Методическое пособие по решению задач по вероятности

Методическое пособие по решению задач по вероятности
1.Папа. мама, сын и дочка бросили жребий-кому мыть посуду. Найдите вероятность того, что
посуду будет мыть мама?
Решение: Всего вариантов-4, поэтому 1:4=0,25
Ответ:0,25
2.Конкурс исполнителей проводится в 5 дней.Всего заявлено 50 выступлений-по одному от
каждой страны. В первый день 26 выступлений, остальные распределены поровну между
оставшимися днями. порядок выступления определяется жребием.Какова вероятность, что
выступление представителя из России состоится в третий день?
Решение:На каждый из четырех оставшихся дней заявлено (50-26):4= 6 выступлений. Значит на
интересуемый нас третий день придется 6 выступлений из 50 заявленных. Поэтому вероятность
того, что выступление представителя из России состоится в третий день равна 6:50=0,12
ответ:0,12
3.Игральную кость бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало менее 4 очков?
Решение: Всего может быть 6 вариантов (1,2,3,4,5,6) Менее 4 очков- это 1,2,3 , то есть 3 случая.
Поэтому вероятность равна 3:6=0,5
Ответ: 0,5
4.На соревновании по метанию ядра приехали 2 спортсмена из Великобритании, 2 из Испании,
4 из Швеции. Порядок выступления определяется жребием. Найдите вероятность того, что
Восьмым будет выступать спортсмен из Испании?
Решение: Всего спортсменов 2+2+4=8. Из Испании 2 спортсмена.Значит вероятность равна 2:8=0,25
Ответ:0,25
5.В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность
того, что оба раза выпадет орел?
Решение: Если бросить монету дважды может получиться следующая комбинация РР,РО,ОР,ОО, то
есть всего 4 варианта.Нас интересует ОО. Поэтому вероятность равна 1:4=0,25
Ответ:0,25
6. Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из
команд будет первая владеть мячом. Команда "Витязь" по очереди играет с командами
"Атлант" и "Титан". Найдите вероятность того, чтокоманда "Витязь" не выиграет право
владеть мячом ни в одном матче?
Решение:"Витязь" играет с двумя командами: В-А, В-Т. В первом матче может быть два исхода для
"Витязь"( владеет и не владеет). Тоже самое и во втором матче. Всего 4 варианта. Нас интересует
только 1-не владение мячом ни в одном матче. Вероятность равна 1:4=0,25
Ответ:0,25
7. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того. что в
сумме выпадет 3 очка. Ответ округлите до сотых.
Решение:3 очка может впасть в следующих случаях: 1+2,2+1. Всего 2 варианта. Всего комбинаций
может быть 6*6=36.Вероятность равна 2:36=0,0555...=0,06
Ответ:0,06
8.В сборнике билетов по физике всего 20 билетов, в 6 из них встречается вопрос по
электростатике. Найдите вероятность того,что в случайно выбранном на экзамене билете
ученику встретиться вопрос по электростатике.
Решение:Всего билетов 20, нас интересует 6. Вероятность равна 6:20=0,3
Ответ:0,3
9.Люда дважды бросает кубик. В сумме у нее выпало 9 очков. Найти вероятность того, что
при первом броске выпало 5 очков.
Решение:9 очков может получиться следующим образом:6+3,3+6,5+4,4+5.Всего 4 случая.При
первом броске 5 может выпасть только один раз.Поэтому вероятность равна 1:4=0,25
Ответ:0,25
10.На чемпионате по прыжкам в воду выступают 40 спортсменов, среди них 4 прыгуна
из Италии и 10 прыгунов из Аргентины. Порядок выступлений определяется жребием.
Найдите вероятность того, что первым будет выступать прыгун из Италии.
Решение:Всего спортсменов 40. Из Италии-4.Вероятность того, что первым (а вообще любым
по счету )будет выступать спортсмен из Италии равна 4:40=0,1
Ответ: 0,1
11.В среднем из 500 фонариков, поступивших в продажу, 5 неисправны. Найдите
вероятность того, что один купленный фонарик окажется исправным.
Решение:Из 500 фонариков 495 исправных. Поэтому вероятноть того, что попадется
исправный фонарик равна495:500=0,99
Ответ: 0,99
12.Наташа и Вика играют в кости. Они бросают кость по одному разу. Выигрывает тот,
кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме
выпало 9 очков. Найдите вероятность того, что Наташа проиграла.
Решене: В результате иры могут возникнуть следующие комбинации:3+6,6+3,5+4,4+5. всего
4 варианта. Наташа проиграет в двух случаях 6+3 и 5+4. Поэтому вероятность равна 2:4=0,5
Ответ:0,5
13.В чемпионате мира участвует 25 команд. С помощью жребия их нужно разделить на
пять групп по пять команд в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами
групп:
1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,
5,5,5,5.
Капитаны
команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда Франции окажется в
первой группе.
Решение: Вего команд 25, групп-5. Вкаждой группе-5 команд. 5:25=0,2
Ответ:0,2
ШПАРГАЛКА ПО СТАТИСТИКЕ, ВЕРОЯТНОСТИ, КОМБИНАТОРИКЕ.
СТАТИСТИКА.
Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число
слагаемых.
Модой ряда чисел называется число, которое встречается в данном ряду чаще других.
Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим этих чисел.
Медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным числом членов называется число, записанное
посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с чётным числом членов называется среднее
арифметическое двух чисел, записанных посередине. Медианой произвольного ряда чисел
называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
Все события жизни можно разделить на 3 группы:
- достоверные – обязательно произойдут;
- невозможные;
- случайные.
Изучением случайных событий занимается теория вероятностей. Т. о. с точки зрения теории
вероятностей понятие события выглядит следующим образом: «Событие – это явление, о котором
можно сказать, что оно происходит или не происходит при определенных условиях.» Любое
событие происходит вследствие испытания.
Элементарное событие (элементарные исходы) опыта – простейшие события, которыми может
окончится случайный опыт.
Испытания – это условия, в результате которых происходит (или не происходит) событие.
Случайным называется событие, которое может произойти или не произойти во время проведения
определенного испытания. Они могут быть массовыми или единичными.
Массовыми называют однородные события, наблюдающиеся при определенных условиях, которые
могут быть повторены (можно наблюдать) неограниченное количество раз.
Единичное случайное событие происходит единожды, например, падение Тунгусского метеорита.
Теория вероятностей изучает только массовые события.
Достоверным называется событие, которое вследствие данного испытания обязательно
произойдет.
Невозможным называется событие, которое вследствие данного испытания не может произойти.
Попарно несовместимые события – это события, два из которых не могут произойти
одновременно.
Равновозможные события – это такие события, каждое из которых не имеет никаких преимуществ
в появлении чаще, чем другое, во время многоразовых испытаний, которые проводятся при
одинаковых условиях.
Вероятностью p события А – называется отношение числа благоприятных исходов m к числу всех
возможных исходов n:
.
Суммой событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло либо
событие А, либо событие В, либо события А и В одновременно.
Произведением событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло и
событие А, и событие В.
События А и В называются несовместными, если они не могут произойти одновременно.
События А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того,
произошло ли другое событие.
Событие состоит в том, что событие А не произошло, т. е. событие является противоположным
к событию А.
Для несовместных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей:
.
Для независимых событий А и В вероятность произведения этих событий равна произведению их
вероятностей:
.
Для произвольных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей
без вероятности их совместного события:
Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность прямого события:
.
Вероятность невозможного события равна 0, вероятность достоверного события равна 1.
Сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1.
КОМБИНАТОРИКА.
Имеется n различных предметов. Сколько из них можно составить k-расстановок? При этом две
расстановки считаются различными, если они либо отличаются друг от друга хотя бы одним
элементом, либо состоят из одних и тех же элементов, но расположенных в разном порядке. Такие
расстановки называются размещениями без повторений, а их число обозначают .
Если брать расстановки , в которые входят все n элементов, то они могут отличаться друг от друга
лишь порядком входящих в него элементов. Такие расстановки называются перестановками из n
элементов, или, короче, n-перестановками. Число n-перестановок обозначают через .
Формулу для числа размещений без повторений можно записать в виде
.
k-сочетаниями из n элементов называют всевозможные k-расстановки, составленные из этих
элементов и отличающиеся друг от друга составом, ноне порядком элементов. Число k-сочетаний,
которые можно составить из n элементов, обозначают через . Формула для вычисления числа
сочетаний: