Лекция 5-2. Средние величины и показатели вариации (продолжение)

Лекция 5-2. Средние величины и показатели вариации
(продолжение)
Абсолютные показатели вариации
Абсолютные показатели вариации непосредственно характеризуют изменчивость
исследуемой совокупности, тогда как относительные показатели вариации являются
результатом сопоставления абсолютных показателей.
В состав абсолютных показателей вариации включаются:
Размах вариации (R), отражает пределы изменчивости признака или, другими словами,
амплитуду вариации. Размах вариации рассчитывается как разность между максимальной
величиной признака (xmax) и минимальной величиной признака (xmin), т.е. по формуле:
R  X max  X min
Размах вариации всегда выражается в единицах измерения того признака, степень
колеблимости которого он отражает.
Средние величины. Понятие средней величины и значение метода средних величин.
Значения, отображающие размер признака общественного явления, различаются
между собой, и это, как указывалось выше, называют вариацией явления. С другой
стороны, различные элементы принадлежат одному и тому же явлению, оказывают
влияние друг на друга, поэтому значения признаков у таких элементов сближаются, что
дает возможность рассматривать их как единую совокупность.
Для исследования совокупности, обладающей различными значениями признака у
отдельных ее единиц, необходимо иметь единую типическую для совокупности величину
признака, позволяющую анализировать совокупность и сравнивать динамические
изменения в совокупности. Для этого применяется средняя величина.
Средняя величина рассчитывается только по количественным признакам.
Тогда, средняя величина это:
1) наиболее типичное для совокупности значение признака;
2) объем признака совокупности, распределенный поровну между единицами
совокупности.
Признак, для которого рассчитывается средняя величина, в статистике называется
_
«осредняемый». Среднюю величину принято обозначать как x . Важно отметить, что в
процессе осреднения совокупное значение уровней признака или конечное его значение (в
случае расчета средних уровней в ряду динамики) должно оставаться неизменным.
Другими словами, при расчете средней величины объем исследуемого признака не должен
быть искажен, и выражения, составляемые при расчетах средней, обязательно должны
иметь смысл.
Средняя величина имеет двойственный характер: с одной стороны она
характеризует совокупность в целом, а с другой стороны, она относится к единице
совокупности, и также является характеристикой единицы совокупности. Например,
средний объем грузов, перемещенный одним транспортным средством некоторого
автопарка за период времени. Он рассчитывается путем соотнесения объема всех грузов,
перемещенных всеми средствами данного автопарка за период времени, к общему числу
транспортных средств, занимавшихся перемещением грузов. Этот показатель
характеризует эффективность деятельности автопарка, но относится к одному
транспортному средству.
Средняя величина может принимать такие значения, которые не присущи
непосредственно ни одному из элементов изучаемой совокупности. Кроме того, на
практике часто средняя величина для дискретного признака выражается как для
непрерывного. Например, среднее число родившихся на каждую тысячу населения в
регионе: в регионе имеются несколько населенных пунктов, в каждом из которых
складывается собственный уровень рождаемости. Чтобы рассчитать среднюю
рождаемость по региону необходимо численность всех родившихся младенцев соотнести
с численностью населения и умножить на 1000.
Результат расчета средней величины по данному показателю может выражаться в
дробных числах, несмотря на то, что показатель «число родившихся» является целым
числом.
Средняя величина являются равнодействующей всех факторов, оказывающих
влияние на изучаемое явление. То есть, при расчете средних величин взаимопогашаются
влияние случайных факторов и, таким образом, возможно определение закономерности,
присущей исследуемому явлению. Адольф Кетле подчеркивал, что значение метода
средних величин состоит в возможности перехода от единичного к общему, от случайного
к закономерному, и существование средних величин является категорией объективной
действительности. «Понятие о средней величине существует вне науки, которая только
придает ему определенность и точность».
Значения исследуемого признака принимают различные размеры, находящиеся в
определенном интервале. То есть существует возможность говорить о распределении
размеров признака, подверженном влиянию целого ряда факторов. Тогда средняя
величина является показателем центра распределения.
Необходимо подчеркнуть важность понимания средней величины как центра
распределения, так как на этом основывается дальнейший статистический анализ.
Условия применения средних величин в анализе
Обязательным условием расчета средних величин для исследуемой совокупности
является ее однородность. Действительно, допустим, что отдельные элементы
совокупности, вследствие подверженности влиянию некоторого случайного фактора,
имеют слишком большие (или слишком малые) величины изучаемого признака,
существенно отличающиеся от остальных. Такие элементы повлияют на размер средней
для данной совокупности, поэтому средняя не будет выражать наиболее характерную для
совокупности величину признака.
Если исследуемое явление не является однородным, то его разбивают на группы,
содержащие только однородные элементы. Для такого явления рассчитываются сначала
средние по группам, которые называются групповые средние, – они будут выражать
наиболее типичную величину явления в каждой группе.
Затем рассчитывается для всех элементов общая средняя величина,
характеризующая явление в целом, – она рассчитывается как средняя из групповых
средних, взвешенных по числу элементов совокупности, включенных в каждую группу.
На практике, однако, безусловное выполнение данного условия повлекло бы за
собой ограничение возможностей статистического анализа общественных процессов.
Поэтому, часто средние величины рассчитываются по неоднородным явлениям.
Например, при расчете величины средней заработной платы по Тюменской
области, когда совместно анализируется заработная плата труда в автономных округах и в
южных районах Тюменской области, а затем полученный средний уровень заработной
платы труда сопоставляется с соседними сибирскими регионами.
Еще одним важным условием применения средних величин в анализе является
достаточное количество единиц в совокупности, по которой рассчитывается среднее
значение признака. Достаточность анализируемых единиц обеспечивается корректным
определением границ исследуемой совокупности, т.е. закладывается еще на начальном
этапе статистического исследования. Данное условие становится решающим при
применении выборочного наблюдения, когда необходимо обеспечить репрезентативность
выборки.
Определение максимального и минимального значения признака в изучаемой
совокупности также является условием применения средней величины в анализе. В случае
больших отклонений между крайними значениями и средней, необходимо проверить
принадлежность экстремумов к исследуемой совокупности. Если сильная изменчивость
признака вызвана случайными, кратковременными факторами, то, возможно, крайние
значения не характерны для совокупности. Следовательно, их следует исключить из
анализа, т.к. они оказывают влияние на размер средней величины.
Виды средних величин, способы их вычисления
В статистике выделяют несколько видов средних величин:
По наличию признака-веса:
 Не взвешенная средняя величина;
 взвешенная средняя величина.
Если средняя величина рассчитывается для признака, без учета влияния на него
каких-либо других признаков, то такая средняя величина называется средней не
взвешенной или простой средней.
Если имеются сведения о влиянии на осредняемый признак некоторого признака
или нескольких признаков, которые необходимо учесть при расчете для корректного
расчета средней величины, то рассчитывается средняя взвешенная.
По форме расчета:
 средняя арифметическая величина;
_
 xi
x
n
 средняя гармоническая величина;
_
n
h
1
x
i
 средняя геометрическая величина;
_
gk
x
i

средняя квадратическая, кубическая и т.д. величины.
По охвату совокупности:


групповая средняя величина;
общая средняя величина.
Рассмотрим подробнее отдельные виды средних величин:
Выбор формы средней обусловлен исходным соотношением, суть которого
приводилась выше. Существует порядок расчета средней величины:
1. Определение исходного соотношения для исследуемого показателя.
2. Определение недостающих данных для расчета исходного соотношения.
3. Расчет средней величины.
Средняя арифметическая величина
Средняя арифметическая величина – наиболее характерная форма средней, на
примере которой можно выявить все свойства средней.
Формула расчет средней арифметической величины имеет следующий вид:
_
 xi
x
n
Такая средняя величина называется средней арифметической простой
(невзвешенной).
Данная форма средней величины является наиболее распространенной. Она
получается путем соотношения суммарного объема индивидуальных значений признака
каждого элемента совокупности и числа элементов совокупности. Средняя
арифметическая невзвешенная применяется в том случае, если имеются сведения об
объеме осредняемого признака.
Средняя арифметическая взвешенная величина
_
 xi f i
x
 fi
Если имеются сведения о количестве или доле единиц совокупности с тем или иным
значением осредняемого признака, то рассчитывается средняя арифметическая
взвешенная.
xi – индивидуальные значения осредняемого признака у отдельных единиц совокупности;
fi – значения признака-веса для каждой единицы совокупности.
В зависимости от осредняемых данных выделяют несколько случаев применения средней
арифметической взвешенной величины:


расчет средней арифметической взвешенной в случае, если осредняемый признак
выражен в абсолютных величинах, а признак-вес представлен первичным
показателем;
расчет средней арифметической взвешенной в случае, если осредняемый признак
представлен в интервальном виде, т.е. когда данные, находящиеся в числителе
исходного соотношения, рассчитываются следующим образом: сначала
определяются середины интервалов; затем серединное значение для каждого
интервала умножается на значение признака-веса для этого интервала (fi);


полученные произведения суммируются ( ). Полученный таким образом числитель
соотносится с суммой значений признака-веса.
расчет средней арифметической взвешенной, если в качестве осредняемого
признака принимается удельный вес (т.е. когда совокупность поделена на
подгруппы, в каждой из которых определено количество единиц, обладающих
изучаемым признаком, доля таких единиц в общей численности подгруппы, и
необходимо рассчитать среднее значение доли во всех подгруппах ( )):
представленное в абсолютном выражении количество единиц j-ой подгруппы,
обладающих изучаемым признаком;
i = 1, 2, 3…n – количество всех единиц j-ой подгруппы;
k – количество подгрупп в совокупности;
То есть, если при расчете других средних арифметических взвешенных соотносились
различные показатели, то средний удельный вес сохраняет те же показатели, которые
применялись для расчета индивидуального значения удельного веса. Кроме того, при
расчете удельного веса оба соотносимых показателя должны выражаться в абсолютных
величинах. Если же необходимые данные отсутствуют, то следует привести показатели к
сопоставимому виду.