№ 1

АННОТИРОВАННЫЙ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ОТЧЕТ
О РЕЗУЛЬТАТАХ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ, ВЫПОЛНЕННЫХ
НА ЭТАПЕ № 1
«Анализ поставленных задач и теоретические исследования»
Соглашение от 6 августа 2012 года № 8217.
Тема: «Геометрический и вычислимый анализ в задачах нелинейной теории
упругости»
Исполнитель: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт
математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук (ИМ
СОРАН)
Ключевые слова: матрицы Клебша-Гордана, инвариантная запись уравнений теории
упругости, группа Карно, поверхность уровня, минимальная поверхность.
1.
Цель проекта
1.1. Развитие дифференциально-геометрического аппарата на неголономных
пространствах и аппарата теории представлений группы вращений, необходимого для
анализа нелинейных уравнений теории упругости. В частности, получение свойств
экстремальных поверхностей на неголономных структурах, исследование метрических
свойств поверхностей уровня коразмерности 1 отображений групп Карно, построение
алгоритма вычисления матриц Клебша-Гордана.
1.2. Целью данного этапа проекта являлась разработка необходимого для
построения инвариантных моделей нелинейной теории упругости и работы с ними
технического инструментария, а также получение теоретических результатов, важных для
дальнейшего практического применения таких моделей.
2.
Основные результаты проекта
2.1. 1) Разработан алгоритм вычисления коэффициентов Клебша-Гордана как
элементов матриц, образующих канонические базисы в пространстве, где действует
кронекерово произведение двух неприводимых представлений произвольных весов.
Знание этих матриц полезно для ряда приложений, в том числе, для вычисления
инвариантов упругой следы, которое планируется осуществить на следующем этапе
проекта. Особенность вычисления коэффициентов Клебша—Гордана состоит, во-первых,
в удачном выборе базиса, в котором соответствующие
матрицы неприводимых
представлений ортогональны (а не унитарны), и, во-вторых, объединены в матрицы,
которые связаны между собой рекуррентными соотношениями. Необходимость
разработки такого технического аппарта связана со спецификой изучаемых нами
дифференциальных уравнений.
2) Для классов поверхностей-графиков липшицевых в субримановом смысле
отображений групп Карно найдены достаточные условия минимальности. Для ряда
случаев эти условия найдены в терминах субримановой средней кривизны. Для решения
задачи о минимальной поверхности введено понятие внутренней меры. В частности,
оказалось, что условие минимальности поверхности относительно внутренней меры
совпадает с условием минимальности относительно исходной меры, которое было
выведено в для разных классов отображений
3) Получены необходимые и достаточные условия на вещественнозначное
отображение групп Карно, при котором оно задаёт поверхность, регулярную в
субримановом смысле. Получена формула площади для регулярных в субримановом
смысле поверхностей коразмерности 1 на группе Карно.
2.2. Для вычисления матриц Клебша—Гордана использована техника однородных
спинорных полиномов, классические сведения из теории представлений группы вращений
и рекуррентные формулы, выведенные ранее в работах акад. С.К.Годунова и д.ф.-м.н.
В.М. Гордиенко. Полученная в результате такого синтеза методика расчета является
новой.
Для решения задачи о минимальной поверхности использоаны обощения методов и
пододов, развитых ранее участником проекта Кармановой М. Б. для доказательства
неголономной формулы площади.
2.3. Метод расчета коэффициентов Клебша—Гордана является новым по
сравнению с классической литературой (Гельфанд, Милнос, Шапиро, Виленкин,
Любарский и т.д.), а форма полученных результатов удобна для дальнейшего применения
в задачах нелинейной теории упругости.
Поставленная задача о минимальной поверхности является принципиально новой
сравнительно с работами зарубежных авторов (Garofalo, Danielli, Pauls, Nhieu, Cheng,
Hwang и др.). Особенность состоит в том, что изучается внутренняя мера, определяемая
отображением, задающим поверхность (в других работах мера определяется структурой
объемлющего пространства).
Результат о поверхности уровня является новым и соответствует уровню как
отечественных так и зарубежных работ. Работа обобщает результаты D. Vittone и F.
Bigolin, полученные для вещественнозначных отображений групп Гейзенберга.
3.
Назначение и область применения результатов проекта
3.1. Разработанный нами теоретический аппарат направлен на построение новых
уточненных моделей нелинейной теории упругости, которые бы адекватно описывали
сложные упругопластические процессы, включая сварку металлов при помощи взрыва. В
частнсти, развитая методика расчета матриц Клебша—Гордана может быть применена для
построения матричных сферических функций и вычисления явных решений уравнений,
инвариантных относительно вращений, а также будет полезна на следущем этапе проекта
для построения инвариантной модели нелинейной теории упругости и ее численного
решения для различных коисталлических сред.
Результаты по теории минимальных поверхностей (при их дальнейшем развитии)
применимы в решении теоретических и прикладных задач физики, нейробиологии
(проблемы визуализации) и других областях, а также в образовательном процессе (чтение
спецкурсов).
Результаты по структуре поверхностей уровня могут быть в дальнейшем использованы
для исследования регулярности решений законов сохранения в различных физических
задачах.
3.2. Перспективы практического применения и коммерциализации результатов
проекта не преследуется.
4.
Перспективы развития исследований
1) Информация о том, насколько участие в ФЦП способствовало формированию
новых исследовательских партнерств. Участвует ли научный коллектив в проектах по 7-й
рамочной Программе Евросоюза (с указанием названия проектов и перечня партнеров по
ним).
Участие в ФЦП способствовало формированию партнерств с Ecole Polytechnique
(Palaiseau Cedex, France) У. Боскаин, Д. Барилари, Warzaw University (Warsaw, Poland), A.
Оджиевич, Институт систем информатики (Переславль-Залесский, Россия) Ю.Л. Сачков.
2) Грант Президента Российской Федерации для поддержки ведущих научных
школ на 2012-2013 годы (НШ-921.2012.1), «Геометрический анализ на метрических
структурах», руководители: Решетняк Ю.Г. и Водопьянов С.К.,
Грант РФФИ на 2012-2013 годы (12-01-31183 мол_а), «Методы субримановой геометрии и
вычислимого анализа в теории дифференциальных уравнений с частными
производными», руководитель: Селиванова С.В.
3) Scuola Normale Superiore (Pisa, Italy), Л. Амброзио, В. Маньяни, International
School for Advanced Studies (Trieste, Italy), А. Аграчев, Ecole Polytechnique (Palaiseau
Cedex, France), У. Боскаин, Д. Барилари, Institute of Mathematics (Warsaw, Poland), Б.
Боярский, Warzaw University (Warsaw, Poland), А. Оджиевич, Bergen University (Bergen,
Norway) А.Васильев, И.Маркина. Со всеми вышеперечисленными научными центрами у
участников проекта существуют научные контакты.
5.
Опыт закрепления молодых исследователей – участников проекта
(этапа проекта) в области науки, образования и высоких технологий
Закреплены следующие специалисты:
Моховиков Алексей Юрьевич, 06.09.1989 года рождения, зачислен в очную аспирантуру
ИМ СО РАН.
Селиванова Светлана Викторовна, 19.11.1984 года рождения, принята на работу по
совместительству на кафедру математического анализа ММФ НГУ на должность
ассистента.
Директор ИМ СО РАН
Гончаров С.С.
Руководитель Проекта
Селиванова С.В.