Непрерывные и дискретные случайные величины

Теория вероятностей
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Непрерывные и дискретные случайные величины.
Плотность и закон и распределения случайной величины.
Математическое ожидание, дисперсия, мода, асимметрия, эксцесс.
Основные распределения случайных величин.
Закон больших чисел. Предельные теоремы.
Системы случайных величин.
Обработка статистических данных.
Непрерывные и дискретные случайные величины
Случайной величиной X называется переменная величина,
принимающая в зависимости от случая те или иные значения с
определенными вероятностями. Если случайная величина может принимать
любые значения на интервале a, b , то она называется непрерывной на этом
отрезке. Если различные значения случайной величины X образуют
конечную или бесконечную последовательность значений x1 , x2 ,, xn , с
вероятностями p1 , p2 ,, pn , , то они называются дискретными Важнейшей
характеристикой случайной величины служит ее распределение
вероятностей.
Плотность и функция распределения случайной величины
Для непрерывной случайной величины такой характеристикой служит
плотность вероятности - неотрицательная функция px на числовой
прямой, что для любого интервала a, b
b
Pa  X  b    px dx

 px dx  1.
и

a
Плотность вероятности может быть введена для дискретной случайной
величины равенством
n
px    pi x  xi  ,
i 1
где  x  -  -функция (функция Дирака, определяемая равенствами)
0, x  0
 x   
и
, x  0

  x dx  1 .

Из определения  -функции следует, что для любой непрерывной функции
 x выполняется

  x  x dx   0 .

Наряду с плотностью вероятности для характеристики распределения
случайной величины используют функцию распределения, определяемую
равенством
F x   P X  x  
x
 px dx .

2
Для непрерывных случайных величин отсюда следует, что
px  
dF
.
dx
px
F x 
x
x
Для непрерывной случайной величины функция F x  монотонно
возрастающая.
F x 
1
x
Для дискретной случайной величины функция распределения может
быть записана с учетом свойств  -функции
F x   P X  x  
x
n
  p  x  x dx .
  i 1
i
i
Откуда
x  x1
0,
k

F x    pi xi , x k  x  x k 1
 i 1
0,
x n  x.
Графически функция распределения дискретной случайной величины
изображается ступенчатой функцией.
Математическое ожидание, дисперсия, мода, асимметрия, эксцесс
3
Для характеристики распределения случайной используют различные
численные характеристики. К ним, в частности, относятся моменты
случайной величины различных порядков.
Моментом случайной величины k -го порядка называется число

   x px dx .
M Xk 
k

С учетом свойств  -функции для дискретной случайной величины
имеем
M X k    x k p k .
n
i 1
Момент первого порядка называется математическим ожиданием или
ее средним значением
M X  

n
 xpx dx
или M  X    xpk .
i 1

Центральным
называется число
моментом
k 
случайной
величины
k -го
порядка

 x  M  X  px dx .
k

Дисперсией случайной величины называется центральный момент
второго порядка. Т.е.
D X  

2
 x  M  X  px dx или

n
D X     x  M  X  p k .
2
i 1
Среднеквадратичным отклонением называется величина
  D X  .
Модой случайной величины называется наиболее вероятное
значение M . Для непрерывной случайной величины это то ее значение, при
котором плотность вероятностей максимальна.
Медианой случайной величины называется такое ее значение  , при
котором одинаково вероятно окажется ли случайная величина больше или
меньше  . Т.е. P X     P X    .
Ассиметрией распределения называется число
S
3
,
3
которое характеризует симметрию графика плотности вероятностей
Эксцесс характеризует степень остроты графика плотности
вероятностей и определяется выражением
E
4
3.
4
Основные распределения случайных величин
Равномерным распределением называется такое распределение случайной
4
величины на отрезке a, b , при котором плотность вероятности на этом
отрезке постоянна. Т.е.
xa
0,
 1

px   
, a xb
b  a
x  b.
0,
Пример 1. Все значения равномерно распределенной случайной
величины лежат на отрезке 2,8 . Найти вероятность попадания случайной
величины в промежуток 3,5 .
Из определения плотности вероятностей
5
P3  X  5   px dx ,
3
где
x2
0,
 1

px   
, 2 x8
8  2
x  8.
0,
Откуда
5
1
1 5 1
P3  X  5   dx  x 3  .
6
6
3
3
Показательным распределением случайной величины называется
распределение, плотность вероятностей которого записывается формулой
x0
0,
p x    
 e , 0  x.
При этом функция распределения
x0
0,
F x   
x
1  e , x  0.
При показательном распределении
M X  
1

D X  
,
1
2
.
Нормальным распределением случайной величины называется
распределение, плотность вероятностей которого записывается формулой
px  
1
 2

2
 xa
e

2  
2
1
2 D

e
2
 xM  X 

2 D 
.
Нормальное распределение случайной величины задается ее средним
значением и дисперсией. При этом математическое ожидание, мода и
медиана совпдают, а асимметрия и эксцесс равны нулю.
Вводя в рассмотрение функцию
x  
1
2
x
e
0

t2
dt
2
- функция Лапласа (функция ошибок),
5
вероятность попадания в интервал a, b случайной величины распределенной
по нормальному закону определяется по формуле
 b  M x  
 a  M x  
Pa  X  b   
  
.






Функция Лапласа обладает свойствами:
1. 0  0 .
2.   1.
3.  x  x .
Функция нормального распределения записывается в виде
F x  
1
 xa
 
 .
2
  
С помощью функции Лапласа определяется и вероятность отклонения
нормально распределенной случайной величины от среднего значения
 
P X  a     2  .
 
При   3 имеем: P X  a  3   23  2  0,49865  0,9973 .
Это правило «трех сигма». Вероятность близка к единице, т.е. событие
практически достоверно.
Пример 2. Диаметр изготавливаемой детали является нормально
распределенной случайной величиной с параметрами a  4,5см и   0,05см .
Найти вероятность того, что размер взятой наугад детали отличается от
среднего не более, чем на 1мм .
Используя формулу для вероятности отклонения
 0,1 
P X  a  0,1  2
  22  2  0,4772  0,9544 .
 0,05 
Закон больших чисел. Предельные теоремы
Системы случайных величин
Если результаты опыта описываются не одной случайной величиной, а
несколькими - X 1 , X 2 ,, X n , то говорят, что они образуют систему
случайных величин  X 1 , X 2 ,, X n  .
Систему двух случайных величин  X , Y  можно изобразить случайной
точкой на плоскости. Распределение случайных величин задается с помощью
совместной плотностью вероятности f x, y  . Вероятность попадания
случайной точки в область D определяется равенством
P X , Y   D    f x, y dxdy .
D
Функция f x, y  обладает свойствами:
1. f x, y   0 .
 
2.
  f x, y dxdy  1 .
  
6
Используя свойства  -функции плотность совместного распределения
системы двух случайных величин можно записать равенством
f x, y    pij x  xi  y  y j  .
n
n
i 1 j 1
Математическое ожидание непрерывных и дискретных случайных
величин определяется равенствами
M X  
 

 xf x, y dxdy ,
M Y  
  
 
  yf x, y dxdy
  
и
n
n
n
M  X    xi pij ,
n
M Y    y j pij .
i 1 i 1
i 1 k 1
Точка M  X , M Y  называется центром рассеивания случайных величин.
Дисперсии случайных величин определяются равенствами
D X  
 
2
  x  M  X  f x, y dxdy ,
DY  
  
 
   y  M Y  f x, y dxdy
2
  
и
n
n
D X     xi  M  X  pij ,
2
i 1 i 1
DY     y j  M Y  pij .
n
n
2
i 1 k 1
Важное значение в теории систем случайных величин играет
корреляционный момент (ковариация)
С xy  M  X  M  X Y  M Y  
 
  x  M  X  y  M Y  f x, y dxdy
  
и для дискретных случайных величин
C xy    xi  M  X  y j  M Y  pij .
n
n
i 1 i 1
Если случайные величины X и Y независимы, то C xy  0 . Для
характеристики связи между величинами X и Y используется также
безразмерный коэффициент корреляции
rxy 
C xy
 x y
, где  x  D X ,  y  DY  - среднеквадратичные отклонения.
Обработка статистических данных
Выборочной
совокупностью
или
(выборкой)
называется
совокупность случайно отобранных однородных объектов
Генеральной совокупностью совокупность всех однородных
объектов, из которых производится выборка.
Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называется
число объектов этой совокупности.
Выборка называется репрезентативной, если она достаточно хорошо
представляет количественные соотношения генеральной совокупности.
Задачей
статистической
обработки
является
определение
характеристик случайных величин на основе полученных выборок.
7
Пусть имеется выборка объема n . Запишем результаты испытаний в
таблицу
i
1
2
1
i
3
3
2


n
n
где  i - значения случайной величины в соответствующем испытании. Среди
них могут быть равные.
Объединив равные значения с учетом числа появлений, построим
таблицу
X
nj
x1
x2
x3

xk
n1
n2
n3

nk
где n j число появлений значений x j j  1,2, , k .
Вводя в рассмотрение относительной частоты w j 
nj
n
значения x j ,
получим статистическое распределение случайной величины в виде таблицы
X
W
x1
x2
x3

xk
w1
w2
w3

wk
Среднее значение случайной величины, заданной статистическим
распределением
k
x   wj x j ,
j 1
Дисперсия
распределением
случайной
величины,
заданной
статистическим
D   w j x j  x  .
k
2
j 1
Если значения случайных величин выборки близки какому-то числу а ,
то формулы вычисления среднего значения и дисперсии могут быть
преобразованы к виду
2
2
x  a  x  a и D  x  a   x  a  .
Пример 3. Найти среднее значение и дисперсию случайной величины,
заданной статистическим распределением
X
nj
13,8
13,9
4
3
14
7
14,1
14,2
6
8
0
0,28
0,1
0,24
0,2
0,2
Все значения X близки а  14 . Тогда
X  14
W
 0,2
0,16
 0,1
0,12
8
x  14   w j x j  14  0,16   0,2  0,12   0,1  0,28  0  0,24  0,1  0,2  0,2  0,02 ,
5
j 1
x  14  0,02  14,02 .
Для определения дисперсии составим таблицу
 X  142
W
0,04
0,01
0,16
0,12
0
0,28
0,01
0,04
0,24
0,2
x  142   w j x j  142  0,16  0,04  0,12  0,01  0,28  0  0,24  0,01  0,2  0,04  0,018 ,
5
j 1
x  14  0,02,
x  14
2
 0,0004 .
Окончательно


D  x  14  x  14  0.018  0,0004  0,0176.
2
2