Линейная алгебра Математический анализ

(2011-2012)
Вариант № 0.
Контрольная работа №1.
Математический анализ
Задание 1. Найти пределы функций.
4 x 3  3x  2
а) lim 2
;
x  3 x  5 x  1
в)
lim
x 2
3 x 2  5 x  12
б) lim 2
;
x  4x  3
x 3
3x  2  2 x
;
x2
г)
sin 2 x
lim sin 5x ;
x 0
Задание 2. Найти производные заданных функций.
3
1


f ( x)   x 2  2  3 x  ;
x


3x  1
;
f ( x)  lg
3x  1
а)
в)
б)
f ( x)  3cos 2 x tg 2 2 x ;
г)
f ( x)  2arctg (5x 3  2) .
Задание 3. С помощью дифференциала найти приближенное значение
выражения 4 81,3 .
Задание 4. Исследовать средствами дифференциального исчисления
функцию f ( x ) 
2
2
x 1
и построить ее график.
Задание 5. Найти неопределенные интегралы.
1
x
а)  (2 x 3  3x  )dx ;
 2x
в)
2
dx
;
 4x  6
б)
 ( x  1) sin 2 xdx ;
г)
5
dx
2x  1
.
Задание 6. Вычислить определенные интегралы по формуле НьютонаЛейбница.

а)
3
 sin
0
e
x
dx ;
2
б)
x
2
ln xdx .
1
Задание 7. Исследовать несобственные интегралы на сходимость
и найти их значения в случае сходимости.

а)
dx
1 (x  1) 3 ;
3
б)

2
dx
3
2x  4
.
Задание 8. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OY
фигуры, ограниченной линиями y=3x,y=0,x=0 и x=1
Задание 9. Дана функция z ( x, y )  arctg
x
, точка А(1,-1) и вектор l =(-3,1).
y
Найти полный дифференциал функции, градиент функции в
точке А и производную функции z(x,y) по направлению l в
точке А.
Задание 10. Написать три первых члена ряда по заданному общему члену
an x n 
xn
3 n 1 n 3
, определить интервал сходимости ряда и
исследовать сходимость ряда на концах интервала.
(2011-2012)
Вариант № 0.
Контрольная работа №2.
Линейная алгебра
Задание 1. Решить матричное уравнение В  Х  С , если
 2 1 0
5 1  6




В   1 2 1 , С  8 4
3 .
  1 2 3
8 8
9 



Задание 2. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы.
 x1

  x1
 3x
1

 3x 2
 x3

 2 x2
 2 x2
 x3
 x3
 4
 0.
1
Задание 3. Даны две системы векторов
a 1(1,0,-1),
a 2(2,1,3),
a 3(4,5,-3);
b 1(1,-1,8),
b 2(1,0,-3), b 3(3,-1,2).
Найти ранги данных систем и выяснить, какая из них образует
базис. Найти координаты вектора c (7,5,-6) в этом базисе
используя формулы Крамера.
Задание 4. Найти базисное неотрицательное решение системы
 x1

 x1
 3x
1

 2 x2
 x3
 x4
 x5

14,
 x2
 2 x3
 2 x3
 2 x4
 9 x4
 5 x5
 6 x5


5,
16.
и сделать переход к другому неотрицательному базисному
решению. Выписать общее решение системы.
Задание 5. Дан треугольник АВС: А(2,9), В(-1,5), С(-7,13). Найти:
уравнение и длину высоты АD; уравнение и длину медианы СЕ;
внутренний угол В; систему линейных неравенств,
определяющую треугольник. Сделать чертеж.
Задание 6. Составить уравнение гиперболы, действительная ось которой
равна расстоянию между фокусом и директрисой параболы
y2=16x, а прямые 2y=x являются асимптотами гиперболы.
Сделать чертеж.
(2011-2012)
Вариант № 1.
Контрольная работа №1.
Математический анализ
Задание 1. Найти пределы функций.
3x 2  4 x  3
а) lim 2
;
x  x  2 x  3
2x  3  3
в) lim
;
x 3 2 х  2  4
x 2  2x  1
б) lim
;
x2 1
x  1
1  cos 4 x
г) lim
;
x2
x 0
Задание 2. Найти производные заданных функций.
4
а)
1


f ( x )   x 2  3  43 x  ;
x


в)
f ( x)  lg
f ( x)  2 x 3 ctg 2 4 x ;
б)
3x  1
;
3x  1
г) f ( x)  3 arcsin 2
1
.
x 1
Задание 3. С помощью дифференциала найти приближенное значение
выражения 3 124,9 .
Задание 4. Исследовать средствами дифференциального исчисления
функцию f ( x ) 
x
и построить ее график.
x4
Задание 5. Найти неопределенные интегралы.
а)  cos 5 2 x sin 2 xdx ;
б)
в)

arccos 2 xdx
1  4x 2
;
г)
 xe
2x
 3
dx ;
dx
2x  3
.
Задание 6. Вычислить определенные интегралы по формуле НьютонаЛейбница.
1
а)
dx
0 x 2  4x  5 ;
e
б)
x
3
ln xdx .
1
Задание 7. Исследовать несобственные интегралы на сходимость
и найти их значения в случае сходимости.

dx
а) 
;
2
3 ( 2 x  2)
0
б)

4
dx
5
2x  8
.
Задание 8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
xу=5 и х+y=7.
Задание 9. Дана функция z ( x, y)  ln( x 2  y 2 ) , точка А(1,1) и вектор
l =(2,-3). Найти полный дифференциал функции, градиент
функции в точке А и производную функции z(x,y) по
направлению l в точке А.
Задание 10. Написать три первых члена ряда по заданному общему члену
xn
a n x  n , определить интервал сходимости ряда и
2
n
исследовать сходимость ряда на концах интервала.
(2011-2012)
Вариант № 1.
Контрольная работа №2.
Линейная алгебра
Задание 1. Решить матричное уравнение Х  В  С , если
3 0  2
5 1  6




В  1 1 2  , С  8 4
3 .
3 2 1 
8 8
9 



Задание 2. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы.
 x1

 2 x1
 x
 1
 2 x2
 3 x3

 x2
 2 x2
 3 x3
 2 x3
 5
  4.
7
Задание 3. Даны две системы векторов
a 1(1,0,3),
a 2(4,2,2),
a 3(3,7,1);
b 1(1,1,1),
b 2(-1,4,1),
b 3(-5,10,1).
Найти ранги данных систем и выяснить, какая из них образует
базис. Найти координаты вектора c (6,9,6) в этом базисе
используя формулы Крамера.
Задание 4. Найти базисное неотрицательное решение системы
  4 x1

  3x1
 2x
1

 2 x2
 10 x2
 x2
 x3
 x3
 3x4
 8 x4
 2 x5

6,
 x5
 5 x5


 8,
2.
и сделать переход к другому неотрицательному базисному
решению. Выписать общее решение системы.
Задание 5. Дан треугольник АВС: А(6,8), В(3,4), С(-3,12). Найти:
уравнение и длину высоты АD; уравнение и длину медианы СЕ;
внутренний угол В; систему линейных неравенств,
определяющую треугольник. Сделать чертеж.
Задание 6. Составить каноническое уравнение эллипса, если известно, что
расстояния от одного из фокусов эллипса до концов его
большой оси соответственно равны 1 и 9. Сделать чертеж.
(2011-2012)
Вариант № 2.
Контрольная работа №1.
Математический анализ
Задание 1. Найти пределы функций.
2 x 2  3x  9
а) lim
;
3
x  5  3 x  x
x2 2
в) lim
;
x2
x 2
2 x 2  3x  2
б) lim 2
;
x  5x  6
x2
sin 4 x
г) lim
;
x 0 sin 6 x
Задание 2. Найти производные заданных функций.
4
а)
 1

f ( x)   3  x 2  3 x  2  ;
x

в)
f ( x)  lg
1 x2
;
1 x2
б)
f ( x)  e 2 x cos 2 2 x ;
г)
f ( x)  2( x 2  4) arcsin 3 4 x .
Задание 3. С помощью дифференциала найти приближенное значение
выражения 50 .
Задание 4. Исследовать средствами дифференциального исчисления
функцию f ( x ) 
x2
x2  4
и построить ее график.
Задание 5. Найти неопределенные интегралы.
а)  (2 x 2  sin 2 x  3x)dx ;
б)
x
в)
2
dx
;
 6x  5
г)
 (2 x  1) sin( 2 x  1)dx ;
1
dx
x 1
.
Задание 6. Вычислить определенные интегралы по формуле НьютонаЛейбница.
 /2

а)
0
x
sin
dx ;
2
3
1
б)
 (x
2
 1) ln( x  1)dx .
0
Задание 7. Исследовать несобственные интегралы на сходимость
и найти их значения в случае сходимости.

dx
а) 
;
2
1 (3 x  4 )
1
б)

0
dx
5
x 1
.
Задание 8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y=x2-2 и y=2-x2.
Задание 9. Дана функция z ( x, y)  arcsin x 2 y 2 , точка А(0,-1) и вектор
l =(1,2). Найти полный дифференциал функции, градиент
функции в точке А и производную функции z(x,y) по
направлению l в точке А.
Задание 10. Написать три первых члена ряда по заданному общему члену
an x n 
xn
, определить интервал сходимости ряда и
3 n n!
исследовать сходимость ряда на концах интервала.
(2011-2012)
Вариант № 2.
Контрольная работа №2.
Линейная алгебра
Задание 1. Решить матричное уравнение В  Х  С , если
 1 0  2
 0  3  3




В  2 1 1 , С 4 4
2 .
3 1 0 
5 3
1 



Задание 2. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы.
 x1

 2 x1
 x
 1
 2 x2
 3 x3
 2
 x2
 x2
 x3
 x3
 2
 1.
Задание 3. Даны две системы векторов
a 1(3,7,-4),
a 2(0,4,2),
a 3(1,-3,4);
b 1(1,-1,8),
b 2(2,-1,5), b 3(1,0,-3).
Найти ранги данных систем и выяснить, какая из них образует
базис. Найти координаты вектора c (24,-10,-22) в этом базисе
с помощью формул Крамера.
Задание 4. Найти базисное неотрицательное решение системы
 2 x1

 4 x1
 3x
1

 x2
 x3
 4 x2
 5x2
 2 x3
 2 x3
 2 x4
 2 x5
 x5

1,


 6,
7.
и сделать переход к другому неотрицательному базисному
решению. Выписать общее решение системы.
Задание 5. Дан треугольник АВС: А(6,7), В(3,3), С(-3,11). Найти:
уравнение и длину высоты АD; уравнение и длину медианы СЕ;
внутренний угол В; систему линейных неравенств,
определяющую треугольник. Сделать чертеж.
Задание 6. Составить каноническое уравнение гиперболы и уравнения ее
асимптот, если известно, что она проходит через точки (5,0) и
(10,4). Сделать чертеж.
(2011-2012)
Вариант № 3.
Контрольная работа №1.
Математический анализ
Задание 1. Найти пределы функций.
а)
в)
2 x 2  8x  1
;
lim
2
x  2  x  3 x
lim
x 3
б)
lim
x2  x  2
x 2
5x  1  4
;
x3
x2  4
;
tg 2 3 x
г) lim 2 ;
x  0 tg 5 x
Задание 2. Найти производные заданных функций.
2
а)


1
 ;
f ( x)   x 3 

5
x
5


x


в)
f ( x)  ln
1  3x 2
;
3  x2
f ( x)  x 2 2 arctg3 x ;
б)
г)
f ( x)  tgx 2 arcsin 2 2 x .
Задание 3. С помощью дифференциала найти приближенное значение
выражения 24,9 .
Задание 4. Исследовать средствами дифференциального исчисления
функцию f ( x ) 
1 3
x  2 x 2 и построить ее график.
3
Задание 5. Найти неопределенные интегралы.
а)  x 2 x 1dx ;
б)
 sin 2 x cos
в)
2
2 xdx ;
г)
 arctg 2 xdx ;
dx

x 1
.
Задание 6. Вычислить определенные интегралы по формуле НьютонаЛейбница.
 /4
1
dx
а)  2
;
0 2x  4x  5
б)
 x sin( 2 x  1)dx .
0
Задание 7. Исследовать несобственные интегралы на сходимость
и найти их значения в случае сходимости.

dx
а) 
;
4
4 (3  x )
1/ 2
б)

0
dx
3
( 2 x  1) 2
.
Задание 8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y=x2+1 и y=10-x2.
Задание 9. Дана функция z ( x, y )  x 2 y  3xy 
1 2
y  4 , точка А(-1,1) и
2
вектор l =(3,-4). Найти полный дифференциал функции,
градиент функции в точке А и производную функции z(x,y) по
направлению l в точке А.
Задание 10. Написать три первых члена ряда по заданному общему члену
an x n 
2n x n
, определить интервал сходимости ряда и
3n n
исследовать сходимость ряда на концах интервала.
(2011-2012)
Вариант № 3.
Контрольная работа №2.
Линейная алгебра
Задание 1. Решить матричное уравнение Х  В  С , если
2 1 1 
 0  3  3




В   1 0  2 , С   4 4
2 .
1 2 2 
5 3
1 



Задание 2. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы.
 x1

 2 x1
 x
 1
 2 x2
 2 x3

 x2
 x2
 3 x3
 x3
 4
 4.
0
Задание 3. Даны две системы векторов
a 1(2,-3,6),
a 2(0,4,-5),
a 3(1,-1,7);
b 1(1,1,1),
b 2(-2,3,0),
b 3(-3,7,1).
Найти ранги данных систем и выяснить, какая из них образует
базис. Найти координаты вектора c (-1,2,1) в этом базисе
с помощью формул Крамера.
Задание 4. Найти базисное неотрицательное решение системы





x1
 x2
 x4
 8 x5

1,
5 x1
4 x1
 x2
 x2
 3x4
 x4
 20 x5
 4 x5


9,
0.
 x3
и сделать переход к другому неотрицательному базисному
решению. Выписать общее решение системы.
Задание 5. Дан треугольник АВС: А(7,6), В(4,2), С(-2,10). Найти:
уравнение и длину высоты АD; уравнение и длину медианы СЕ;
внутренний угол В; систему линейных неравенств,
определяющую треугольник. Сделать чертеж.
Задание 6. Составить уравнение окружности, проходящей через вершину
параболы y= x2-4x+5 с центром в точке (5,-1). Сделать чертеж.
(2011-2012)
Вариант № 4.
Контрольная работа №1.
Математический анализ
Задание 1. Найти пределы функций.
а)
lim
x 
в)
lim
x 2  4x  5
;
4x 2  5
2x  6
x 1  2
x 3
;
2x 2  x  6
б) lim 2
;
x2 2 x  5 x  2
sin 2 3 x
г) lim
;
4x 2
x 0
Задание 2. Найти производные заданных функций.
3


3
f ( x)   2 x 4 
 x 2  ;
x3


arcsin 3 x
f ( x)  2
cos x ;
а)
 x  1
f ( x)  arctg 
 ;
 x 1
2
б)
в)
г) f ( x)  2 x 1 log 2 (3x  2) .
Задание 3. С помощью дифференциала найти приближенное значение
выражения sin 28 0 .
Задание 4. Исследовать средствами дифференциального исчисления
функцию f ( x)  x 4  x 2 и построить ее график.
Задание 5. Найти неопределенные интегралы.
а)  ( 2 x  1  x 2  3x)dx ;
б)  ln( 2 x  1)dx ;
 sin
в)
3
2 x cos 2 xdx ;
г)
 2
dx
4x  1
.
Задание 6. Вычислить определенные интегралы по формуле НьютонаЛейбница.
 /4
5
dx
а) 
;
2x  3
2
б)
 (2 x  3) cos 3xdx .
0
Задание 7. Исследовать несобственные интегралы на сходимость
и найти их значения в случае сходимости.

dx
а) 
;
4
1 (3 x  2 )
3
б)

0
dx
7
x2
.
Задание 8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
xy=5 и x+y=6.
Задание 9. Дана функция z ( x, y)  xexy , точка А(-1,2) и вектор l =(2,1).
Найти полный дифференциал функции, градиент функции в
точке А и производную функции z(x,y) по направлению l в
точке А.
Задание 10. Написать три первых члена ряда по заданному общему члену
an x n 
xn
4 n 2n  1
, определить интервал сходимости ряда и
исследовать сходимость ряда на концах интервала.
(2011-2012)
Вариант № 4.
Контрольная работа №2.
Линейная алгебра
Задание 1. Решить матричное уравнение В  Х  С , если
 3 1 1
 6 4 5




В   0 1 2 , С   1 0 7 .
 1 2 1
 3 2 8




Задание 2. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы.
 x1

 x1
 2x
 1
 4 x2
 2 x3

3
 2 x2
 x2
 3 x3
 2 x3
 6
  1.
Задание 3. Даны две системы векторов
a 1(-1,-3,1),
a 2(2,0,-1),
a 3(-3,2,-9);
b 1(-3,1,-1), b 2(1,-1,1),
b 3(-1,1,1).
Найти ранги данных систем и выяснить, какая из них образует
базис. Найти координаты вектора c (0,-6,1) в этом базисе
с помощью формул Крамера.
Задание 4. Найти базисное неотрицательное решение системы
 2 x1

 x1
 x
1

 3x 2
 x4
 8 x5

13
 4 x2
 2 x2
 2 x4
 3x 4
 9 x5
 6 x5


13
13
 x3
и сделать переход к другому неотрицательному базисному
решению. Выписать общее решение системы.
Задание 5. Дан треугольник АВС: А(4,4), В(1,0), С(-5,8). Найти:
уравнение и длину высоты АD; уравнение и длину медианы СЕ;
внутренний угол В; систему линейных неравенств,
определяющую треугольник. Сделать чертеж.
Задание 6. Составить уравнение параболы и ее директрисы, если она
проходит через точки пересечения прямой y=2x c
окружностью x2+y2-3x-4y=0 и симметрична относительно оси
ОХ. Сделать чертеж.
(2011-2012)
Вариант № 5.
Контрольная работа №1.
Математический анализ
Задание 1. Найти пределы функций.
10 x 2  5 x  7
а) lim 2
;
x  2 x  6 x  2
2 x
в)
lim 1 
2x  3
x 2
x 2  5x  4
б) lim 2
;
x  4x
x4
x2
г) lim
;
x 0 cos 2 x  1
;
Задание 2. Найти производные заданных функций.
а)
x3 1
;
x3  1
f ( x)  ( x 2  e x  3) 3 ;
f ( x)  ln 5
б)
f ( x)  3arcctg 2 (3x 2  1) ;
в)
г) f ( x)  3sin 2 x tg 2 x .
Задание 3. С помощью дифференциала найти приближенное значение
выражения cos 44 0 .
Задание 4. Исследовать средствами дифференциального исчисления
функцию f ( x ) 
3
x2  4
и построить ее график.
Задание 5. Найти неопределенные интегралы.
ln 2 x
dx ;
а) 
x
dx
в)
 x
3
x
;
б)
 xe
г)

x 1
dx ;
dx
1  4x  2x 2
.
Задание 6. Вычислить определенные интегралы по формуле НьютонаЛейбница.
 /2
а)
3
 sin 2 xdx ;
0
1
б)
 ( x  1) ln( x  1)dx .
0
Задание 7. Исследовать несобственные интегралы на сходимость
и найти их значения в случае сходимости.

а)
dx
3 (3  2 x) 2 ;
1
б)

0
dx
3
(x  1) 2
.
Задание 8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y=lnx, y=0 и x=e.
Задание 9. Дана функция z ( x, y)  ln( 3x 2  2 y  3) , точка А(2,-1) и вектор
l =(2,3). Найти полный дифференциал функции, градиент
функции в точке А и производную функции z(x,y) по
направлению l в точке А.
Задание 10. Написать три первых члена ряда по заданному общему члену
nxn
an x 
, определить интервал сходимости ряда и
3n
3
n
исследовать сходимость ряда на концах интервала.
(2011-2012)
Вариант № 5.
Контрольная работа №2.
Линейная алгебра
Задание 1. Решить матричное уравнение Х  В  С , если
 2 1 0
 6 4 5




В   1 2 3 , С   1 0 7 .
 1 1 2
 3 2 8




Задание 2. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы.
 x1

 x1
 2x
 1
 x2
 3 x3

 3x 2
 4 x2
 2 x3
 7 x3
 5
 7.
2
Задание 3. Даны две системы векторов
a 1(3,-4,-5),
a 2(1,2,-2),
a 3(-2,1,3);
b 1(5,2,3), b 2(1,0,5),
b 3(2,1,-1).
Найти ранги данных систем и выяснить, какая из них образует
базис. Найти координаты вектора c (1,-13,-3) в этом базисе
с помощью формул Крамера.
Задание 4. Найти базисное неотрицательное решение системы





2 x1
 5x2
x1
2 x1
 13x2
 12 x2
 4 x3
 3 x3
 x4
 4 x5

10,
 x4
 x4
 5 x5
 3 x5


8,
7.
и сделать переход к другому неотрицательному базисному
решению. Выписать общее решение системы.
Задание 5. Дан треугольник АВС: А(-3,10), В(0,6), С(6,14). Найти:
уравнение и длину высоты АD; уравнение и длину медианы СЕ;
внутренний угол В; систему линейных неравенств,
определяющую треугольник. Сделать чертеж.
Задание 6. Найти расстояние от фокуса гиперболы 9x2-16y2=144 до ее
асимптот и угол между асимптотами. Сделать чертеж.
(2011-2012)
Вариант № 6.
Контрольная работа №1.
Математический анализ
Задание 1. Найти пределы функций.
7 x 2  5x  8
а) lim 3
;
2
x  x  3 x  2
в)
lim
x 5
x4 3
x  4 1
б)
lim
x 1
г)
;
x 2  6x  5
;
x 2  3x  2
tg 2 2 x
;
lim
2
x  0 sin x
Задание 2. Найти производные заданных функций.
а) f ( x)  cosx 2  2 ;
б) f ( x)  2arctg 3 ( x  5) ;
f ( x)  ( x 2  3 x 
в)
1
x
 1) 4 ;
f ( x)  sin 3xtg 2 2 x .
г)
Задание 3. С помощью дифференциала найти приближенное значение
выражения tg 46 0 .
Задание 4. Исследовать средствами дифференциального исчисления
функцию f ( x )  2 x 2 
1 4
x и построить ее график.
4
Задание 5. Найти неопределенные интегралы.
а)  (1  cos 3x) 3 sin 3xdx ;
б)
x
в)
2
dx
;
 4x  3
г)
 ( x  1)

2
ln 2 xdx ;
x  2dx
.
x 1
Задание 6. Вычислить определенные интегралы по формуле НьютонаЛейбница.

 /4
2
 cos 3xdx ;
а)
б)
 ( x  3) sin 2 xdx .
0
0
Задание 7. Исследовать несобственные интегралы на сходимость
и найти их значения в случае сходимости.

а)
dx
0 (x  4) 4 ;
1/ 2
б)

0
dx
5
(2 x  1) 2
.
Задание 8. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ
фигуры, ограниченной линиями x2=2y-1 и y=2.
Задание 9. Дана функция z ( x, y )  arctg ( x  2 y ) , точка А(2,1) и вектор
l =(3,4). Найти полный дифференциал функции, градиент
функции в точке А и производную функции z(x,y) по
направлению l в точке А.
Задание 10. Написать три первых члена ряда по заданному общему члену
an x n 
xn
4n n
, определить интервал сходимости ряда и
исследовать сходимость ряда на концах интервала.
(2011-2012)
Вариант № 6.
Контрольная работа №2.
Линейная алгебра
Задание 1. Решить матричное уравнение В  Х  С , если
2  1
2
 6 3 11 




В 1
1
0 , С 2 1 5  .
 1  2 1 
1 0  7




Задание 2. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы.
 x1

2 x1
x
 1
 2 x2
 2 x3
 6
 x2
 2 x2
 3 x3
 3 x3


5
8.
Задание 3. Даны две системы векторов
a 1(2,-2,1),
a 2(-1,0,1),
a 3(-1,-2,4);
b 1(1,-1,7),
b 2(4,2,6),
b 3(3,-4,3).
Найти ранги данных систем и выяснить, какая из них образует
базис. Найти координаты вектора c (4,9,2) в этом базисе
с помощью формул Крамера.
Задание 4. Найти базисное неотрицательное решение системы
 x1

 2 x1
 2x
1

 2 x2
 x3
 3x 4
 6 x5

4,
 x3
 3x 4
 7 x4
 x5
 6 x5


9,
10.
 x2
и сделать переход к другому неотрицательному базисному
решению. Выписать общее решение системы.
Задание 5. Дан треугольник АВС: А(3,5), В(0,1), С(-6,9). Найти:
уравнение и длину высоты АD; уравнение и длину медианы СЕ;
внутренний угол В; систему линейных неравенств,
определяющую треугольник. Сделать чертеж.
Задание 6. Составить каноническое уравнение гиперболы, действительная
ось которой равна 8, а эксцентриситет равен 1,8. Сделать
чертеж.
(2011-2012)
Вариант № 7.
Контрольная работа №1.
Математический анализ
Задание 1. Найти пределы функций.
x 3  5x 2  9
а) lim 3
;
x  6 x  7 x  2
в)
x 1 1
;
x2  4
lim
x 2
2 x 2  5x  3
б) lim 2
;
x  x6
x  3
г)
lim
x 0
sin 5x
;
x
Задание 2. Найти производные заданных функций.
а)
3x  5
;
3x  5
f ( x)  2 arccos 3 ( x  3) ;
f ( x)  lg 5
б)
1 3 2 4
 x ) ;
x
f ( x)  e cos 2 x tg 2 3x .
f ( x)  ( x 3 
в)
г)
Задание 3. С помощью дифференциала найти приближенное значение
выражения sin 29 0 .
Задание 4. Исследовать средствами дифференциального исчисления
функцию f ( x)  x 3  x 2  x и построить ее график.
Задание 5. Найти неопределенные интегралы.
а)  (6 x 2  1 / x 2  4 x )dx ;
б)  xarctg3 xdx ;
в)
 cos
4
3 xdx ;
г)
x
2 x 2  4dx .
Задание 6. Вычислить определенные интегралы по формуле НьютонаЛейбница.
 /4
а)
 sin
1
3
4 xdx ;
б)
0
 xe
x 1
dx .
0
Задание 7. Исследовать несобственные интегралы на сходимость
и найти их значения в случае сходимости.

dx
а) 
;
3
3 ( 2 x  1)
1/ 4
б)

0
dx
3
(4 x  1) 2
.
Задание 8. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ
фигуры, ограниченной линиями y=1-x2 и у=0.
Задание 9. Дана функция z ( x, y)  2 x 3 y  xy2  x  5 , точка А(1,2) и вектор
l =(-2,1). Найти полный дифференциал функции, градиент
функции в точке А и производную функции z(x,y) по
направлению l в точке А.
Задание 10. Написать три первых члена ряда по заданному общему члену
2n x n
an x 
, определить интервал сходимости ряда и
n!
n
исследовать сходимость ряда на концах интервала.
(2011-2012)
Вариант № 7.
Контрольная работа №2.
Линейная алгебра
Задание 1. Решить матричное уравнение Х  В  С , если
 3 1 2
 6 3 11 




В   1 0 3 , С   2 1 5  .
 2 1 1
1 0  7




Задание 2. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы.
 x1

 3x1
 2x
 1
 2 x2
 x3

 6 x2
 2 x2
 2 x3
 2 x3
 0
 4.
8
Задание 3. Даны две системы векторов
a 1(1,-2,2),
a 2(-1,0,1),
a 3(-2,-2,5);
b 1(5,3,0),
b 2(4,1,1),
b 3(-2,4,3).
Найти ранги данных систем и выяснить, какая из них образует
базис. Найти координаты вектора c (-1,-2,1) в этом базисе
с помощью формул Крамера.
Задание 4. Найти базисное неотрицательное решение системы
  3x1

  5 x1
 2x
1

 7 x2
 2 x2
14 x2
 2 x4
 x3
 2 x3
 x4
 3x 4
 x5

11,
 2 x5


2,
21.
и сделать переход к другому неотрицательному базисному
решению. Выписать общее решение системы.
Задание 5. Дан треугольник АВС: А(7,8), В(4,4), С(-2,12). Найти:
уравнение и длину высоты АD; уравнение и длину медианы СЕ;
внутренний угол В; систему линейных неравенств,
определяющую треугольник. Сделать чертеж.
Задание 6. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину
параболы у=x2-4х+7 и через точку А(-1,0). Сделать чертеж.
(2011-2012)
Вариант № 8.
Контрольная работа №1.
Математический анализ
Задание 1. Найти пределы функций.
а)
lim
x 3  2 x 2  3x
;
5x 2  x  1
lim
2x  2  2
;
x2  9
x 
в)
x 3
x 2  3x  2
б) lim 2
;
x 1 3 x  2 x  1
sin 2 3 x
;
lim
x  0 1  cos x
г)
Задание 2. Найти производные заданных функций.
x2 1
;
x2 1
f ( x)  2 arcsin 3 ( x 2  2 x) ;
f ( x)  lg 5
а)
в)
б)
3 3
 2x 2 )3 ;
x
f ( x)  4 cos x sin 3 2 x .
f ( x)  (3 x 2 
г) )
Задание 3. С помощью дифференциала найти приближенное значение
выражения 3 27,2 .
Задание 4. Исследовать средствами дифференциального исчисления
1
3
функцию f ( x )  x 3  x 2  3x и построить ее график.
Задание 5. Найти неопределенные интегралы.
а)  ( x 3  1 / x 3  x 3 )dx ;
б)
2
3
 cos 2 x sin 2 xdx ;
в)
г)
 (2 x  3) sin 3xdx ;
3
x dx
 x
3
x
.
Задание 6. Вычислить определенные интегралы по формуле НьютонаЛейбница.
 /2
 cos
а)
e
3
xdx ;
б)
 x ln( x  1)dx .
2
0
Задание 7. Исследовать несобственные интегралы на сходимость
и найти их значения в случае сходимости.

dx
а) 
;
2
2 (1  4 x )
1
б)

0
dx
3
(x  1) 4
.
Задание 8. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ
фигуры, ограниченной линиями у2=3х+2 и у=0.
Задание 9. Дана функция z ( x, y)  arcctg (2 x 2  y 2 ) , точка А(-1,0) и вектор
l =(3,2). Найти полный дифференциал функции, градиент
функции в точке А и производную функции z(x,y) по
направлению l в точке А.
Задание 10. Написать три первых члена ряда по заданному общему члену
an x 
n
4x xn
3n n
, определить интервал сходимости ряда и
исследовать сходимость ряда на концах интервала.
(2011-2012)
Вариант № 8.
Контрольная работа №2.
Линейная алгебра
Задание 1. Решить матричное уравнение В  Х  С , если
 4 1 2
 11 10 22 




В 0
2 3  , С   1  4 15  .
 2 1 1
  4  6  1




Задание 2. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы.
 2 x1

 3x1
 x
 1
 x2
 2 x3
 2
 2 x2
 x2
 2 x3
 2 x3
 3
 5
Задание 3. Даны две системы векторов
a 1(0,1,1),
a 2(1,1,0),
a 3(1,2,1);
b 1(1,2,-3),
b 2(0,-4,9),
b 3(-3,5,8).
Найти ранги данных систем и выяснить, какая из них образует
базис. Найти координаты вектора c (3,-9,1) в этом базисе
с помощью формул Крамера.
Задание 4. Найти базисное неотрицательное решение системы
 x1

  x1


 2 x2
 x3
 2 x4
 3 x5

3,
 x2
x2
 2 x3
 x3
 3x 4
 2 x5
 3 x5


4,
9.
и сделать переход к другому неотрицательному базисному
решению. Выписать общее решение системы.
Задание 5. Дан треугольник АВС: А(4,6), В(1,2), С(-5,10). Найти:
уравнение и длину высоты АD; уравнение и длину медианы СЕ;
внутренний угол В; систему линейных неравенств,
определяющую треугольник. Сделать чертеж.
Задание 6. Составить каноническое уравнение гиперболы, действительная
ось которой равна радиусу окружности х2+у2-4х-6у-23=0, а
эксцентриситет равен 4/3. Сделать чертеж.
(2011-2012)
Вариант № 9.
Контрольная работа №1.
Математический анализ
Задание 1. Найти пределы функций.
x3  2x  1
а) lim 3
;
2
x  4 x  5 x  3
в)
5x  1  2
lim
x 1
x 1
б)
lim
x2
г)
;
x2  4
;
x2  x  2
tg 4 x
lim tg5 x ;
x 0
Задание 2. Найти производные заданных функций.
2x  2
;
б)
4x  2
f ( x)  arctg 2 (3x  6) ;
f ( x)  3
а)
f ( x)  (2 x 4  x 2  43 x 2 ) 3 ;
в)
г) f ( x)  e x 3 cos 2 (2 x  3) .
Задание 3. С помощью дифференциала найти приближенное значение
выражения 35,7 .
Задание 4. Исследовать средствами дифференциального исчисления
функцию f ( x ) 
x2
x2  1
и построить ее график.
Задание 5. Найти неопределенные интегралы.
а)  ( x 5  2 / x 2  3 x 5 )dx ;
б)
 cos
в)
3
3 x sin 2 3 xdx ;
г)
 ( x  1) cos 2 xdx ;
2 x  1dx
 x
2x  1
.
Задание 6. Вычислить определенные интегралы по формуле НьютонаЛейбница.
 /2
3
 sin 2 xdx ;
а)
e
б)
 ( x  1) ln xdx .
1
0
Задание 7. Исследовать несобственные интегралы на сходимость
и найти их значения в случае сходимости.

а)
dx
3 (3  2x) 3 ;
3
б)

1/ 3
dx
4
(1  3 x) 2
.
Задание 8. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ
фигуры, ограниченной линиями х2=3у и у=3.
Задание 9. Дана функция z ( x, y)  arctg ( x 2  y 2 ) , точка А(0,1) и вектор
l =(-1,2). Найти полный дифференциал функции, градиент
функции в точке А и производную функции z(x,y) по
направлению l в точке А.
Задание 10. Написать три первых члена ряда по заданному общему члену
an x n 
xn
, определить интервал сходимости ряда и
5n n
исследовать сходимость ряда на концах интервала.
(2011-2012)
Вариант № 9.
Контрольная работа №2.
Линейная алгебра
Задание 1. Решить матричное уравнение Х  В  С , если
2 3
2
 11 10 22 




В    1  2 0  , С   1  4 15  .
1
  4  6  1
0 5 



Задание 2. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы.
 x1

2 x1
2 x
 1
 x2
 x3

 2 x2
 4 x2
 x3
 2 x3

6
  16.
1
Задание 3. Даны две системы векторов
a 1(5,1,4),
a 2(3,0,2),
a 3(4,2,5);
b 1(1,-1,8),
b 2(2,-1,5),
b 3(1,0,-3).
Найти ранги данных систем и выяснить, какая из них образует
базис. Найти координаты вектора c (3,3,13) в этом базисе
с помощью формул Крамера.
Задание 4. Найти базисное неотрицательное решение системы
 x1

  x1
 x
1

 4x2
 2x2
 x3
 2x4

19,
 3x 3
 2x4
 x4


9,
5.
 x5
и сделать переход к другому неотрицательному базисному
решению. Выписать общее решение системы.
Задание 5. Дан треугольник АВС: А(8,4), В(5,0), С(-1,8). Найти:
уравнение и длину высоты АD; уравнение и длину медианы СЕ;
внутренний угол В; систему линейных неравенств,
определяющую треугольник. Сделать чертеж.
Задание 6. Составить уравнение параболы, которая проходит через
точки пересечения окружности х2+у2-8х-9=0 с осью ординат и
вершина которой находится в центре данной окружности.
Сделать чертеж.