Булева алгебра. Представление произвольной функции алгебры логики в виде формулы алгебры логики. Пусть F( x1 , x2 ,..., xn )- произвольная функция алгебры логики n переменных. Рассмотрим формулу F (1, 1, 1) x1 x 2 ... x n F (1, 1, 1, 0) x1 x 2 ... x n 1 x n (1) F (1, 1, 1, 0, 1) x1 x2 ... xn2 x n1 x n … F (0, 0, 0, 0) x1 x2 ... x n Ясно, что (1) определение функции F( x1 , x2 ,..., xn ), те значения F и формулы (1) совпадают на всех наборах значений переменных x1 , x2 ,..., xn . Свойства: 1. Каждое логическое слагаемое формулы содержит все переменные, входящие в функцию F( x1 , x2 ,..., xn ) 2. Все логические слагаемые формулы различны. 3. Ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одновременно переменную и ее отрицание. 4. Ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одну и ту же переменную дважды. Свойства 3, 4 – свойства совершенства им свойства (С). Для каждого набора значений переменных, на котором функция F( x1 , x2 ,..., xn ) принимает значение 1, заменим конъюнкцию элементарных переменных высказываний, взяв за конъюнкции xk ,если значения xk на указанном наборе значений есть 1 и отриц. xk . Если значение xk лишь 0. Дизъюнкция всех записанных конъюнкций и будет формулой. Пусть, например, функция F( x1 , x2 ,..., xn ) имеет следующую таблицу истинности: X1 1 1 1 1 0 0 0 0 X2 1 1 0 0 1 1 0 0 X3 1 0 1 0 1 0 1 0 f ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 1 1 0 0 1 0 1 Для набора значений переменных (1,1,0), (1,0,1), (0,1,0), (0,0,0), на которых функция принимает значение 1, занятом конъюнкции x1 x2 x 3 , x1 x 2 x3 , x1 x2 x 3 , x1 x2 x3 , а формула обладающая свойствами (С), имеет вид: x1x2 x3 x1 x 2 x3 x1 x2 x3 x1 x 2 x3 . Закон двойственности. Пусть формула A содержит операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Назовем операцию конъюнкции двойственной операцией дизъюнкции, а операцию дизъюнкции - двойственной операцией конъюнкции Определение: формулы A и A A назовем двойственными, если формула A A получается из формулы A путем замены в ней операции на двойственную. Например, для формулы A x y z , двойственной формулой будет формула A A x y z Теорема: Если формулы A и B равносильны, то равносильны и их двойственные формулы, то есть A A B B . Дизъюнктивная нормальная форма и совершенная дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ и СДНФ). Определение 1:Элементарной конъюнкцией n переменных называется конъюнкция переменных или их отрицаний Элементарная конъюнкция переменных может быть записана в виде: x , 1 x1 1 x2 2 ... xnn , где xkk k n xk , n 0 Определение 2:Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) формулы A называется равносильная ей формула, представляющая собой дизъюнкцией элементарных конъюнкций. Для любой формулы алгебры логики нужных равносильных преобразований можно находить ее ДНФ, причем не единственную. Например, для формулы A x x y имея: A x x y x x x y x y , та ДНФ A x x x y , ДНФ A x y Единственная ДНФ A , для которой 4 свойства совершенства (С). СДНФ формулы A - получается из таблиц истинности. Другой способ: - из равносильных преобразований формулы состоящих в следующем: 1. Пути равносильных преобразований формулы получает одну из ДНФ A . 2. Если в ДНФ A , конъюнкция B не содержит переменную x1 ,то, используя B x1 x1 B , B заменить на B xi и B xi , каждая из которых содержит xi . 3. Если в ДНФ A входят 2 одинаковых элементарные конъюнкции B , то 1 из них можно отбросить, т. е B B B 4. Если некоторые элементарные конъюнкции B входят в ДНФ A содержит xi и xi , то B 0 и B испомогается из ДНФ A , как нулевой член дизъюнкции. 5. Если некоторые элементарные конъюнкции, входящие в ДНФ A содержат переменную xi дважды, то одну из них можно отбросить, xi xi xi →СДНФ A Например, для A x y x y ДНФ A x x y y y B x не содержит y , то B B y y x y x y , деля на 2 элементарные конъюнкции x y и x y . Получим ДНФ A x y x y x y y y . Лишнее отбросим, используя, x y x y x y . Имея, получим, ДНФ A x y x y y y , y y 0 , то получим окончательно. СДНФ A x y x y . Конъюнктивная нормальная форма и совершенная конъюнктивная нормальная форма (КНФ и СКНФ) Определение 1: Элементарной дизъюнкцией n переменных называется дизъюнкция xk , n 1 переменных или их отрицаний: x1 1 x2 2 ... xnn , где xkk xk , n 0 Определение 2: Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) формулы A называется равносильная ей формула, представляющая собой конъюнкцию элементарных дизъюнкций. Для любой формулы алгебры логики измененной равносильных преобразований можно получить ее КНФ причем не единственную. Пример. A x y x y A x y x y x y x y x y x y x y x y x x y x y y x y x x y y КНФA Но x x x ; y y y ; x x x ; y y y , то КНФ A x y x y x y x y , но x y x y x y ; x y x y x y , то КНФ A x y x y . Определение 3: КНФ A - совершенная КНФ формулы A (СКНФ A ), если для нее выполняются условия: 1. Все элементарные дизъюнкции, входящие в КНФ A ,различны. 2. Все элементарные дизъюнкции, входящие в КНФ A , содержат не переменные. 3. Каждая элементарная дизъюнкция, входящая в КНФ A , не содержит 2 одинаковые переменные 4. Каждая элементарная дизъюнкция, входящая в КНФ A . Не содержит переменную и ее отрицание. Способ получения СКНФ: Используем таблицу истинности для A , получим СДНФ A , получим СКНФ A , взяв отрицание СДНФ A , т. Е СКНФ A СДНФ A . Другой способ: 1. Из формулы A получим одну из КНФ A . 2. Если в ней элементарные дизъюнкции не содержат xi , то B xi xi B , элементарную дизъюнкцию B заменим на B xi и B xi ,каждая из них содержит xi 3. Если в КНФ A входят 2 одинаковые элементарные дизъюнкции B , то лишнее можно отбросить, т. е B B B . 4. Если переменная xi содержится дважды, то лишнее можно отбросить используя xi xi xi 5. Если элементарные дизъюнкции. Входящие в КНФ A , содержат переменную xi и ее отбросить, то xi xi 1 и все дизъюнкции 1,ее можно отбросить, как единственный член конъюнкции получим СКНФ A . Пример. A x y x y КНФA x y x x y . КНФA x y y СКНФA Проблема Разрешимости. Все формулы могут разделяться на 3 класса: 1. Тождественно истинные 2. Тождественно ложные 3. Высказывания Формулу A называют высказыванием, если она принимает значение истины хотя бы на 1 добора переменных, входящих в нее переменных n не является тождественно истинной. К какому классу относить формулы? Формулы приводящие к КНФ и ДНФ. Теорема 1:Для того, чтобы элементарная дизъюнкция была тождественно истинной. Необходимо и достаточно, чтобы в ней содержались переменная и ее отрицание. Теорема 2: Для того, чтобы формула алгебры логики была тождественно истиной, необходимо, чтобы любая элементарная дизъюнкция , входящие в КНФ A . Содержала переменную и ее отрицание. Теорема 3: Для того, чтобы элементарная конъюнкция было тождественно ложной, необходимо и достаточно, чтобы в ней содержались ее переменная и ее отрицание. Теорема 4:Для того, чтобы формула алгебры логики A была тождественно ложной, необходимо и достаточно, чтобы любая конъюнкция , входящая в ДНФ A , содержала переменную и ее отрицание.