18.10.2013 Домашнее задание №1 По курсу «Моделирование» Кудряшов Артем ГР. 3121 Постановка задачи и исходные данные. Требуется разработать и рассчитать марковскую модель многоканальной СМО с однородным потоком заявок. В соответствии с полученными результатами требуется выбрать оптимальный вариант построения СМО. Исходные данные: вариант 7/8 Структурные и функциональные параметры систем. Вариант 7 СИСТЕМА_1 СИСТЕМА_2 П ЕН П ЕН 2 3/1 2 2/1 Критерий эф-ти (б )минимальные потери заявок Обозначения : П – число обслуживающих Приборов; ЕН – Емкости Накопителей: X/Y/Z ( X – перед первым прибором, Y – перед вторым прибором, Z – перед третьим прибором). Нагрузочные параметры (сек). Номер варианта 8 Интенс. потока Ср.длит обслуж. Вероятности занятия прибора ... La1 (1/с) b1 (с) П1 П2 0,8 5 0,3 0,7 Описание исследуемых систем. б). Система №1. Двухканальная, поток заявок однородный, накопители ограниченной емкости. Всегда существует стационарный режим, т.к. не может быть бесконечных очередей. а). Система №2. Двухканальная, поток заявок однородный, накопители ограниченной емкости. Всегда существует стационарный режим, т.к. не может быть бесконечных очередей. Перечень состояний для исследуемых систем. А). Система №1. В качестве состояния используем вектор {П1, П2}, где П1={0,1,2,3}, П2={0,1,2}, числа обозначают число заявок в соответствующем приборе. Получим 12 различных состояний. E 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 {П1,П2} {0,0} {1,0} {0,1} {2,0} {1,1} {0,2} {3,0} {2,1} {1,2} {3,1} {2,2} {3,2} Б). Система №2. В качестве состояния используем вектор {П1, П2}, где П1={0,1,2,3}, П2={0,1,2}, числа обозначают число заявок в соответствующем приборе. Получим 15 различных состояний. E 0 1 2 3 4 5 6 7 {П1,П2} {0,0} {1,0} {0,1} {2,0} {1,1} {0,2} {3,0} {2,1} E 8 9 10 11 12 13 14 {П1,П2} {1,2} {3,1} {2,2} {3,2} {4,0} {4,1} {4,2} 4) Графы состояний Система №1 E0 {0, 0} *p1 *p2 E1 {1, 0} E2 {0, 1} *p1 *p2 E3 {2, 0} *p1 E4 {1, 1} *p2 E5 {0, 2} *p1 *p1 E6 {3, 0} E7 {2, 1} *p2 *p2 *p1 *p2 E8 {1, 2} *p2 E9 {3, 1} *p1 E10 {2, 2} *p2 E11 {3, 2} *p1 *p1 Система №2 E0 {0, 0} *p1 *p2 E1 {1, 0} E2 {0, 1} *p1 *p2 E3 {2, 0} *p2 E4 {1, 1} *p2 E5 {0, 2} *p1 *p1 *p1 E6 {3, 0} E7 {2, 1} *p2 E8 {1, 2} *p1 *p1 *p2 E12 {4, 0} *p2 E9 {3, 1} *p2 E13 {4, 1} E11 {3, 2} *p1 E14 {4, 2} *p1 E10 {2, 2} *p1 *p2 *p1 *p1 *p1 5). Матрицы интенсивностей переходов. А). Система №1. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 - * p1 * p2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 - - 0 * p1 * p2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 - - 0 * p1 * p2 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 * p1 * p2 0 0 0 0 4 0 0 0 0 * p1 * p2 0 0 0 5 0 0 0 0 - p1 0 0 * p1 0 0 0 6 0 0 0 0 0 - p2 0 0 * p2 0 0 7 0 0 0 0 0 0 * p1 * p2 0 8 0 0 0 0 0 0 -2 p1 0 * p1 0 9 0 0 0 0 0 0 0 -2 p2 0 * p2 10 0 0 0 0 0 0 0 0 -2 p1 * p1 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2 - - -2 - -2 - Система №2 12 13 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * p1 0 0 0 0 0 0 0 0 * p2 0 p1 0 -2 - p1 * p1 0 0 0 -2 - * p1 0 0 * p1 0 0 0 0 - - p2 * p2 0 0 0 0 0 -2 - p1 * p1 0 0 0 0 0 -2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 - * p1 * p2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 - - 0 * p1 * p2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 - - 0 * p1 * p2 0 0 0 0 0 0 3 0 0 - - 0 0 * p1 * p2 0 0 0 0 4 0 0 -2 - 0 0 * p1 * p2 0 0 0 5 0 0 0 0 - - p1 0 0 * p1 0 0 0 6 0 0 0 0 0 - - 0 0 * p2 0 0 7 0 0 0 0 0 -2 - 0 * p1 * p2 0 8 0 0 0 0 0 0 -2 - p1 0 * p1 0 9 0 0 0 0 0 0 0 -2 - 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 0 0 0 0 0 0 0 13 0 0 0 0 0 0 0 14 0 0 0 0 0 0 0 6). Стационарные вероятности состояний. Номер состояния Система №1 Обозначение 0 E0 1 E1 2 E2 3 E2 4 E4 5 E5 6 E6 7 E7 8 E8 9 E9 10 E10 11 E11 12 13 14 Система №2 Вероятность Обозначение 0,0160 E0 0,0192 E1 0,0448 E2 0,0230 E2 0,0538 E4 0,1255 E5 0,0277 E6 0,0645 E7 0,1506 E8 0,0774 E9 0,1807 E10 0,2168 E11 E12 E13 E14 Вероятность. 0,0116 0,0141 0,0324 0,0175 0,0390 0,0904 0,0231 0,0476 0,1082 0,0613 0,1284 0,1479 0,0331 0,0980 0,1475 9). Расчет характеристик СМО. а). Система №1 Характеристика Нагрузка Загрузка Длина очереди Число заявок Время ожидания Время пребывания Вероятность потери Производительность Прибор П1 П2 Сумм. П1 П2 Сумм. П1 П2 Сумм. П1 П2 Сумм. П1 П2 Сумм. П1 П2 Сумм. П1 П2 Сумм. П1 П2 Сумм. Расчетная формула y1=λ*q1/μ y2=λ*q2/μ y=y1+y2 ρ1=p1+p3+p4+p6+p7+p8+p9+p10+p11 ρ2=p2+p4+p5+p7+p8+p9+p10+p11 ρ=(ρ1+ρ2)/2 l1=p3+2p6+p7+2p9+p10+2p11 l2=p5+p8+p10+p11 L=l1+l2 m1=p1+2p3+p4+3p6+2p7+ +p8+3p9+2p10+3p11 m2=p2+p4+2p5+p7+2p8+p9+2p10+2p11 M=m1+m2 w1=l1/λ'1 w2=l2/λ'2 w=λ'1*w1/λ'+λ'2*w2/λ'=L/λ' u1=m1/λ'1 u2=m2/λ'2 u=M/λ' π1=p6+p9+p11 π2=p5+p8+p10+p11 π=q1*π1+q2*π2 λ'1=λ*q1(1-π1) λ'2=λ*q2(1-π2) λ'=λ'1+λ'2 Результат 1,2000 2,8000 4,0000 0,8137 0,9141 0,8639 0,9120 0,6736 1,5856 1,7257 1,8045 3,5302 5,6039 3,6852 4,5889 10,6038 9,8723 10,2168 0,3219 0,6736 0,5681 0,1627 0,1828 0,3455 Данные λ 0,8000 μ 0,2000 q1 0,3000 q2 0,7000 p0 p1 p2 p3 p4 0,0160 0,0192 0,0448 0,0230 0,0538 p5 p6 p7 p8 p9 p10 p11 0,1255 0,0277 0,0645 0,1506 0,0774 0,1807 0,2168 Система №2 Характеристика Нагрузка Загрузка Прибор П1 П2 Сумм. П1 П2 Длина очереди Сумм. П1 Число заявок П2 Сумм. П1 П2 Время ожидания Время пребывания Вероятность потери Производительность Сумм. П1 П2 Сумм. П1 П2 Сумм. П1 П2 Сумм. П1 П2 Сумм. Расчетная формула y1=λ*q1/μ y2=λ*q2/μ y=y1+y2 ρ1=p1+p3+p4+p6+p7+p8+ +p9+p10+p11+p12+p13+p14 ρ2=p2+p4+p5+p7+p8+p9+ +p10+p11+p13+p14 ρ=(ρ1+ρ2)/2 l1=p3+2p6+p7+2p9+p10+ +2p11+3p12+3p13+3p14 l2=p5+p8+p10+p11+p14 L=l1+l2 m1=p1+2p3+p4+3p6+2p7+p8+3p9+ +2p10+3p11+4p12+4p13+4e14 m2=p2+p4+2p5+p7+2p8+p9+ +2p10+2p11+p13+2p14 M=m1+m2 w1=l1/λ'1 w2=l2/λ'2 w=λ'1*w1/λ'+λ'2*w2/λ'=L/λ' u1=m1/λ'1 u2=m2/λ'2 u=M/λ' π1=p12+p13+p14 π2=p5+p8+p10+p11+p14 π=q1*π1+q2*π2 λ'1=λ*q1(1-π1) λ'2=λ*q2(1-π2) λ'=λ'1+λ'2 Результат 1,2000 2,8000 4,0000 0,8657 Данные λ 0,8000 μ 0,2000 q1 0,3000 q2 0,7000 0,9007 0,8832 1,4939 p0 p1 0,0116 0,0141 0,6224 2,1163 2,3596 p2 p3 p4 0,0324 0,0175 0,0390 1,6710 p5 0,0904 4,0306 8,6285 2,9434 5,5027 13,6286 7,9024 10,4802 0,2786 0,6224 0,5193 0,1731 0,2115 0,3846 p6 p7 p8 p9 p10 p11 p12 p13 p14 0,0231 0,0476 0,1082 0,0613 0,1284 0,1479 0,0331 0,0980 0,1475 10). Выводы по работе. Вероятности потери заявок систем: 0,5681 и 0,5193 соответственно, следовательно, если данный критерий считать критерием эффективности, то система №2 будет являться более эффективной.