Стохастический анализ - Основные образовательные

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
«УТВЕРЖДАЮ»
Проректор по учебной работе
__________________ /Волосникова Л.М./
____ _____________ 2011 г.
СТОХАСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 011000.62 – Механика. Прикладная математика
«ПОДГОТОВЛЕНО К ИЗДАНИЮ»:
Автор работы __________________ /Няшин А.Ф./
«____» _____________ 2011 г.
Рассмотрено на заседании кафедры математического моделирования 11 января 2011 г.,
протокол №6.
Соответствует требованиям к содержанию, структуре и оформлению.
«РЕКОМЕНДОВАНО К ЭЛЕКТРОННОМУ ИЗДАНИЮ»:
Объем 13 стр.
И.о. зав. кафедрой __________________ /Бутакова Н.Н./
«____» _____________ 2011 г.
Рассмотрено на заседании УМК Института математики и компьютерных наук 24 января
2011 г., протокол №4.
Соответствует ФГОС ВПО и учебному плану образовательной программы.
«СОГЛАСОВАНО»:
Председатель УМК __________________ /Гаврилова Н.М./
«____» _____________ 2011 г.
«СОГЛАСОВАНО»:
Зав. методическим отделом УМУ __________________ /Федорова С.А./
«____» _____________ 2011 г.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК
КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
А.Ф. Няшин
СТОХАСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Учебно-методический комплекс
Рабочая программа для студентов
направления 011000.62 – Механика. Прикладная математика
Тюменский государственный университет
2011
А.Ф. Няшин. Стохастический анализ. Учебно-методический комплекс. Рабочая учебная
программа для студентов направления «Механика. Прикладная математика» Института
математики и компьютерных наук. Тюмень, 2011, 13 стр.
Рабочая программа опубликована на сайте ТюмГУ: Стохастический анализ [электронный
ресурс] / Режим доступа: http://www.umk.utmn.ru, свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического моделирования. Утверждено
проректором по учебной работе Тюменского государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР:
Н.Н. Бутакова, к.ф.-м.н., доцент, и.о. зав. кафедрой
математического моделирования
© ГОУ ВПО Тюменский государственный университет, 2011
1. Цели и задачи курса
В курсе данного предмета студенты изучают основы данной дисциплины и ее
приложения.
Цель дисциплины: дать возможность приобрести фундаментальные знания по
стохастическому анализу.
Задачи дисциплины: получить основные навыки решения стандартных задач.
В итоге студенты должны привыкнуть к терминологии, классифицировать
практические задачи и уметь их решать.
2. Тематический план курса
№
Тема
Лекци
и, час.
Практ
ически
е
заняти
я, час.
Самостоя
тельная и
индивиду
альная
работа,
час.
Итого
часов
по
теме
Итого
количе
ство
баллов
Семестр 6
Модуль 1
Теория вероятностей
случайных событий.
Основные понятия и
1
формулы вычисления
вероятности случайных
событий. Комбинаторика.
Повторные испытания:
Формула Бернулли,
2
Теоремы Муавра - Лапласа.
Формула Пуассона.
Геометрическая формула.
Всего
Модуль 2
Теория вероятностей
случайных величин.
Дискретные и непрерывные
3
случайные величины и их
законы распределения
вероятностей
Числовые характеристики
случайных величин.
Характеристическая
функция случайной
4
величины. Производящие
свойства
характеристической
функции.
Всего
4
2
8
14
0-3
6
2
8
16
0-27
10
4
16
30
0-30
6
3
8
17
0-4
4
4
10
18
0-26
10
7
18
35
0-30
3
Модуль 3
Математическая статистика.
Статистические оценки:
Метод моментов. Метод
5
наибольшего
правдоподобия.
Интервальные оценки.
Всего
Итого за 6 семестр:
Модуль 1.
Теория статистических
гипотез. Критерий Пирсона
6
и его применение к
различным распределениям.
Всего
Модуль 2.
Простейшие случайные
7
процессы
Всего
Модуль 3.
8
Марковские процессы
Всего
Итого за 7 семестр:
Итого за курс:
14
5
16
35
0-40
14
5
34
17
Семестр 7
16
50
35
100
0-40
0-100
12
12
4
28
0-30
12
12
4
28
0-30
12
12
5
29
0-30
12
12
5
28
0-30
12
12
36
70
12
12
36
52
5
5
14
68
29
28
86
190
0-40
0-30
0-100
-
3. Содержание программы курса по темам
Тема 1. Теория вероятностей случайных событий. Основные понятия и
формулы вычисления вероятности случайных событий. Комбинаторика
Основные понятия и определения теории вероятностей: испытание, эксперимент,
случайные, достоверные и невозможные события, совместные и несовместные события,
простые и сложные события; предмет теории вероятностей, массовые, однородные
случайные события; события, образующие полную группу, противоположные события;
мера
возможности
появления
случайного
события.
Классическое
определение
вероятности, свойства вероятности. Элементы комбинаторики, комбинации элементов
множества и их количество. Статистическое и геометрическое определения вероятности,
задача о встрече. Пространство элементарных событий. Аксиоматика Колмогорова.
Алгебра событий: «сумма» событий, «умножение» событий. Теорема о сложении
вероятностей несовместных событий, сумма вероятностей событий, образующих полную
группу, сумма вероятностей противоположных событий. Условная вероятность, теорема
об умножении вероятностей случайных событий. Независимые события. Теорема об
умножении вероятностей независимых событий. Теорема о сложении совместных
событий. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.
4
Тема 2. Повторные испытания: Формула Бернулли, Теоремы Муавра Лапласа. Формула Пуассона. Геометрическая формула
Повторные испытания: формула Бернулли, формула Пуассона, локальная теорема
Лапласа, интегральная теорема Муавра – Лапласа, функция Лапласа и ее свойства.
Вероятность отклонения относительной частоты события от его постоянной вероятности.
Тема 3. Теория вероятностей случайных величин. Дискретные и непрерывные
случайные величины и их законы распределения вероятностей
Случайные величины: понятие случайной величины, дискретная случайная
величина
и
ее
закон
гипергеометрическое
распределения,
распределение,
способы
биномиальное
задания
закона
распределения,
распределение,
распределение
Пуассона и геометрическое распределение. Функция распределения вероятностей
случайной величины и ее свойства. Плотность распределения непрерывной случайной
величины и ее свойства. Равномерное распределение, нормальное распределение,
распределение Коши, гамма распределение, экспоненциальное распределение, “Хи–
квадрат ”распределение, распределение Стьюдента, распределение Фишера – Снедекора и
их свойства.
Тема 4. Числовые характеристики случайных величин. Характеристическая
функция
случайной
величины.
Производящие
свойства
характеристической
функции
Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание и его
свойства, дисперсия случайной величины и ее свойства, среднее квадратическое
отклонение и его свойства, условные, начальные и центральные моменты к-го порядка,
семиинварианты, мода, медиана и квантили случайной величины, и их свойства. Системы
двух случайных величин: законы распределения системы случайных величин, функция
распределения двух случайных величин, условные законы распределения системы
случайных величин, условные математические ожидания, числовые характеристики
системы двух случайных величин, корреляционный момент, коэффициент корреляции,
линейная регрессия и корреляция. Закон больших чисел: неравенство Чебышева, теорема
Чебышева, теорема Бернулли. Основная предельная теорема.
Тема
5.
Математическая
статистика.
Статистические
оценки:
Метод
моментов. Метод наибольшего правдоподобия. Интервальные оценки
Выборочный метод: задачи математической статистики, генеральная и выборочная
совокупности, повторная и без повторная выборки, репрезентативная выборка, способы
отбора, статистическое распределение выборки, эмпирическая функция распределения,
полигон и гистограмма. Статистические оценки параметров распределения: несмещенные,
5
эффективные и состоятельные оценки, числовые выборочные характеристики, точечные
оценки, доверительная вероятность, метод моментов оценки параметров, метод
наибольшего правдоподобия, интервальные оценки, оценки параметров нормально
распределенной случайной величины и неизвестной вероятности биномиального
распределения.
Тема 6. Теория статистических гипотез. Критерий Пирсона и его применение
к различным распределениям
Статистические гипотезы и критерии их проверки: нулевая и конкурирующая
гипотезы, простая и сложная гипотезы. Ошибки первого и второго рода, статистические
критерии, критические области. Критерий Пирсона, критерий Колмогорова, критерий
Смирнова.
Тема 7. Простейшие случайные процессы
Простейшие случайные процессы. Мера в пространстве функций. Конечномерные
распределения случайного процесса и их согласованность. Теорема Колмогорова о
продолжении
меры.
Виноровский
процесс
как
пример
случайного
процесса.
Корреляционная теория случайных процессов. Дифференцирование и интегрирование в
среднем квадратическом. Стационарные случайные процессы. Спектральное разложение
стационарного
случайного
процесса.
Решение
обыкновенных
дифференциальных
уравнений с постоянным коэффициентами, правая часть которых является стационарным
случайным процессом. Понятие об эмпирической оценке спектральной плотности. Общая
теория условных математических ожиданий. Условное математическое ожидание и
условная вероятность относительно счётного разбиения. Условное математическое
ожидание относительно сигма-алгебры (по Колмогорову). Условное математическое
ожидание одной случайной величины при условии, что значение другой случайной
величины известно и его выражение через условную плотность распределения.
Тема 8. Марковские процессы
Марковские
процессы.
Конечные
цепи
Маркова.
Матрица
переходных
вероятностей. Классификация состояний (в однородном по времени случае). Эргодическая
теорема. Центральная предельная теорема для случайных величин, связанных в цепь
Маркова. Марковские цепи с произвольным пространством состояний. Сведение
динамической системы, на которую влияет обновляющийся (т.е. заменяющийся через
определённое время на статистически независимый) случайный процесс. К-цепи Маркова.
Марковские процессы с непрерывным временем. Диффузионные Марковские процессы и
уравнения для их переходных вероятностей типа уравнения теплопроводности. Переход
6
от динамической системы со случайным возмущением к диффузионному случайному
процессу.
4. Планы практических занятий
Тема 1. Теория вероятностей случайных событий. Основные понятия и
формулы вычисления вероятности случайных событий. Комбинаторика (2 час.)
1. Задачи на классическое, статистическое и геометрическое определения
вероятности. Гипергеометрическая формула вычисления вероятности. Задача о встрече.
2. Задачи на основные теоремы теории вероятностей. Вероятность появления хотя
бы одного случайного события. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.
Тема 2. Повторные испытания: Формула Бернулли, Теоремы Муавра Лапласа. Формула Пуассона. Геометрическая формула (2 час.)
1. Повторные события, формула Бернулли, формула Пуассона.
2. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
Тема 3. Теория вероятностей случайных величин. Дискретные и непрерывные
случайные величины и их законы распределения вероятностей (3 час.)
1. Случайные величины и их числовые характеристики.
2. Основные дискретные и непрерывные распределения.
Тема 4. Числовые характеристики случайных величин. Характеристическая
функция
случайной
величины.
Производящие
свойства
характеристической
функции (4 час.)
1. Функция распределения, плотность распределения и характеристическая
функция.
2. Начальные и центральные моменты, семиинварианты.
Тема
5.
Математическая
статистика.
Статистические
оценки:
Метод
моментов. Метод наибольшего правдоподобия. Интервальные оценки ( 5 час.)
1. Статистические оценки, точечные оценки параметров известных распределений,
метод моментов и метод максимального правдоподобия.
2. Интервальные оценки параметров известных распределений.
Тема 6. Теория статистических гипотез. Критерий Пирсона и его применение
к различным распределениям (12 час.)
1. Статистические критерии проверки гипотез.
2. Критерий согласия Пирсона и расчёт теоретических частот для нормального
распределения.
3. Применение критерия Пирсона для других известных распределений.
7
Тема 7. Простейшие случайные процессы (12 час.)
1. Броуновское движение.
2. Виноровские процессы.
3. Дифференцирование и интегрирование в среднем квадратическом.
4. Решение обыкновенных
дифференциальных
уравнений
с
постоянными
коэффициентами, правая часть которых является стационарным процессом.
5. Условные математические ожидания случайных процессов.
Тема 8. Марковские процессы (12 час.)
1. Конечные цепи Маркова.
2. Матрицы переходных вероятностей.
3. К-цепи Маркова.
4. Марковские диффузные процессы и уравнения для их переходных вероятностей
5. Переход от динамической системы со случайным возмущением к диффузному
случайному процессу.
5. Примерные задания для контрольной работы
1. Из букв разрезной азбуки составили слово «статистика». Ребенок перемешал буквы и
составил «слово» из пяти букв. Какова вероятность, что это окажется слово «такса»?
2. На клубе растет 6 астр и 4 хризантемы. Наудачу сорвали 3 цветка. Какова вероятность
того, что все сорванные цветы – астры?
3. Из первой урны, содержащей 5 белых и 3 черных шара, наугад переложили два шара
во вторую урну, содержащую 2 белых и 6 черных шаров. Затем из второй урны наугад
извлекли один шар, который оказался белым. Вычислите вероятность того, что из
первой урны во вторую были переложены шары разного цвета.
4. На испытательном стенде было установлено 5 приборов. Известно, что каждый из них
независимо от остальных приборов, во время испытания выходит из строя с
вероятностью 0,15. Вычислить вероятность того, что во время испытаний отказало три
прибора.
5. В результате проверки качества приготовленного для посева зерна было установлено,
что 90% зерна всхожи. Определить вероятность того, что среди отобранных и
высаженных 1000 зерен прорастет не более 800 зерен.
6. Из колоды карт (52 листа) наугад без возвращения достают по одной карте до тех пор,
пока не попадется дама пик. Составить закон распределения числа карт, которые
потребуется извлечь из колоды. Сколько в среднем карт придется извлечь из колоды?
7. Случайная величина Х задана законом распределения
8
X
1
3
4
5
7
8
Р
0,1
0,2
0,1
0,2
0,3
?
Найдите недостающую вероятность. Найдите функцию распределения и постройте ее
график. Вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное
отклонение случайной величины Х.
8. Случайная величина Х задана функцией распределения
0, x  0
 2
x
F( x )  
, 0  x  10 .
100
1, x  10

Построить график функции распределения. Определить плотность распределения f(x);
вероятность попадания случайной величины Х в интервал (5, 10); математическое
ожидание и дисперсию этой случайной величины.
9. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение
показательного
распределения, заданного
плотностью
вероятности
f(х) =
10e -10x , при х  .
10. Методом моментов найти оценку параметра
а
равномерного распределения на
отрезке (-а; а) по выборке объёма n: x1,x2,…,xn.
6. Контрольные вопросы к экзамену
1. Основные понятия теории вероятностей: Случайные события, элементарные
исходы испытания, предмет теории вероятностей, массовые, однородные случайные
события. Примеры.
2. Определения вероятности: классическое, статистическое и геометрическое.
Примеры.
3. “Сумма ” событий. Совместные и несовместные случайные события. Теорема о
сложении
вероятностей
несовместных
событий.
Полная
группа
событий,
противоположные события и их вероятности. Примеры.
4. “Произведение” событий. Условные вероятности. Теорема об умножении
вероятностей случайных событий. Примеры.
5. Независимые события. Теорема о произведении вероятностей независимых
событий. Примеры.
6. Вероятность появления хотя бы одного события. Примеры.
7. Теорема о сложении вероятностей совместных случайных событий. Примеры.
8. Формула полной вероятности и ее применение к решению задач. Примеры.
9. Вероятности гипотез. Формулы Байеса. Примеры.
9
10. Повторные испытания. Формула Бернулли. Примеры.
11. Локальная теорема Лапласа. Интегральная теорема Лапласа - Муавра. Примеры.
12. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянного значения
вероятности в независимых испытаниях. Примеры.
13. Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайная величина. Закон
распределения вероятностей дискретной случайной величины. Примеры.
14. Функция распределения вероятностей случайной величины и ее свойства,
плотность распределения вероятностей для непрерывной случайной величины и ее
свойства. Вычисление вероятности принятия случайной величиной значения из отрезка (а,
в).
15. Основные дискретные распределения: гипергеометрическое, биномиальное,
распределение Пуассона, геометрическое, их функция распределения и применение при
решении задач. Примеры.
16.
Основные
непрерывные
распределения
их
плотности
распределения
вероятностей, функция распределения и вычисление вероятности принятия значений из
интервала (a, b).
17. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание
дискретной случайной величины и ее вероятностный смысл. Свойства математического
ожидания. Примеры.
18. Числовые характеристики случайных величин. Дисперсия дискретной
случайной величины и ее свойства. Формула вычисления дисперсии. Примеры.
19. Числовые характеристики случайных величин. Среднее квадратическое
отклонение дискретной случайной величины и его свойства. Примеры.
20. Числовые характеристики биномиального распределения. Примеры.
21. Числовые характеристики распределения Пуассона. Примеры.
22. Числовые характеристики геометрического распределения. Примеры.
23. Числовые характеристики равномерного распределения. Примеры.
24. Числовые характеристики нормального распределения. Кривая Гаусса, влияние
параметров на форму кривой. Примеры.
25. Числовые характеристики экспоненциального распределения. Примеры.
26. Моменты к - го порядка случайной величины: начальные и центральные
моменты связь между ними. Примеры.
27. Характеристическая функция случайной величины - как производящая функция
моментов. Семиинварианты и их производящая функция. Примеры.
10
28. Математическая статистика. Задачи математической статистики. Генеральная и
выборочная совокупности. Способы отбора статистических данных. Примеры.
29. Вариационный ряд, эмпирический закон распределения, полигон частот и
относительных частот. Гистограмма. Примеры.
30. Эмпирическая функция распределения и её свойства. Примеры.
31. Статистические оценки. Несмещённые, эффективные и состоятельные оценки.
Примеры.
32. Выборочная средняя как статистическая оценка генеральной средней.
Выборочная дисперсия как смещённая статистическая оценка дисперсии генеральной
совокупности. Исправленная дисперсия и
исправленное среднее квадратическое
отклонение. Примеры.
33.
Точечные
статистические
оценки
неизвестных
параметров
известных
неизвестных
параметров
известных
распределений: метод моментов. Примеры.
34.
Точечные
статистические
оценки
распределений: метод максимального правдоподобия. Примеры.
35. Статистики и их законы распределения. Распределение «хи – квадрат».
Примеры.
36. Распределение Стьюдента, Фишера – Снедекора. Примеры.
37. Интервальные оценки. Точность и надёжность оценок. Интервальная оценка
математического ожидания нормально распределённой случайной величины при
известном среднем квадратическом отклонении. Примеры.
38. Интервальные оценки. Интервальная оценка математического ожидания
нормально
распределённой
случайной
величины
при
неизвестном
среднем
квадратическом отклонении. Примеры.
39. Интервальные оценки. Интервальная оценка среднего квадратического
отклонения. Примеры.
40.
Интервальные
оценки
неизвестной
вероятности
случайной
величины
распределённой по биномиальному закону. Примеры.
41. Статистическая гипотеза. Основная и альтернативная гипотезы. Простая и
сложная гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Примеры.
42. Критерий статистический гипотез. Односторонний и двухсторонний критерий.
Область принятия гипотезы и критическая область. Примеры.
43.
Критерий
согласия
Пирсона
для
проверки
гипотезы
распределении. Примеры.
44. Расчёт теоретических частот для критерия Пирсона. Пример.
11
о нормальном
45. Критерий Пирсона для равномерного, биномиального, показательного
распределений и для распределения Пуассона. Примеры.
46. Системы двух случайных величин. Ковариация двух случайных величин.
Условные математические ожидания. Примеры.
47. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости между
случайными величинами. Коэффициент корреляции.
48. Уравнения регрессии одной случайной величины на другой. Коэффициент
регрессии и связь его с коэффициентом корреляции. Примеры.
49. Линейная регрессия, уравнение линейной регрессии по не сгруппированным
данным. Примеры.
50. Вычисление коэффициента регрессии по сгруппированным данным. Пример.
51. Мера в пространстве функций. Конечномерные распределения случайного
процесса и их согласованность. Теорема Колмогорова о продолжении меры.
52. Виноровский процесс как пример случайного процесса.
53. Корреляционная теория случайных процессов.
54. Дифференцирование и интегрирование в среднем квадратическом.
55. Стационарные случайные процессы. Спектральное разложение стационарного
случайного процесса.
56.
Решение
обыкновенных
дифференциальных
уравнений
с постоянным
коэффициентами, правая часть которых является стационарным случайным процессом.
57. Понятие об эмпирической оценке спектральной плотности
58. Общая теория условных математических ожиданий. Условное математическое
ожидание и условная вероятность относительно счётного разбиения.
59.
Условное
математическое
ожидание
относительно
сигма-алгебры
(по
Колмогорову). Условное математическое ожидание одной случайной величины при
условии, что значение другой случайной величины известно и его выражение через
условную плотность распределения.
60. Конечные цепи Маркова. Матрица переходных вероятностей.
61. Классификация состояний (в однородном по времени случае).
62. Эргодическая теорема.
63. Центральная предельная теорема для случайных величин, связанных в цепь
Маркова. Марковские цепи с произвольным пространством состояний.
64. Сведение динамической системы, на которую влияет обновляющийся (т.е.
заменяющийся через определённое время на статистически независимый) случайный
процесс.
12
65.
К-цепи
Маркова.
Марковские
процессы
с
непрерывным
временем.
Диффузионные Марковские процессы и уравнения для их переходных вероятностей типа
уравнения теплопроводности.
66.
Переход
от
динамической
системы
со
случайным
возмущением
к
диффузионному случайному процессу.
7. Литература
а) основная литература
1. Боровков А.А. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1986 .-431 c.
2. Боровков А.А. Математическая статистика. Оценка параметров. Проверка гипотез.М.: Наука. 1984. - 472 с.
3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Высшая школа, 2001 .-575 c.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая
школа, 2001 .-479 c.
5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистики. - М.: Высшая школа, 2003 .-405 c.
6. Анулова С.В., Веретенникова А.Ю., Крылов П.В., Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н.
Стохастическое исчисление. – М.: Компьютерные информационные технологии:
Регулярная и хаотическая динамика. -(Электронная библиотека) Ч. 1 [Электронный
ресурс] 2003.- эл. опт. диск (CD-ROM)
7. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. - М.: Наука, 1987. -240 с.
б) дополнительная литература
1. Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. – М.:
Наука, 1982. - 156 с.
2. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. – М.: Наука, 1974. –119
с.
3. Кендал М.,Стьюарт А. Теория распределений. - М.: Наука. 1966. – 577 с.
4. Кендал М.,Стьюарт А. Статистические выводы и связи. - М.: Наука, 1973. - 899 с.
5. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: ЮНИТИ,
ЮНИТИ, 2004. - 573 с.
6. Пыткеев Е.Г. Хохлов А.Г. Теория вероятностей. - Тюмень: ТюмГУ. 2007. – 400 с.
7. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.1. – М.: Мир, 1984.528 с.
8. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.2. – М.: Мир, 1984.751 с.
13