Какие житейские ситуации повлияли на возникновение

Какие житейские ситуации повлияли на возникновение
тригонометрии
Почему летом теплее, чем зимой?
Иногда в ответ на этот вопрос слышишь: потому что Земля, двигаясь своей
орбите, зимой находится от Солнца дальше, чем летом.
Но это совершенно неверно! Ведь орбита Земли – это почти круг, в
центре которого находится Солнце. Расстояние нашей планеты от светила
меняется слишком незначительно от месяца к месяцу, чтобы это было
причиной смены времен года.
Все дело в наклоне земной оси по отношению к плоскости земной
орбиты. Взгляните на рисунок: зимой в умеренных широтах солнце невысоко
поднимается над горизонтом, его лучи лишь скользят по земле. Летом в
моменты наивысшего подъема над горизонтом солнце приближается к
зениту, его лучи падают почти отвесно на те же участки земного шара. Поток
энергии, идущей от Солнца, одинаков во все времена года. Но в зависимости
от наклона солнечных лучей она по-разному распределяется по земной
поверхности. Больше всего ее приходится на заданный участок поверхности
при отвесном падении света.
Чем меньше угол, который образуют лучи с поверхностью, тем меньше
их приходится на тот же участок.
Именно эту зависимость применяет курортник, загорающий под
солнцем юга, когда он поворачивает свой топчан так, чтобы солнечные лучи
как можно менее отклонялись от перпендикуляра к плоскости топчана.
Попытаемся определить точно: какая доля солнечной энергии,
приходящейся на некоторый участок плоскости при отвесном падении лучей,
приходится на него при наклонном падении лучей под тем или иным углом?
На поставленный вопрос можно ответить, проследив эволюцию жирно
очерченного прямоугольного треугольника на приведенных чертежах.
Гипотенуза, на которую падают солнечные лучи, - всюду одна и та же. Катет,
через который входят падающие на нее лучи, - меняется по длине,
уменьшаясь вместе с углом, который образуют с гипотенузой падающие на
нее лучи.
Очевидно,
интересующая
нас
доля
солнечной
энергии
равна
отношению указанного катета к гипотенузе.
Как меняется эта доля в зависимости от угла падения, удобнее судить,
если все жирно очерченные прямоугольные треугольники собрать в одну
связку, где их катеты расположены параллельно друг другу, а гипотенуза
стала радиусом некоторой окружности. И если задан угол, под которым
солнечные лучи встречаются с освещаемой поверхностью, нужно отложить
его на этой круговой диаграмме, из точки пересечения его наклонной
стороны с окружностью опустить перпендикуляр на горизонтальный диаметр
и взять отношение этого перпендикуляра к радиусу окружности. Иными
словами, в прямоугольном треугольнике с заданным углом нужно взять
отношение противолежащего катета к гипотенузе. Полученное число и
укажет интересующую нас долю солнечной энергии.
Число, определенное таким образом и поставленное в соответствие
углу, для которого оно определялось, называется синусом этого угла.
Продолжим
синусоиду,
переведя
разговор
о
ней
на
темы
электротехники.
Почему трамвай работает на постоянном токе?
Студенческий фольклор отвечает на этот вопрос так: если бы он работал на
переменном, рельсы пришлось бы укладывать по синусоиде.
Шутка напоминает о том, что переменный ток изменяется во времени
по закону синуса. Откуда же здесь берется синусоида? Обратимся к
упрощенной схеме динамо-машины – источника переменного тока. Ток
возникает в рамке, которая равномерно вращается в однородном магнитном
поле. Величина тока определяется скоростью изменения магнитного потока,
пронизывающего рамку.
Рисунки показывают последовательные стадии этого изменения. На
них мы обнаруживаем все тот же прямоугольный треугольник, да еще и в
том же удобном расположении, к которому мы пришли, определяя функцию
синуса. Гипотенуза этого треугольника вновь постоянна, а катет, удвоенной
длиною
которого
можно
измерить
величину
магнитного
потока,
пронизывающего рамку, меняется по закону синуса, в зависимости от угла
поворота рамки. Поскольку рамка вращается равномерно, угол ее поворота
может служить мерой времени. Все сказанное позволяет заключить:
магнитный поток, пронизывающий рамку, меняется во времени по закону
синуса.
По мере вращения рамки магнитный поток пронизывает ее то с одной,
то с другой стороны, и это выражается в сменах его знака – в полном
соответствии с течением синусоиды. Оборот за оборотом – нарастания и
спады потока в точности повторяются снова и снова. Так вдоль оси абсцисс
одна за другой выстраиваются волны синусоиды, похожие друг на друга, как
две капли воды.
Но это лишь график магнитного потока. Теперь нужно оценить, какова в
каждый момент времени скорость его изменения – она-то и определяет ток в
рамке.
Этот график имеет вид синусоиды, сдвинутой на четверть волны влево.
Точное название этой кривой – косинусоида. Однако очень часто из-за
сходства с синусоидой ее ошибочно называют так же. В этом нет ошибки
лишь в том случае, если начало отсчета аргумента не указано.
Косинусоида, если рассматривать ее как функцию угла, имеет столь же
тесное отношение к прямоугольным треугольникам, то синусоида. Если
построить прямоугольный треугольник с заданным углом и измерить
отношение катета, прилежащего к этому углу, к гипотенузе, то получится
величина, называемая косинусом. Ее зависимость от угла и описывает
косинусоида.
Для каждого значения угла, при котором строится прямоугольный
треугольник,
можно
измерить
отношение
катетов
–
скажем,
противолежащего к прилежащему. Эту величину называют тангенсом.
Тангенс угла равен отношению синуса этого угла к косинусу.
Определенные формулы связывают описанные функции и попарно: синус с
косинусом, синус с тангенсом, тангенс с косинусом. Эти связи проистекают
из того, что все три функции породнены прямоугольным треугольником,
через который они определяются. От греческого имени треугольника –
«тригонон» - произошло собирательное название «тригонометрические
функции». К ним, кроме синуса, косинуса и тангенса, относятся еще
косеканс, секанс и котангенс, соответственно получаемые из перечисленных
по правилу обратной пропорциональности.