное
квантовое число l орбитальное квантовое число, водородоподобного атома,
причем
высокие
уровни
квазиклассические,
т.е.
разность
энергий
квазиклассических уровней мала, и они почти непрерывны, то двигающиеся
элементарные частицы возбуждают низкие уровни энергии, и они дискретны.
Причем
частицы
двигаются
при
фазовых
переходах
первого
рода,
происходящих при сообщении или взятии энергии. Энергия кванта затухания
3
энергии атома или молекулы Pb при вязкости   0.01635 г/(см сек) равна
179кДж/моль, соответствующей теплоте испарения, что соответствует энергии
одного атома 3  10 12 erg  2.1  10 4 K . Эта температура выше температуры
испарения вещества, поэтому испарение происходит при сообщении этого
кванта энергии, причем этот процесс происходит при фиксированных
свойствах вещества, при постоянной температуре. При движении массивного
тела квазиклассический квант тепловой энергии гораздо меньше, и поэтому
происходит сообщение телу тепловой энергии.
Отметим, что квантование энергии вращательного и колебательного
характера описаны при изменении теплоемкостей среды. Но описание
дискретизации затухания скорости движения не рассматривалось.
Покажем, что кинематическая вязкость макро объема вакуума соответствует
скорости вращения и, следовательно, является мнимой см. [2]. Рассмотрим
цилиндрический объем вакуума с круговым сечением, с находящимися в нем
фермионами с параллельными спинами, допустим за счет слабого магнитного
поля. Так как фермионы обладают спином, этот объем придет во вращение при
включении магнитного поля, т.е. при ориентации спинов. Тогда градиент
скорости этого объема, умноженный на вязкость и на эффективную площадь
объема, равен силам инерции, действующим на объем
S
dV
 m 2 r
dr
(1)
Имеется 2 N  1 частиц вращающихся частиц, являющихся фермионами,
занимающих малый суммарный объем Sr / 2  r 2l , где l длина цилиндра
(площадь равнобедренного треугольника равна произведению половины
основания на высоту). Величина  плотность среды, состоящей из фермионов.
При этом суммарная энергия частиц равна  2 J ( J  1) / 2I , где величина J равна
значению (2 N  1) / 2 .
Приравниваем энергию квазиклассических квантовых частиц энергии
вращения. При этом суммарная энергия частиц равна  2 J ( J  1) / 2I  I 2 / 2 ,
4
где величина J равно значению N . Откуда имеем для квазиклассических
частиц при большой величине J соотношение J  I . Или, расписывая
момент
инерции
системы,
получим
необходимую
формулу
J  N  I  mr 2 / 2  mr 2 / 2 . Откуда имеем значение частоты вращения
среды  
2 J
mr
2

2 N
mr
2
через момент среды и ее радиус.
Объем среды равен величине V  Sr / 2  2rlr / 2  r 2l , где l длина
цилиндра.
Подставляя значение скорости
потока в цилиндрической среде со
скоростью V  r и значение частоты в формулу (1), получим формулу
(формула закона движения Ньютона в левой части содержит производную от
мнимой скорости вращения и получается, что кинематическая вязкость
является мнимой величиной)

2iN
iN
i


.
2
Sr r l 2m
Величина массы частицы m
соответствует массе среды, деленной на
количество частиц, и равна
m  r 2l /(2 N  1) . При этом включение
магнитного поля не влияет на вязкость среды, а только проявляет его.
Т.е. доказано, что величина кинематической вязкости вращения элементарных
частиц совпадает с кинематической вязкостью вакуума  / 2m , следующей из
уравнения Шредингера.
При
этом, жидкость имеет вязкость, равную следующему значению
вязкости    l  i b /( 2mb ) , т.е. кинематическая вязкость вакуума  / 2mb при
движении частицы массы mb . При условии   0 , величина энергии E должна
быть мнимой, для того чтобы модуль  не зависел от системы координат, и
равнялся единице. Мнимая часть величины кинематической вязкости зависит
от плотности и массы тела, и определяет трение, свойственное телу. Тогда
формула для вероятности состояния находящегося в жидкости тела при учете
вязкости жидкости принимает вид
5
 ~ exp[ Et /( 2mb |  l /  b | i)] ,
где  l плотность жидкости,  b плотность тела,  кинематическая вязкость
жидкости. Знаменатель 2mb |  l /  b | i в жидкости не зависит от массы тела.
Поэтому вводится множитель  l /  b . Т.е. жидкость имеет кинематическую
вязкость, равную   i |  b | /( 2mb |  l |) , причем для вязкого вещества имеем
следующее значение вязкости
   l  i b /( 2mb ) , т.е. кинематическая
вязкость вакуума  /( 2mb ) при движении частицы массы mb .
При условии   0 , величина энергии E должна быть мнимой, для того
чтобы модуль  не зависел от системы координат, и равнялся единице.
Мнимая часть величины вязкости i
 b
зависит от плотности и массы тела, и
m
определяет трение, свойственное телу. При этом эта величина обратно
пропорциональна объему тела. При условии   0 , величина энергии E должна
иметь фазу arg E   / 2  arg( 2mb |  l /  b | i)  arg(   2imb |  l /  b |) . Т.е.
при условии равенства нулю вязкости, получим положительное значение
полной энергии связанного состояния. При не релятивистском значении
энергии энергия связанного состояния отрицательна и имеем формулу
arg E g   / 2  arg( 2mb | l / b | i) .
При
этом
имеем
формулу
E  m0 c 2  E g , E g  0 . Т.е. общая формула для энергии состояния
E  m0 c 2 exp[i arg(   2imb |  l /  b |)] | E g | exp{i[ / 2  arg( 2mb |  l /  b | i )]} 
 (m0 c 2  | E g |) exp[i arg(   2imb |  l /  b |)]
При этом действительная часть плотности жидкости или газа двигающегося с
нерелятивистской
скоростью
определяется
по
формуле
arg    / 2  arg( mb |  l /  b | i) и в случае вакуума отрицательна. При этом в
случае темной материи, состоящей из частиц с малой массой, масса этих частиц
отрицательна, что соответствует отталкиванию от тел с положительной массой.
6
Покажем, что скорость частицы непосредственно связана с волновой
функцией. Для этого запишем уравнение Шредингера и комплексно
сопряженное уравнение с отрицательным временем

2 *
i
     U *
t
2m
.
*
2


 i
   *  U  *
t
2m
*
Вычтем из первого уравнения второе, получим
 *
2 *
i

(    * ) .
t
2m
Воспользуемся тождеством
 *   *  div ( *   * )
Получим равенство
 *
i
i

div ( *   * ) 
div[ * ( ln    ln  * )]  div ( *  V ),
t
2m
2m
.(2)
i
ic

*
*
V
( ln    ln  )   k ln  / ,  k 
, k  mc / 
2m
2
kr
При этом потенциал представим в виде U (r )  U (r0 )  0(r  r0 ) . Тогда
равенство
для
разложения
потенциальной
энергии
справедливо
для
определенной волновой функции, так как решение можно представить в виде
локальной плоской волны  
1
exp{i[( E  U 0 )dt  pdr ] / }  0(r  r0 ) 3 , где
V
постоянное значение потенциала U (r0 )  U 0 вычитается из значения энергии.
Подстановка этой волновой функции в выражение для скорости частицы
определяет скорость V  p/m . Причем величина  * играет роль плотности
среды.
Получается, что скорость частиц среды определяется градиентом
логарифма волновой функции.
Отсюда следует другая интерпретация уравнения Шредингера. Квадрат модуля
волновой функции определяет плотность среды, а логарифм волновой функции
определяет потенциал скорости среды.
При этом требуется, чтобы волновая функция была комплексная, иначе
7
скорость среды равна нулю. Так получается, что если не вводить
действительную кинематическую вязкость в уравнение Шредингера, то
получим, что скорость частиц равна нулю, так как, например, для атома
водорода волновая функция действительна. А так как в твердом, жидком и
газообразном состоянии вещества имеется мнимая составляющая эффективной
постоянной Планка, скорость элементарных частиц в водородоподобном атоме
не нулевая. Это
еще один аргумент в пользу введения комплексной,
эффективной постоянной Планка.
При этом равенство (2) является следствием уравнения Шредингера и
путем обратные преобразования из равенства (2) можно получить уравнение
Шредингера с локальным потенциалом.
Но только изменение  приводит к выделению тепла, так как справедлива
формула для энергии, связанной с вязкими силами, по формуле (7.7) из книги
[3] и изменение вязкости среды приводит к изменению его действительной
энергии единицы объема за единицу времени по формуле
3
E  [  (
i ,k 1
Vi Vk 2


) (1  ik ) .
xk xi
2
(3)
Причем величина E это уменьшающаяся за счет выделения тепла энергия
твердого
тела.
Если
непосредственно
применять
эту
формулу
для
вращающегося электрона с учетом вязкости среды, то получим неограниченное
уменьшение энергии твердого тела с ростом времени. В случае не вязкой
среды, волновая функция действительна, потерь энергии на выделение тепла
нет, и этот коэффициент равен нулю. Поэтому необходимо ввести дискретное
значение внутренней энергии, соответствующее поглощенной атомом энергии
за время a / c , равный уменьшившейся энергии, где величина a размер атома.
При этом при фазовых переходах первого рода уменьшается энергия
каждой из двух фаз и происходит выделение или поглощение тепла. При
фазовых переходах второго рода действительная часть вязкости не меняется,
т.е. разность действительных значений внутренней энергии с учетом тепловых
квантов равна нулю и тепловая энергия не выделяется, но образуется мнимая
8
энергия, которая делает энергию тела комплексной.
Подсчитаем энергию одного кванта
 t 00 ,
соответствующего основному
состоянию водородоподобного атома, для чего подсчитаем выделенную
энергию за время a / c в объеме атома, причем величина волнового числа
2
определяется по формуле k  mc /  . Величина a   2  137  / mc  137 / k берется
me
из табличного значения радиуса атома см. [4]
a 
 t 00   
 
0
a 
 c 2 
0

c 2
137 2 a 2

c
2
2
0
0
V
3
( i
  i
,k 1 kx k
0
0
a 
2
3
   i
,k 1
0
0
0
a 
2
0
0
137 2 a 0

a
E r 2 sin drdd 
c
Vk 2
 a
) (1  ik ) r 2 sin drdd 
kxi
2 c
 a
 2i ln  * / 2
(
) (1  ik ) r 2 sin drdd 
2 c
xi / axk / a
(4)

 2i ln  * / 2
(
) (1  ik )r 2 sin drdd 
2
xi / axk / a
3
  i
,k 1
 50.133ca 2  2 /[137 (1   2 )]2 ,   
4me /( b )
1  [2me /( b )]2
При исследовании движения атома, плотность двигающего тела равна
b 
3  1836 Ame
, где определяется плотность атома, при двигающейся частице
4a B3
с приведенной массой, приближенно имеющей массу электрона. Используя N
число
Авогадро,
получим
добавку
к
энергии
тела
 50.13 Nca 2  2 /[137 (1   2 )]2 .
a 
Вычислим
интеграл
2
3
   i
,k 1
0
0
0
(

 2i ln  * / 2
) (1  ik )r 2 sin drdd .
2
xi / bxk / b
Это
действительное изменение модуля градиента скорости вязкой среды при
изменении вязкости меняет свою энергию и в случае действительной волновой
функции равно нулю. В случае водородоподобного атома эта величина равна
9
 nlm  Rnl (r )Ylm ( , )  
2
n2
(n  l  1)!
2r
2r
exp(r / an)( ) l L2nll1 ( )Ylm ( , )
2
an
an
[( n  l )!]
R10  2 exp( r / a ), R20 
1
exp(r / 2a )(1  r / 2a )
2
.
r r
2
r
2r
2r 2
R21 
exp( ) , R30 
exp( )(1 

)
2a a
3a
3a 27 a 2
2 6
3 3
8
r r
r
4
r r
R31 
exp( ) (1  ), R32 
exp( )( ) 2
3a a
6a
3a a
27 6
81 30
1
При этом радиус атома, берется из таблиц. При этом квант энергии основного
состояния
считается
по
формуле,
используя
волновую
функцию
водородоподобного атома
*
ln  00
/ 00  2ri /(1   2 ),   
4me /( b )
1  [2me /( b )]2
*
ln  nlm
/ nlm  2ri /[ n(1   2 )]  l ln a / a * 
 2 nl rinr /[(l  1)( nr  l  1)(1   2 )], |  nl | 1
Вычисление коэффициента nr /(l  1) при добавке см. [1]. При этом величина
потока равна
3
 ik

2
 2r
*
2
 [ y y i ln 00 / 00 ] (1  2 )  4  [ y y (1  2ik ) /(1   2 )]2 
i ,k 1
i ,k 1
i
k
i
k
3

3

i ,k 1
r 2 ik  xi xk 2
 ik 4 2 a 2
(
) (1 
)
,
2 (1   2 ) 2
r3
yi  xi / a,   
4me /( b )
1  [2me /( b )]2
При этом интеграл равен
a 
2
  
0
0
0
r 2 ik  xi xk 2

] (1  ik )r 2 sin drdd 
 [ r3
2
i ,k 1
3
a 
2
  
0
0
2[( x12 x22  x22 x22  x12 x32 ) / r 2 
.
0
 (1  sin 2  cos2  ) 2  (1  sin 2  sin 2  ) 2  (1  cos2  ) 2 ]sin drdd  12
8
a
15
10
При вычислении данного интеграла учтено, что интеграл по углу  от четной
степени синуса и косинуса определяется постоянным значением квадрата
синуса или косинуса.
Получив формулу для значения кванта тепловой энергии, вычислим значение
теплоты парообразования для давления в одну атмосферу для веществ, у
которых имеются табличные данные в справочнике [4].
,
Вычисленная
теплота
испарения,
кДж/моль
Табличная
теплота
испарения,
кДж/моль
0.00465(0.00635)
89.6
89.4
40
0.00302(0.0032)
77.9
77.5
1.39
67
0.01635(0.018)
114.5
114
Ag
1.44
108
0.02275(0.0298)
253.9
254
Pb
1.75
206
0.01493(0.0257)
179
179.5
Bi
1.82
208
0.01292(0.01662)
157.2
157.5
Радиус
атома, в
ангстремах
A
г/(см сек)
Na
1.89
23
K
2.36
Zn
Энергия пара гораздо меньше энергии жидкости и не учитывается, в связи с
малой плотностью. Не учитывается и изменение объема, в связи с малостью
члена pV . В скобках указана табличная вязкость материала, а перед скобкой
используемая для вычисления вязкость. При этом вязкость материала
приведена при температуре в два раза меньше температуры испарения
материала при 1 атм., т.е. используемое для вычисления значение вязкости
должно быть меньше табличного в круглых скобках.
При этом собственная отрицательная энергия кванта затухания энергии
атома или молекулы у водородоподобного атома имеет зависимость от
орбитального квантового числа
 tnl   t 00 ( )[1   nrl nr /(l  1)]2 /(nr  l  1) 2 ,|  nrl | 1 ,
(5)
т.е. разность уровней с большим орбитальным квантовым числом l стремится
к нулю, при фиксированном радиальном n r квантовом числе.
В случае, когда фазовый переход является плавлением, двигающейся частицей
11
является ядро атома. Множители m n / b  4 n b 3 / 3  4e me a B3 /(3 Am p )
ядра
и
электрона
сопоставимы,
за
счет
большой
у
вязкости
 n ~ 2  1010 g /(cm  sec) , которое создает ядро в кристаллической решетке, при
вязкости которую создают электроны  e ~ 0.01g /(cm  sec) , но находящиеся в
объеме атома. Но у кванта энергии имеется еще множитель, равный
коэффициенту вязкости, который больше у ядра атома, поэтому движением
электронов можно пренебречь при вычислении теплоты плавления. Плотность
двигающейся частицы – ядра атома у твердого тела считалась по формуле
b 
3mb
. Масса двигающейся частицы – ядра атома, выражалась через массу
4b 3
электрона mb  1836 Ame , где величина A равна количеству нуклонов в ядре.
Размер частицы считался по размеру ядра и тогда размер двигающегося тела
b  1.45  10 13 . При этом, так как ядро в атоме движется гораздо медленнее
электронов, формула для кванта энергии изменится
 t 00
50.13 Nca 2  2 Z 2 me2

/[137  (1   2 )]2 
2
( Zme  Am p )
 50.13 Nca 2  2 Z 2 /[137  ( Z  A  1836 )  (1   2 )]2
Добавочный член в теплоту плавления и испарения, равный
pV мал и не
учитывался. К сожалению, вязкость металла в используемом справочнике дана
при температуре 30 градусов Цельсия, а плавление твердого тела происходит
при более высокой температуре. Данные взяты из справочника [4].
  10 10 ,
Вычисленная
теплота
плавления,
кДж/моль
Табличная
теплота
плавления,
кДж/моль
10.5
10.7
Радиус
атома, в
ангстремах
Z,A
Al
1.43
13,27
При t=30
град.С
г/ (см сек)
1.2(25)
Fe
1.26
26,57
1.975(14)
15.5
15.5
Zn
1.39
30,67
1.535(8)
7.25
7.28
Pd
1.37
46,106
2.45(7)
17.02
17.2
Ag
1.44
47,108
2.01(2.24)
11.6
11.27
В скобках указана табличная вязкость при температуре 30 градусов Цельсия,
12
вне скобки вязкость, по которой производилось вычисление.
При испарении энергия необходимая при фазовом переходе больше энергии,
необходимой для плавления вещества. Следовательно, правильно учли энергию
движения электронов в объеме атома, которая играет большую роль, чем
энергия движения ядра атома, в силу его малой скорости и малой вязкости
жидкости. Дело в том, что коэффициент вязкости у твердого тела огромен, а у
жидкого тела имеет гораздо меньшее значение. При этом большая вязкость
твердого тела обусловлена существованием кристаллической решетки и
движением ядра. Поэтому у твердого тела существенно движение ядра при
плавлении, а у жидкого тела существенно движение электронов при испарении.
Возникает естественный вопрос, какова же масса этой энергии затухания
и можно ли ее обнаружить. При характерной энергии 2  10 5 Дж одного моля
вещества масса этой энергии равна по порядку величины  t / c 2  2.2  10 16 кг,
что обнаружить измерением массы вещества практически невозможно. При
этом если пересчитать эту массу на один атом, получится величина 0.6  10 39 кг,
что во много раз меньше величины массы легчайшей частицы, электрона. Т.е.
чтобы обнаружить теплород (так называли эту энергию в 18 веке) необходимо
произвести очень точные измерения.
Литература
1. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц Квантовая механика Нерелятивистская теория
М., «Наука», 1989г, 768с.
2. Е. Якубовский Вакуум – разреженный газ. Обусловленные свойством
вакуума физические законы. LAP LAMBERT Academic Publishing,
2012г, 85с.
3. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика.
М.: Государственное Издательство Физико-математической литературы,
1963г., ч.II,400с.
4. И.К. Кикоин Таблицы физических величин Справочник М.:
«Атомиздат», 1976г., 1009с.
13