Методы решения нелинейных уравнений. Лабораторная работа № 1

Лабораторная работа № 1
Методы решения нелинейных уравнений.
Цель работы: изучение методов решения нелинейных и трансцендентных
уравнений.
Методические указания
Исходное нелинейное уравнение f(x)=0, где функция f(x) определена и непрерывна
на некотором отрезке x[а,b], имеет, по меньшей мере, один изолированный корень
[а,b], если функция f(x) принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, т.е.
f(a)·f(b)<0.
Рассмотрим некоторые методы нахождения корня нелинейного уравнения.
Метод хорд.
Для нахождения очередного приближения корня, находящегося в интервале [a,b],
этот интервал делят в отношении |f(a)|:|f(b)|. Геометрически метод хорд эквивалентен
замене кривой у=f(x) хордой, проходящей через точки (а, f(a)) и(b, f(b)) Тогда
приближенное значение корня определяется по формуле:
f (a)
(1)
xa 
(b  a) .
f (b)  f (a)
Выбирается тот из интервалов [a,x] или [х,b], в котором функция меняет свой знак,
и процесс уточнения корня повторяется.
Предположим, что вторая производная функции f(x) на интервале [а,b] сохраняет
знак. При этом если выполняется условие f(x)f(a)>0, то неподвижен конец a, и
вычисления производятся по формуле:
x (0)  b ,
x ( n 1)  x ( n ) 
f ( x (n) )
( x n  a) .
(n)
f ( x )  f (a)
(2)
Если выполняется условие f(x)f(b)>0, то неподвижен конец b, и вычисления
производятся по формуле:
x (0)  a ,
x ( n 1)  x ( n ) 
f ( x (n) )
(b  x ( n ) ) .
(n)
f (b)  f ( x )
(3)
Вычисления корня нужно прекратить в том случае, когда выполняется неравенство
M  m ( n 1)
x
 x (n)   ,
(4)
m
где m  min f (x) , M  max f (x) .
xa,b 
xa,b 
Пример. Пусть дано уравнение 2х+5х–2=0,  =0,0001.
Сначала необходимо отделить корень, т.е. определить отрезок [a,b], в котором
находится один и только один корень уравнения. Для этого строим график функции
f(x)=2х+5х–2. По графику устанавливаем, что корень находится в отрезке [0;1]. Получаем
a=0, b=1. Находим производную функции f(x): f(x)=2хln2+5. Функция f(x) всюду
положительная и монотонно возрастающая. Имеем: m = f(0)=5,693; M = f(1)=6,386.
Вторая производная функции f(x): f(x)=2х(ln2)2. Функция f(x) всюду
положительная, f(1)=5, f(x)f(b)>0. Следовательно, последовательные приближения корня
будем находить по формуле (3).
Условие окончания итераций будет иметь вид
6,386  5,693 ( n 1)
x
 x ( n )  0,0001 .
5,693
Метод Ньютона (метод касательных)
Уточнение корня методом Ньютона производится по формуле
xn1  xn 
f ( xn )
f ( xn )
(n = 0,1,…).
Предполагается, что корень уравнения находится в отрезке [а,b], в котором f(x) и
f(x) непрерывны и сохраняют определенные знаки. Если за начальное значение х0
выбрана такая точка отрезка [а,b], в которой f x 0 f  x 0  0, то методом Ньютона можно
найти корень с любой степенью точности.
Метод итерации.
При данном методе исходное уравнение f(x)=0 заменяется равносильным х=(х), а
итерационный процесс уточнения корня описывается формулой
xn+1=(хn)
(n = 0,1,2,…).
Необходимо выбрать такую функцию (х), чтобы процесс итерации являлся сходящимся.
Достаточные условия сходимости задаются теоремой.
Теорема. Пусть функция (х) определена и дифференцируема на отрезке [а,b],
причем при х[а,b] (х)[а,b]. Тогда если существует такое число q, для которого
|(х)|q<1 при х[а,b], то
1)процесс итерации сходится независимо от начального значения х0[а,b];
2)предельное значение =lim xn при n является единственным корнем уравнения на
отрезке [a,b].
Итерационный процесс прекращается, если выполняется условие
q
x n  x n 1  ε .
1 q
Пример. Пусть дано уравнение 2х+5х–2=0. Корень [0,1].
2  2х
2  2x
Решение. Запишем уравнение в виде x 
. В таком случае  x  
.
5
5
Эта функция является монотонно убывающей. Имеем (0)=0,2; (1)=0. Значит (х)[0,1]
2 x  ln 2
при х[0,1]. Производная  ( x)  
. Тогда max|'(x)| = |'(1)|0,277 при x[0,1].
5
Следовательно q0,277, условия теоремы о сходимости метода итераций выполняются.
Последовательные приближенные значения корня будем вычислять по формуле
2  2 xn

. За начальное приближение х0 можно взять любое значение из отрезка
xn1
5
[0,1], например х0=0,5.
Порядок выполнения работы
1. Изучить метод решения нелинейных уравнений, соответствующий Вашему варианту.
2. Разработать программу для решения данного нелинейного уравнения.
3. Решить нелинейное уравнение с точностью  = 0,0001.
Варианты заданий.
1) 2 cos x -7x = 0 методом хорд,
2) 10x – e-2x = 0 методом Ньютона,
3) x2 lg x – 3,8 = 0 методом итераций,
4) x3 – 2x2 + 9x – 4 = 0 методом хорд,
5) sin 3x – 2,5x + 6,2 =0 методом Ньютона,
6) e-x – 2,6x + 4,3 = 0 методом итераций,
7) e1,5x + 3x – 4,5 = 0 методом хорд,
8) x ln x – 14 = 0 методом Ньютона,
9) x 2x + x – 3,1 = 0 методом итераций,
10) ex + 2,4x – 3,7 = 0 методом хорд,
11) e-x – 4,7x + 1,6 = 0 методом Ньютона,
12) cos x – 3,6x + 1,2 = 0 методом итераций,
13) ex + 3x – 4,2 = 0 методом хорд,
14) sin x – 2,3x – 2,8 = 0 методом Ньютона,
15) x ln x – 3,2 = 0 методом итераций,
16) ex – x2 – 3,4 = 0 методом хорд.
Лабораторная работа №2
Методы решения систем линейных уравнений
Цель работы: изучение прямых и итерационных методов решения систем линейных
уравнений.
Методические указания
Системы из n линейных уравнений вида
AX=B,
где А– матрица коэффициентов, B– вектор свободных членов, X– вектор неизвестных,
решаются прямыми и итерационными методами.
К прямым методам относится такие, как метод Гаусса и метод LU–факторизации,
из итерационных методов рассмотрим метод простых..
Метод Гаусса.
Метод основан на приведении матрицы коэффициентов A к треугольному виду.
Приведение матрицы коэффициентов к треугольному виду осуществляется в результате
выполнения алгоритма прямого хода (метода исключения), общую формулу которого
можно записать следующим образом
( k 1)
(k )
a kj  a kj
( k 1)
(k )
 bk
(k )
 a ij
(k )
 bi
bk
a ij
bi
( k 1)
a kk
( k 1)
a kk
( k 1)
 a ik
( k 1)
 a ik
k  1,2,....n;
( k 1) ( k )
a kj
( k 1) ( k )
bk
i, j  k  1,....n
Для определения вектора неизвестных необходимо произвести обратный ход. Так
как в результате прямого хода xn  bn , то формула обратного хода для определения
остальных членов вектора неизвестных имеет вид
x i  bi 
n
 a ij x j
ji 1
Метод LU– факторизации.
i  n  1, n  2,....1
Данный метод основан на разложении матрицы коэффициентов A на сомножители
A=LU, где L– нижняя треугольная матрица, а U– верхняя треугольная матрица.
Сначала определяют вспомогательный вектор Y =UX. Его элементы находят из системы
LY=B (прямой ход). Затем из системы UX=Y находят вектор X (обратный ход).
Для определения вектора Y используют формулу прямой подстановки
y 1  b 1 l 11
i 1

y i   b i   l ij y j
j1


 l ii


i  2, 3,... n
Вектор неизвестных X находят по формуле обратной подстановки
x n  yn
n
x i  y i   u ij x j
i  n  1, n  2,...1
j i 1
Формулы для определения элементов матриц L и U.
Поскольку l i1  a i1 , то они не рассчитываются, остальные элементы опрееляются по
формулам:
k 1
l ik  a ik   l im u mk
ik
i  k,..., n
m 1
k 1


u kj   a kj   l km u mj  l kk
m 1


jk
j  k  1,..., n
Метод простых итераций.
Cходимость метода гарантируется, если значения диагональных элементов
матрицы A превосходят остальные. Метод простых итераций заключается в том, что при
заданных начальных приближениях x i0 (i  1, 2,.....n) вычисляются последовательные
приближения корней по формуле простых итераций
x i( j1)  x i( j) 
1
a ii
 n

 a x
 bi  .
ik
k
(
j
)


 k 1


Вычисления производят до тех пор, пока xi ( j 1)  xi ( j )   , где (j)– номер итерации,  –
заданная погрешность вычислений.
Порядок выполнения работы
1. Изучить метод решения систем линейных уравнений, соответствующий Вашему
варианту.
2. Разработать программы для решения системы линейных уравнений по методу,
соответствующему Вашему варианту.
3. Решить заданную систему линейных уравнений с точностью =0,0001.
Варианты заданий
1) Метод простых итераций, k=1,
9) метод Гаусса, k=9,
2) метод LU– факторизации, k=2,
10) метод простых итераций, k=10,
3) метод Гаусса, k=3,
11) метод LU– факторизации, k=11,
4) метод простых итераций, k=4,
5) метод LU– факторизации, k=5,
6) метод Гаусса, k=6,
7) метод простых итераций, k=7,
8) метод LU– факторизации, k=8,
Система уравнений:
1,2 x1  1,8 x2  (2  0,1k ) x3  7,5

3,9 x1  (2  0,2k ) x2  5,2 x3  8,1
(1,01k ) x  2,2 x  7,3x  8,7
1
2
3

12) метод Гаусса, k=12,
13) метод простых итераций, k=13,
14) метод LU– факторизации, k=14,
15 метод Гаусса,) k=15,
16) метод простых итераций, k=16.
Лабораторная работа № 3
Методы интерполяции функций.
Цель работы: изучение основных методов интерполяции функций.
Методические указания
Интерполяция функции y=f(x), заданной (n+1) узлами (х0, y0), (х1, у1), ...…, (хn, yn),
заключается в нахождении значений y по значениям x, находящимся в промежутках
между узлами xi. При интерполяции функция f(x) заменяется интерполяционным
полиномом F(x), значения которого в узлах F(x i) точно совпадают с yi. Значение n задает
степень полинома F(x).
Интерполяционный полином Лагранжа.
Интерполяционный полином Лагранжа третьей степени имеет вид
( x  x1 )( x  x 2 )( x  x3 )
( x  x0 )( x  x 2 )( x  x3 )
L( x) 
y0 
y1 
( x0  x1 )( x0  x 2 )( x0  x3 )
( x1  x0 )( x1  x 2 )( x1  x3 )
( x  x 0 )( x  x1 )( x  x3 )
( x  x0 )( x  x1 )( x  x 2 )
y2 
y3
( x 2  x0 )( x 2  x1 )( x 2  x3 )
( x3  x0 )( x3  x1 )( x3  x 2 )
Полином может испол3ьзоваться при интерполировании с произвольным расположением
узлов интерполяции.
Интерполяционный полином Ньютона для неравных промежутков.
Используется также при неравноотстоящих узлах интерполяции.
Данная интерполяционная формула имеет вид

N1(x) = y0+f(x0,x1)(x-x0)+f(x0,x1,x2)(x-x0)(x-x1)+f(x0,x1,x2,x3)(x-x0)(x-x1)(x-x2),
y  y0
где f ( x0 , x1 )  1
- разделенная разность первого порядка,
x1  x0
f ( x1 , x2 )  f ( x0 , x1 )
- разделенная разность второго порядка,
f ( x0 , x1 , x2 ) 
x 2  x0
f ( x1 , x2 , x3 )  f ( x0 , x1 , x2 )
- разделенная разность третьего порядка.
f ( x0 , x1 , x2 , x3 ) 
x3  x 0
Интерполяционный полином Ньютона для равных промежутков.
Если xi=x0+ih (i = 0, 1, ...…, n), т.е. узлы равноотстоящие, то можно использовать
интерполяционную формулу Ньютона для равных промежутков, которая для n=3
записывается в следующем виде:
q(q  1) 2
q(q  1)( q  2) 3
N 2 ( x)  y 0  q  y 0 
  y0 
  y0 ,
2
6
x  x0
,
h
y0 = y1-y0 – конечная разность первого порядка,
2y0 = y1-y0 – конечная разность второго порядка,
3y0 = 2y1-2y0 – конечная разность третьего порядка.
где q 
Порядок выполнения работы
1. Изучить метод интерполирования функций, соответствующий Вашему варианту.
2. Разработать программу интерполирования функции по данному методу.
3. Проверить работоспособность программы. При вводе узловых значений аргумента
программа должна выдавать заданные узловые значения функции.
Варианты заданий
1) Использовать полином Лагранжа.
xi 2
3
4
5
yi 5,4 7,6 1,3 9,2
2) Использовать полином Ньютона для неравных промежутков.
xi 3
4
5
6
yi 4,4 2,9 3,1 2,2
3) Использовать полином Ньютона для равных промежутков.
xi 4
5
6
7
yi 2,3 8,0 9,8 3,1
4) Использовать полином Лагранжа.
xi 5
6
7
8
yi 5,6 1,4 4,5 2,8
5) Использовать полином Ньютона для неравных промежутков.
xi 1,1 1,2 1,3 1,4
yi 2,1 2,8 1,3 1,5
6) Использовать полином Ньютона для равных промежутков.
xi 1,0 1,2 1,4 1,6
yi
8
14 16 13
7) Использовать полином Лагранжа.
xi 0,2 0,3 0,4 0,5
yi 1,0 1,1 1,3 1,7
8) Использовать полином Ньютона для неравных промежутков.
xi 1
2
3
4
yi 1,3 1,8 1,7 1,3
9) Использовать полином Ньютона для равных промежутков.
xi 6
7
8
9
yi 31 28 30 33
10) Использовать полином Лагранжа.
xi 1,1 1,3 1,5 1,7
yi 4,5 4,3 3,9 4,0
11) Использовать полином Ньютона для неравных промежутков.
xi 0,1 0,2 0,3 0,4
yi 4,6 4,8 5,0 4,5
12) Использовать полином Ньютона для равных промежутков.
xi 0,1 0,3 0,5 0,7
yi 3,1 2,7 3,0 3,3
13) Использовать полином Лагранжа.
xi 11 12 13 14
yi 5,6 8,2 2,3 1,5
14) Использовать полином Ньютона для неравных промежутков.
xi 10 20 30 40
yi 16 12 14 115
15) Использовать полином Ньютона для равных промежутков.
xi 10 12 14 16
yi 4,5 3,1 2,8 3,7
16) Использовать полином Лагранжа.
xi 1,0 1,5 2,0 2,5
yi 1,5 4,5 2,7 2,1
Лабораторная работа № 4
Методы численного интегрирования.
Цель работы: изучение наиболее простых квадратурных формул: формулы
прямоугольников, формулы трапеций, формулы Симпсона.
Методические указания
Численное интегрирование функции заключается в вычислении значения
определенного интеграла на основании ряда значений подынтегральной функции.
Приближенное равенство
b
n
a
i 1
 f(x)dx   q i f(x i ) ,
где qi – некоторые числа, xi – некоторые точки отрезка [a,b], называется квадратурной
формулой.
На практике при приближенном вычислении определенно интеграла обычно делят
заданный отрезок [a,b] на n равных частичных отрезков, на каждом частичном отрезке
применяют какую-либо одну квадратурную формулу и суммируют полученные
результаты. Построенная таким образом квадратурная формула на отрезке [a,b]
называется обобщенной формулой.
Обобщенная формула прямоугольников.
При применении данной формулы длину частичных отрезков удобно принять за h,
ba
h
- шаг разбиения.
n
Обобщенная формула прямоугольников имеет вид
b

n
f ( x)dx  h f
i 1
a
где f
1
i
2
i
1
2
,

 1 
 f  a   i  h  - значение функции f в середине частичного отрезка [хi-1, xi].
 2 

Обобщенная формула трапеций.
Формула имеет вид
b

f ( x)dx 
a
n 1
h

 f 0  f n  2 f i  ,
2
i 1

где fi=f(a-ih).
Обобщенная формула Симпсона.
Формула имеет вид
b

f ( x)dx 
a
m
m 1
h

 f 0  f 2 m  4 f 2i 1  2 f 2i  ,
3
i 1
i 1

где n=2m.
Порядок выполнения работы
1. Изучить квадратурную формулу, соответствующую Вашему варианту.
2. Разработать программу вычисления определенного интеграла по квадратурной
формуле, соответствующей вашему варианту.
3. Вычислить определенный интеграл при n=2, 20, 100.
4. Сделать вывод о зависимости точности вычислений от количества частичных отрезков.
Варианты заданий
1
3
1)  e 4 x  2x  1 dx
, использовать формулу Симпсона;
0
1
 ln 1  x 
2) 
dx , использовать формулу трапеций;
 1  x2
0
1, 5
e
3)
dx , использовать формулу прямоугольников;

 x
0,15 x
0,5
1
4)  1  0,36 sin 2 x dx; использовать формулу Симпсона;
0
0,5
 1  0,75 x 2
5) 
dx , использовать формулу трапеций;
1  x2

0

3

dx
, использовать формулу прямоугольников;
6) 
 1  0,25 sin 2 x
0
1
 2 sin x  1
7) 
dx , использовать формулу Симпсона;
 1  x2  x4
1
0
cos 2x

8) 
dx ,
 1  sin x  x 2
1
3
использовать формулу трапеций;
1  cos2 x
dx , использовать формулу прямоугольников;
5 x

9) 

1
2
10)  1  sin 2x  e x dx ,
использовать формулу Симпсона;
1
2
11)  1  cos x  ex dx ,
использовать формулу трапеций;
1
1
 dx
12)
; использовать формулу прямоугольников;
 1  x4
0
1
13)  1  x  e  2 x dx; использовать формулу Симпсона;
2
1
2
 ln x
14)  4 dx использовать формулу трапеций;
 x
1
2
x

15)  2e
dx ; использовать формулу прямоугольников;
 x 1
0
1
16)  tgx  ex dx ; использовать формулу Симпсона.
0
Лабораторная работа № 5
Метод золотого сечения.
Цель работы:
переменного.
определение
минимума
унимодальной
функции
одного
Методические указания
Функция f(x) называется унимодальной в интервале [a,b], если в этом интервале
существует единственная точка х*, в которой она принимает экстремальное значение. В
дальнейшем будем считать, что х* — точка минимума.
Строится
последовательность
вложенных
интервалов
[a,
b],
[a1, b1], [a2, b2],..., [an , bn],... таким образом, чтобы х*[an ,bn] при любом n и (bn - an)0 при
n  . Алгоритм построения этих интервалов cледующий. В интервале [a,b] выбираются
две различные точки a < x1 < x2 < b и находятся значения f(x) в этих точках. Если
f(x1)<f(x2), то за интервал [a1, b1] принимается [a, x2], а в противном случае [x1, b]. Затем
процесс построения интервалов повторяется.
Золотым сечением отрезка называется такое деление отрезка на два, при котором
отношение длины всего отрезка к длине большей части равно отношению длины большей
части к длине меньшей части. Таких точек в отрезке две. Если в качестве точек x1 и x2
взять точки золотого сечения отрезка, то метод приближенного определения минимума
функции будет называться методом золотого сечения.
Обозначим длину интервала [a, b] через l. Тогда будем считать, что l — длина большей
части отрезка при делении его по методу золотого сечения. Тогда для определения 
можно составить пропорцию:
l
l

.
l 1   l
Из этого соотношения следует, что 2 +  —
— 1 = 0. Решая квадратное уравнение и учитывая, что  > 0, найдем  
5 1
 0,6180339 .
2
Легко проверить, что если точки х1 и х2 являются точками золотого сечения отрезка
[a,b], то точка х1 является одной из точек золотого сечения отрезка [a, x2], а точка х2 —
отрезка [x1,b]. Таким образом при втором и следующих шагах алгоритма значение
функции нужно будет вычислять только один раз.
Из приведенного алгоритма видно, что b1 - a1 = (b - a),...,bn - an = n(b - a).
После выполнения n итераций за приближенное значение принимается величина xприбл.
= (an + bn)/2. Если значение х* нужно найти с точностью , то условием прекращения
итераций является следующее неравенство:
bn - an  2.
При использовании данного метода сначала нужно определить интервал [a,b], в
котором находится минимум функции. Это производится путем построения графика
функции y = f(x). Если интервал [a,b] будет определен неверно, то программа в качестве
приближенного значения минимума выдаст величину, находящуюся вблизи одной из
границ интервала [a,b]. В этом случае нужно изменить значения a и b и снова решать
задачу.
Порядок выполнения работы.
1. Изучить метод золотого сечения.
2. Разработать программу вычисления минимума функции по методу золотого
сечения.
3. Найти минимум функции f(x) с точностью  = 0,0001.
Задание.
f(x) = (x + 5 + 0,1k)2 + exp(-0,1kx),
где k — номер фамилии студента в журнале преподавателя.