Глава III. Бесконечные цепные дроби. § 1. Разложение действительных чисел в цепную дробь. Определение 1. Бесконечной цепной дробью называется выражение a0 a0 ; a1 , a2 ,..., as ... , 11 a1 1 a2 1 1 as где (1) 1 a0 Z , ai N , i 1, . Определение 2. Подходящей дробью (1) называется конечная цепная дробь Pn к бесконечной цепной дроби Qn Pn a0 ; a1 , a2 ,..., an . Qn (2) Все те свойства, что мы рассматривали для подходящих дробей конечных цепных дробей, имеют место и для подходящих дробей бесконечных цепных дробей. Определение 3. Бесконечная дробь (1) называется сходящейся цепной дробью, если существует предел ее подходящих дробей, то есть Pn lim Q n = . n Теорема 1. Любая бесконечная цепная дробь сходится. Доказательство проводится с применением свойств подходящих дробей и леммы о вложенных промежутках. Определение 4. Пусть a0 ; a1, a2 ,..., an ,... . Полными частными в разложении будем называть величины 0 ,1, 2 ,..., определенные равенствами a0 ; a1, a2 ,.., an , n 1 при n 0 , 0 при n 1 . Теорема 2. Пусть a0 ; a1, a2 ,.., an , n 1 , n 1 - полное частное в разложении , тогда Pn n 1 Pn 1 и Qn n 1 Qn 1 n 1 Pn 1 Qn 1 . Qn Pn (3) Рассмотрим теперь разложение действительного числа в цепную дробь. Определение 5. Разложением действительного числа в цепную дробь называется представление в виде a0 ; a1, a2 ,..., an ,... , где a0 , a1, a2 ,... конечная или бесконечная последовательность целых чисел, такая, что при k 1 все ak 1 , в случае конечного разложения последний элемент ak 1 . Теорема 3. Для любого действительного числа существует разложение в цепную дробь, причем такое разложение единственное. Доказательство. Рассмотрим случай, когда - иррациональное число, так как для рационального числа у нас уже было доказано. Обозначим через a0 целую часть , а через 1 - величину, обратную дробной части , то есть возьмем 1 1 1 , так что a0 . Поскольку иррационально, a0 и 0 1 1 также иррациональное число, причем 1 1 . Находя таким же образом для 1 числа a1 1 и 2 1 , и так далее, получим: 1 a0 , a0 , 1 1 1 a1 , a1 1 , 2 , (4) .................................., 1 n an , an n , n 1 ....................................... где при n 1 все иррациональные числа n 1 и, таким образом, при всех таких n числа an n 1 . Числа a0 , a1, a2 ,... образуют бесконечную последовательность целых чисел и, поскольку при n 1 n 1 , мы можем взяв эти числа в качестве элементов, составить бесконечную цепную дробь a0 ; a1, a2 ,... , которая согласно теореме 1 сходится. Докажем, что величина этой цепной дроби равна нашему исходному числу . Действительно, из равенств (4) получаем a0 ; a1, a2 ,.., an , n 1 , так что согласно (3) имеем Pn n 1 Pn 1 и Qn n 1 Qn 1 Pn P P P 1 1 1 n n 1 n 1 n 2 2. Qn Qn n 1 Qn 1 Qn (Qn n 1 Qn 1 )Qn Qn n 1 Qn Pn . Поскольку Qn , то nlim Q n Доказательство единственности разложения проводится методом от противного. Мы видим, таки образом, что для заданного иррационального числа имеется алгоритм, позволяющий строить цепную дробь, равную . Пример 1. Разложить в цепную дробь 1 5 =1, 2 1 5 . 2 1 1 5 . Поскольку 2 1 5 1 2 1 , будем иметь a1= 1 a0=1, так что 2 1 и так далее, то есть Решение. Находим: a0 1 5 1;1,1,1... . 2 1 Пример 2. Найти значение цепной дроби 1,3 . Решение. 1,3, 1 1 3 1 1 4 1 , 3 1 3 1 уравнение 3 2 3 1 0 . Находим его корни 1, 2 удовлетворяет условию отсюда, получаем 3 21 , так как >1, то 4 3 21 . 4 § 2. Разложение числа e в цепную дробь. е 1 2,6,10,...,4n 2,.... е 1 Доказательство. Определим f n (x) (n 0,1,2,...) , как сумму ряда: Теорема 4. f n ( x) (5) n! (n 1)! 2 (n 2)! 4 (n s)! 2 s x x ... x . (2n)! 1!(2n 2)! 2!(2n 4)! s 0 s!(2n 2s )! Этот ряд сходится при любых значениях x ; однако мы будем рассматривать только значения x , лежащие в интервале (0;1) . Легко проверить, что имеет место тождество f n ( x) (4n 2) f n 1 ( x) 4 x 2 f n 2 ( x) (6) 2k Действительно, коэффициент при x в левой части равенства (6) равен (n k )! (n k 1)! (n k )! 2n 1 2(n k )! ,а (4n 2) 1 k!(2n 2k )! k!(2n 2k 2)! k!(2n 2k )! 2n 2k 1 (k 1)!(2n 2k 1)! в правой части равенства (6) он равен 4(n k 1)! 2(n k )! , (k 1)!(2n 2k 2)! (k 1)!(2n 2k 1)! так что (6) верно. 1 fn 2 . В частности, поскольку Обозначим n 1 f n 1 2 1 x x x2 x4 1 1 x3 x5 x ... f 0 ( x) 1 ... (e x e x ) , f1 ( x) e e , 2! 4! 2 2x 3! 5! 4x то 1 1 1 f0 2 2 e e e 1 2 . 0 1 1 e 1 1 f1 e 2 e 2 2 1 Из равенства (6) при x получаем 2 n (4n 2) 1 n 1 (6) Поскольку n 1 положительно, равенство (7) показывает, что при всех n n 4n 2 1, 1 n 1 1 , то есть 4n 2 n и последовательность соотношений (6) при n 0,1,2,... 0 2 1 1 , 1 6 1 2 , 2 10 1 3 ,... дает разложение 0 в цепную дробь. Что и требовалось доказать. Теорема 5. (8) e 2;1,2,1,1,4,1,1,6,... , то есть элементы an разложения e в цепную дробь имеют вид: a0 2, a3n a3n 1 1 и a3n 1 2n . Доказательство. Обозначим подходящие дроби к правой части (8) через Pn R , а подходящие дроби к (5) через n (n 0,1,2,3,...) . Докажем, что Qn Sn Rn P3n 1 Q3n 1 . S n P3n 1 Q3n 1 Принимая во внимание значение элементов цепной дроби (8), имеем: P3n 1 P3n P3n 1 , P3n P3n 1 P3n 2 , P3n 1 2nP3n 2 P3n 3 , P3n 2 P3n 3 P3n 4 , P3n 3 P3n 4 P3n 5 , откуда находим: P3n 1 2P3n 1 P3n 2 (4n 1) P3n 2 2P3n 3 (4n 2) P3n 2 P3n 3 P3n 4 (4n 2) P3n 2 P3n 5 . Аналогичное соотношение имеем и для Q3n 1 , так что P3n 1 (4n 2) P3n 2 P3n 5 , . Q ( 4 n 2 ) Q Q 3 n 1 3 n 2 3 n 5 (9) Докажем индукцией по n , что Rn Из (5) 1 ( P3n 1 Q3n 1 ). 2 (10) (8) непосредственно вычисляем R0 2, R1 13, P1 3, P419, Q1 1, Q4 7, так что соотношение (10) верно при n 0, n 1. Предположим, что соотношение (10) верно для всех R с номерами, меньшими чем n, где n 2 , то есть, в частности, Rn 1 и 1 ( P3n 2 Q3n 2 ) , 2 Rn 2 1 ( P3n 5 Q3n 5 ) , 2 тогда, используя равенства (9), получаем: Rn (4n 2) Rn 1 Rn 2 1 1 (( 4n 2)( P3n 2 Q3n 2 ) P3n 5 Q3n 5 ) ( P3n 1 Q3n 1` ) . 2 2 Согласно принципу математической индукции равенство (10) верно для всех n. Совершенно аналогично доказывается, что Sn 1 ( P3n 1 Q3n 1 ). 2 Рассматривая теперь предел отношения величин Rn и Sn, находим: P3n 1 1 P P Q# n 1 R e 1 Q3n 1 , то есть lim 3n 1 e. Поскольку цепная lim 3n 1 lim n P Q3n 1 P3n 1 Q# n 1 Sn e 1 lim 3n 1 1 Q3n 1 lim дробь в правой части (8) сходится, мы будем иметь также, что вообще lim Pn e , а это доказывает теорему. Qn § 3. Квадратические иррациональности. П.1. Разложение квадратических иррациональностей в цепные дроби. Во множестве иррациональных чисел наиболее простыми являются те иррациональности, которые являются корнями квадратных уравнений с целыми коэффициентами. Определение 6. Число называется квадратической иррациональностью, если - иррациональный корень некоторого уравнения ax 2 bx c 0 (11) С целыми коэффициентами, не равными одновременно нулю. При таком , очевидно, будет a 0, c 0 . Коэффициенты уравнения (11), очевидно, можно взять взаимно простыми; в этом случае дискриминант этого уравнения D b 2 4ac будем называть также дискриминантом . Корни уравнения (11) равны b b 2 4ac , 2a так что любую квадратическую иррациональность можно представить в виде P D , Q где P и Q целые, а D ( D 1) - целое неквадратное число. Второй корень уравнения (11) ' P D будем называть иррациональностью, сопряженной Q с . Примеры. а) 7 - квадратическая иррациональность, так как является иррациональным корнем уравнения x 2 7 0 . 7 1 5 - квадратическая иррациональность, так как представляет 3 собой иррациональный корень уравнения 9 x 2 6 x 4 0 . в) 3 2 не является квадратической иррациональностью. Определение 7.Цепная дробь a0 ; a1, a2 ,... называется периодической, б) если периодической является последовательность элементов a0 , a1, a2 ,... . Если последовательность элементов чисто периодическая, то и соответствующая цепная дробь называется чисто периодической. Длину периода последовательности элементов будем называть также длиной периода цепной дроби. Теорема 6. Цепная дробь a0 ; a1, a2 ,... является периодической с длиной периода k тогда и только тогда, когда при некотором s имеет место равенство неполных частных s k s . Рассматривая величины периодических цепных дробей, мы получаем некоторую часть действительных чисел. Оказывается, и это на первый взгляд кажется неожиданным, что множество таких чисел совпадает с множеством квадратических иррациональностей. Этот замечательны результат был получен впервые в 1770 г. Лагранжем. Тот факт, что величина любой периодической цепной дроби является квадратической иррациональностью, доказывается совсем просто. Более сложно доказывается то, что любая квадратическая иррациональность разлагается в периодическую цепную дробь; этот факт и называют обычно теоремой Лагранжа. Теорема 7. Величина любой периодической цепной дроби представляет собой квадратическую иррациональность. a0 ; a1 , a2 ,... Доказательство. Пусть представляет собой периодическую цепную дробь, то есть существуют s и k (k 1) такие, что s k s . Согласно теореме 2 s следовательно, Ps 2 Qs 2 , Qs 1 Ps 1 sk Ps k 2 Qs k 2 , Qs k 1 Ps k 1 Ps 2 Qs 2 P Qs k 2 = sk 2 , Qs 1 Ps 1 Qs k 1 Ps k 1 (12) Равенство (12) после приведения к общему знаменателю дает квадратное уравнение с целыми коэффициентами: (13) A 2 B C 0, A Qs 1Qs k 2 Qs 2Qs k 1 . где В частности, при s0 A Q1Qk 2 Q 2Qk 1 Qk 1 0 . Доказательство того, что A 0 при s 1 проводим методом от противного. Прежде всего отметим, что в последовательности Q1 0, Q0 1 Q1 Q2 ... (14) любые два соседних знаменателя взаимно просты. Если предположить, что A=0 при некотором s 1 , то Qs 2 Q = sk 2 . Qs 1 Qs k 1 Из равенства этих двух несократимых дробей следует Qs k 2 Qs 2 , Qs k 1 Qs 1 , А это противоречит тому, что при s 1, k 1 в последовательности (14) имеются самое большее два равных знаменателя. Иррациональность следует из того, что разложение в цепную дробь бесконечно. Примеры. Найти значение следующих цепных дробей: а) 5; (1,3) , б) 1;4,1,4,1,4,... , в) 2;2,2,1,2,2,2,1,... 1 7 21 1 = 5 . 2 1,3 3 21 6 1 1 4 2 б) 1 , получаем уравнение 4 2 4 1 0 , решаем 1 1 4 1 4 1 4 Решение. а) 5 1 2 1 2 , следовательно, . 2 2 P P2 В) 2;2,2,1, , 3 , находим числители и знаменатели Q3 Q2 17 12 подходящих дробей и получаем , отсюда уравнение 7 5 6 2 30 7 2 12 12 0 и корень его 0 . 7 его и находим корни: 1, 2 Прежде чем перейти к теореме Лагранжа , докажем следующую вспомогательную теорему. Теорема 8. Если квадратическая иррациональность представлена в виде a0 ; a1, a2 ,..., an 1, n , где все ai - целые, то n также квадратическая иррациональность и с тем же дискриминантом, как у . Доказательство. Пусть - корень квадратного уравнения A 2 B C 0, где A, B, C – целые числа. Подставляя a A(a0 1 1 ) 2 B(a0 1 1 1 1 , получаем: ) C 0, или ( Aa0 ba0 C)1 (2 Aa0 B)1 A 0 , 2 2 то есть 1 представляет собой корень уравнения A112 B11 C1 0, с целыми коэффициентами, дискриминант которого равен 2 (2 Aa0 B)2 4( Aa0 ba0 C) A B2 4 AC , причем C1 A 0 . Заменяя в предыдущем квадратном уравнении 1 через a1 1 2 , аналогично получаем, что 2 - корень квадратного уравнения с целыми коэффициентами и с таким же дискриминантом. Продолжая таким же образом дальше, получим утверждение теоремы. Теорема 8. (Лагранж). Любая квадратическая иррациональность разлагается в периодическую цепную дробь. Доказательство. Пусть - квадратическая иррациональность, то есть - иррациональное число, представляющее собой корень многочлена f ( x) Ax2 Bx C с целыми коэффициентами. Подставляя в A 2 B C 0 Pn 1 n Pn 2 Qn 1 n Qn 2 и приводя к общему знаменателю, получаем: A( Pn 1 n Pn 2 ) 2 B( Pn 1 n Pn 2 ) (Qn 1 n Qn 2 ) C (Qn 1 n Qn 2 ) 2 0 , то есть выражение вида An n Bn n Cn 0 2 (15) где 2 2 2 P 2 2 2 P An APn 1 BPn 1Qn 1 CQn 1 Qn 1 f n 1 , Cn APn 2 BPn 2Qn 2 CQn 2 Qn 2 f n 2 , Qn 1 Qn 2 Bn 2 APn 1Pn 2 B( Pn 1Qn 2 Pn 2Qn 1 ) 2CQn 1Qn 2 - целые числа. Согласно предыдущей теореме дискриминант уравнения (15) 2 (16) Bn 4 AnCn B2 4 AC , и, таким образом не меняется при увеличении n . Докажем сначала, что An и Cn при достаточно большом n имеют противоположные знаки, а затем, пользуясь тождеством (16), докажем, что эти величины Bn - ограничены. Pn 1 P и n 2 , как известно, находятся по разные стороны от Qn 1 Qn 2 , причем при достаточно большом n сколь угодно мало отличаются от . f ( ) 0 , но поскольку - иррациональное число, то f ' ( ) 2 A B 0 . Таким образом, - простой корень уравнения f ( x) 0 . Известно, что в достаточно малой окрестности слева и справа от простого корня значения непрерывной функции, в данном случае многочлена f ( x) Ax2 Bx C , имеют разные знаки, то есть 2 P 2 P An Qn 1 f n 1 , Cn Qn 2 f n 2 Qn 1 Qn 2 P при достаточно большом n противоположны по знаку, причем f n 1 и Qn 1 P f n 2 и, следовательно, An и Cn не равны нулю. Qn 2 Таким образом, при достаточно большом n произведение An Cn 0 . Поскольку 4 AnCn 0, Bn 2 0 , имеем: 2 2 2 0 Bn Bn 4 AnCn B2 4 AC, 0 4 AnCn Bn 4 AnCn B2 4 AC , то есть величины Bn 2 и (4 AnCn ) ограничены. Из ограниченности этих величин следует ограниченность An , Bn , Cn . А поскольку они целые, то среди уравнений (15) при неограниченном увеличении n существует только конечное число различных уравнений. Каждое квадратное уравнение имеет только два корня, поэтому среди корней уравнений (15) существует конечное число различных, а значит и среди величин: 0 , 1, 2 ,... имеется только конечное число различных. Отсюда найдется k k n , это означает, что разложение в цепную дробь периодическое. Что и требовалось доказать. Пример. Разложить в цепную дробь 1 23 . 3 Решение. 1 1 1 , 1 Находим последовательно: 3 1 3 23 13 1 3 23 13 1 ( 23 2) 1 , 2 13 , 3 1 19 2 2 3 19 4 23 2 1 3 1 2 , 5 ( 23 4) 3 , 6 3 5 7 6 4 3 7 7 ( 23 3) 3 Получаем 1 8 , 8 23 3 1 1 , 6 7 23 4 1 3 2 , 9 ( 23 2), 3 9 19 то есть 9 1 . 1 23 1; (1,13,1,2,3,1,3,2) . 3 П.2. Чисто периодические разложения. Поскольку мы теперь знаем, что любая квадратическая иррациональность разлагается в периодическую цепную дробь, естественно выяснить, для каких квадратических иррациональностей такое разложение будет чисто периодическим. Следующая теорема дает исчерпывающий ответ на этот вопрос. Теорема 9. Квадратическая иррациональность P D , где P, Q и Q D ( D 1) целые, разлагается в чисто периодическую цепную дробь тогда и только тогда, когда 1 и сопряженная иррациональность ' P D лежит Q в интервале (1;0) . 1 13 разлагается в чисто периодическую цепную 3 1 13 дробь, так как 1 è ' лежит между -1 и 0. Действительно, 3 (1;1,1,6,1) . Примеры. 1) 2) 2 3 разлагается в смешанную периодическую цепную дробь, так как 4 сопряженное ему число больше нуля. Теорема 10. Пусть D - неквадратное число, Q - целое, D Q 2 0 ; тогда разложение D D a0 ; (a1 , a2 ,..., ak 1 ,2a0 ). в цепную дробь имеет вид: Q Q Доказательство. Если D Q 2 0 , то число a0 будет иметь чисто периодическое Действительно, 1 и ' a0 D a0 2a0 , Q так что разложение в D D , где a0 , Q Q цепную дробь. D заключено в интервале между -1 и 0, Q a0 D (2a0 ; a1 ,..., ak 1 ), Q утверждение теоремы. Примеры. 1) 7 2; (1114) (a0 2) . отсюда следует 2) 53 7; (3,1,1,3,14) (a0 7) . 3) 11 1; (9,2) (a0 1) . 3 У П Р А Ж Н Е Н И Я. № 1. Разложите в цепную дробь и замените подходящей дробью с точностью дл 0,001 следующие числа: 1) 3 , 2) 27 , 3) 111 , 4) 44 , 5) 123, 6) 150 , 7) 21, 8) 99 , 9) 29 , 10) 32 , 11) 73 , 12) 75 , 13) 48 , 14) 59 , 15) 80 , 16) 11, 17) 18) 5 15 , 19) 1 3 , 2 2 5 , 20) 41 . 3 № 2. Найдите действительные числа, которые обращаются в данные цепные дроби: 1) 4; (3,2,1) , 2) (1,2,3), 3) 4; (2,8), 4) 1; (2,2,2,1,12,1), 5) 1;7, (1,6), 6) 3; (5,2,1,2), 7) 2;1, (3), 8) 1;1, (2,3), 9) (7,2,3), 10) 5; (6,1), 11) 2; (3,2), 12) 1; (1,2), 13) 3; (1,3), 14) 0; (4,2), 15) (1;3) /