Линейная алгебра - Международный факультет управления ТГУ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВПО «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Международный факультет управления
Кафедра системного анализа и информационных технологий
УТВЕРЖДАЮ
Декан МФУ
_________Тарасенко П.Ф.
‘‘___’’_________2013 г.
ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Линейная алгебра
Направление подготовки
Экономика
Профиль подготовки
Мировая экономика
Квалификация выпускника
Бакалавр
Форма обучения
Очная
Томск 2013
1
1. Цели освоения дисциплины.
Целями освоения дисциплины линейная алгебра являются :
– формирование знаний по линейной алгебре, необходимых для решения задач,
возникающих в экономической деятельности;
– развитие логического мышления и математической культуры;
- формирование необходимого уровня алгебраической подготовки для понимания
других математических и прикладных дисциплин:
– обучение студентов методам логически строгого построения доказательств;
– формирование навыков и умений, необходимых при практическом применении
математических идей и методов для анализа и моделирования сложных систем,
процессов, явлений, для поиска оптимальных решений и выбора наилучших способов
реализации.
Задачи дисциплины:
- изучение основных понятий и методов линейной алгебры;
- приобретение практических навыков решения типовых задач,
способствующих усвоению основных понятий в их взаимной связи, а также
задач, способствующих развитию начальных навыков научного
исследования;
- формирование умений решения оптимизационных задач с
использованием аппарата линейной алгебры.
2.Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Линейная алгебра» находится в цикле Б.2. Математический цикл,
изучается в I семестре.
Для изучения курса необходимо знание школьного курса математики.
3. Требования к результатам освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины бакалавр должен сформировать общекультурные компетенции:
– способность владеть культурой мышления, умение аргументировано и ясно
строить устную и письменную речь (ОК-1);
– способность к саморазвитию, повышению своей квалификации и мастерства
(ОК-9);
–
способность владеть основными методами, способами и средствами
получения, хранения переработки информации, иметь навыки работы с компьютером как
средством
управления информацией, способностью работать с информацией в
глобальных компьютерных сетях (ОК-13).
В результате освоения дисциплины бакалавр должен сформировать
профессиональные компетенции:
– способность собрать и проанализировать исходные данные, необходимые
для расчета экономических и социально-экономических показателей, характеризующих
деятельность хозяйствующих субъектов (ПК-1);
- способность выбрать инструментальные средства для обработки
экономических
данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и
обосновать полученные выводы (ПК-5);
– способность на основе описания экономических процессов и явлений
строить стандартные теоретические и эконометрические модели, анализировать и
2
содержательно интерпретировать полученные результаты (ПК-6);
– способность использовать для решения аналитических и исследовательских
задач современные технические средства и информационные технологии (ПК-10);
– способность принять участие в совершенствовании и разработке учебнометодического обеспечения экономических дисциплин (ПК-15).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
 Знать:
– основы линейной алгебры, необходимые для решения экономических задач
 Уметь:
– применять методы линейной алгебры при решения экономических задач
 Владеть:
– математическим аппаратом линейной алгебры и аналитической геометрии;
– навыками использования аппарата линейной алгебры и аналитической
геометрии при решении конкретных задач.
4. Структура и содержание учебной дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 5 зачетных единиц. Общий объем
курса 180 часов. Из них: лекции – 30 ч., семинарские занятия – 60 ч., самостоятельная
работа студентов – 90 ч. Предусмотрено 4 контрольные работы. Экзамен по итогам курса.
Содержание курса
1. Матрицы и определители
Матрицы и действия над ними. Определение определителя. Определители II и III
порядков. Основные свойства определителей. Алгебраические дополнения, миноры. Связь
миноров с алгебраическими дополнениями. Вычисление определителей. Обратная матрица и ее вычисление. Линейная зависимость вектор-столбцов. Ранг матрицы. Способы
вычисления ранга матрицы.
2. Системы линейных уравнений (СЛУ)
Основные понятия. Матричный метод решения СЛУ. Формулы Крамера. Метод
Гаусса. Системы однородных линейных уравнений. Фундаментальная система решений.
Общее решение неоднородной системы. Модель многоотраслевой экономики Леонтьева.
Продуктивные модели Леонтьева. Критерии продуктивности модели Леонтьева.
3. Векторная алгебра
Скалярные и векторные величины. Действия над векторами. Базис и координаты
вектора. Линейная зависимость векторов. Признаки линейной зависимости. Понятие векторного пространства. Размерность и базис векторного пространства. Координаты вектора. Условие коллинеарности векторов. Аффинные и декартовы координаты точки.
Ортогональная проекция вектора. Скалярное произведение векторов. Угол между
векторами. Неравенство Коши-Буняковского. Ориентация тройки векторов. Векторное
произведение. Простейшие задачи аналитической геометрии. Преобразование базиса и
системы координат.
4. Многочлены и комплексные числа
3
Комплексные числа и действия над ними. Геометрическая интерпретация
комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и
тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Корни n-ой степени из
комплексного числа. Формулировка основной теоремы алгебры .
5. Линейные преобразования и квадратичные формы
Линейные преобразования пространства Rn. Матрица линейного оператора.
Собственные значения и собственные векторы линейных операторов. Собственные
значения квадратных матриц. Квадратичные формы, их матрицы в заданном базисе.
Приведение квадратичной формы к нормальному виду методом Лагранжа.
Закон инерции квадратичных форм. Критерий Сильвестра знакоопределенности
квадратичной формы.
Тема 6. Элементы аналитической геометрии
Прямая и плоскость. Угол между прямыми и плоскостями. Расстояние от точки
до плоскости. Классификация кривых второго порядка. Эллипс, гипербола и
парабола, их свойства и канонические уравнения. Приведение общего уравнения
кривой второго порядка к каноническому виду.
Тема 7. Линейное программирование
Примеры экономико-математических моделей, приводящих к задачам
линейного программирования. Стандартная и каноническая формы записи задач
линейного программирования. Геометрическая интерпретация задачи линейного
программирования в случае двух переменных. Графический метод решения. Симплексметод решения задач линейного программирования. Алгоритм симплекс-метода.
Нахождение исходного допустимого базиса. Метод искусственного базиса. Понятие о
взаимно-двойственных задачах линейного программирования. Основные теоремы
двойственности. Двойственность в экономико-математических моделях.
Темы практических занятий
По курсу предусмотрены следующие практические занятия:
1. Операции над матрицами - 2 час.
2. Вычисление определителей - 2 час.
3. Обратная матрица - 2 час.
4. Решение систем линейных уравнений. Формулы Крамера - 2 час.
5. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса - 2 час.
6. Решение однородных систем линейных уравнений - 2 час.
7. Решение однородных систем линейных уравнений. Общее решение
неоднородной системы.- 4 час.
8. Операции над векторами - 2 час.
9. Линейная зависимость векторов. Базис и координаты вектора - 2 час.
10. Скалярное произведение. Ортогональное проектирование вектора - 2 час.
11. Векторное произведение -2 час.
12. Смешанное векторное произведение - 2 час.
13. Решение простейших задач аналитической геометрии - 2 час.
14. Комплексные числа. Сложение, вычитание, умножение – 2 час.
15. Возведение в степень и извлечение корней – 2 час.
16. Операции с многочленами. Деление многочленов – 2 час.
17. Разложение рациональных функций на элементарные - 2 час.
18. Матрица линейного оператора. Собственные значения и
собственные векторы линейных операторов. Собственные значения
квадратных матриц - 2 час.
4
19. Квадратичные формы, их матрицы в заданном базисе.
Приведение квадратичной формы к нормальному виду
методом Лагранжа – 4 час.
20. Критерий Сильвестра для квадратичной формы -2 час.
21. Прямая на плоскости - 2 час.
22. Плоскость - 2 час.
23. Кривые второго порядка – 2 час.
24. Задача линейного программирования. Графический метод решения – 2 час.
25. Решение канонической задачи симплекс-методом – 4 час.
26. Метод искусственного базиса – 4 час.
Виды учебной работы,
включая самостоятельную работу студентов и
трудоемкость (в часах)
Раздел
№
Дисциплины
Семестр
п/п
лекции
практи-
Формы текущего
контроля успеваемости
Форма промежуточной аттестации (по
семестрам)
самостоятельная
чес-
работа
кие
занятия
1
Матрицы и определители
1
4
6
10
Опрос на занятиях,
проверка дом. работ,
контрольная работа
Системы линейных 1
уравнений
6
10
16
3
Векторная алгебра
1
4
12
16
Опрос на занятиях,
проверка дом. работ,
контрольная работа
4
Многочлены и
комплексные числа
1
4
8
12
Опрос на занятиях,
проверка дом. работ
5
Линейные
преобразования и
квадратичные
формы
1
3
8
10
Опрос на занятиях,
проверка дом. работ
6
Элементы
аналитической
геометрии
1
3
6
10
Опрос на занятиях,
проверка дом. работ,
контрольная работа
2
5
Опрос на занятиях,
проверка дом. работ
7
Линейное
программирование
1
6
10
16
Опрос на занятиях,
проверка дом. работ,
конт. работа
Экзамен
Итоговая
аттестация
ИТОГО
30
60
90
180
5. Образовательные технологии
В процессе обучения для достижения планируемых результатов освоения дисциплины
используются следующие методы образовательных технологий:
– опережающая самостоятельная работа;
– междисциплинарное обучение;
– проблемное обучение;
– обучение на основе опыта.
Для изучения дисциплины предусмотрены следующие формы организации учебного
процесса: лекции, практические занятия, самостоятельная работа студентов, индивидуальные и групповые консультации.
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные
средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по
итогам освоения дисциплины.
Самостоятельная работа студентов является наиболее продуктивной формой образовательной и познавательной деятельности студента в период обучения. Текущая самостоятельная работа направлена на углубление и закрепление знаний студентов, развитие практических умений. Текущая самостоятельная работа включает в себя : работу с
лекционным материалом, опережающую самостоятельную работу, подготовку к зачету и
экзамену.
Контроль самостоятельной работы студентов и качество освоения дисциплины
осуществляется посредством:
– опроса студентов при проведении практических занятий;
– проведения контрольных работ;
– проверки выполнения домашних заданий.
При изучении данной дисциплины студентам предлагается следующий перечень
контрольных вопросов для самостоятельной работы.
1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
2. Доказать, что однородная система линейных уравнений, у которой
число неизвестных больше числа уравнений, имеет ненулевые
решения.
6
3. Доказать неравенство Коши-Буняковского.
4. Выполнить действия над векторами в Rn . Найти длины векторов и
углы между ними.
5. Вычислить скалярное произведение векторов в Rn .
6. Найти ранг и базис данной системы векторов. Разложить заданный
вектор по данному базису.
7. Доказать, что любая система ненулевых попарно ортогональных
векторов линейно независима.
8. Исследовать данное подмножество векторов линейного пространства
и выяснить, является ли оно линейным подпространством.
9. Выполнить действия над матрицами (сложение матриц, умножение
матрицы на число, умножение матриц).
10. Сформулировать основные свойства определителей.
11. Вычислить определитель заданной квадратной матрицы.
12. Пользуясь формулами Крамера, решить систему линейных
уравнений.
13. Установить, имеет ли однородная система линейных уравнений
ненулевые решения.
14. Найти ФНР однородной системы уравнений.
15. Найти матрицу, обратную заданной.
16. Решить матричное уравнение вида AX = B, XA = B .
17. Найти ранг матрицы.
18. Провести действия с комплексными числами.
19. Вычислить степень комплексного числа, используя формулу Муавра.
20. Найти комплексные корни уравнения.
21. Представить комплексное число в тригонометрической форме.
22. Разложить правильную рациональную функцию в виде суммы
простейших дробей.
23. Найти НОД многочленов.
24. Преобразовать координаты вектора при замене базиса.
25. Найти матрицу данного линейного оператора.
26. Преобразовать матрицу линейного оператора при замене базиса.
27. Проверить продуктивность заданной матрицы.
28. Найти собственные значения и собственные векторы заданной
матрицы.
29. Доказать, что собственные векторы, соответствующие различным
собственным значениям матрицы, линейно независимы.
30. Найти собственные векторы линейного преобразования.
31. Найти число и вектор Фробениуса заданной матрицы.
32. Привести квадратичную форму к нормальному виду методом Лагранжа.
33. Привести квадратичную форму к каноническому виду
ортогональной заменой координат.
34. Исследовать положительную определенность квадратичной формы.
35. Составить уравнение прямой, заданной в двумерном пространстве.
36. Составить уравнение прямой, заданной в трехмерном пространстве.
37. Найти расстояние от данной точки до заданной прямой.
38. Составить уравнение плоскости, заданной в трехмерном пространстве.
39. Исследовать взаимное расположение прямых и плоскостей,
заданных в трехмерном пространстве.
40. Найти углы между данными прямыми.
41. Найти углы между данными плоскостями.
42. Найти углы между данными прямой и плоскостью.
7
43. Найти угловые точки выпуклого плоского множества, заданного
системой линейных неравенств.
44. Определить с помощью линейных неравенств выпуклую оболочку
конечного семейства точек (на плоскости).
45. Определить тип линии второго порядка по ее уравнению, найти её
каноническое уравнение.
46. Представить задачу линейного программирования в канонической форме.
47. Представить задачу линейного программирования в стандартной форме.
48. Решить графически задачу линейного программирования.
49. Решить задачу линейного программирования симплексным методом.
50. Решить задачу линейного программирования симплексным
методом с помощью искусственного базиса.
51. Для заданной задачи линейного программирования составить
двойственную задачу.
52. Применить теоремы двойственности для нахождения решения
двойственной задачи по найденному решению заданной задачи
линейного программирования.
Итоговая аттестация предусматривает сдачу экзамена по теоретическому курсу. Для
итоговой аттестации подготовлены билеты – 30 шт. Билеты содержат два теоретических
вопроса и задачу.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература:
1 Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.Ш.Кремера. М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2007.
2. Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 2006.
3. Практикум по высшей математике для экономистов / Под ред.
Н.Ш.Кремера. М.: ЮНИТИ, 2005.
б) Рекомендуемая литература (дополнительная)
1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики.
М.: Наука, 1985.
2. Кочегурова В.А. Практические занятия по элементам линейной
алгебры. Томск: МГК ТГУ, 1997.
3. Кочегурова В.А. Практические занятия по аналитической геометрии
на плоскости. Томск: МГК ТГУ, 1997.
8
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы не предусмотрены.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)
В Научной библиотеке ТГУ имеется достаточное колическтво необходимой учебной литературы по дисциплине.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом
рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению Экономика.
Автор: Воробейчиков Сергей Эрикович – проф. кафедры САиИТ
Рецензент: Дмитриев Юрий Глебович - проф. кафедры САиИТ
Программа одобрена на заседании методической комиссии МФУ
от ”____”_____________ 2012 г., протокол №___
9