Применение правил и формул дифференцирования

1ый урок изучения нового материала и первичного закрепления
Урок изучения нового материала в 11 классе
по теме «Дифференцирование сложной функции».
Цели урока:
Обучающие: закрепить и проверить знания, умения, навыки учащихся по теме
«Формулы и правила дифференцирования»; обеспечить усвоение нового понятия
«сложная функция»: определения, умения составления сложной функции и
нахождения её производной.
Развивающие: способствовать развитию вариативного и критического мышления;
навыков анализа и синтеза, самооценки и взаимооценки; продолжить развитие
математической речи.
Воспитательные: способствовать укреплению коммуникативной культуры,
навыков самоконтроля, взаимопомощи.
Оборудование урока:
Мультимедийный проектор, разноуровневые тестовые задания, переносные
маркерные доски, карточки с неполным доказательством формулы
дифференцирования сложной функции, матрёшка, ксерокопия доказательства
правила нахождения производной произведения двух функций с использованием
дифференцирования сложной функции по учебнику «Алгебра и математический
анализ, 11» Виленкина Н.Я.
План урока:
1. Организационный момент. (1 минута)
2. Актуализация знаний. (15 минут)
3. Постановка проблемы. (3 минуты)
4. Изучение нового материала. (7 минут)
5. Первичное закрепление учебного материала. (7 минут)
6. Доказательство формулы дифференцирования сложной функции. (7 минут)
7. Подведение итогов урока. Рефлексия. (4 минуты)
8. Информация о домашнем задании. (1 минута)
Используемые методы обучения:
По источникам знаний:
словесные, наглядные, практические.
По степени взаимодействия учителя и учащегося:
эвристическая беседа и самостоятельная работа
По характеру познавательной деятельности учащихся
и участия учителя в учебном процессе:
объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый
(эвристический).
По принципу расчленения или соединения знаний:
сравнительный, обобщающий.
.
Ломакина
Ирина
Владимировна
1
Ульяновская область
МОУ СОШ № 11
1ый урок изучения нового материала и первичного закрепления
Ход урока:
1. Организационный момент.
Здравствуйте, уважаемые десятиклассники.
Пожалуйста, поднимите руки те, кто сегодня чувствует себя готовым к уроку на 5,
на 4?
План урока будет таким: сначала вы проявите свои знания по теме «Правила
и формулы дифференцирования», в этом нам поможет тест, результаты которого
вы получите путем самопроверки. Имея результаты, и выяснив вашу готовность к
усвоению нового материала, мы продолжим работу в изучении темы
«Производная».
2. Актуализация знаний.
Сегодня на уроке главная математическая гостья – производная.
а) Для того, чтобы вы успешно справились с тестом и изучением нового
материала, давайте вспомним алгоритм вычисления производной,
зафиксируйте его, пожалуйста, на переносных досках. Для того, чтобы вам
было комфортнее, я предлагаю стихотворное определение из учительского
фольклора, а вы переведёте каждую фразу на математический язык (один
ученик у доски).
(Слайд 1) С помощью слайдов идет самопроверка каждого шага алгоритма.
Слова учителя
Запись учеников
В данной функции от икс, наречённой игреком,
у = f(х)
Вы фиксируете х, отмечая индексом.
х0, f(х0)
Придаёте вы ему тотчас приращение,
х
х
0+

y  f ( x0  x)  f ( x0 )
y
x
x  0
Тем у функции самой вызвав изменение.
Приращений тех теперь взявши отношение,
Пробуждаете к нулю  х стремление.
Предел такого отношенья вычисляется,
Он производною в науке называется.
f ( x)  lim
x 0
f ( x0 )
x
б) Сейчас настало время самостоятельной работы. Перед вами записаны три
варианта (уровня) теста. Уровень А – стандартные задания; уровень В –
повышенной сложности, для решении которых вам необходимо будет
установить взаимосвязь между производной и графиками функции; уровень С
– усложнённые задания с элементами новизны, но ваших знаний будет
достаточно для их решения. Выберите тот вариант, к которому вы сегодня
лучше всего готовы и решите его в тетрадях (дата, классная работа).
Тест по теме:
«Применение правил и формул дифференцирования»
Ломакина
Ирина
Владимировна
2
Ульяновская область
МОУ СОШ № 11
1ый урок изучения нового материала и первичного закрепления
Уровень А
В ответе укажите номер задания и букву, под которой расположен правильный ответ.
1. Найдите производную функции в точке x0
2
f ( x)   1 ; x0=-1
x
а) 2
б) -2
в) -1
г) 3
2. Найдите производную функции:
f ( x)  2 x 2  x  1
а) 4x-1
б) 2x-1
в) 2x2+1
г) 4x+1
3. Найдите производную функции:
f ( x)  x sin x
а) xsinx-cosx
б) xsinx+cosx
в) sinx-xcosx
г) xcosx+sinx
Уровень В
В ответе укажите номер формулы и букву, под которой расположен соответствующий
график функции.
1. Укажите пары: «функция – график производной этой функции»
График
а
б
в
производной
y
y
y
y
x
г
д
y
x
x
x
x
f(x)
1. y  2 x  x 3
1 3
x  2x
3
x 1
3. y  (  )(3  x)
2 2
1
4. y  2 x  x 2
2
Уровень C
В 1 и 2 заданиях в ответе укажите букву, под которой расположен правильный ответ, в
№3 запишите свою формулу.
2. y 
1. Найдите производную функции:
f ( x)  cos 4 x cos 3x  sin 4 x sin 3x  x
а) sinx-1
б) cosx+1
в) –sinx+1
г) –sinx-1
2. Найдите производную функции:
f ( x)  ( x  1) 2 ( x  1)
а) 3x2+2x-1
б) 2x3+3x+1
в) 3x2-2x+1
г) 3x2+2x+1
3. По данной производной определите исходную функцию и запишите свой ответ:
y΄=4x+cosx.
Ломакина
Ирина
Владимировна
3
Ульяновская область
МОУ СОШ № 11
1ый урок изучения нового материала и первичного закрепления
Самопроверка проходит с помощью мультимедийного проектора (слайд 2).
Ответы:
Уровень А: 1. - б, 2. - а, 3. - г;
Уровень В: 1. - а, 2. - в, 3. - г, 4. - д;
Уровень С: 1. - г, 2. - а, 3. - y = 2x2 + sinx+ C, это задача, обратная к
дифференцированию, подробно с таким действием, как интегрирование, вы
познакомитесь в 11 классе.
Запишите на переносных досках уровень, по которому вы работали и
укажите количество верно решенных заданий.
Молодцы! Мы готовы перейти к новой теме.
Если результаты работы неудовлетворительные, то организуется
коррекционная работа. Класс делится на группы, в соответствии с тем, какой
уровень работы ими выполнялся, и ученик, который справился с тестом без
ошибок (или хорошо успевающий одноклассник из другой группы), поясняет
решение всех упражнений, после этого всем предлагается следующий номер:
а) Найдите значение производной функции f(x)=2x7 + 4cosx в точке х0=0;
7
x
б) Вычислите производную функции y  4 x (3x 4  ) .
Работа проверяется учеником-консультантом. После этого класс переходит к
изучению нового материла.
3. Постановка проблемы
Найдите производные функций и запишите ответы на переносных досках
1. а) f(x) = sinx
g(x) = 2x
б) f(x) = x2
g(x) = 3 + 2x
2. Составьте формулу, задающую функцию y = f(g(x))
Вопрос: Опишите, что представляют собой данная функция
Данная функция представляет собой функцию от функции и называется
сложной. Это – рабочая формулировка, а более полное объяснение вы видите
дальше. (Слайд 3).
Вопрос: С каким объектом у вас ассоциируется сложная функция?
Ответ: матрёшка.
Ломакина
Ирина
Владимировна
4
Ульяновская область
МОУ СОШ № 11
1ый урок изучения нового материала и первичного закрепления
Вопрос: Какие элементарные функции выступали в качестве функции f(x)?
(большая матрёшка).
Ответ: тригонометрическая, квадратичная.
Вопрос: А в качестве g(x)? (маленькая матрёшка).
Ответ: линейная.
Таким образом, мы получили функцию y = f(kx + m), с такой зависимостью
вы встречались в уровне С (№2 f ( x)  ( x  1) 2 ( x  1) )
4. Изучение нового материала.
Тема урока «Дифференцирование функции у = f(kx + m)». (Слайд 4)
Сегодня на уроке вы должны:
(эти записи появляются на доске)
Знать
Понятие сложная функция,
формулу, по которой выполняется
дифференцирование
сложной
функции.
Уметь
Составлять сложную функцию,
Находить производную сложной
функции.
Задание: я предлагаю вам, работая в парах, найти производные составленных
вами функций: у = sin2x, y = (3+2х)2. Для этого вы используете знания
предыдущих
уроков:
формулы
и
правила
дифференцирования,
тригонометрические формулы.
Ответы: у=sin2x, y=2cosxsinx, y΄=2cos2x -2sin2x, y΄= 2cos2x
y=(3+2х)2, у = 9 +12х + 4х2, y΄= 12 + 8х, y΄= 2∙2∙(3 + 2х)
Следующая проблема:
Как найти производные функций у = sin(2х+1) или y = (3+2х)10? Здесь
преобразования более громоздки, и использовать тот же подход
затруднительно. Для выхода из данной ситуации проанализируйте пример,
решенный ранее. Установите, как ответ связан с условием задания. Сделайте
вывод. Мы опытным путем подошли с вами к формуле. Попробуйте записать
формулу для нахождения производной функции у = f(kx + m) на переносных
досках.
Проверка на слайде. (Слайд 5)
Рассмотрим пример и запишем образец оформления в тетради:
Продифференцировать функцию y  15  8 x
y 
1
2 15  8 x
 (8)  
4
15  8 x
По ходу решения задаются вопросы.
Ломакина
Ирина
Владимировна
5
Ульяновская область
МОУ СОШ № 11
1ый урок изучения нового материала и первичного закрепления
Вопрос:
Какая функция в роли f(x)?
Ответ:
f(x) = √х.
f ( x) 
1
Какова её производная?
2 x
Какая функция выступает в качестве g(х) = 15-8х.
аргумента?
Как это будет учтено при Производную функции f надо будет
нахождении производной?
умножить на -8 – это производная
функции g(х).
5. Первичное закрепление учебного материала.
Сейчас мы закрепим умение применять полученную формулу при
решении задач и рассмотрим задания обратные нахождению производной.
Работая в парах, продифференцируйте следующие функции и запишите ответ
на переносных досках. Ответы проверяются на слайдах. (Слайд 6)
Пример 1. у = sinxcos2x + sin2xcosx,
y΄= 3cos3x
3
-2
Пример 2. у = (3х - 5) + (3 - х)
y΄=9(3х-5)2+2(3-х)-3
Пример 3. Укажите, какой формулой можно
задать функцию у = f(х), если f΄(х)=6(2х-1)2. f(х)=(2х+1)3+ С
6. Доказательство формулы дифференцирования сложной функции.
Следующей
нашей
задачей
будет
доказать
формулу
дифференцирования сложной функции. Доказательство осуществляется с
использованием алгоритма нахождения производной.
Учащимся предлагается, работая индивидуально в тетради, заполнить
пропуски в доказательстве формулы, которое лежит перед ними:
Обозначим t = kx+m, если х придаётся приращение ∆х, то t получит
приращение____. (Зафиксировать в тетради как получен ответ)
Алгоритм нахождения производной:
1. h(x)= f(kx + m), h(x) = ____
2.
Придадим
х
приращение
h(x+∆х)=___________________________
3. ∆y = h(x+∆х) - h(x)= ______________________
∆х,
получим
y f (t  t )  f (t ) k (( f (t  t )  f (t ))


 ____________
x
x
kx
y
f (t  t )  f (t )
 lim k
 _____________________
5. lim
x 0 x
t 0
t
4.
вывод (f(кх+m))΄ = _______________
Ломакина
Ирина
Владимировна
6
Ульяновская область
МОУ СОШ № 11
1ый урок изучения нового материала и первичного закрепления
Проверка идет пошагово с помощью мультимедийного проектора.
7. Итог урока. Рефлексия.
Вам предлагается каждому для себя ответить на следующие вопросы (слайд
7):
 Что вы узнали нового?
 Смогли бы вы объяснить новый материал другу?
 Над чем вам надо еще поработать в данной теме?
 Какой вопрос сегодняшнего урока был самым трудным?
 Поставьте оценки по пятибалльной шкале за работу на уроке
а) себе, оценив свою активность на уроке, самостоятельность,
правильность выполнения заданий.
б) классу,
в) учителю.
8. Домашнее задание. (Слайд 8)
Те, кто испытывают пока затруднения при решении заданий данной темы,
выполняют домашнее задание обязательного уровня, кто уверен в своих
силах и может объяснить новый материал однокласснику, выбирают задания
IIв или III, а остальные IIа или IIб.
I. Обязательный минимум:
№771, №777, №785 (по учебнику Мордковича А.Г.)
II. Задания по выбору:
а) Составить серию вопросов, которые будут контролировать и
дополнять знания по теме «Производная».
б) Составить 5 заданий для самостоятельной работы по теме
«Дифференцирование функции y = f(kx+m)» и критерии её оценивания.
в) Решить упражнения из задачника для интересующихся математикой.
2
x
1. Дано f ( x)  1  , g ( x)  f ( f ( x)) . Найти g (x ) .
2. Дано y 
x2 1
. Найти у˝.
x2  4
III. Задание для интересующихся математикой:
Изучить доказательство правила нахождения производной произведения
двух функций с использованием дифференцирования сложной функции
по учебнику «Алгебра и математический анализ, 11» Виленкина Н.Я.
Ломакина
Ирина
Владимировна
7
Ульяновская область
МОУ СОШ № 11