«Интеграл и его приложения» Методическое пособие по предмету математика РАЗРАБОТАЛ ПРЕПОДАВАТЕЛЬ Забигуллина О.В. 1 СОДЕРЖАНИЕ Пояснительная записка……………….……………………………………………. 3 1. Неопределенный интеграл 1.1. Понятие неопределенного интеграла ............................................................... 4 1.2. Основные свойства неопределенного интеграла ............................................ 5 1.3. Основные формулы интегрирования ............................................................... 5 1.4. Основные методы интегрирования .................................................................. 6 1.4.1. Метод непосредственного интегрирования……..……………………6 1.4.2. Интегрирование методом замены……………….…………………….8 1.4.3. Интегрирование по частям…….…………………..…………..………9 1.4.4. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений……10 1.5. Вопросы для самопроверки ............................................................................. 13 2. Определенный интеграл 2.1. Задачи, приводящие к определенному интегралу ........................................ 14 2.2. Понятие определенного интеграла ................................................................. 15 2.3. Свойства определенного интеграла ............................................................... 18 2.4. Определенный интеграл как функция верхнего предела............................. 19 2.5. Формула Ньютона-Лейбница .......................................................................... 20 2.6. Замена переменной в определенном интеграле ............................................ 21 2.7. Интегрирование по частям в определенном интеграле ............................... 22 2.8. Приложения определенного интеграла.......................................................... 23 2.8.1. Вычисление пощади ............................................................................. 23 2.8.2. Вычисление объема .............................................................................. 27 2.9. Вопросы для самопроверки ............................................................................. 29 3. Тренинг-тест .......................................................................................................... 30 Список литературы ................................................................................................... 32 Приложение 1 ............................................................................................................ 33 2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Математика является фундаментальной дисциплиной. Ее преподавание предусматривает: – развитие логического и алгоритмического мышления; – овладение основными методами исследования и решения математических задач; – овладение основными численными методами математики и их простейшими реализациями на ЭВМ; – выработку умения самостоятельно расширять математические знания и проводить математический анализ прикладных задач. Общий курс математики является фундаментом образования специалиста, имеющим важное значение для успешного изучения общетеоретических и специальных дисциплин, предусмотренных учебными планами различных специальностей. «Интеграл и его приложения» является одним из разделов дисциплины «Математика», изучается на І и ΙІ курсах после раздела «Введение в математический анализ и дифференциальное исчисление функции одной переменной». Данное методическое пособие предназначено для студентов очной формы обучения, студентов-заочников всех специальностей и в помощь преподавателю математики. Пособие содержит краткое изложение теоретического материала по разделу «Интеграл и его приложения», соответствующего рабочей программе по математике. Изложение теоретического материала сопровождается решением типовых примеров, которые позволят студентам самостоятельно выполнять задания по математике, а также вопросы, задачи и тренинг-тест для самопроверки, позволяющие лучше усвоить и закрепить материал. Целью данного методического пособия является ознакомление студента с основными понятиями интегрального исчисления, способами интегрирования и некоторыми приложениями интегралов, оказание помощи учащимся в организации их самостоятельной работы по овладению системой знаний, умений и навыков по данному разделу. Студент, успешно изучивший «Основы интегрального исчисления», должен знать: определения неопределенного и определенного интегралов; свойства интегралов; различные методы вычисления неопределенных и определенных интегралов; приложения интегралов. 3 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1.1. ПОНЯТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Пусть функция F (x) определена на множестве D , которое является либо отрезком, либо конечным или бесконечным интервалом. Определение 1. Функция F (x) называется первообразной для функции f (x ) на множестве D , если в каждой точке множества D она дифференцируема и F ( x) f ( x) . Пример 1. Если f ( x) х 2 , то F ( x) х3 для всех х (0, ) . 3 х3 Действительно, F ( x) х 2 для всех х (, ) . 3 1 Пример 2. Если f ( x) , то F ( x) ln x для всех х (0, ) . x 1 Действительно, F ( x) ln x для всех х (0, ) . x Очевидно, что если F (x) является первообразной для функции f (x) на множестве D , то функция F ( x) С , где С - произвольная постоянная, также D, f (x ) является первообразной для на множестве так как F ( x) C F ( x) f ( x) . Операция нахождения первообразной - интегрирование является обратной к операции нахождения производной. Теорема 1. Пусть F1 ( x) и F2 ( x) - любые первообразные для f (x) на множестве D , тогда F1 ( x) F2 ( x) C для всех x D , где С - некоторая постоянная. Следствие. Если F (x) одна из первообразных для функции f (x) на множестве D , то любая первообразная Ф(х) для f (x) на множестве D представляется в виде Ф( х) F ( x) С , где С - некоторая постоянная. Определение 2. Совокупность всех первообразных для f (x) на множестве D называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом f ( x)dx . В этом обозначении знак называется знаком интеграла, выражение подынтегральным выражением, а функция f (x) - подынтегральной функцией. Если F (x) одна из первообразных для функции f (x) на множестве D , то в силу следствия из теоремы 1 (1) f ( x)dx F ( х) С , где С - произвольная постоянная. Пример. sin xdx cos х С f ( x)dx - 4 Замечание. Если F (x) - первообразная для функции f (x) на множестве D , то в формуле (1) под знаком интеграла стоит дифференциал функции F (x ) , действительно dF F ( x)dx f ( x)dx . Будем считать по определению, что (2) f ( x)dx F ( х)dx dF ( x) . 1.2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. f ( x)d x f ( x) 2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. d f ( x)d x f ( x)dx . Здесь под интегралом f (x ) . Эта формула f ( x)dx понимается любая первообразная F (x ) функции справедлива в силу того, что d f ( x)dx d [ F ( x) C ] dF ( x) F ( x)dx f ( x)dx 3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до константы, т.е. dF ( x) F ( x) C или F ( x)d x F ( x) C . 4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы (разности) функций f1 ( x) и f 2 ( x) равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждой функции, т.е. [ f1 ( x) f 2 ( x)]dx f1 ( x)dx f 2 ( x)dx . 5. Постоянный множитель ( k - действительное число) можно вынести за знак неопределенного интеграла, т.е. kf ( x)dx k f ( x)dx . Свойства 4 и 5 выражают свойства линейности неопределенного интеграла относительно подынтегральной функции. 1.3. 1. dx x C ; 3. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ (ТАБЛИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ) dx ln | x | C ; x 5. sin xdx cos x C ; 7. dx cos 2 x tgx C ; x 1 C , ( 1) ; 1 ax x C; 4. a dx ln a 6. cos xdx sin x C ; 2. x dx 8. sin dx 2 x ctgx C ; 5 9. dx dx x C; a a x dx 1 x 12. 2 2 arctg C ; a a a x dx 14. 2 2 ln x x 2 a 2 C ; x a dx 1 ax 16. 2 2 ln C ; 2a a x a x 10. arcsin x C ; 1 x dx arctgx C ; 11. 1 x2 dx 13. 2 ln x x 2 1 C ; x 1 dx 1 1 x 15. ln C; 2 2 1 x 1 x 2 2 2 arcsin Замечание 1. Доказательство всех указанных в таблице формул проводится непосредственным дифференцированием правых частей и проверкой совпадения результата дифференцирования с подынтегральными функциями. Замечание 2. Операция дифференцирования не выводит нас из класса элементарных функций, однако можно показать, что интегралы от некоторых элементарных функций уже не являются элементарными функциями, например интеграл Пуассона е х dx . 2 Примеры для самостоятельного решения: № 1. Задание Ответ 2. (6 x 8 x 3)dx 2 px dx 3. ( 4. 5. 6. 2 ( х 2 1)( х 2 2) x x 1)( x x 1)dx 3 х2 dx 7 dx 2 8 x2 dx 2 х 4 х 3х С 3 2 2 х 2 рх С 3 2 2 х х хС 5 3 4 3 2 x x 6 3 x C 7 13 1 7 arctg arcsin x 2 2 x 7 C C 1.4. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 1.4.1. МЕТОД НЕПОСРЕДСТВЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием. 6 При сведении данного интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала»): du d u a, где а число, 1 du d аu , где а 0 число, а 1 u du d u 2 , 2 cos udu d sin u , 1 du d ln u , u 1 du d tgu . cos 2 u Вообще, f (u )du d ( f (u )), эта формула очень часто используется при вычислении интегралов. 1 3 x 1 1 C (3 x 1) 4 d (3 x 1) 3 4 1 3 5 (3x 1) 5 1 3 x 1 C C . 3 5 15 sin 41 x sin 5 x 4 4 C C. Пример 2. sin x cos xdx sin x d (sin x) 4 1 5 4 1 Пример 1. (3х 1) 4 dx Пример 3. dx x3 d ( x 3) ln x 3 C . x3 Примеры для самостоятельного решения: № 1. Задание 2. dx 2x 5 соs5 x 2dx 3. ( 4 x 7) 4. ln 2 xdx x cos xdx 5. 6. 6 dx 3 sin x (arcsin x) 2 dx 1 x2 Ответ 1 ln 2 x 5 C 2 1 sin 5 x 2 C 5 1 ( 4 х 7) 7 С 28 1 3 ln x C 3 2 3 sin x ) C 1 (arcsin x) 3 C 3 1.4.2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ МЕТОДОМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ 7 1. Пусть требуется вычислить интеграл f ( x)dx . Предположим, что существует дифференцируемая функция ( х) и функция g (u ) такие, что подынтегральное выражение f ( x)dx может быть записано в виде f ( x)dx g ( ( x)) ( x)dx g ( ( x)) d ( x) g (u )du . Это преобразование называется подведением ( х) под знак дифференциала. В этом случае справедливо следующее утверждение: Теорема 2. f ( x)dx g ( ( x)) ( x)dx g ( ( x)) d ( x) g (t )dt , где t ( x) . По этой теореме вычисление интеграла интеграла f ( x)dx сводится к вычислению g (t )dt , который может оказаться проще исходного, и последующей подстановке t ( x) . делаем замену t 2 5x dt 1 t7 t 7 dt Пример 1. (2 5 х) 7 dx dt 5dx 5 5 dt dx 5 7 1 1 t 1 t8 t8 (2 5 x) 8 C C C C . 5 8 58 40 5 7 1 делаем замену Пример 2. x t x 3 10 х 10 x ( x 10) dx dt 3x dx dt x 2 dx 3 3 2 1 1 2 3 3 2 2 3 2 t 1 2 dt 3 2 x 3 10 1 t 1t 1 2 t3 2t t dt C C C C 3 9 31 3 3 9 9 1 2 2 Пусть требуется вычислить интеграл f ( x)dx . Введем 1 2 2. 2 1 2 3 C новую переменную u формулой х (u ) , где (u ) - строго монотонная, дифференцируемая функция. Подставим х (u ) в исходное подынтегральное выражение, получим f ( x)dx f ( (u )) (u )du g (u )du . Тогда справедливо утверждение, аналогичное утверждению теоремы 2. Теорема 3. f ( x)dx f ( (t )) (t )du g (t )dt , где t 1( x) - функция, обратная к х (t ) . По этой теореме вычисление интеграла f ( x)dx сводится к вычислению интеграла g (t )dt , который может оказаться проще исходного, и последующей подстановке t -1( x) . 8 Пример 3. е делаем замену х dx x t х dx 2tdt 2 et 2tdt 2 e t dt 2e t C 2e t x C. делаем замену u x 2 sin 2 x x cos 2 x Пример 4. 2 dx du (2 x 2 cos 2 x)dx x sin 2 x 1 ( x cos 2 x)dx du; 2 1 du 1 1 ln | u | C ln | x 2 sin 2 x | C . 2 u 2 2 Примеры для самостоятельного решения: № 1. 2. 3. 4. 5. 6. Задание x dx x 2 dx ex 1 2 7 x(5 x 3) dx 2 xdx Замена x 1 t x ln t 5x 2 3 t t x 1 x 1 cos xdx 1 sin x (arcsin x) 2 dx Ответ 1 arccos 2 C x 2 ln( 1 e x ) C 1 (5 х 2 3) 8 С 80 2 ( x 1) 3 2 x 1 C 3 t sin x ln(sin x 1 sin 2 x ) C t arcsin x 1 (arcsin x) 3 C 3 2 1 x2 1.4.3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ Теорема. Пусть функции u (x) и v(x) дифференцируемы на множестве D и, кроме того, на этом множестве существует первообразная для функции v( x)u ( x) . Тогда на множестве D существует первообразная для функции u ( x)v ( x) и справедлива формула (1) u ( x)v( x)dx u( x) v( x) v( x)u ( x)dx Замечание. Определение дифференциала и свойство инвариантности его формы позволяют записать эту формулу в виде udv u v vdu . Формула (1) сводит вопрос о вычислении интеграла udv к вычислению интеграла vdu . В ряде конкретных случаев этот последний интеграл проще исходного. 9 Вычисление интеграла udv посредством применения формулы (1) называют интегрированием по частям. Пример 1. x sin xdx Положим u x, dv sin xdx, x cos x cos xdx тогда du dx, v cos x x cos x sin x C . Положим u ln x, dv x 2 dx, x3 x 3 dx 2 3 Пример 2. x ln xdx ln x dx x 3 3 x тогда du , v x 3 1 3 1 1 1 x ln x x 2 dx x 3 ln x x 3 C . 3 3 3 9 Положим u arctgx, dv dx, xdx Пример 3. arctgxdx xarctgx dx 2 тогда du , v x 1 x 1 x2 1 d (1 x 2 ) 1 xarctgx xarctgx ln( 1 x 2 ) C . 2 2 1 x 2 Примеры для самостоятельного решения: № 1. 2. Задание ln xdx arctg x ln x x C 7 х 1 dx 5. arcsin xdx xe dx x cos 3xdx 6. x 7. 3. 4. 8. 9. x 2 Ответ e 3 x dx ln x dx x3 xdx sin 2 x x e sin xdx xarctg 7 x 1 7x 1 C 7 x arcsin x 1 x 2 C ( x 1)e x C 1 1 x sin 3 x cos 3 x C 3 9 1 (9 x 2 6 x 2)e 3 x C 27 ln x 1 2 2 C 2x 4x xctgx ln | sin x | C 1 x e (sin x cos x) C 2 1.4.4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ R (u , v) есть J 4 R(sin x, cos x)dx , Рассмотрим интеграл вида где рациональная функция своих аргументов u sin x и v cos x . 10 Теорема 1. В результате замены переменной t tg x 2 в J 4 получится интеграл от рациональной функции относительно t . Действительно, подстановки t tg x 2 x 2t 1 t2 2 , . Из sin x cos x 1 t2 1 t2 2 x 2 x 1 tg 1 tg 2 2 2dt следует, что x 2arctgt и dx . В результате 1 t2 2tg x 2 1 tg 2 указанной замены переменной получим 2t 1 t 2 2 J 4 R , dt R1 (t )dt , 2 2 2 1 t 1 t 1 t где R1 (t ) - рациональная функция от t . 2dt 2 dx dt x Пример 1. 1 t ln | t | C ln | tg | C . 2t sin x t 2 2 1 t 2dt dx 2dt 1 t2 Пример 2. 2 3 sin x 5 cos x 2t 1 t 5 6t 5t 2 3 5 1 t2 1 t2 3 34 t 2 dt 2 dt 2 1 5 25 ln C 2 5 2 6 5 3 34 5 34 3 34 t t 1 2 t t 5 25 5 25 25 5 x 5tg 3 34 1 5t 3 34 1 2 ln C ln C. 34 5t 3 34 34 5tg x 3 34 2 x Применение универсальной подстановки t tg часто связано 2 с громоздкими вычислениями. В некоторых случаях интеграл может быть вычислен проще – как указано в теоремах 2, 3 и 4. Теорема 2. Если подынтегральная функция в J 4 нечетна относительно cos x , то есть R(u, v) R(u, v) , то подстановка t sin x приводит J 4 к интегралу от рациональной функции относительно t . Пример. cos 3 xdx cos 2 x cos xdx (1 sin 2 x) cos xdx Положим t sin x, t3 sin 3 x (1 t 2 )dt t C sin x C. dt cos xdx 3 3 Теорема 3. Если подынтегральная функция в J 4 нечетна относительно sin x , то есть R(u, v) R(u, v) , то подстановка t cos x приводит J 4 к интегралу от рациональной функции относительно t . Пример. sin 5 xdx sin 4 x sin xdx (1 cos 2 x) 2 sin xdx 11 Положим t cos x, 2t 3 t 5 (1 t 2 ) 2 dt (1 2t 2 t 4 )dt t C . dt sin xdx 3 5 cos x 2 cos 3 x cos 5 x C. 3 5 R (sin x, cos x) Теорема 4. Если подынтегральная функция четна относительно совокупности переменных sin x , cos x , то есть R(u, v) R(u, v) , то подстановка t tgx приводит J 4 к интегралу от рациональной функции относительно t . Пример. Положим t tgx, тогда sin x dx sin 2 x 2 sin x cos x cos 2 x 1 2 t 2t 1 1 2 2 2 1 t 1 t2 1 t 1 t 2 2 ln t 1 2 C t 1 2 1 2 2 1 tg x 2 ln 1 t 1 t2 dt cos x , x arctgt , dx 1 t2 1 tg 2 x 1 t2 dt 1 t2 1 tgx , dt d (t 1) t 2t 1 (t 1) 2 ( 2 ) 2 2 tgx 1 2 tgx 1 2 C. Интеграл вида J 5 sin p x cos q xdx , где p и q - целые числа, есть частный случай интеграла вида J 4 . Поэтому к нему относятся все четыре теоремы об интегралах вида J 4 , и мы приходим к следующему заключению. Рекомендуется подстановка: t sin x , если q - нечетное число; t cos x , если p - нечетное число; t tgx , если p q - четное число. Интегралы вида sin ax cos bxdx , sin ax sin bxdx , cos ax cos bxdx при любых а и b приводятся к алгебраической сумме табличных интегралов путем представления произведения тригонометрических функций соответствующей суммой по известным формулам тригонометрии. Примеры для самостоятельного решения: № 1. Задание sin 2. cos 3. sin 4. sin 3 xdx 5 xdx 4 xdx dx 4 x Ответ 1 cos 3 x cos x C 3 1 5 2 sin x sin 3 x sin x C 5 3 1 (12 x 8 sin 2 x sin 4 x) C 32 1 ctgx ctg 3 x C 3 12 5. sin 5 dx x cos 3 x 1 2 3 1 tg x 3 ln | tgx | C 2 2 2tg x 4tg 4 x 1 ctg 2 x ln | sin x | C 2 1 (4 cos 2 x cos 8 x) C 16 x 2 tg 1 2 C ln x 4 2 tg 2 ln | cos x sin x | C 6. ctg 7. sin 3x cos 5 xdx 8. 3 5 cos x 9. 1 tgx dx 10. cos x 2 sin x 3 3 xdx dx 1 tgx dx 1.5. x arctg 1 tg C 2 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ: 1. Какая функция называется первообразной данной функции? 2. Что называется неопределенным интегралом от данной функции? 3. Какое действие называется интегрированием? 4. Каким действием можно проверить интегрирование? 5. Как производится замена переменной в неопределенном интеграле? 6. Как производится интегрирование по частям в неопределенном интеграле? 7. Назовите основные свойства неопределенного интеграла. 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 2.1. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ОПРЕДЕЛЕННОМУ ИНТЕГРАЛУ 1. Задача о площади криволинейной трапеции. Пусть функция y f (x) определена, непрерывна и положительна в промежутке [ a, b] . Рассмотрим плоскую фигуру, ограниченную графиком функции y f (x) и отрезками прямых y 0 , x a и x b . Такие фигуры называются криволинейными трапециями. Требуется вычислить площадь этой фигуры. Для этого разобьем отрезок [a, b] на п произвольных частей [a, x1 ] , [ x1 , x2 ] , …, [ xn1 , b] , длины которых обозначим соответственно через х1 , х2 , …, х п , а наибольшую из них обозначим символом п . Через каждую точку деления проведем прямую, параллельную оси ординат. Эти прямые разделят криволинейную трапецию на п элементарных частей. 13 Заменим каждую элементарную полоску прямоугольником, основание которого то же, что и у полоски, а высота совпадает с одной из ординат полоски. Площадь k -го прямоугольника будет равна f (ck )xk , где ck произвольное число из промежутка [ xk 1 , xk ] . Просуммировав площади всех прямоугольников, получим площадь ступенчатой фигуры n f (c1 )x1 f (c2 )x2 ... f (cn )xn . B Y f (c k ) A ck а 0 x1 … x k 1 x k . . . x n 1 b X Рис. 1 В частности, если в каждом элементарном промежутке [ xk 1 , xk ] выбрать наименьшую ординату m k , а затем наибольшую ординату M k , то можно построить еще две ступенчатые фигуры с площадями, соответственно равными s n m1x1 m2 x2 ... mn xn S n M 1x1 M 2 x2 ... M n xn и Первая из них содержится внутри криволинейной трапеции, а вторая, наоборот, sn n Sn . содержит криволинейную трапецию, причем Желая сблизить между собой величины s n и S n , будем увеличивать число п , уменьшая при этом длины всех элементарных промежутков х k . Пользуясь непрерывностью f (x) , можно доказать, что существуют и равны между собой пределы переменных s n и S n при п 0 и что они не зависят от способа деления [a, b] на части. Следовательно, переменная n имеет тот же lim sn lim n lim S n . предел n 0 n 0 n 0 Площадь криволинейной трапеции естественно определить как предел площади n упомянутой ступенчатой фигуры при п 0: S lim n 0 n f (c k 1 k )x k . (1) 14 2. Задача об объеме произведенной продукции. Пусть функция z f (t ) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Найдем объем продукции, произведенной за промежуток времени [0, T ] . Отметим, что если производительность не изменяется с течением времени ( f (t ) - постоянная функция), то объем продукции u , произведенной за некоторый промежуток времени [t , t t ] задается формулой u f (t )t . В u f (c)t , общем случае справедливо приближенное равенство где c [t , t t ] , которое оказывается тем более точным, чем меньше t . [0, T ] Разобьем отрезок на промежутки времени точками: 0 t 0 t1 t 2 ... t n T . Для величины объема продукции u i , произведенной за промежуток времени [t i 1 , t i ] , имеем ui f (ci )t i , где ci [t i 1 , t i ] , t i t i t i 1 , i 1, 2, 3,..., n . Тогда объем продукции u , произведенный за весь промежуток времени [0, T ] , будет равен n n i 1 i 1 u u i f (ci )t i . При стремлении к max t i i нулю каждое из использованных приближенных равенств становится все более точным, поэтому объем произведенной продукции равен u n lim f (ci )ti . (2) max ti 0 i 1 i 2.2. ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Пусть функция y f (x) определена в замкнутом промежутке [a, b] . Разобьем отрезок [a, b] на п элементарных частей (не обязательно равных) [a, x1 ] , [ x1 , x2 ] , …, [ xn1 , b] , длины которых обозначим соответственно через х1 , х2 , …, х п , а наибольшую из этих длин обозначим символом п . Множество элементов [a, x1 ] , [ x1 , x2 ] , …, [ xn1 , b] назовем разбиением n . Обозначим через c1 , c2 , …, cn - точки, выбранные произвольно, по одной в каждом элементарном промежутке. Составим сумму n п f (c k )x k , она k 1 называется интегральной суммой функции f (x) , соответствующей данному разбиению промежутка [a, b] и данному выбору точек ck . Последовательность разбиений { n } будем называть нормальной, если lim n 0 . Выбрав произвольную нормальную последовательность разбиений n { n } и составив для каждого разбиения n соответствующую интегральную сумму n , получим последовательность сумм { n }. Для данной 15 последовательности разбиений { n } можно получить разные последовательности сумм { n } в зависимости от того, какие точки ck выбраны. Определение. Функция f (x) называется интегрируемой в промежутке [ a, b] , если для каждой нормальной последовательности разбиений { n } соответствующая последовательность интегральных сумм { n } имеет конечный предел, не зависящий от способа деления промежутка [a, b] на элементы и от выбора точек ck . Этот общий предел последовательности { n }, соответствующий нормальным последовательностям разбиений, называют определенным интегралом от функции f (x) по промежутку [a, b] и обозначают символом b a f ( x)dx lim n 0 n f (c k 1 k )xk . (3) Числа a и b называют пределами интегрирования, x - переменной интегрирования, f (x) - подынтегральной функцией, f ( x)dx - подынтегральным выражением. Ввиду сложности введенных понятий обратим внимание на следующее. 1. В определении речь идет о нормальной последовательности разбиений, когда не только n , но и наибольшая из длин элементарных промежутков стремится к нулю. 2. Определенный интеграл есть число, которое равно пределу любой из последовательности интегральных сумм, соответствующей нормальной последовательности разбиений и какому-либо выбору точек ck . 3. Не всякая функция интегрируема. Например, не интегрируема функция Дирихле, равная нулю в иррациональных точках промежутка [0, 1] и единице в его рациональных точках. Действительно, в этом случае при любом разбиении интегральную сумму можно сделать нулем или единицей путем выбора чисел ck . f (x ) интегрируема в промежутке [ a, b] , если Теорема. Функция выполнено любое из следующих условий: 1) f (x) непрерывна в замкнутом промежутке [a, b] 2) f (x) ограничена и кусочно-непрерывна в [a, b] , то есть имеет в этом промежутке лишь конечное число разрывов первого рода 3) f (x) определена и монотонна в замкнутом промежутке [a, b] . 4. Определенный интеграл допускает различное геометрическое истолкование, одно из которых – площадь криволинейной трапеции. Действительно, так как в силу (1) площадь криволинейной трапеции 16 равна S lim n 0 n f (c k 1 k и согласно определения )x k (3) интеграла b S f ( x)dx . a 5. Определенный интеграл допускает также и экономическое истолкование. Действительно, если f (t ) - производительность труда в момент времени t , то в силу соотношения (2) объем произведенной продукции за промежуток времени [0, T ] будет равен u lim max ti 0 i n f (c )t i 1 i i , а эта величина по T определению (3) интеграла будет равна u f (t )dt . 0 Приведем пример нахождения определенного интеграла на основании определения. 1 x dx Пример. Вычислить 2 . 0 Запишем выражение для интегральной суммы, предполагая, что все отрезки [ хi 1 , хi ] разбиения имеют одинаковую длину хi , равную 1 , где n n - число отрезков разбиения, причем для каждого из отрезков [ хi 1 , хi ] разбиения точка ci i n совпадает с правым концом этого отрезка, то есть ci xi , где i 1, 2, 3,..., n . В силу интегрируемости y x 2 выбор такого «специального» способа разбиения отрезка интегрирования на части и точек c1 , c2 , …, cn на отрезках разбиения не повлияет на искомый предел интегральной суммы. Тогда n i 1 Известно, n i i 1 2 2 i 1 1 f (ci )xi 3 n i 1 n n n что сумма n i 2 . i 1 квадратов чисел натурального ряда равна n(n 1)( 2n 1) . 6 Следовательно, 1 x dx lim 2 0 n n(n 1)( 2n 1) 1 1 1 1 lim 1 2 . 3 n 6 n 3 6n n Анализ приведенного примера показывает, что успешное решение поставленной задачи оказалось возможным благодаря тому, что интегральную сумму удалось привести к виду, удобному для нахождения предела. Однако такая возможность существует далеко не всегда, поэтому долгое время задача интегрирования конкретных функций оставалась чрезвычайно сложной. Установление связи между определенным и неопределенным интегралами 17 позволило разработать эффективный метод вычисления интеграла, который будет рассмотрен в следующем пункте. определенного 2.3. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: a f ( x)dx 0 . a 2. При перемене пределов интегрирования определенный интеграл меняет лишь знак: b a a b f ( x)dx f ( x)dx . 3. Величина определенного интеграла не зависит от названия (обозначения) переменной интегрирования: b a b f ( x)dx f (t )dt . a 4. Постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла: b b а а с f ( x ) dx c f ( x ) dx 5. Определенный интеграл от алгебраической суммы (разности) функций равен соответствующей сумме (разности) интегралов от слагаемых: b b b a a a ( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx . 6. Если промежуток [a, b] разбит точкой с на части, то интеграл по всему промежутку равен сумме интегралов по его частям: b a с b a с f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx . 7. Если f (x) непрерывна и положительна на отрезке [a, b] , то и интеграл от f (x ) в пределах от a до b положителен: b f ( x)dx 0 . a 8. Если a < b , функции f (x) и g (x ) непрерывны на [a, b] и удовлетворяют соотношению f (x) > g (x ) , то b b a a f ( x)dx g ( x)dx . Теорема (об оценке интеграла). Если a < b , то абсолютная величина интеграла не превосходит интеграла от абсолютной величины подынтегральной функции: 18 b a b f ( x)dx f ( x) dx . a Теорема (о среднем значении в интегральном исчислении). Если f (x) непрерывна на отрезке [a, b] , то интеграл от f (x) в пределах от a до b равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке с [a, b] на длину промежутка интегрирования: b f ( x)dx f (c)(b a) . a ОПРЕДЕНЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ФУНКЦИЯ ВЕРХНЕГО ПРЕДЕЛА В определенном интеграле от интегрируемой на отрезке [a, b] функции f (x ) пределы постоянны и сам интеграл есть число. Если изменить величину верхнего предела не выходя из [a, b] , то изменится и величина интеграла, причем каждому значению верхнего предела соответствует определенное значение интеграла. Поэтому интеграл с переменным верхним пределом есть функция верхнего предела; обозначим ее 2.4. x x Ф ( x ) f ( x ) dx f (t ) dх , a a a x b. (1) Y M A F (x ) 0 F x x x а b X Рис. 2 Геометрически функцию Ф(х) можно трактовать как площадь криволинейной трапеции АМха (рис.2), если f ( x) 0 . Теорема. Если f (x) непрерывна на отрезке [a, b] , то производная интеграла (1) по верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции в точке дифференцирования: 19 x Ф( x) f (t )dt f ( x) . a Следствие. Непрерывная на промежутке [a, b] функция f (x) имеет в этом промежутке первообразную. Действительно, такой первообразной является интеграл с переменным верхним пределом Ф(х) , потому что Ф ( x) f ( x) . 2.5. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА Теорема. Если функция f (x) в промежутке [a, b] интегрируема и имеет первообразную F (x) , то имеет место формула b f ( x)dx F (b) F (a) . (4) a Формула (4) носит название формула Ньютона-Лейбница и формулируется так: определенный интеграл в пределах от a до b равен приращению первообразной для подынтегральной функции при переходе от a к b ; при этом в качестве первообразной может быть взята любая из множества первообразных. Значение сформулированной теоремы состоит не только в том, что она дает удобное правило вычисления определенного интеграла. Кроме того, она устанавливает связь между определенным интегралом и неопределенным интегралом (точнее, первообразной функцией). Правило вычисления определенного интеграла, согласно формуле Ньютона-Лейбница, заключается в выполнении следующих действий: 1) найдем первообразную F (x) для подынтегральной функции, 2) вычислим приращение F (x) при переходе от a к b , то есть выполним так называемую двойную подстановку F ( x) ba F (b) F (a ) . Согласно (4) получим b f ( x)dx F ( x) b a F (b) F (a) . a Заметим, что в формуле Ньютона-Лейбница можно взять любую из первообразных для f (x) , потому что двойная подстановка дает результат, который не зависит от С : [ F ( x) C ] ba F (b) C F (a) C F (b) F (a) . Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-Лейбница: b b Пример 1. e x dx e x a e b e a . a b Пример 2. 2 xdx x 2 ba b 2 a 2 . a 1 x3 Пример 3. x dx 3 0 1 2 0 1 3 1 1 03 . 3 3 20 Примеры для самостоятельного решения: № 1. Задание Ответ 7 3 2 (x 2 2 x 3)dx 1 8 2. 33 3 ( 2 x x )dx 0 4 3. 1 y y2 1 6 4. 7 4 dy 5 x 2dx 2 3 5. x 2 1 3 1 3 1 2 ln 2 3 dx 1 2 2.6. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ Метод замены переменной в определенном интеграле основывается на следующей теореме. Теорема. Если функция f (x) определена и непрерывна в промежутке [ a, b] , а функция x (t ) - непрерывно дифференцируема в промежутке [ , ] , при этом a (t ) b и ( ) a , ( ) b , то имеет место формула b a f ( x)dx f ( (t )) (t )dt . (2) Формула (2) называется формулой замены переменной в определенном интеграле. Положим t 2 x 2 , тогда dt 2 xdx; Пример 1. x(2 x ) dx если x 0, то t 2; если x 1, то t 1; 0 1 2 5 1 1 1 1 t6 1 t dt t 5 dt 22 2 6 2 2 1 5 Пример 2. Положим x 2 sin t , тогда dx 2 cos tdt; 2 2 1 21 (1 2 6 ) . 12 4 4 х dx 2 0 2 если x 0, то t 0; если x 2, то t 2 ; 2 2 1 4 cos 2 tdt 2 (1 cos 2t )dt 2 t sin 2t . 2 0 0 0 Примеры для самостоятельного решения: № 1. Задание 4 0 xt dx 1 Замена 2 Ответ 4 2 ln 3 x 21 ( x 2) 2 3 3 ( x 2) 2 3 3 dx x 2 z3 ln 2 ex 1 z3 29 2. 3. e 1dx x 8 2 9 2 3 0 4. 5. dt 0 3 2 cos t tg 5 t z 2 tgx t dx 0 1 sin 2 x 2 2 2 2.7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ Способ интегрирования по частям основывается на формуле b udv (uv) a b a b vdu , a где u u (x) и v v(x) - непрерывно дифференцируемые в [a, b] функции x . 2 Положим u x, dv cos xdx du dx, v sin x x cos xdx тогда Пример 1. 0 2 2 ( x sin x) 0 sin xdx 0 2 2 (cos x) 0 2 1 . Положим u ln( 1 x), dv dx Пример 2. ln( 1 x)dx dx тогда du , vx 0 1 x 1 1 1 x 1 1 ( x ln( 1 x)) 0 dx ln 2 1 dx ln 2 ( x ln( 1 x)) 0 1 x 1 x 0 0 1 ln 2 (1 ln 2) 2 ln 2 1. Примеры для самостоятельного решения: № 1. Задание x sin xdx Ответ 0 2. e ln xdx 1 1 3. 1 3 2x x e dx 0 4. e 0 x sin xdx e2 3 8 e 1 2 2.8. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 22 2.8.1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ В пункте 2.1 определена площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y f (x) и отрезками прямых y 0 , x a , x b , как интеграл от функции f (x) в промежутке [a, b] при условии, что f ( x) 0 . Площадь области, ограниченной прямыми x a, x b и двумя непрерывными кривыми y f (x) и y g (x) при условии f ( x) g ( x) (рис 3), определим как интеграл b S [ f ( x) g ( x)]dx . (1) a В частности, криволинейная трапеция, заданная равенствами y 0 , x a , x b и y f (x) , при условии f ( x) 0 имеет площадь b b a a S f ( x)dx | f ( x) | dx . Следовательно, площадь криволинейной трапеции в случае, когда f (x) может принимать в [a, b] значения разных знаков, равна b S | f ( x) | dx . (2) a Y y f (x) S y g (x) 0 b а X Рис. 3 Заметим, что при a < b интеграл b f ( x)dx дает алгебраическую сумму a площадей, в которой каждая площадь, расположенная под осью Ох , входит со знаком минус. Он может быть отрицательным, в то время как площадь области всегда положительна. Для вычисления площади более сложного вида надо разбить всю область на части рассмотренного вида, найти площади этих частей и результаты сложить. 23 Пример 1. Найти площадь области, ограниченной графиком функции y sin x и осью абсцисс при условии 0 x 2 . Решение: Имеем y 0 при 0 x , y 0 при x 2 , и по формуле (2) получим 2 2 0 0 2 S | sin x | dx sin xdx ( sin x)dx ( cos x) 0 (cos x) 4 (кв.ед.) Пример 2. Найти площадь области, ограниченной линиями y sin x и y Решение: Выполним построение фигуры, ограниченной (рис.4). Данные линии пересекаются в точках с абсциссами 2х . указанными линиями х1 0 и х 2 2 . По формуле (1) получим 2 S 0 2 2x x2 sin x dx cos x 1 . 0 4 Y y 2x y sin x 0 2 X Рис. 4 Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y x2 2x и y 2 x 2 x . Решение: Чтобы наглядно представить фигуру, площадь которой надо найти, начертим 2 графики функций y x 2 x и y 2 x x . 2 24 Рис. 5 2 Для построения параболы y x 2 x определим координаты ее вершины и точек пересечения с осями координат. Выделив полный квадрат y x 2 2 x ( х 1) 2 1 , получим координаты вершины параболы А1; 1 . 2 Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при x , равный 1, положителен. Точки пересечения параболы с осью абсцисс найдем, решив 2 квадратное уравнение x 2 x 0 . Корни этого уравнения x1 0; Получили точки О0; 0; x2 2 . А1 2; 0 . Точка пересечения с осью ординат находится при x 0 . Эта точка совпадает с точкой А. Для построения второй параболы y 2 x x необходимо провести аналогичные действия. Получим 2 вершину В1 4;1 8 и точки О0; 0; В1 1 2 ; 0 . Ветви этой параболы 2 направлены вниз, так как коэффициент при x отрицателен. На рисунке 1 построены обе параболы. Заштрихованная часть плоскости является фигурой, площадь которой надо найти. Для определения абсцисс точек пересечения 25 парабол решим уравнение x 2 2 x 2 х 2 х или 3x 2 3x 0 , откуда x1 0; х2 1 . Площадь фигуры вычисляем по формуле b S f ( x) g ( x)dx , где f ( x) g ( x) для всех x a ; b a В нашем а x1 0; b х2 1 . случае На отрезке 0 ;1 имеем 2 2 х 2 х x 2 2 x . Поэтому f ( x) 2 х х и g ( x) x 2 2 x . Для вычисления определенного интеграла применяется формула НьютонаЛейбница: b f ( x)dx F ( x) a F (b) F (a) , b a где F (x ) - первообразная подынтегральной функции f (x ) . Следовательно, искомая площадь равна (2 х 1 S 2 х) ( x 2 2 x) dx 0 1 0 f (3x 2 3x)dx ( х 3 3 2 1 3 1 х ) (1)3 1 0 (кв.ед.) 0 2 2 2 Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y x 2 2 и y х (рис. 5). Y -1 0 2 X Рис. 6 Найдем абсциссы точек пересечения параболы y x 2 2 и прямой y х , решив систему этих уравнений: 26 у х2 2 у х х2 2 х х1 1, х2 х 2 0 , х2 2 . На отрезке [-1, 2] х х 2 2 , значит по формуле (1) получим 2 x2 x3 8 1 1 S ( x x 2)dx 2 x 2 4 2 4,5 . 3 3 2 3 2 1 1 2 2 Примеры для самостоятельного решения: № 1. 2. 3. 4. Задание Вычислить площадь, ограниченную 2 параболой y 4 x x и осью абсцисс. Найти площадь, ограниченной кривой y 3 x , прямой y 1 и вертикалью x 8 . Вычислить площадь, ограниченную 2 параболой y 2 x x и прямой y x . Вычислить площадь, заключенную между параболами y 5. 6. 2 x 3 2 3 Ответ 10 2 3 4 1 4 4 1 2 10 2 3 и y 4 x2 . Найти площадь, содержащуюся между первым и вторым витками спирали Архимеда r 2 . Найти площадь одного лепестка кривой r cos 2 . 32 3 8 2.8.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА Рассмотрим тело В , содержащееся между плоскостями х а и х b (рис. 7). Пусть для каждого x из промежутка [ a, b] дана площадь сечения S (x ) , перпендикулярного оси Ox . Требуется найти объем V данного тела при условии непрерывности S (x ) в [a, b] . S (x ) а х х k 1 хk b Х Рис. 7 27 Делим промежуток [a, b] на n элементарных частей и через точки деления проводим плоскости, перпендикулярные оси Ox . Эти плоскости разобьют В на элементарные слои. Рассмотрим k -ый слой, ограниченный плоскостями х хk 1 и х хk . Объем этого слоя приближенно равен объему цилиндра с основанием , равным S ( x k 1 ) , и высотой x k , так что Vk S ( xk 1 )xk . Сумма объемов n элементарных цилиндров приближенно равна n S ( x k 1 )xk . k 1 Объем тела определим как предел величины n при стремлении n к нулю. Этот предел существует в силу непрерывности S (x ) и равен определенному интегралу b V S ( x)dx . (4) a В частности, если тело ограничено поверхностью вращения линии y f (x) вокруг оси Ox в пределах изменения x от а до b , то S ( x) f 2 ( x) и b V f 2 ( x)dx . (5) a Пример. Вычислить объем шара радиусом R . По формуле (5) при y R 2 x 2 получаем R x3 R3 R3 4 3 R 3 R . V ( R x )dx R 2 x R 3 3 3 3 3 R R R 2 2 Примеры для самостоятельного решения. № 1. 2. Задание Найти объем тела, получающегося от вращения вокруг оси OX площади, ограниченной осью OX и параболой y 3x x 2 . Найти объем эллипсоида, образованного вращением эллипса 2 Ответ 8,1 24 2 x y 1 вокруг оси 4 9 OX . 3. 4. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси OX кривой y sin 2 x в промежутке x 0 и x . Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OX площади, содержащейся между параболами y x 2 и y х. 3 2 8 0,3 28 2.9. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ: 1. Что называется определенным интегралом от данной функции? Каков его геометрический смысл? 2. Как связаны между собой понятия определенного и неопределенного интеграла? 3. Сформулируйте теорему о производной определенного интеграла с переменным верхним пределом. 4. Перечислите основные свойства определенного интеграла. 5. Дайте определение несобственных интегралов с бесконечным пределом интегрирования. 29 3. ТРЕНИНГ-ТЕСТ Выбрать один правильный ответ: 1. Найти какую-нибудь первообразную к функции f ( x) sin 3x . 1 1 C) 3 cos 3x ; D) cos x ; 3 3 2 2. Найдите F (x) , если F ( x) 3x 4 x и F (0) 1 . 1 A) F ( x) x 3 x 2 1 ; B) F ( x) x 3 2 x 2 1 ; 3 3 2 C) F ( x) x 2 x 1 ; D) F ( x) 6 x 4 ; 1 3 B) cos 3x ; A) cos 3 x ; 3. Сделать в интеграле x 5 x dx замену x t 2 : A) x 5 x dx 2 t 3 5t dt ; B) x 5 x dx t 2 5t dt ; C) x 5x dx 2 t 4 5t dt ; D) x 5 x dx t 3 5t dt ; 2 2 4. Найти интеграл x cos xdx : x2 cos x C ; 2 C) x sin x cos x C ; dx 2 B) x cos x sin x C ; A) 5. Найти интеграл 2 D) x sin x cos x C ; x3 . A) ln x 3 C ; B) x 3 C ; C) 2 x 3 C ; D) 2 ln | x 3 | C ; 6. Функция F (x) называется первообразной к функции f (x) на множестве D , если: A) F ( x) f ( x) для всех x D ; B) F ( x) f ( x) в некоторой точке x D ; C) f ( x) F ( x) для всех x D ; D) f ( x) F ( x) в некоторой точке x D ; 7. Найти интеграл (cos 2 x 3 sin 4 x)dx . 1 3 sin 2 x cos 4 x C ; 2 4 1 3 C) sin 2 x cos 4 x C ; 2 4 A) 8. Вычислить интеграл B) 1 3 sin 2 x cos 4 x C ; 2 4 D) sin 2x 3cos 4x C ; 1 x dx . 3 1 A) 1/4; B) 1/2; C) 0; D) 2; 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y x 2 3 и y 5 x . A) 4,5; B) 6; C)13/3; D)8; 10. Указать формулу интегрирования способом замены переменной. A) f ( x)dx f ( (t )) dt , где x (t ) ; 30 f ( x)dx f ( (t )) (t )dt , где C) f ( x)dx f (t )dt ; D) f ( x)dx f ( (t )) (t )dt , где B) x (t ) ; x (t ) ; 11. Если функция f (x) в промежутке [a, b] непрерывна и F (x) -ее первообразная, то имеет место формула Ньютона-Лейбница: b A) b f ( x)dx f (b) f (a) ; B) a f ( x)dx F (b) F (a) ; a b C) b f ( x)dx F (a) F (b) ; f ( x)dx F (b) F (a) ; D) a a 12. Сделать замену t 5 x 2 в интеграле 1 x(5 x 2 4 ) dx : 0 4 1 A) 2 t 4 dt ; B) 5 1 4 t dt ; 2 0 4 5 1 C) t 4 dt ; 24 D) 5 t t 4 dt ; 5 13. Вычислить интеграл 2 (2 x 3 3 x)dx . 1 A) 3,5; B) 1; 14. Вычислить интеграл 3 C) 3; D) 1,5; x2 x 3 dx . 2 5 A) 1 5 ln ; 6 5 C) 1 ln ; 6 6 5 B) 1 5 ln ; 2 3 D) 1 arctg ; 15. Вычислить x sin xdx . 0 A) -2; B) 2; C) 0; D) ; Правильные ответы на тренинг-тест см. приложение 1. 31 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1985. 2. Гимаев Р.Г., Умергалина Т.В. Введение в математический анализ и дифференциальное исчисление функции одной переменной: Учебное пособие. – Уфа: Изд-во УГНТУ, 1997. 3. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 1967. 4. Демидович Б.П. Задачи и упражнения по математическому анализу. – М.: Наука, 1964. 5. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: Высшая школа, 2006. 6. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов – М.: Просвещение, 2001. 32 Приложение 1 Правильные ответы на тренинг-тест Номер задания Вариант ответа 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 B C A D C A B C A D B C C A D 33