Программа курса (в формате )

ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
Кафедра систем телекоммуникаций, факультет физико-математических и
естественных наук
Обязательная дисциплина, привязанная к семестру.
Трудоемкость – 4 кредита, 2 часа лекций и 3 часа лабораторных занятий в
неделю
Цель курса
Основной целью курса является обучение основам комбинаторики и
комбинаторным алгоритмам.
В процессе преподавания курса решаются следующие задачи:
- даются навыки решения задач по комбинаторике;
- производится вывод основных теоретических положений;
- составляются алгоритмы и программы по темам курса.
Содержание курса
Лекции
Тема 1. Введение в комбинаторику. Определения теории множеств.
Правило суммы и правило произведения.
Области применения комбинаторики. Основные определения теории
множеств. Определение множества, мощности множества, прямого
произведения множеств. Правило суммы и правило произведения множеств.
Тема 2. Перестановки и сочетания. Мультимножества.
Выборка объема r из n элементов, типы выборок. Определение: размещение,
размещение с повторением, сочетание, сочетание с повторением,
перестановка, мультимножество. Формула для вычисления различных
перестановок элементов мультимножества.
Тема 3. Тождества с числом сочетаний.
Доказательство основных тождеств, связанных с числом сочетаний (сумма,
произведение).
Тема 4. Биномиальные коэффициенты.
Общее определение биномиального коэффициента. Биномиальный
коэффициент в факториальной форме. Биномиальная теорема. Произведение
биномиальных коэффициентов. Доказательство основных свойств
биномиальных коэффициентов. Полиномиальная теорема.
Тема 5. Треугольник Паскаля.
Построение треугольника Паскаля. Свойство шестиугольника треугольника
Паскаля.
Тема 6. Разбиения множеств. Числа Стирлинга первого и второго рода
Упорядоченные разбиения множества. Неупорядоченные разбиения
множества. Разбиения чисел. Числа Стирлинга первого и второго рода.
Доказательство формул для вычисления чисел Стирлинга первого и второго
рода. Числа Белла. Рекуррентное соотношение для вычисления чисел Белла.
Беззнаковые числа Стирлинга I рода. Свойства беззнаковых чисел Стирлинга
I рода. Формула для вычисления беззнаковых чисел Стирлинга I рода.
1
Тема 6. Принцип включения и исключения
Формула обращения. Задача о беспорядках. Задача о встречах. Формула для
вычисления числа предметов, обладающих ровно n свойствами. Формула для
вычисления числа предметов, обладающих не менее, чем k свойствами.
Тема 7. Производящие функции. Операции с производящими
функциями
Определение и свойства. Идея метода производящих функций. Линейные
операции с производящими функциями. Сдвиг начала влево и сдвиг начала
вправо. Частичные суммы и дополнительные частичные суммы. Изменение
масштаба.
Свёртка.
Вычисление
производящих
функций
для
последовательностей. Свойства класса ПФ. Экспоненциальная ПФ.
Тема 8. Схемы выбора.
ПФ для (n, r) сочетаний с ограниченным числом повторений. ПФ для (n, r)
сочетаний с неограниченным числом повторений.
Тема 9. Однородные и неоднородные линейные рекуррентные
соотношения
Однородные линейные рекуррентные соотношения. Неоднородные
линейные рекуррентные соотношения. Метод решения однородных
линейных рекуррентных соотношений. Доказательство 4-х положений для
нахождения общих решений рекуррентных соотношений. Решение
неоднородных линейных рекуррентных соотношений.
Тема 10. Поиск с возвращением
Поиск с возвращением. Использование исчерпывающего поиска. Задача
прохождения лабиринта. Общий алгоритм поиска с возвращением. Дерево
полного прохода алгоритма. Процедура поиска с возвращением. Оценка
сложности алгоритма.
Тема 11. Генерация перестановок и сочетаний
Порождение перестановок. Генерация сочетаний.
Лабораторные занятия
Тема 1. Перестановки и сочетания. Мультимножества
Применение правила суммы и правила прямого произведения множеств.
Решение задач на перестановки с повторениями. Решение задач на
перестановки без повторений. Решение задач на перестановки
мультимножеств. Решение задач на сочетания без повторений. Решение
задач на сочетания с повторениями.
Тема 2. Тождества с числом сочетаний.
Доказательство тождеств с числом сочетаний
Тема 3. Биномиальные коэффициенты. Тождества с биномиальными
коэффициентами
Решение задач на соотношение симметрии, правило внесения, на формулу
сложения/разложения. Решение задач на формулы суммирования по верхнему и по обоим
индексам. Произведение биномиальных коэффициентов. Решение задач на суммы
2
произведений и сумму отношений биномиальных коэффициентов.Полиномиадбная
теорема.
Тема 4. Разбиения множеств. Числа Стирлинга первого и второго рода,
числа Белла.
Разбиения множества. Разбиения чисел. Числа Стирлинга первого и второго
рода. Составление таблиц для чисел Стирлинга первого и второго рода.
Числа Белла.
Тема 5. Принцип включения и исключения
Задача о беспорядках. Задача о встречах. Задачи на принцип включений и
исключений.
Тема 6. Производящие функции. Операции с производящими
функциями
Решение задач на линейные операции с производящими функциями.
Решение задач на сдвиг начала влево и сдвиг начала вправо. Поиск
частичных сумм и дополнительных частичных сумм. Задачи на
Экспоненциальные производящие функции.
Тема 7. Однородные и неоднородные линейные рекуррентные
соотношения
Решение однородных и неоднородных линейных рекуррентных
соотношений.
Тема 8. Генерация перестановок и сочетаний
Решение задач на поиск с возвращением. Генерация сочетаний и
перестановок.
Темы контрольных работ
Промежуточный контроль знаний
Контрольная работа № 1. Комбинаторные объекты. Биномиальные
коэффициенты. Разбиения. Принцип включения и исключения
Теоретические вопросы
1. Перестановки с повторениями и без повторений
2. Перестановки мультимножеств
3. Сочетания без повторений и с повторениями
4. Элементы теории вероятностей. Приложения комбинаторики
5. Тождества с биномиальными коэффициентами
6. Биномиальная теорема
7. Произведение биномиальных коэффициентов
8. Суммы произведений и сумма отношений биномиальных
коэффициентов
9. Формула обращения
10.Задача о беспорядках
11.Задача о встречах
Типовые задачи
3
1. Бросают три игральные кости, с шестью гранями каждая. Сколькими
способами они могут упасть так, чтобы либо все оказавшиеся вверху грани
были одинаковы. Либо все попарно различны.
2. В Англии принято давать детям несколько имён. Сколькими способами
можно назвать ребенка, если ему дают не более трёх имён, а общее число
имён равно 300? Два способа, различающиеся лишь порядком имён,
считаются различными.
3. Имеется колода в 4ּn карт (n≥5), которая содержит 4 масти по n карт в
каждой масти, занумерованных числами 1, 2, …, n. Подсчитать, сколькими
способами можно выбрать 5 карт так, что среди них окажутся: 1) пять
последовательных карт одной масти; 2) четыре карты из пяти с одинаковыми
номерами; 3) три карты с одним номером и две с другим; 4) пять карт одной
масти; 5) пять последовательно занумерованных карт; 6) три карты из пяти с
одним и тем же номером; 7) две карты из пяти с одинаковыми, а остальные с
разными номерами.
4. Имеем m различных шаров и столько же различных корзин. Сколькими
способами можно разложить шары по корзинам так, чтобы никакой i-й шар
не попал в i-ю корзину (допускаются пустые корзины)? Воспользоваться
правилом включения и исключения.
5. Имеем m различных шаров и k различных корзин. Сколькими способами
можно разложить шары в корзины так, чтобы осталось ровно r пустых
корзин? Воспользоваться правилом включения и исключения.
Контрольная работа №2. Производящие функции и рекуррентные
соотношения.
Теоретические вопросы
1. Производящие функции
2. Однородные линейные рекуррентные соотношения
3. Неоднородные линейные рекуррентные соотношения
Типовые задачи
1. Применить технику производящих функций для нахождения суммы чисел
13+23+…+n3.
2. Найти члены последовательности {Un}, удовлетворяющие рекуррентному
соотношению Un+2=5Un+1 – 6Un. U0=U1=1.
3. Найти члены последовательности {Un}, удовлетворяющие рекуррентному
соотношению Un+1=Un + (n+1) . U0=1.
4. Найти число замкнутых маршрутов длины n по ребрам равностороннего
треугольника.
Итоговый контроль знаний
Контрольная работа № 3. Теоретические вопросы по всему курсу..
Вопросы
1. Области применения комбинаторики. Определение множества, мощности
множества, прямого произведения множеств. Правило суммы и правило
произведения множеств.
4
2. Выборка объема r из n элементов, типы выборок. Определение:
размещение, размещение с повторением, сочетание, сочетание с
повторением, перестановка, мультимножество. Формула для вычисления
различных перестановок элементов мультимножества.
3. Основные тождества, связанные с числом сочетаний (с доказательством).
4. Бином Ньютона (2 способа доказательства).
5. Свойства биномиальных коэффициентов (с доказательством).
6. Треугольник Паскаля. Свойство шестиугольника треугольника Паскаля (с
доказательством).
7. Разбиение множества. Числа Стирлинга II рода. Свойства чисел
Стирлинга II рода (с доказательством). Формула для вычисления чисел
Стирлинга II рода через предыдущие (с доказательством). Формула для
вычисления чисел Стирлинга II рода через сумму произведения сочетаний
и предыдущих чисел Стирлинга II рода (с доказательством).
8. Числа Белла. Рекуррентное соотношение для вычисления чисел Белла (с
доказательством).
9. Числа Стирлинга I рода. Формула для вычисления Стирлинга I рода (с
доказательством).
10.Беззнаковые числа Стирлинга I рода. Свойства беззнаковых чисел
Стирлинга I рода (с доказательством). Формула для вычисления
беззнаковых чисел Стирлинга I рода (с доказательством).
11.Формула включений и исключений (с доказательством).
12.Решение задачи о беспорядках.
13.Формула для вычисления числа предметов, обладающих ровно n
свойствами (с доказательством). Формула для вычисления числа
предметов, обладающих не менее, чем k свойствами.
14.Решение задачи о встречах.
15.Полиномиальная теорема (с доказательством).
16.Идея метода производящих функций.
17.Вычисление производящих функций для последовательностей:
a.
b.
c.
C , C , C ,..., C  ,
1, a, a , a ,..., a ,... ,
1, C , C , C ,..., C
0
n
1
n
1
n
2
n
2
3
2
n 1
n
n
k
3
n2
k
n  k 1
,...
,
0, 0  k  r
ak   r
Ck , k  r
d.
18.Производящие функции (ПФ). Виды ПФ. Определение суммы
последовательности и суммы ПФ. Определение произведения (свертки)
последовательностей и ПФ. Умножение ПФ на действительное число.
19.Свойства класса ПФ.
20.Операции с ПФ (с доказательством): Линейные операции, сдвиг начала
вправо, сдвиг начала влево, частичные суммы, дополнительные
частичные суммы, изменение масштаба, свертка.
5
21.ПФ для (n, r) сочетаний с ограниченным числом повторений.
22.ПФ для (n, r) сочетаний с неограниченным числом повторений.
23.Экспоненциальная ПФ.
24.Метод решения однородных линейных рекуррентных соотношений.
Доказательство 4-х положений для нахождения общих решений
рекуррентных соотношений. Решение неоднородных линейных
рекуррентных соотношений. Как пример найти решение НЛРС:
an  2  3an 1  2an  (1) n , a0  1, a1  2
.
25.Поиск с возвращением. Использование исчерпывающего поиска. Задача
прохождения лабиринта. Общий алгоритм поиска с возвращением.
Дерево полного прохода алгоритма. Процедура поиска с возвращением.
Оценка сложности алгоритма.
26.Генерация перестановок.
27.Порождение сочетаний
Литература
Обязательная
1. Ю.В. Гайдамака, К.Е. Самуйлов, Л.А. Севастьянов, С.С. Спесивов.
"Комбинаторика. Алгоритмы на графах". Учебно-методическое
пособие. М.: Изд-во РУДН, 2002.
2. Иванов Б.Н. Дискретная математика. М.:ЛБЗ,2001.
3. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.Л. Сборник задач по дискретной
математике, М. 1992.
Дополнительная
1. Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970.
2. Грэхем Р. и др. Конкретная математика. М.: Мир, 1998.
3. Шапорев С. Д. Дискретная математика. Курс лекций и практических
занятий. БХВ-Петербург, 2005 г.
4. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов: учебник.
СПб, Изд-во Питер, 2003 год, 304 стр.
Программу составила:
Кокотчикова Мария Геннадьевна
старший преподаватель
кафедра систем телекоммуникаций,
факультет физико-математических и естественных наук
6