Лекция 4 ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

Лекция 4
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ
Центр параллельных сил и его координаты
Установим одно важное свойство точки приложения равнодействующей двух параллельных сил.
Пусть в точках А и В на тело действуют параллельные силы F1 и F2 (рис. 42, а).
Равнодействующая этих сил равна их сумме, параллельна им, направлена в ту же сторону, а ее
линия действия делит прямую AВ на части, обратно пропорциональные этим силам (см. § 18),
т.е.
Повернем силы F1 и F2 на произвольный угол  , т. е. изменим их направление, сохранив
параллельность. При этом равнодействующая останется равной их сумме, параллельной им,
направленной в ту же сторону, а линия ее действия опять поделит прямую АВ на части, обратно
пропорциональные величинам заданных сил. На рис. 42, а точкой С обозначено пересечение
линии действия равнодействующей с линией АВ. Эта точка называется центром параллельных
сил, и ее положение не зависит от направления слагаемых сил.
Любое тело можно рассматривать как состоящее из большого числа малых частиц, на которые
действуют силы тяжести. Все эти силы направлены к центру Земли по радиусу. Так как размеры
тел, с которыми приходится иметь дело в технике, ничтожно малы по сравнению с радиусом
Земли (значение его около 6371 км), то можно считать, что приложенные к частицам силы
тяжести параллельны и вертикальны. Следовательно, силы тяжести отдельных частиц тела
образуют систему параллельных сил. Равнодействующую этих сил называют силой тяжести.
Центр параллельных сил тяжести, действующих на все частицы тела, называется центром
тяжести тела. Центр тяжести тела не меняет своего положения при повороте тела.
Выведем формулы для определения положения центра любой системы параллельных сил.
Пусть задана система параллельных сил F1 , F2 , F3 , ..., Fn ; координаты точек С1, С2, С3,..., Сn
приложения этих сил известны (рис. 42, б). Обозначим точку приложения равнодействующей

буквой С, ее координаты обозначим xC, уС. Как известно из предыдущего, если среди
F

заданных параллельных сил имеются силы противоположных направлений, то они будут иметь
разные знаки. Иными словами нужно какое-либо направление принять за положительное и
значение сил, совпадающих с этим направлением, подставлять в формулу (30) со знаком плюс, а
значения сил противоположного направления — со знаком минус.
Так как положение центра параллельных сил не зависит от их направления, повернем все заданные силы на угол  по часовой стрелке так, чтобы они стали параллельны оси у (рис. 42, б).
Равнодействующая при этом также повернется на угол  в ту же сторону.
Применим теорему о моменте равнодействующей (теорему Вариньона) относительно начала
координат (точки О):
откуда
но, так как
то
Поворачивая по аналогии заданные силы против часовой стрелки на угол ( 90   ) так, чтобы
они стали параллельны оси х, и пользуясь теоремой о моменте равнодействующей, получаем
формулу для другой координаты центра параллельных сил:
Положение (координаты) центра пространственной системы параллельных сил определяют по
формулам:
Выведенные формулы используются для вычисления координат центра тяжести тела, имеющего
конечное число отдельных частей правильной формы (цилиндров, кубов, параллелепипедов и т.
п.). Тогда вместо Fi подставляются значения Gi , под которыми подразумевают силы тяжести
отдельных частей тела, а под хi yi zi — координаты их центров тяжести.
Часто бывает, что тело нельзя разбить на конечное число отдельных частей, центры тяжести
которых легко определяются. Тогда переходят от конечных сумм к интегрированию, и формулы
для определения координат центра тяжести принимают вид:
где индекс V у интегралов показывает, что интегрирование происходит по всему объему тела.
Центр тяжести симметричного тела всегда лежит в плоскости симметрии. Плоскость симметрии
разделяет тело так, что каждой материальной точке, находящейся по одну сторону плоскости,
соответствует равная ей по массе точка по другую сторону, причем линия, соединяющая эти
точки, перпендикулярна плоскости симметрии и делится ею пополам.
На этом основании центр тяжести отрезка прямой линии находится в его середине. Центр
тяжести плоской симметричной фигуры (тонкой однородной пластинки) лежит на оси
симметрии, т. е. на линии уу, делящей фигуру на две равные части (рис. 42, е).
В однородном теле сила тяжести dG каждой элементарной части пропорциональна ее объему dV,
т. е.
где у — объемный вес (постоянная величина для однородного тела).
В общих формулах (32), вынося у за знак суммы в числителе и знаменателе и производя
сокращение, получаем формулы для определения координат центра тяжести однородного тела
или, как принято говорить, центра тяжести объема:
где
— полный объем тела.
Наличие осей симметрии в однородном теле облегчают определение положения его центра
тяжести. Например, центр тяжести призмы и цилиндра лежит на середине линии, соединяющей
центры тяжести оснований.
Центр тяжести шара совпадает с его геометрическим центром.
Центр тяжести пирамиды лежит на прямой, соединяющей центр тяжести площади основания с
противолежащей вершиной на расстоянии 1/4 высоты от основания (рис. 43, а).
Центр тяжести конуса лежит на прямой, соединяющей центр основания с вершиной на
расстоянии 1/4 высоты от основания (рис. 43, б).
Центры тяжести площадей. Статические моменты площадей
Очень часто приходится определять центры тяжести различных сочетаний тел, представляющих
собой геометрические плоские фигуры иногда весьма сложной формы.
Для плоских тел интегрирование производят по их площади и соответственно центр тяжести
определяется только двумя координатами:
Вес каждой элементарной части dA для однородного плоского тела (рис. 44) будет пропорционален площади. Обозначим у' массу 1 м2, тогда dG = y'dA.
Разделив числитель и знаменатель в формулах (33а) на у', получим формулы для определения
координат центра тяжести плоской фигуры в ее плоскости:
где
— полная площадь фигуры,
Произведение элементарной площади dA фигуры (рис. 44) на расстояние ее центра тяжести до
какой-либо оси называется статическим моментом этой части площади относительно данной
оси. Так, статический момент площади dA относительно оси х будет dS x = dAy, а относительно
оси у будет dSy = dAx
Сумма статических моментов всех частей фигуры называется статическим моментом площади
фигуры относительно данной оси:
Статический момент площади выражается единицами длины в третьей степени (например, см 3,
мм3, м3).
Координаты центра тяжести плоской фигуры можно выразить через статические моменты
площадей:
Если начало координат расположить в центре тяжести площади, то статические моменты
относительно осей х и у, проходящих через центр тяжести, будут равны нулю, так как в этом
случае yC = 0 и xC = 0.
Следовательно, статический момент плоской фигуры относительно любой центральной оси
равен нулю.
В заключение приведем (без выводов) сведения о координатах центров тяжести некоторых
простых фигур, которые могут встретиться при решении задач.
Центр тяжести параллелограмма, а также прямоугольника и квадрата совпадает g точкой С
пересечения диагоналей (рис. 45, а).
Центр тяжести треугольника лежит на пересечении медиан (рис. 45, б).
Положение центра тяжести кругового сектора определяют по формуле (рис. 45, е)
где а — центральный угол сектора, рад.
Положение центра тяжести сегмента круга определяют по формуле (рис. 45, г)
Пример. Определить координаты центра тяжести плоской фигуры с круглым отверстием,
изображенной на рис. 46. Размеры (мм) указаны на чертеже.
Решение. Разбиваем фигуру на три части: два прямоугольника I и II и круглое отверстие III и
вычисляем координаты центров тяжести и площади этих частей:
Знак минус означает, что А3 — площадь отверстия. Вычисляем координаты центра тяжести всей
фигуры:
Упражнение
1.Вычислите значение равнодействующей F и абсциссу хC центра параллельных сил (рис. 47).

2. Где располагается центр тяжести тела, имеющего ось симметрии?
А. На оси симметрии.
Б. Положение центра тяжести нельзя определить.
3.Зависит ли статический момент площади от расположения площади относительно оси.
А. Зависит.
Б. Не зависит.
4. Вычислите статические моменты площади прямоугольника относительно осей х и х0 (рис.
48, а) при расстоянии между осями а = 40 мм.
Рис. 48.а
5. Чему равен статический момент площади относительно оси, проходящей через центр тяжести
сечения?
A. Sx > 0.
Б. Sx = 0.
В. Sx < 0.
6.Определите координаты центра тяжести таврового сечения, размеры которого (мм) указаны на
рис. 48, б