2.02 2.2. Приближенное вычисление интегралов. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона. Оценка погрешности. Способы вычисления кратных интегралов. b Приближенное вычисление интегралов вида I f ( x)dx . a Большая часть методов приближенного вычисления интегралов основана на дроблении отрезка [a,b] точками a=x0<x1<…<xN=b. N В этом случае полагаем I Ai f i , где fi=f(xi) Последняя i 0 формула называется квадратурной, xi называются узлами квадратурной формулы, а Ai – ее весами. Вообще говоря, функцию f(x) мы можем интерполировать на отрезке xi=[xi-1,xi], тогда формулы для вычисления приближенного значения интеграла будут называться интерполяционно-квадратурными. Формула прямоугольников. Будем интерполировать функцию f(x) на отрезке xi, полиномами нулевой степени, т.е. константами. f ( x) f ( xi 1 / 2 ) f i 1 / 2 xi I i f ( x)dx f i 1 / 2 xi xi 1 N N I fi 1 / 2 xi x fi 1 / 2 если все отрезки равны i 1 i 1 Последняя формула называется формулой прямоугольника (центральной, так как берем fi1/2). Если будем брать значение функции не в центре xi, а в xi, то формула будет правосторонней, а если xi-1 – левосторонней. Формула трапеций. Теперь f(x) на xi будем интерполировать полиномом первой степени. f ( x) Ii f i f i 1 ( x xi 1 ) f i 1 xi xi 1 1 ( f i 1 f i )xi 2 тогда N N если x 1 I ( f i1 f i )xi f 2 f i f N - формула трапеций. 0 x const i 2 i 1 2 i 1 Формула Симпсона. В этом случае интерполировать f(x) будем уже не по 2-м а по 3-м точкам, т.е. полиномами второй степени. f ( x) f i 1 / 2 f i f i 1 f 2 f i 1 / 2 f i ( x xi 1 / 2 ) i 1 ( x xi 1 / 2 ) 2 2 xi x / 2 Найдем Ii. 1 2.02 xi Ii f i f i1 i f 2 f i1 / 2 f i ( x xi1 / 2 )dx i1 xi xi 1 x 2 / 2 x f i1 / 2 dx xi 1 f i1 2 f i1 / 2 f i x 2 / 2 f i1 / 2 x N I Ii i 1 x / 2 y dy 2 0 xi (x x i 1 ) 2 dx xi 1 f i1 / 2 x f i1 2 f i1 / 2 f i 1 x ( f i1 4 f i1 / 2 f i )x 6 6 N 1 N x f 0 2 f i 4 f i 1 / 2 f N - формула Симпсона. 6 i 1 i 1 Оценки априорных погрешностей: 1) Центральный прямоугольник: | I I1 | M 2 (b a) 2 x M 2 max | f " ( x) | 24 [ a,b] M 2 (b a) 2 x M 2 max | f " ( x) | 12 [ a,b] M 4 (b a) 4 | I I 3 | x M 4 max | f "" ( x) | 2880 [ a,b] 2) Трапеция | I I 2 | 3) Симпсон 1,2 и 3 хорошо обусловлены в смысле абсолютной погрешности. Найдем апостериорную оценку | I I x1 | cx1k , где x1k – шаг разбиения. I I x1 cx1k (1) I I x2 cx2k (2) вычтем (1) из (2) I x1 I x2 c(x2k x1k ) c I x1 I x2 x2k x1k подставив выражение для с в (1) получим I I x1 I x1 I x2 x x1k 2 k x1k I x1 I x2 k x 1 1 x 2 , мы получили оценку Ричардсона. Способы вычисления кратных интегралов. Допустим, хотим вычислить интеграл по площадке на рисунке. x2 y2 ( x ) x1 y1 ( x ) I f ( x, y )d dx f ( x, y )dy для вычисления подобного интеграла будем иметь формулы прямоугольников. N I f ( xi , yi ) i i 1 аналог . Для приближенного вычисления определенных интегралов применяется метод МонтеКарло. b b a a I f ( x)dx b b f ( x) p( x)dx ( x) p( x)dx , где p( x)dx 1 . p ( x) a a I – мат. ожидание случайной величины x с плотностью вероятности p(x). 2 2.02 Генерируем случайные величины с плотностью вероятности p(x). i 1 N I ( xi ) ~ 1 N Оценка метода 1 1 ~ N I I ~ 1 N b 2 1 [( x) I ]2 dx a 3