Разработка урока по геометрии по теме: «Вычисление угла между скрещивающимися прямыми, между

Разработка урока по геометрии по
теме: «Вычисление угла между
скрещивающимися прямыми, между
прямой и плоскостью».
10 класс.
Учитель математики МБОУ СОШ №3
Г. Мытищи
Солдатова Л.В.
2013 год.
1
Слайд 2.
Цели урока:
 Показать, как используется скалярное произведение векторов при
решении задач на вычисление углов между двумя прямыми, между
прямой и плоскостью.
 Повторить понятия: угла между векторами, между скрещивающимися
прямыми, между прямой и плоскостью. Повторить понятие скалярного
произведения векторов, формулу скалярного произведения в
координатах.
 Развивать навыки самостоятельной работы.
 Воспитывать математическую грамотность при решении задач по
геометрии.
Ход урока.
1. Актуализация знаний по теме урока.
Слайд 3.
Повторяем теорию:
 Как находят координаты вектора, если известны координаты его
начала и конца?
 Как находят координаты середины отрезка?
 Как найти длину вектора?
 Как находят расстояние между двумя точками?
 Чему равно скалярное произведение векторов?
 Как найти угол между векторами?
 Какие векторы называются перпендикулярными?
 Чему равно скалярное произведение перпендикулярных векторов?
Слайд 4.
Ответы на вопросы:
⃗⃗⃗⃗⃗ {хВ − хА ; уВ − уА ; 𝑧В − 𝑧А }.
1) АВ
2) хС =
хВ +хА
2
; уС =
уВ +уА
3) |а⃗| = √х2 + у2 +
2
𝑧 2.
; 𝑧С =
𝑧В +𝑧А
2
.
4) АВ = √(хВ − хА )2 + (уВ − уА )2 + (𝑧В − 𝑧А )2.
5) а⃗ × ⃗в = |а⃗||в
⃗ | cos 𝛼.
2
а⃗×в
⃗
6) cos 𝛼=|а||в|
⃗ ⃗ cos 𝛼
.
7) Если между ними угол 900 .
8) 0.
Взаимопроверка. Ребята пишут ответы на листочках.
2.Парная работа.
Класс делится на 3 группы (по рядам).
Обсуждение ответов на задания в карточках. Три варианта.
№ Вопрос.
1 вариант
2 вариант
1 Найдите координаты ортогональной A(-5, 6, -7)
B(2, -4, 6)
проекции точки на плоскость ОУZ
2 Найти расстояние от точки до A(-5, 6, -7)
B(2, -4, 6)
плоскости Оху.
3 На каком расстоянии от оси ОZ A(5, -3, 7)
B(-2, 7, -6)
находится точка
4 Найдите расстояние между точками A(1, 3, 2)
B(0, 2, 4)
А1 (0, 2, 4)
В1 (1, 1, 4)
5 Найдите координаты середины М(3, -2,0)
М(5, -4,0)
отрезка МР
Р(0,-8,5)
Р(0,8,-5)
6 Найдите координаты вектора АВ
А(-3, -5, 9)
A(-5, 6, -7)
B(2, -4, 6)
В(-3, -5, 9)
7 Найдите длину вектора АВ
A(-5, -6, 7)
A(-3, -3, -4)
В(-3, -5, 9)
В(-5, -6, -7)
8 Найдите скалярное произведение а⃗(-5;6;1)
а⃗(1;-4;5)
векторов: ⃗⃗⃗а × в
⃗
⃗ (0;-9;7)
в
⃗ (-4;5;-6)
в
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
9 При каких значения к, угол между (0;
(0;
к; −3) и
к; −2) и
0
векторами равен 90 ?
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(−1;
(7;
3; −1)
4; 3) и
10 Даны три точки А(0; 1; -1), В(1;-1; 2), Угла С
С(3;1;0).Найдите
косинус
угла
треугольника АВС
Угла В
3 вариант
C(-3, -5, 9)
C(-3, -5, 9)
C(-5, 2, 6)
C(1, 1, 4)
С1 (2, 2, 2)
М(-3, 2,0)
Р(0,-6,-7)
A(5, -3, 7)
В(-5, 6, -7)
А(-3, -5, 9)
B(2, -4, 6)
а⃗(6;-3;0)
⃗ (-8;4;-5)
в
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(0;
к; −2) и
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(−6; 5; 7) и
Угла А
Слайд 5.
Ответы на задания:
№
1
2
3
4
1 вариант
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(0; 6; −7)
7
√34
√6
2 вариант
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(0; −4; 6)
6
√53
√2
3 вариант
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(0; −5; 9)
9
√29
√6
3
5
6
7
8
9
10
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(1,5;
−5; 2,5)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(5; 1; −3)
3
-47
-1
√30
15
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(2,5;
2; −2,5)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(2;
−11; 16)
√22
-54
1,5
2√42
21
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(−1,5; −2; −3,5)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(−10; 9; −14)
√35
-60
2,8
3√35
35
Самопроверка. Ответы записаны на тех же листочках. Сдают затем на
проверку учителю.
Слайд 6.
Оценивание.
ответов
20-19
18-14
13-10
9-1
оценка
5
4
3
2
3.Решение задач устно по готовому чертежу:
Слайд 7.
Задача 1.
Дано: Д∈ (АВС),
АМ=МD; ВN=ND; CP=PD; K∈ 𝐵𝑁.
Определите
взаимное
D
расположение прямых:
M
P
а) ND и АВ;
N
б) РК и ВС;
A
C
в) NМ и АВ;
K
г) МР и АС;
В
д) К 𝑁и АС;
F
е) МD и ВС
Ответ:
а) пересекаются в точке В ;
б) пересекаются в точке F;
в) параллельны;
г) параллельны;
д) скрещивающиеся;
е) скрещивающиеся.
4
Слайд 8.
Задача 2.
Дан куб АВСДА1 В1 С1 Д1
Найти: угол между прямыми:
1. ВС и СС1 ;
2. АС и ВС;
3. Д1 С1 и ВС;
4. А1 В1 и АС.
В1
С1
А1
Д1
В
С
А
Д
Ответы:
1. 900 ; 2. 450 ;
Слайд 9.
3. 900 ; 4. 450 .
А
Задача 3.
Дано:
О
ОВ∥ СД,
ОА и СД скрещивающиеся прямые.
Найти угол между ООА и СД, если :
а) ∠АОВ = 400 ; б) ∠АОВ = 1350 ; в) ∠АОВ = 900 ;
В
Д
С
Ответ: 400 , 450 , 900 .
Слайд 10.
Задача 4.
Дан куб АВСДА1 В1 С1 Д1
Найти: угол между скрещивающимися прямыми:
В1
1. ВС и А Д1 ;
А1
2. АС и В1 Д1 ;
3. Д1 С1 и ВА1 ;
В
4. А1 В1 и ВС1
А
С1
Д1
С
Д
Ответы: 450 , 450 , 450 , 900
5
Слайд 11.
Задача 5.
Дан куб АВСДА1 В1 С1 Д1
Найти угол между прямой и плоскостью:
1. ВС и А1 В1 С1 Д1 ;
2. А С1 и АВСД;
3. Д1 С1 и АА1 С1 С;
4. А1 В1 и АВСД
В1
С1
А1
Д1
В
С
А
Ответы: 00 , 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑞
Д
√2
, 450 , 00 .
2
4. Решение задач на доске.
Слайд 12.
Задача 1.
Дано:
А(3; −2; 4), В (4; −1; 2), С (6; −3; 2), Д (7; −3; 1),
Найти: угол между прямыми АВ и СД.
Решение:
1.найдем координаты векторов АВ и СД.
2. Воспользуемся формулой: cos 𝜑 =
|х1 х2 +у1 у2 +𝑧1 𝑧2 |
√𝑥12 +𝑦12 +𝑧12 √𝑥22 +𝑦22 +𝑧22
.
Ответ: 𝜑 = 300 .
6
Слайд 13.
Задача 2.
Докажите, что четырехугольник АВСД с вершинами А(0; 2; -3), В(1;1;1), С(2;-2;-1), Д(3;-1;-5) является параллелограммом и найдите
угол между диагоналями.
Схема решения:
1) доказать: АВ=СД и ВС=АД.
2) доказать АС∩ ВД = О.
3) найти координаты векторов АС и ВД.
4) воспользуемся формулой: cos 𝜑 =
|х1 х2 +у1 у2 +𝑧1 𝑧2 |
√𝑥12 +𝑦12 +𝑧12 √𝑥22 +𝑦22 +𝑧22
.
Слайд 14.
Решение:
1.|АВ| = √(−1 − 0)2 + (1 − 2)2 + (1 + 32 )=√18;
|СД| = √(3 − 2)2 + (−1 + 2)2 + (−5 + 1)2 )=√18;
|ВС| = √(2 + 1)2 + (−1 − 2)2 + (−1 − 1)2 )=√22;
|АД| = √(3 − 0)2 + (−1 − 2)2 + (−5 + 32 )=√22;
2.ОАС (1; 0; −2) и ОВД (1; 0; −2) ⇒ АС∩ ВД = О.
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
⃗⃗⃗⃗⃗ = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(2; −4; 2) и ⃗⃗⃗⃗⃗
3.АС
ВД = (4;
−2; −6).
4. cos 𝜑 =
|2×4+(−4)×(−2)+2×(−6)|
√22 +(−4)2 +22 √4 2 +(−2)2 +(−6)
𝝋 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔
=
2
|8+8−12|
=
4
√24×√56 2√6×4√14
=
√21
.
84
√21
.
84
Ответ: 𝝋 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔
√21
.
84
7
Слайд 15.
Задача 3.
Даны четыре точки пространства А (-3; 4; 0), В(2; -1;4), С(-2;2;-1),
Д(1;0;2). Найдите угол между векторами: АС и ВД; АВ и СД.
Схема решения:
1. найти координаты векторов АС и ВД.
2. Найдем по формуле cos 𝜑 между векторами АС и ВД.
3. найти координаты векторов АВ и СД.
4. Найдем по формуле cos 𝛾 между векторами АВ и СД.
Слайд 16.
Решение:
⃗⃗⃗⃗⃗ (−2 + 3; 2 − 4; −1) = АС
⃗⃗⃗⃗⃗ (1; −2; −1).
1.АС
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
ВД(1 − 2; 0 + 1; 2 − 4) = ⃗⃗⃗⃗⃗
ВД(−1; 1; −2).
|1×−1)+1×(−5)+(−1)×(−2)|
2. cos 𝜑 =
√6√6
1
=
|−1−2+2|
5
1
= .
6
𝜑 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 .
6
⃗⃗⃗⃗⃗ (2 + 3; −1 − 4; 4 − 0) = ⃗⃗⃗⃗⃗
3.АВ
АВ(5; −5; 4).
⃗⃗⃗⃗⃗
СД(1 + 2; 0 − 2; 2 + 1) = ⃗⃗⃗⃗⃗
СД(3; −2; 3).
4.cos 𝛾 =
5. 𝜸 =
|5×3+(−5×(−2)+4×3|
√25+25+16√9+4+9
37√3
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔
.
66
1
Ответ: 𝜑 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔
6
=
|15+10+12|
√66√22
и 𝜸 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔
=
37
22√3
=
37√3
66
.
Д1
Слайд 17.
Дано: куб АВСДА1 В1 С1 Д1 ; АВ =а.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 .
Найти: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
ВА1 × ВС
37√3
.
66
А1
1 способ
С1
В1
Д
С
∆ВА1 С1 − правильный.
ВА1 = ВС1 = а√2.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 ВС
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 )=600 .
Угол (ВА
А
В
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 = а√2 × а√2 cos 600 = а2 . Ответ: а2
ВА1 × ВС
8
Слайд 18.
2 способ
С1
Д1
Дано: куб АВСДА1 В1 С1 Д1 ; АВ =а.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 × ВС
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 .
Найти: ВА
А1
В1
Решение:
Д
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 = ВС
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
ВА1 = ВА
АА1 ; ВС
СС1 ;
Сс
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 =(ВА
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
ВА1 × ВС
АА1 )( ВС
СС1 )=
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
ВА × ВС
ВА × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
СС1 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
АА1 × ВС
АА1 × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
СС1 =А
В
0+0+0+а× а × cos 00 =а2 .
Ответ: а2 .
Слайд 19.
3 способ.
z
Д1
Дано: куб АВСДА1 В1 С1 Д1 ; АВ =а.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 .
Найти: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
ВА1 × ВС
А1
Решение:
Введем прямоугольную систему координат.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 {а; 0; а} и ВС
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 {0; а; а}.
ВА
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 =а× 0 + 0 × а + а × а = а2 .
ВА1 × ВС
Ответ: а2 .
С1
В1
у
Д
C
х
А
В
5. Подведение итогов урока.
6 Домашняя работа: стр. 60-61. №10(2), 11(2), 13(2), 25(3,4).
9