Занятие 6. Случайные величины и их числовые характеристики

Занятие 6.
Случайные величины и их числовые характеристики
Случайной величиной называют такую величину, значение которой в
результате опыта заранее неизвестно. Примеры случайных величин: количество
студентов, присутствующих на лекции; количество страниц в случайно выбранной
книге; время ожидания общественного транспорта на остановке; температура
окружающей среды.
Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные. Дискретной
называют случайную величину, значения которой принадлежат счетному
множеству – конечному или бесконечному. Непрерывной называют случайную
величину, возможные значения которой принадлежат непрерывному множеству
– ограниченному или неограниченному. Первые две случайные величины в
приведенных выше примерах относятся к дискретным случайным величинам, а
две последующие – к непрерывным. При этом дискретные величины –
конечны и целочисленны; непрерывные величины ограничены.
Для характеристики случайной величины, необходимо знать ее закон
распределения. Закон
распределения случайной
величины
–
это
соотношение, устанавливающее
связь
между
возможными значениями
случайной величины и соответствующими вероятностями.
1. Дискретная случайная величина задается с помощью ряда распределения. Он
представляет собой таблицу, состоящую из двух строк. В первой строке
располагаются в порядке возрастания все возможные значения дискретной
случайной величины. Во второй – соответствующие вероятности.
Например:
xi
2
4
5
10
pi
0,3
0,35
0,25
0,1
В результате опыта дискретная случайная величина должна принять одно
из возможных значений. Поскольку все возможные значения можно
рассматривать как полную группу несовместных событий, то сумма
соответствующих вероятностей обязательно должна быть равна единице
(условие нормировки):
n
p
i 1
i
 1.
2. Непрерывная случайная величина задается с помощью интегральной функции
распределения
вероятности или с помощью плотности распределения
вероятности. Обе формы абсолютно равноправны. Первая характеризует
распределение вероятностей
в зависимости от
диапазона
значений
непрерывной случайной величины, а вторая – от конкретных значений.
Интегральная функция распределения вероятности – это функция, равная
вероятности попадания значений случайной величины в диапазон от минус
бесконечности до некоторого аргумента x :
x
F ( x) 
 f ( x)dx .

Функция f ( x)  F ( x) называется дифференциальной функцией распределения
или плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины.
Для непрерывных случайных величин также существует условие нормировки:

 f ( x)dx  1 .

Например, непрерывная случайная величина может быть задана следующим
образом:
0, x  0
 3
x
F ( x)  
, 0  x  5.
125
1, x  5
Числовые характеристики
случайных
величин
количественно
определяют различные
свойства
случайных
величин. Они
позволяет
проводить сравнительный
анализ
случайных
величин, давать
оценку
ожидаемым результатам опыта, находить связь и определять зависимость
между различными случайными величинами и многое другое. К числовым
характеристикам случайной величины относятся:
• характеристики положения;
• характеристики разброса;
• характеристики формы.
Характеристики положения
Название характеристики Дискретные величины
Непрерывные величины
n

Математическое ожидание.
M ( x )   xi  pi
M ( x)   f ( x)  xdx
Математическое ожидание
i 1

– это
средневзвешенное
по вероятностям значение
случайной величины.
Мода
Модой называют
наиболее вероятное значение
случайной величины.
Бывают унимодальные (с одной модой), полимодальные
(а),
антимодальные (б)
и
безмодальные (в)
распределения.
Медиана
Медианой (Ме) называют такое значение случайной
величины, для которого справедливо равенство:
P( x  Me)  p( x  Me)
Перпендикуляр к числовой оси, проходящий через
медиану, делит площадь, ограниченную графиком
плотности распределения f (x) и числовой осью x ,
на две равные части по 0,5.
Характеристики разброса
Дисперсия.
Дисперсией
D(x) случайной величины
называется математическое
ожидание
квадрата
ее
отклонения
от
математического
ожидания.
Стандартное отклонение

D( x)  M ( x 2 )  M ( x)
2
D( x) 
 f ( x)  x
2
dx  M ( x)
2

 ( x)  D( x)
Характеристики формы
Коэффициент асимметрии.
AS 
M3
, где M 3 - третий
 (x) 3
AS 
M3
 (x) 3
, где
M3
-
центральный
момент, третий
центральный
определяемый по формуле: момент, определяемый по
n
формуле:
3
M 3   ( xi  M ( x))  pi
i 1

M3 
 ( x  M ( x))
3
 f ( x)dx

Если коэффициент асимметрии отрицательный, то
кривая распределения более полога слева от М(Х). Если
коэффициент
As
положительный,
то
кривая
распределения более полога справа.
Эксцесс.
Ek 
M4
3
 ( x) 4
, где M 4 - Ek 
M4
 3 , где M 4  ( x) 4
четвертый
центральный четвертый
центральный
момент, определяемый по момент, определяемый по
формуле:
формуле:

n
M 4   ( xi  M ( x)) 4  pi
i 1
M4 
 ( x  M ( x))
4
 f ( x)dx

Эксцесс служит для сравнения данного распределения с
нормальным, у которого эксцесс равен нулю.
Распределения более островершинные, чем нормальное,
имеют эксцесс Еk > 0, а более плосковершинные –
имеют эксцесс Еk < 0.
Пример 1. Найти числовые характеристики следующей дискретной случайной
величины:
xi
2
4
5
10
pi
0,3
0,35
0,25
0,1
Решение:
1) M ( x)  2  0,3  4  0,35  5  0,25  10  0,1  4,25
2) Мо  4
3) D( x)  2 2  0,3  4 2  0,35  5 2  0,25  10 2  0,1  4,252  5
4)  ( x)  5  2,2
5) M 3  (2  4,25) 3  0,3  (4  4,25) 3  0,35  (5  4,25) 3  0,25  (10  4,25) 3  0,1  15,695
15,695
 1,47
2,2 3
6) M 4  (2  4,25) 4  0,3  (4  4,25) 4  0,35  (5  4,25) 4  0,25  (10  4,25) 4  0,1  117,1
117,1
Ek 
3 2
2,2 4
AS 
Пример 2. Задана следующая непрерывная случайная величина:
0, x  0
 3
x
F ( x)  
,0 x5
125
1, x  5
Определить: математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение.
Решение:
1) найдем функцию плотности вероятности как производную от заданной
интегральной функции распределения
0, x  0
 2
 3x
f ( x)  F ( x)  
,0 x5
125

0, x  5
5
5
3x 2
3
3 x4
3
2) M ( x)  
 xdx 
x
dx



125
125
125
4
0
0
5
5
0

3
(5 4  0 4 )  3,75
500
5
3x 2 2
3
3 x5
2
2
4
3) D( x)  
 x dx  3,75 
x dx  3,75 

125
125 0
125 5
0
5
0
 3,75  0,94
2
4)  ( x)  0,94  0,97
Задания для самостоятельного решения
1. Найти M(x), Mo, D(x),  (x) , эксцесс и коэффициент асимметрии для следующих
случайных величин:
x
2
p
0.05 0.05 0.3 0.2 0.1 0.05 0.05 0.1 0.1
x
12
p
0.05 0.35 0.2 0.2 0.1 0.05 0.05
x
p
4
14
5
5,5
0.05 0,1
5
6
15
16
7
17
6
6,5
0.15 0,4
8
18
10
0.1
9
10
11
19
12
13
15
16
0.05 0.05 0.05 0.05
2. Найти M(x), D(x),  (x) для следующих случайных величин:

0, x  1

 1
f ( x)   3 , 1  x  2
x
0,
x2



1, x  1


F ( x )  2  2 3 , 1  x  2
x

2,
x2

