РОСЖЕЛДОР

Содержание
1.
Расчет переходных ht  и импульсных k t  характеристик первой
и второй схем в соответствии с заданием_______________________________
2.
Определение откликов этих схем на воздействие заданного
сигнала S t  вх ______________________________________________________
Построение графиков:
- исходного сигнала: S t  вх;
- переходных и импульсных функций первой и второй схем;
- графики откликов: S t  вых.
3.
Определение частотных функции первой и второй схем:________
1) комплексные коэффициенты передачи K(j  );
2) амплитудно-частотную характеристику (АЧХ);
3) фазочастотную характеристику (ФЧХ);
4) групповое время запаздывания (ГВЗ).
Построение графиков АЧХ, ФЧХ и ГВЗ.
4.
Вычисление импульсной характеристики, используя K(j  )_____
5.
Определение А-параметров первой и второй схем_____________
6.
Составление схемы сложного 4-полюсника путём каскадного
соединения схем 1 и 2 и вычисление его А- параметров__________________
7.
Получение выражения для K  j  , АЧХ, ФЧХ, ГВЗ при заданной
нагрузке Zн, используя А-параметры сложного 4-полюсника_______________
Построение графиков АЧХ , ФЧХ, ГВЗ
8.
Вычисление
характеристических
сопротивлений
Z C1 , Z C2 и
Zвх. 4-полюсника. Вычисление собственного, рабочего и вносимого
затухания:__
1) при Z вн  Z c1 , Z н  Z c2 ;
2) при заданных Z вн и Z н .
9.
Разложение заданного сигнала тригонометрический ряд Фурье__
10. Вычисление составляющих амплитудного и фазового спектра.
Построение спектральной диаграммы.__________________________________
11. Вычисление спектральной функции и амплитудного спектра
заданного сигнала, рассматривая его как одиночный. ____________________
12. Определение
спектральным
методом
отклика
цепи,
полученной в п.6, на заданный сигнал. Построение графика амплитудного
спектра отклика, включающий три полуволны.__________________________
Задание на курсовую работу.
Вариант 53.
Схемы: 2-/8+.
Номер сигнала: 7.
U m  6 В.
k  2.
  0,3 мс.
 0  2f 0 .
  3  1 мс .
Z в н  0,4 кОм .
Z н  2,1  j 0,8 кОм .
.
Схема №2
R1=15 кОм
L=0,07 Гн
R2=12 кОм
Схема №8.
R1=5 кОм
L=0,04 Гн
R2=1 кОм
1. Расчет переходных h(t) и импульсных k(t) характеристик цепи.
а) Для схемы №2.
R1=15 кОм
L=0,07 Гн
Z1 ( P) 
R2=12 кОм
R1 LP
;
R1  LP
Z 2 ( P )  R2 ;
Ku1 P  
Z2
R2
R1 R2  R2 LP


R1 LP
R1 LP  R2 R1  R2 LP 
Z1  Z 2
 R2
R1  LP
Ku1 ( Р ) - операторный коэффициент передачи первой схемы.
H 1 P  
Ku1 P 
, H1(P) – операторная переходная характеристика.
P
H 1 P  
R1 R2  R2 LP
R1 LP  R2 R1  R2 LP P
Корни характеристического уравнения:
P1  0 ,
P2  
R1 R2
, P2  95238.
LR2  R1 
F1 P  R1 R2  R2 LP ,
F1 ( P1 )  R1 R2  1,8  108
F1 ( P2 )  R1 R2  R2 LP  108

F2 P   2 R1 LP  R2 R1  2 R2 LP .

F2 P1   1,8  10 8

F2 P2   R1  2 R2 R1 PC  R2  1,8  10 8
ht  
F1 P1  P1 t F1 P2  P2 t
e 
e ,


F2 P1 
F2 P2 
F1 P1  1,8  10 8

 1,
8

F2 P1  1,8  10
F1 P2 
10 8

 0,556 .
8

F2 P2   1,8  10
ht   1  0,556  e 95238t -переходная характеристика.
Расчёт импульсной характеристики:
K1 P  Ku1 P ,
R1 R2  R2 LP
.
K 1 P  
R1 LP  R2 R1  R2 LP
R1 R2
, P1  95238 .
P1  
L( R1  R2 )
F1 P  R1 R2  R2 LP ,
F ' 2 P   L( R1  R2 ) .
F P 
k t   1' 1  e P1 t ,
F2 P1 
k t   52950  e 95238t .
t
Учитывая, что:
ht  при h0   0

k t   
h0  t   ht  при h0   0
R2
 0,444
R1  R2
Окончательно получим: k (t )  0,444   (t )  52950  e 95238t
б) Для схемы №8.
R1=5 кОм
L=0,04 Гн
R2=1 кОм
Z 2 ( P)  R2  PL;
Z1 ( P)  R1 ;
Ku1 P  
Z2
R2  PL

Z1  Z 2 R1  R2  PL
Ku1 ( Р ) - операторный коэффициент передачи первой схемы.
H 1 P  
Ku1 P 
, H1(P) – операторная переходная характеристика.
P
H 1 P  
R2  PL
R1  R2  PLP
Корни характеристического уравнения:
P1  0 ,
P2  
R1  R2
,
L
P2  150000
F1 P   R2  PL
F1 P1   R2  PL  1000
F1 P2   R2  PL  5000

F2 P   R1  R2  2 PL .

F2 P1   R1  R2  2 PL  6000

F2 P2   R1  R2  2 PL  6000
ht  
F1 P1  P1 t F1 P2  P2 t
e 
e ,


F2 P1 
F2 P2 
F1 P1  1000

 0,167 ,

6000
F2 P1 
F1 P2   5000

 0,833 .


6000
F2 P2 
ht   0,167  0,833e 150000t -переходная характеристика.
Расчёт импульсной характеристики:
R2  jL
R2  PL
R1

 1
R1  R2  jL R1  R2  PL
R1  R2  PL
R  R2
,
P1   1
P1  150000
L
F2/ P   L  0,04 .
F1 P  R1  5000 ;
K P  
k t  
F1 P1  P1 t
 e ; k 2 (t )   (t )  125000  e 150000t .
F2 P1 
2. Определение откликов первой и второй схем на воздействие
заданного сигнала методом интеграла Дюамеля.
 Um

t , если 0  t  
S (t )   
0,
если t  
  ht   d
S t вых  S 0вх ht    S вх
t
0
Для схемы №2:
ht   1  0,556  e 95238t
U вых1 (t ) 

Um

Um

t
 h(t   ) d 
0
t  5,838 10
6
Um

t
95238( t  )
d 
 1  0,556  e
0
 5,838  10 6 е 95238t
Um

  5,838 10
6
е 95238( t  )

t
0


В интервале времени t   :
U вых2 (t ) 

Um

Um


 h(t   ) d  S  h(t   ) 
0
  5,838 10
6
Um

  5,838  10

6
е 95238( t  )
е 95238( t  )  5,838  10 6 е 95238t  S  h(t   )


0
 S  h(t   ) 
Отклик схемы №2.
Для схемы №8:
ht   0,167  0,833e 150000t
U вых1 (t ) 

Um

Um

t
 h(t   ) d 
0
0,167t  5,55 10
6
Um

t
 0,167  0,833  e
150000( t  )
d 
Um
0
 5,55  10 6 е 150000t

0,167  5,55 10
6
е 150000(t  )

В интервале времени t   :
U вых2 (t ) 

Um

Um


 h(t   ) d  S  h(t   ) 
0
0,167  5,55 10
6
Um

0,167  5,55 10

6
е 150000(t  )
е 150000(t  )  5,55  10 6 е 150000t  S  h(t   )
Отклик схемы №5.


0
 S  h(t   ) 

t
0

3. Определение частотных функций цепей
а). Комплексный коэффициент передачи по напряжению:
K  j  
U в ых
;
U в х
K  j   A   jB  ,
где A   ReK  j  ; B   JmK  j ;
в показательной форме K  j   K ( j ) j   .
б). Модуль комплексного коэффициента передачи АЧХ:
K  j  
A   B  .
2
2
в). Аргумент комплексного коэффициента передачи ФЧХ:
    arctg
B
(берется главное значение угла).
A
4. Групповое время запаздывания ГВЗ:
ГВЗ
0
d  

d
.
Для схемы №2.
Z1 ( P) 
jR1 L
;
R1  jL
Z 2 ( P )  R2 ;
Z2
R2 R1  jL 
R22 R12   2 R2 L2 ( R1  R2 )
K1  j  



Z1  Z 2 R1 R2  jLR2  R1  R12 R22   2 L2 ( R1  R2 ) 2
j
R22 LR1  LR1 R2 ( R1  R2 )
R12 R22   2 L2 ( R1  R2 ) 2
A( ) 
R22 R12   2 R2 L2 ( R1  R2 )
R12 R22   2 L2 ( R1  R2 ) 2
B( ) 
R22 LR1  LR1 R2 ( R1  R2 )
R12 R22   2 L2 ( R1  R2 ) 2
K  j  
A   B   R2
2
2
R12   2 L2
- (АЧХ).
R12 R22   2 L2 ( R1  R2 ) 2


LR12
B

 - (ФЧХ).
    arctg  arctg 
2
2 2
A
R
R


L
(
R

R
)
1
2 
 2 1


LR12  2 L2 ( R1  R2 )  R12 R2
d  
ГВЗ 0 
 2
d
R1   2 L2 R12 R22   2 L2 ( R1  R2 ) 2



Для схемы №8.
Z 1  R1 ;
Z 2  R2  jL;
K 1  j  

Z2
R2  jL
( R  jL)( R1  R2  jL) R2 ( R1  R2 )   2 L2

 2


Z1  Z 2 R1  R2  jL
( R1  R2 ) 2   2 L2
( R1  R2 ) 2   2 L2
jLR1
( R1  R2 ) 2   2 L2
R2 ( R1  R2 )   2 L2
A( ) 
( R1  R2 ) 2   2 L2
B( ) 
LR2
( R1  R2 ) 2   2 L2
K  j  
- (АЧХ).
A   B  
2
2
R1 R2  2 R2 R1  2 R1 R2 2 L2  R2  3 2 L2 R2   4 L4
2
2
3
4
( R1  R2 ) 2   2 L2
2
    arctg

LR2
B
 arctg
2 2
A
 R2 ( R1  R2 )   L
 LR2 ( R2 ( R1  R2 )   2 L2 )  2L2 LR2  
 

2 
( R2 ( R1  R2 )   2 L2 ) 2

 

LR2

1  
2 2 
 R2 ( R1  R2 )   L 
LR2 ( R2 ( R1  R2 )   2 L2 )  2L2 LR2 
d  
ГВЗ 0 

d


 - (ФЧХ).


R ( R
2
1
 R2 )   2 L2
1

2
  2 L2 R22
4. Связь между импульсной и частотной функциями цепи
Связь между импульсной k(t) и частотной K(jω) функциями цепи
устанавливается следующим образом:

K  j    k t e  jt dt;
o
1
k t  
2

 K  j e
jt
dt ,

т. е. K(jω) и k(t) связаны между собой соотношениями прямого и
обратного преобразований Фурье.
Для схемы №2.
K1  j  
Z2
R2 R1  jL 

Z1  Z 2 R1 R2  jLR2  R1 
Заменим
K1  j  
P1  
j
на P :
Z2
R2 R1  PL

Z1  Z 2 R1 R2  PLR2  R1 
R1 R2
, P1  95238.
LR1  R2 
F1 P  R2 R1  PL  100000080 ;
R2
 0,444
R1  R2
k (t )  0,444   (t )  52950  e 95238t .
F2/ P   LR2  R1   1890 .
Импульсная характеристика, полученная в данном пункте, сошлась с
импульсной характеристикой, получившейся в пункте №1.
Для схемы №8.
K 2  j  
Заменим
Z2
R2  jL

Z1  Z 2 R1  R2  jL
j
на P :
R2  jL
R2  PL
R1

 1
R1  R2  jL R1  R2  PL
R1  R2  PL
R  R2
,
P1   1
P1  150000
L
F2/ P   L  0,04 .
F1 P  R1  5000 ;
K P  
k t  
F1 P1  P1 t
 e ; k 2 (t )   (t )  125000  e 150000t .
F2 P1 
Импульсная характеристика, полученная в данном пункте, сошлась с
импульсной характеристикой, получившейся в пункте №1.
5. Определение А-параметров первой и второй схем.
Для схемы №2.
R1=15 кОм
L=0,07 Гн
R2=12 кОм
Схема замещения.
Z1   
jR1 L
R1  jL
Z 2  R2
A1 _ 11    1 
A1 _ 11  1 
Z1 ( )
;
Z 2  
jR1 L
jL( R1  R2 )  R1 R2
;

R1  jLR2
R1  jLR2
A1 _ 12    Z 1   ,
A1 _ 12   
jR1 L
,
R1  jL
A1 _ 21   
A1 _ 21   
1
,
R2
1
Z 2  
,
Матрица А схемы №2:
 jL( R1  R2 )  R1 R2

R1  jL R2
A
1


R2

jR1 L 

R1  jL 
.

1


А1 _ 22  1 .
Для схемы №8.
R1=5 кОм
L=0,04 Гн
R2=1 кОм
Схема замещения.
Z 2    R2  jL
Z1  R1
A1 _ 11    1 
A1 _ 11  1 
Z1
Z 2  
;
R1
R  jL  R1
;
 2
R2  jL
R2  jL
A1 _ 12    Z 1   ,
A1 _ 12    R1 ,
A1 _ 21   
A1 _ 21   
1
Z 2  
,
Матрица А схемы №8:
 R2 

R2
A

 R
2

jL  R1
 jL
1
 jL

R1 
.

1

1
,
R 2  j L
А1 _ 22  1 .
6. Составление схемы сложного 4-полюсника путём каскадного
соединения схем 1 и 2 и вычисление его А – параметров.
 A   A12  
A     11
,
 A21   A22  
 A   A1_12    A2_11   A2_12  
A     1_11
 

 A1_ 21   A1_ 22    A2_ 21   A2_ 22  
R1=15 кОм
R3=5 кОм
L1=0,07 Гн
L2=0,04 Гн
R2=12 кОм
R4=1 кОм
A11   A1_11   A2_11   A1_12    A2_21  
 jL1 ( R1  R2 )  R1 R2

R1  jL1 R2
A1  
1


R2

 R4  jL2  R3

R4  jL2
A2  
1

 R  jL
4
2

jR1 L1 

R1  jL1 

1



R3 


1

 jL1 ( R1  R2 )  R1 R2  R4  jL2  R3   jR1 L1 

1

  


A11 ( )  
R1  jL1 R2  R4  jL2   R1  jL1  R4  jL2 

 7,5  1010  3 2  j  1,45  10 6
 0,75
j  2,5  10 4 3,75  10 5  j





A12    A1 _ 11    A2 _ 12    A1 _ 12    A2 _ 22  




 jL1 ( R1  R2 )  R1 R2 
 jR1 L1 
j  7  5  10 5




A12 ( )  
R 
 3750
R1  jL1 R2  3  R1  jL1 
3,75  10 5  j

A21    A1 _ 21    A2 _ 11    A1 _ 22    A2 _ 21  
A21 ( ) 
1
R2
 R4  jL2  R3  

 5  j  1,1  10 5 
1

  
  7,5

4
 2,5  10  j 
 R4  jL2   R4  jL2 
A22    A1_21    A2_12    A1_22    A2_22  
A22 ( ) 
R3
17
1 
R2
12
7. Вычисление частотных функций сложного 4-полюсника
Комплексный коэффициент передачи K  j  выражается через Апараметры следующим образом:
K  j  
Zн
.
A11 Z н  А12
Неравномерность АЧХ в полосе пропускания  н   в определяется
как разность K  j  max  K  j  min  K , при этом K может быть выражено в
разах или в дБ (20lg ∆ k/).
Условие
неискаженной
передачи
сигналов
формулируется
следующим образом: для неискаженной передачи сигнала с полосой,
ограниченной в интервале  н   в , модуль комплексного коэффициента
передачи 4-полюсника K  j  в заданном интервале не должен зависеть от
частоты и равен некоторой постоянной величине K 0 ; ФЧХ    должна
изменяться
пропорционально
частоте
    t 0 ;
ГВЗ
должно
быть
постоянным
K  j  
2100  j800

 7,5  10  3  j  1,45  10 6 
j  7  5  10 5
 0,75




2100

j
800

3750
j  2,5  10 4 3,75  10 5  j 
3,75  10 5  j


10

2



113 2  7,03 1010
K  j   18
 2 3  7,42 105  2  8 109   1,6 1015




Амплитудно-частотная характеристика
ωн=10 Гц
ωв=120000 Гц
K =0,06
    arctg
B
A
Фазо-частотная характеристика.
ГВЗ 0 
d  
d
Групповое время запаздывания.
8. Вычисление характеристических и входного сопротивлений.
Характеристические сопротивления 4-полюсника зависят от его
параметров и определяются следующим образом:
Z c1 
A11 A12
;
A21 A22
A22 A12
;
A21 A11
Z c2 
Z вх 
A11 Z н  А12
.
А21 Z н  А22
Здесь Z c1 - характеристическое сопротивление со стороны входа;
Z c2 - характеристическое сопротивление со стороны выхода.
Расчет ведем для 0  10472 Гц.

 7,5  1010  3 2  j  1,45  10 6   3750  j  7  5  10 5  
 0,75
 j  2,5  10 4 3,75  10 5  j   3,75  10 5  j    3771,6  j506,7 Ом
Z c1  
  5  j  1,1  10 5   17
 7,5

  2,5  10 4  j   12

 
Z c2 


17 
j  7  5  10 5
 3750
12 
3,75  10 5  j
  5  j  1,1  10 5
 7,5
  2,5  10 4  j
 
Z вх 
 
 7,5  1010  3 2  j  1,45  10 6
  0,75

j  2,5  10 4 3,75  10 5  j
 
2100  j800  0,75  7,5 10




 
 




  17
  

 2,5 10  j   12

2100  j800 7,5 5  j 14,110

5
Собственные параметры 4-полюсника
Постоянная передачи:


 898,5  j 335,7 Ом
    3750  j  7  5 10  
   3,75 10  j    3908,84  j 473,47 Ом
 3 2  j 1,45 10 6
j  2,5 10 4 3,75 10 5  j
10

 
5
5
g  a  jb ,
где a - собственная
постоянная затухания 4-полюсника, b -
собственная постоянная фазы.
g  ln


g  ln 



A11 A22  A12 A21 ,


 7,5  1010  3 2  j  1,45  10 6
 0,75
j  2,5  10 4 3,75  10 5  j






j  7  5  10 5
  3750
3,75  10 5  j


  7,5 5  j 1,1 10
   2,5 10  j
  17  
5
4
 12 
 

   3,66  j 0,45


Рабочее затухание 4-полюсника
aр  a  ln
где Pвн 
Z вн  Z c1
2 Z вн Z c1
Z н  Z c2
 ln
2 Z н  Z c2
 ln 1  Pвн Pн e 2 g ,
Z вн  Z c1
Z  Z c2
; Pн  н
- коэффициенты несогласованности на
Z н  Z c2
Z вн  Z c1
входе и выходе 4-полюсника соответственно.
Вносимое затухание 4-полюсника
aв  a  ln
Z вн  Z c1
2 Z вн Z c1
 ln
Z н  Z c2
2 Z н Z c2
 ln 1  Pвн Pн e 2 g  ln
Z вн  Z н
2 Z вн Z н
.
1. Вычисление затуханий при
Z вн  Z c1 , Ом;
Z н  Z c2 , Ом.
При согласованной нагрузке коэффициенты несогласованности
соответственно равны:
Pв н 
Z в н  Z c1
,
Z в н  Z c1
Pвн  0 ,
Pн 
Z н  Z c2
,
Z н  Z c2
Pн  0 ,
рабочее затухание
а p  а  ln
Z вн  Z c1
2 Z вн  Z c1
 ln
Z н  Z c2
2 Z н  Z c2
 ln 1  Pвн Pн e 2 g , Неп;
а р  3,66  ln
3771,6  j506,7  3771,6  j506,7
898,5  j335,7  898,5  j335,7
 ln

2  3771,6  j506,7 
2  898,5  j335,7 
 ln 1  3,66 Неп
вносимое затухание
а ВН  а p  ln
Zвн  Z н
2 Z в нZ н
а ВН  3,66  ln
, Неп.
3771,6  j506,7  898,5  j335,7
2 3771,6  j506,7 898,5  j335,7 
 3,445 Неп
Вычисление затуханий при заданных Z вн и Z н .
Pв н 
Z ВН  Z c1
Z в н  Z c1
,
Pн 
Zн  Zc 2
Zн  Zc 2
,
Рвн 
Pн 
400  3771,6  j506,7
 0,955  j 0,011
400  3771,6  j506,7
2100  j800  898,5  j335,7
 0,213  j 0,28
2100  j800  898,5  j 335,7
рабочее затухание
а p  а  ln
а p  3,66  ln
Z вн  Z c1
2 Z вн Z c1
 ln
Z н  Z c2
2 Z н Z c2
400  3771,6  j 506,7
2 400  3771,6  j 506,7 
 ln 1  Pвн Pн e 2 g , Неп;
 ln
2100  j800  898,5  j 335,7
2 2100  j800 898,5  j 335,7 
 ln 1   0,955  j 0,0110,213  j 0,28e  2 3, 66 j 0, 45  6,058 Неп
вносимое затухание
авн  а p  ln
Z вн  Z н
2 Z вн Z н
авн  6,058  ln
, Неп.
400  2100  j800
2 400  2100  j800
 5,309 Неп.

9.
Представление
периодического
сигнала
в
виде
в
виде
тригонометрического ряда Фурье
Представление
периодического
сигнала
S t 
тригонометрического ряда Фурье имеет вид:

S t   C 0  2 C n cosnt   n  ,
n 1
2
; T - период повторения сигнала; T  2
T
где  
T
1 2
C0 
S t dt - величина постоянной составляющей сигнала;
T T 2
1
Cn 
T
T
2
 S t e
 jn1t
dt - амплитуды соответствующих n гармонических
T 2
составляющих сигнала.
1T
1T
1T
 jnt
C   S (t )e
dt   S (t ) cos( nt )dt   S (t ) sin( nt )dt
n T
T0
T0
0
Вычислим коэффициенты ряда:

1 U
1 Um 2
C0   m tdt 
t
T 0 
T 4


0
1 Um 2
  1,5 ,
4 
 U  jnt  t
1T
U   jnt
1
 jnt

C   S (t )e
dt 
te
dt   e
 2 2

n T
3 0
  jn n 
 3
0
U  2 jn   2
1  U




e
 2 2    2 2 2 
2
  2 jn n   2  4 n  


  
 0
Запишем тригонометрический ряд Фурье в виде:

S t   1,5  2 
n  
U  2 jn   2
1

e
 2 2
2
  2 jn n 
 U
 
 2



 2 2 2  cosnt   n 
 4 n  
10. Вычисление амплитудного и фазового спектра периодического
сигнала
Амплитудным спектром периодического сигнала является множество

модулей комплексных коэффициентов C n .
Фазовым спектром периодического сигнала является множество

аргументов комплексных коэффициентов C n .
Спектральной диаграммой называется графическое изображение
амплитудного или фазового спектра.
В качестве спектральных составляющих будем брать коэффициенты
тригонометрического ряда Фурье, где модуль C n удваивается.
Отметим, что коэффициенты C n существуют только в точках,
кратных n , n  0,1 и т. д.
11. Вычисление спектральной функции одиночного сигнала
Спектральной функцией одиночного сигнала S t  является функция
S  j  , полученная путем выполнения над сигналом операции прямого
преобразования Фурье.

S ( j ) 
 S t e
 jt
dt .


S  j   
0
U

te  jt dt 
Эффективная ширина спектра  э   в   н определяется как интервал
частот, в котором заключено не менее 90% энергии сигнала.В соответствии с
теоремой Релея полная энергия сигнала Э выражается через спектральную
функцию сигнала следующим соотношением:
Э
1


 S  j 
2
d  244,4  10 .
Соответственно 0,9 Э=
6
0
следовательно,
в

1

в
 S  j 
2
d ,
0
2
0,9  S  j  d   S  j  d  220  10 6
2
0
0
12. Спектральный (частотный) метод анализа
Этот метод позволяет определить спектральную функцию отклика
линейной цепи S  j вых , заданной комплексным коэффициентом передачи
K  j  при известной спектральной функции входного сигнала S  j  вх :
S  jwвх
S  jwвых
K(jw)
S  j вых  S  j вх  K  j  .
1. Вычислим S  j  вх :

S  j вх  
0
U

te  jt dt .
2. Вычислим частотную функцию цепи:
113 2  7,03 1010
K  j   18
 2 3  7,42 105  2  8 109   1,6 1015
3. Вычислим S  j вых :
S  j вых  K  j   S  j вх