kinematika

1. Тело вращается вокруг неподвижной оси
согласно закону
φ = 4 + 6t - 2t2 (рад).
Ускоренное или замедленное вращение совершает тело в
момент времени t1 = 2 (с)?
Решение.
Тело совершает в данный момент ускоренное
вращение, если модуль его угловой скорости
возрастает, в противном случае - замедленное.
Условием ускоренного вращения тела является
совпадение направлений его угловой скорости
и углового ускорения ( ωε>0), а условием
замедленного вращения - их противоположные
направления ( ωε<0).
Вычисляем:
ω = φ · = (4 + 6t - 2t 2) · = 6 - 4t;
ω(t 1) = 6 - 4·2 = -2 (рад/c);
ε = ω · = (6 - 4t) · = -4 (рад/c 2).
Следовательно, вращение тела в данный момент времени
является ускоренным, так как в этот момент времени
ωε>0.
2. При равноускоренном вращении тела вокруг
неподвижной оси в моменты времени t 0=1(c) и t 1=5(c)
его частота вращения равна n 0=30(об/мин) и n
1=90(об/мин) соответственно.
Определить угол поворота φ(рад) за интервал времени [ t
0,t 1 ].
Решение.
Угловая скорость ω (рад/с) выражается через частоту
вращения n (об/мин) по формуле
ω = n · 2π / 60 = n π / 30.
Вычисляем угловую скорость в моменты времени t 0 и t 1
:
ω 0 = ω(t 0) = 30 · π / 30 = π (рад/с);
ω 1 = ω(t 1) = 90 · π / 30 = 3π (рад/с).
При равноускоренном вращении угловое
ускорение
ε 0 = (ω 1 - ω 0)/ (t 1 - t 0) = 2π / 4 = π /2 (рад/с 2).
Угол поворота тела за время Δt = t 1 - t 0 = 4 (c)
φ = ω 0 · Δt + ε 0 · Δt 2/2 = π · 4 + (π/2) · 4 2/2 = 8π (рад).
ω = 3t2 (рад/с).
Определить его угловое ускорение ε (рад/c2), когда тело
повернулось на угол φ = 9 (рад). Вращение тела началось
в момент времени t0 = 0, в который начальный угол
поворота φ0 = 1 (рад).
Решение.
Вычисляем угол поворота
φ(t) = φ 0 + ∫ 0 t ω(t) dt = 1 + t 3
и находим момент времени t 1 , в который
φ(t 1) = 1 + t 1 3 = 9; t 1 = 2 (c).
Вычисляем угловое ускорение
ε = ω · = (3t 2) · = 6t; ε(t 1) = 12 (рад/с 2).
4. Тело вращается вокруг неподвижной оси
согласно закону
φ = 2t 2 (рад) .
Точки A и B находятся на расстояниях R A = 0,25 (м) и R B
= 0,5 (м) до оси вращения соответственно.
Во сколько скорость точки B в момент времени t 2 = 2 (c)
больше по модулю скорости точки A в момент времени t
1 = 1 (c) ?
Решение.
Определяем угловую скорость тела
ω = φ · = (2t 2) · = 4t;
ω(t 1) = 4·1 = 4 (рад/с);
ω(t 2) = 4·2 = 8 (рад/с).
Скорости точек A и B в заданные моменты времени
равны по модулю
v A = ω(t 1)·R A = 4·0,25 = 1 (м/с);
v B = ω(t 2)·R B = 8·0,5 = 4 (м/с);
Следовательно, скорость точки B в 4 раза больше по
модулю скорости точки A.
5. Тело вращается вокруг неподвижной оси
согласно закону
φ = t 4 (рад) .
Точка A находится на расстояниях R = 0,25 (м) от оси
вращения.
Сравните по модулю касательное ускорение a Aτ и
нормальное ускорение a An A в момент времени t 1 = 1 (c)
Решение.
Определяем угловую скорость и угловое ускорение тела
ω = φ · = (t 4) · = 4t 3; ω(t 1) = 4 (рад/с);
ε = ω · = (4t 3) · = 12t 2; ε(t 1) = 12 (рад/с 2).
Иначе искомый угол поворота при равноускоренном
вращении можно вычислить через среднюю угловую
скорость на данном интервале времени
φ = ω cp · Δt = (ω 1 + ω 0)/2 · Δt = 2π · 4 = 8π (рад).
Вычисляем модули касательного и нормального
ускорений точки A в момент времени t 1
a Aτ = ε(t 1)·R = 12·0,25 = 3 (м/с 2);
a An = ω 2(t 1)·R = 4 2·0,25 = 4 (м/с 2).
3. Тело вращается вокруг неподвижной оси так, что его
угловая скорость
С ледовательно, в заданный момент времени t 1 a Aτ < a An
.