Вопросы к экзамену - Учебно

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра информационной безопасности
Ниссенбаум Ольга Владимировна
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ И ЗАЩИТА ИНФОРМАЦИИ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 10.03.01 Информационная безопасность,
профиль подготовки «Безопасность распределенных систем»
очной формы обучения
Тюменский государственный университет
2014
1
О.В. Ниссенбаум. Эллиптические кривые и защита информации. Учебнометодический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 10.03.01
Информационная безопасность, профиль подготовки «Безопасность распределенных
систем» очной формы обучения. Тюмень, 2014, 17 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом
рекомендаций и ПрОП ВПО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: Эллиптические кривые и
защита информации [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3.utmn.ru,
свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой информационной безопасности. Утверждено
директором института математики и компьютерных наук Тюменского государственного
университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: А.А. Захаров, д-р техн. наук, проф., заведующий
кафедрой информационной безопасности ТюмГУ.
© Тюменский государственный университет, 2014.
© Ниссенбаум О.В., 2014.
2
1.
1.1.
Пояснительная записка
Цели и задачи дисциплины
Дисциплина «Эллиптические кривые и защита информации» имеет целью
ознакомление слушателей с конечными мультипликативными группами точек на
эллиптических кривых, основанными на них криптографическими алгоритмами и
стандартами. Дисциплина обеспечивает приобретение знаний и умений в области
использования криптографических алгоритмов и стандартов для защиты информации,
способствует освоению принципов корректного применения современных
защищенных информационных технологий.
Задача дисциплины «Эллиптические кривые и защита информации» – получение
основополагающих знаний о свойствах эллиптических кривых, об основных
механизмах построения криптографических алгоритмов и протоколов на их основе,
применении отечественных и зарубежных стандартов в области защиты информации,
использующих эллиптические кривые.
1.2.Место дисциплины в структуре образовательной программы
Дисциплина «Эллиптические кривые и защита информации» относится к
дисциплинам по выбору математического и естественнонаучного цикла. Изучение её
базируется на следующих дисциплинах: «Алгебра и геометрия», «Языки
программирования», «Информатика», «Дискретная математика», «Криптографические
методы защиты информации», «История криптографии».














В результате изучения этих дисциплин студент должен
знать:
основные понятия математической логики и теории алгоритмов;
основные понятия и методы дискретной математики, включая дискретные
функции, конечные автоматы, комбинаторный анализ;
основные комбинаторные и теоретико-графовые алгоритмы, а также способы их
эффективной реализации и оценки сложности;
основы Интернет-технологий;
средства и методы хранения и передачи аутентификационной информации;
основные протоколы идентификации и аутентификации абонентов сети;
основные виды симметричных и асимметричных криптографических алгоритмов;
математические модели шифров;
криптографические стандарты;
алгоритмы проверки чисел и многочленов на простоту, построения больших
простых чисел, разложения чисел и многочленов на множители, дискретного
логарифмирования в конечных циклических группах.
уметь:
формализовать поставленную задачу;
разрабатывать эффективные алгоритмы и программы;
корректно применять симметричные и асимметричные криптографические
алгоритмы;
проводить оценку сложности алгоритмов.
Дисциплина обеспечивает изучение следующих дисциплин: «Безопасность IPтелефонии», «Безопасность Wi-Fi сетей», «Безопасность сетевых технологий»,
3
«Современные сетевые технологии». Знания и практические навыки, полученные в
результате освоения дисциплины, используются студентами при разработке курсовых и
дипломных работ.
Таблица 1.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
№ п/п
1.
2.
3.
4.
Наименование
обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
Безопасность IP-телефонии
Безопасность Wi-Fi сетей
Безопасность сетевых
технологий
Современные сетевые
технологии
Темы дисциплины необходимые для
изучения обеспечиваемых (последующих)
дисциплин
Модуль 1
Модуль 2
Модуль 3
1
2
3
4
5
6
+
+
+
+
+
+
+
+
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной
образовательной программы.
В результате
компетенциями:
освоения
ОП
выпускник
должен
обладать
следующими
профессиональными (ПК):
 способностью использовать основные естественнонаучные законы, применять
математический аппарат в профессиональной деятельности, выявлять сущность
проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности (ПК-1);
 способностью понимать сущность и значение информации в развитии
современного общества, применять достижения информатики и вычислительной
техники,
перерабатывать
большие
объемы
информации
проводить
целенаправленный поиск в различных источниках информации по профилю
деятельности, в том числе в глобальных компьютерных системах (ПК-2);
 способностью формировать комплекс мер по информационной безопасности с
учетом его правовой обоснованности, административно-управленческой и
технической реализуемости и экономической целесообразности (ПК-4);
 способностью принимать участие в эксплуатации подсистем управления
информационной безопасностью предприятия (ПК-9).
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
знать:
 понятие конечных групп и полей;
 группы точек на эллиптической кривой;
 криптографические алгоритмы на эллиптической кривой;
 криптографические стандарты;
 основные схемы цифровой подписи.
уметь:
4





производить вычисления в конечных полях и группах;
получить ключевую информацию и параметры эллиптической кривой;
определить свойства эллиптической кривой;
оценить криптостойкость схемы ЭЦП на эллиптической кривой;
использовать стандарты схем на эллиптической кривой для защиты информации.
владеть:
 криптографической терминологией;
 навыками программной реализации криптографических алгоритмов;
 навыками применения алгоритмов, основанных на теоретико-числовых принципах, к
вопросам построения криптосистем и их анализу.
5
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 6. Форма промежуточной аттестации экзамен. Общая трудоемкость
дисциплины составляет 6 зачетных единиц, 216 академических часов, из них 76,65 часов,
выделенных на контактную работу с преподавателем, 139,35 часов, выделенных на
самостоятельную работу.
Контактная работа складывается из: лекций 36, практических занятий 36,
консультаций по дисциплине 1,8, индивидуальных консультаций 0,6, консультация перед
экзаменом 2, экзамен 0,25 часа.
3. Тематический план
Таблица 3.
6
Криптографические алгоритмы
на эллиптической кривой.
Криптографические стандарты
и протоколы на эллиптической
кривой.
Всего*:
Итого (часов, баллов) за
семестр*:
Из них в интерактивной
форме
Итого количество
баллов
5.
Из них в
интерактивной форме
3 Эллиптические кривые.
4. Дискретное логарифмирование
на эллиптической кривой.
Всего*:
Итого часов по теме
Основы теории чисел
Дискретное
логарифмирование в Zp
Всего*:
Самостояте
льная
работа
1
2
2
Практическ
ие занятия
1
3
4
Модуль 1
1-3
6
5
6
7
8
9
6
24
36
2
4-6
6
6
24
36
1
0-13
0-20
12
Модуль 2
7-9
6
12
48
72
3
0-33
6
20
32
2
6
6
20
32
1
0-13
0-20
12
Модуль 3
12
40
64
3
4
28
36
2
Лекции
Тема
недели семестра
№
Виды учебной
работы и
самостоятельная
работа, в час.
10-12
13-14
4
0-33
0-14
0-20
15-18
8
8
28
44
2
12
12
56
80
4
36
36
144
216
0-34
0-100
10
*- с учетом иных видов работы
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Таблица 4.
6
Модуль 1
1.
2.
Всего
Модуль 2
3.
4.
Всего
Модуль 3
5.
6.
Всего
Итого
Итого
количество
баллов
№ темы
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Устный опрос
Письменная
Информациработа
онные системы и
технологии
колоксобесеКонтрольная
Расчетная работа
виумы
дование
работа
на компьютере
0-3
0-10
0-10
0-3
0-3
0-10
0-10
0-3
0-10
0-10
0-20
0-13
0-20
0-33
0-10
0-10
0-20
0-13
0-20
0-33
0-4
0-10
0-10
0-30
0-4
0-10
0-40
0-10
0-10
0-20
0-20
0-14
0-20
0-34
0-100
5. Содержание дисциплины.
Модуль 1.
1. Основы теории чисел. Теория делимости. Простые числа. Функция Эйлера.
Сравнения. Полная и приведенная системы вычетов. Теорема Эйлера. Тесты на
простоту. Конечные мультипликативные группы. Конечные поля.
2. Дискретное логарифмирование в Zp. Проблема дискретного логарифмирования,
проблема Диффи-Хэллмана. Криптосистемы Шамира, Диффи-Хэллмана, Эль-Гамаля.
Алгоритмы дискретного логарифмирования в Zp.
Модуль 2.
3. Эллиптические кривые. Эллиптические кривые над полем вещественных чисел и их
свойства. Эллиптическая кривая в форме Вейерштрасса. Операции над точками
эллиптической кривой. Эллиптическая кривая над конечным полем. Группа точек
эллиптической кривой. Теорема Хассе. Алгоритм Схоуфа.
4. Дискретное логарифмирование на эллиптической кривой. Проблема дискретного
логарифмирования на эллиптической кривой и ее сложность. Генератор
эллиптической кривой. Алгоритмы дискретного логарифмирования на эллиптической
кривой.
Модуль 3.
5. Криптографические алгоритмы на эллиптической кривой. Криптосистемы
Диффи-Хэллмана, Шамира, Эль-Гамаля на эллиптической кривой. Генерация
ключевой информации и реализация операций на эллиптической кривой.
6. Криптографические стандарты и протоколы на эллиптической кривой.
Стандарты на электронно-цифровую подпись EСDSA, ГОСТ Р 34.10-2001, ГОСТ Р
34.10-2012. Протоколы на эллиптической кривой. Факторизация Ленстры на
эллиптической кривой.
6. Планы семинарских занятий.
Модуль 1.
7
Тема 1: Основы теории чисел.
1. Теория делимости. Простые числа. Равноостаточные числа. Функция Эйлера.
2. Сравнения. Теорема Эйлера. Полная и приведенная системы вычетов.
3. Обратный элемент по модулю. Решение сравнений 1 степени с 1 неизвестным.
Тема 2: Дискретное логарифмирование в Zp .
4. Криптосистемы Диффи-Хэллмана, Шамира, Эль-Гамаля.
5. Метод прямого поиска. Метод «шаг младенца-шаг великана». Ро-метод Полларда.
6. Метод Полига-Хэллмана. Метод исчисления порядка. Контрольная работа.
Модуль 2.
Тема 3: Эллиптические кривые.
7. Построение группы точек на эллиптической кривой.
8. Операции над точками эллиптической кривой.
9. Генератор кривой. Алгоритм Схоуфа.
Тема 4: Дискретное логарифмирование на эллиптической кривой
10. Алгоритмы дискретного логарифмирования на эллиптической кривой.
11. Сложность алгоритма дискретного логарифмирования на эллиптической кривой.
12. Контрольная работа.
Модуль 3.
Тема 5: Криптографические алгоритмы на эллиптической кривой.
13. Переход от криптосистемы Шамира к криптосистеме Шамира на эллиптической
кривой.
14. Реализация криптосистемы Эль-Гамаля на эллиптической кривой.
Тема 6: Криптографические стандарты и протоколы на эллиптической кривой.
15. Компьютерная реализация стандарта – выполнение расчетной работы по вариантам
в группах.
16. Компьютерная реализация стандарта – выполнение расчетной работы по вариантам
в группах (продолжение).
17. Компьютерная реализация протокола на эллиптической кривой – выполнение
расчетной работы по вариантам в группах.
18. Компьютерная реализация протокола на эллиптической кривой – выполнение
расчетной работы по вариантам в группах (продолжение).
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не предусмотрены.
8. Примерная тематика курсовых работ.
Не предусмотрены.
Кол-во
баллов
Конспектирование материала
Работа с
на лекционных занятиях.
учебной
Выполнение домашних зада- литературой.
ний. Подготовка к контрольной Подготовка к
работе и собеседованию.
собеседованию
8
Объем
часов
Модуль 1
1 Основы
теории чисел
Неделя
семестра
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы
студентов.
Таблица5.
№
Модули и
Виды СРС
темы
Обязательные
дополнительные
1-3
24
0-13
Дискретное Конспектирование материала
логарифмиро
на лекционных занятиях.
вание в Zp
Подготовка к коллоквиуму и
контрольной работе. Выполнение домашних заданий.
Всего по модулю 1*:
Модуль 2
Эллиптически
Конспектирование
е кривые.
материала на лекционных
занятиях. Выполнение
3.
домашних заданий.
Подготовка к контрольной
работе и собеседованию.
Дискретное
Конспектирование
логарифмиров
материала на лекционных
ание на
занятиях. Подготовка к
4.
эллиптическо коллоквиуму и контрольной
й кривой.
работе. Выполнение
домашних заданий.
Всего по модулю 2*:
Модуль 3
5.
Криптографи
Конспектирование
ческие
материала на лекционных
алгоритмы на
занятиях. Выполнение
эллиптическо
домашних заданий.
й кривой.
Подготовка к расчетной
работе и собеседованию.
6.
Криптографи
Конспектирование
ческие
материала на лекционных
стандарты и
занятиях. Подготовка к
протоколы на
коллоквиуму и расчетной
эллиптическо
работе. Выполнение
й кривой.
домашних заданий.
Всего по модулю 3*:
ИТОГО*:
*- с учетом иных видов работы
2
Работа с
учебной
литературой
Работа с
учебной
литературой
Работа с
учебной
литературой
Работа с
учебной
литературой
Работа с
учебной
литературой
4-6
24
0-20
48
0-33
7-9
20
0-13
1012
20
0-20
40
0-33
1314
28
0-14
1518
28
0-20
56
144
0-34
0-100
Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины
осуществляется в рамках рейтинговой (100-бальной) системы оценок.
Вопросы к коллоквиуму совпадают с вопросами к экзамену, приведенными в п.10.3
и выбранными в соответствии с модулем, в котором проводится коллоквиум.
9
С.6.
ИГА
+
+
+
Аппаратные средства вычислительной техники*
+
Структуры и алгоритмы компьютерной обработки данных
+
Теория вероятностей и математическая статистика*
+
Безопасность операционных систем
Технологии защищенного документооборота
Эллиптические кривые и защита информации
Организационные и правовые основы информационной
безопасности*
Безопасность IP-телефонии
Безопасность Wi-Fi сетей
Управление IT-проектами по информационной
безопасности.
ПК-9
ПК-2
Дискретная математика*
Информатика*
Математический анализ*
История математики
Правоведение*
Алгебра и геометрия*
Математический анализ*
Аппаратные средства вычислительной техники*
Основы информационной безопасности*
Алгебра и геометрия*
ПК-4
ПК-1
Дисциплина
3 семест
р
4 семестр
6 семестр
С.5.
практики
8 семестр
7
семестр
С.1-С.3. Дисциплины.
2 семестр
1
семестр
Семестр
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины.
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения
образовательной программы (выдержка из матрицы компетенций):
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Учебная практика
+
+
+
+
Производственная практика
+
+
+
+
Выпускная квалификационная работа
+
+
+
*отмечены дисциплины базового цикла.
10
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных
этапах их формирования, описание шкал оценивания:
Знает:
свойства
конечных
групп и полей.
Умеет:
производить
вычисления в
Zp и группе
точек
эллиптической
кривой.
Находить
точки
и
генератор,
порядок
группы точек,
дискретные
логарифмы.
Владеет:
навыками
эффективных
расчетов
в
системе
вычетов
и
группе точек
эллиптической
кривой.
11
Знает: понятие
и
свойства
группы,
конечной
группы,
группы
вычетов,
группы точек
эллиптической
кривой.
Умеет:
производить
вычисления в
Zp и группе
точек
эллиптической
кривой.
Находить
параметры
эллиптической
кривой,
осуществлять
дискретное
логарифмирова
ние
эффективными
алгоритмами.
Владеет:
навыками
эффективных
расчетов
в
системе
вычетов
и
группе точек
эллиптической
кривой,
вычисления
дискретных
логарифмов.
Оценочные
средства
Знает: понятие
группы,
конечной
группы,
группы
вычетов,
группы точек
эллиптической
кривой.
Умеет:
производить
сложение
и
умножение,
находить
противополож
ный
и
обратный
элементы в Zp и
группе точек
эллиптической
кривой.
Владеет:
навыками
эффективных
расчетов
в
системе
вычетов.
Расчетная работа, контрольная работа, коллоквиум
ПК-1
Знает: понятие
конечных
групп и полей;
Умеет:
производить
вычисления в
конечных
полях и
группах;
Владеет:
навыками
эффективных
расчетов.
Виды
занятий
Результаты
обучения в
целом
Лекции, практические занятия
Код
компетенции
Таблица 6.
Карта критериев оценивания компетенций
Критерии в соответствии с уровнем освоения
ОП
минимальный базовый (хор.) повышенный
(удовл.)
76-90 баллов
(отл.)
61-75 баллов
91-100 баллов
12
Расчетная работа, контрольная работа,коллоквиум
Знает:
криптосистемы
ДиффиХэллмана и
Шамира на
эллиптической
кривой.
Умеет:
отыскать
в
тексте
стандарта
требуемый
размер
ключевой
информации.
Владеет: криптографической
терминологией
на
базовом
уровне
в
рамках
стандартов
ГОСТ.
Расчетная работа, контрольная работа, коллоквиум.
Знает:
криптографичес
кие алгоритмы
на
эллиптической
кривой;
Умеет:
оценить
криптостойкость
схемы ЭЦП на
эллиптической
кривой;
Владеет:
криптографичес
кой
терминологией.
Знает: понятие и
свойства группы,
конечной группы, группы вычетов, группы точек эллиптической кривой.
Умеет: получить
ключевую
информацию и
параметры
эллиптической
кривой;
определить
свойства
эллиптической
кривой;
Владеет: навыками программной
реализации операций над точками эллиптической кривой,
криптографических алгоритмов
на эллиптической
кривой.
Знает: основные Знает: основные
криптосистемы криптосистемы,
на эллиптической стандарты и
кривой и
протоколы на
стандарт ГОСТ Р эллиптической
34.10-2012.
кривой.
Умеет: верно
Умеет: верно
определять
определять
требуемый
требуемый
размер
размер ключевой
ключевой
информации,
информации для трудоемкость
схемы.
дискретного
логарифмирован
Владеет:
криптографичес ия.
кой
Владеет: криптотерминологией графической
на базовом
терминологией
уровне на
на базовом
русском языке. уровне на
русском и
английском
языках.
Знает:
свойства
конечной
группы точек
эллиптической
кривой.
Умеет:
получить
ключевую
информацию и
параметры
эллиптической
кривой;
Владеет:
навыками
программной
реализации
операций над
точками
эллиптической
кривой.
Лекции, практические занятия
Знает: понятие
группы точек
эллиптической
кривой.
Умеет:
находить
большие
простые числа.
Владеет:
навыками
программной
реализации
тестов
на
простоту числа
и
навыками
программной
реализации
операций над
точками
эллиптической
кривой
с
малым
модулем.
Лекции, практические занятия
ПК-2
ПК-4
Знает: группы
точек на
эллиптической
кривой;
Умеет:
получить
ключевую
информацию и
параметры
эллиптической
кривой;
определить
свойства
эллиптической
кривой;
Владеет:
навыками
программной
реализации
криптографиче
ских
алгоритмов;
Знает: внутренЗнает:
внутреннее
нее содержание
содержание
отечественных
отечественных криптографическ
криптографическ их стандартов, их
их стандартов и характеристики
ЭЦП Эль-Гамаля по сравнению с
на эллиптической зарубежными,
кривой.
основные криптосистемы, станУмеет:
определять
дарты и протоприменимость колы на эллиптитого или иного ческой кривой.
отечественного Умеет: приместандарта или
нять на практике
РД.
отечественные
стандарты и РД.
Владеет
навыками
Владеет: навыкаприменения
ми применения
алгоритмов на
алгоритмов, осноэллиптических ванных на теорекривых к
тико-числовых
вопросам
принципах, к воппостроения
росам построения
криптосистем и криптосистем и
их анализу.
их анализу.
Расчетная работа, собеседования.
Знает:
наименования
и назначение
отечественных
стандартов
ЭЦП.
Умеет:
определять
область
применения
ГОСТов.
Владеет:
навыками
применения
отечественных
стандартов на
ЭЦП
к
проектировани
ю
криптографиче
ской системы.
Лекции, практические занятия.
ПК-9
Знает: криптографические
стандарты; основные схемы
цифровой
подписи.
Умеет:
использовать
стандарты схем
на
эллиптической
кривой для
защиты
информации.
Владеет:
навыками
применения
алгоритмов,
основанных на
теоретикочисловых
принципах, к
вопросам
построения
криптосистем и
их анализу.
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы
формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Вопросы к экзамену
Основные понятия теории чисел. Теорема делимости.
Наибольший общий делитель и алгоритм Евклида.
Цепные дроби и алгоритм Евклида.
Наименьше общее кратное. Простые числа.
Теоремы Евклида о простых числах. Решето Эратосфена.
Основные свойства простых чисел. Теорема о единственности разложения на
простые сомножители.
7. Функция Эйлера, ее свойства.
8. Сравнения. Свойства сравнений.
9. Полная система вычетов, приведенная система вычетов. Алгебраические свойства,
обратный элемент.
10. Теорема Эйлера, теорема Ферма. Следствие.
11. Сравнения с одним неизвестным 1-й степени.
12. Квадратичные сравнения по простому модулю.
13. Символ Лежандра и его свойства.
14. Решение квадратичных сравнений по простому модулю.
15. Задача дискретного логарифмирования. Метод прямого поиска.
16. Ро-метод Полларда дискретного логарифмирования.
17. Алгоритм Полига-Хеллмана.
18. Метод «Шаг младенца-шаг великана».
1.
2.
3.
4.
5.
6.
13
19. Метод исчисления порядка.
20. Эллиптическая кривая над полем вещественных чисел.
21. Групповой закон для точек эллиптической кривой.
22. Эллиптическая кривая в форме Вейерштрасса.
23. Эллиптические кривые над полями характеристики 2.
24. Эллиптические кривые над полями нечетной характеристики.
25. Эллиптическая кривая над полем Zp. Группа точек эллиптической кривой.
26. Мультипликативная операция над точками кривой.
27. Быстрая редукция. NIST-кривые.
28. Порядок и генератор эллиптической кривой. Теорема Хассе.
29. Алгоритм Схоуфа (Шуфа).
30. Задача дискретного логарифмирования на эллиптической кривой и ее
использование в криптографии. Пример построения криптосистемы на
эллиптической кривой – шифр Шамира.
31. Алгоритм Шенкса на эллиптической кривой.
32. Ро-метод Полларда на эллиптической кривой.
33. Алгоритм ECDH (Диффи-Хэллмана).
34. Криптосистема Эль-Гамаля на эллиптической кривой.
35. Стандарт ECDSA.
36. Стандарты ГОСТ Р 34.10-2001 и ГОСТ Р 34.10-2012.
37. Протокол ECMQV (Менезеса-Кью-Ванстоуна).
38. Факторизация Ленстры на эллиптических кривых.
Пример варианта контрольной работы №1
1. Вычислить НОД(a,b) двумя способами: алгоритмом Евклида с делением с остатком и
бинарным алгоритмом Евклида. Сравнить количество итераций для этих алгоритмов.
а) a=18, b=35; б) a=329, b=826; в) a=26, b=738; г) a=288, b=15.
2. Определить, являются ли числа a, b, c взаимно простыми? Попарно простыми?
а) a=13, b=17, c=15; б) a=105, b=91, c=26; в) a=22, b=121, c=209.
3. Вычислить функцию Эйлера от следующих чисел:
а) 13; б) 17;
в) 9;
г) 16; д) 6;
е) 24;
ж) 227; з) 725; и) 94836.
4. Выписать абсолютно наименьший и наименьший неотрицательный вычеты числа a
по модулю b (понижать степени, пользуясь теоремой Эйлера), где
а) a=2, b=15;
б) a=13, b=20;
в) a=26, b=7;
г) a= –10 , b=5;
10
13
д) a=12 , b=7;
е) a=5 , b=9;
ж) a=144, b=12;
з) a= (2)101, b=165.
5. Выписать полную и приведенную системы наименьших неотрица-тельных вычетов
по следующим модулям:
а) 7;
б) 16;
в) 17;
г) 21;
д) 20;
е) 5.
6. Верны ли следующие сравнения?
а) 163(mod 13);
б) -11(mod 5);
в) -35(mod 8);
7. Вычислить a-1 mod b, если таковой существует, где
а) a=18, b=35;
б) a=3, b=256;
в) a=16, b=89;
8. Решить сравнения
а)7x3(mod 13);
б)-15x15(mod 35);
г) 320(mod 4).
г) a=21, b=15.
в)35x5(mod 24);
14
г)18x13(mod 81).
Пример варианта контрольной работы №2
1. Вычислить символ Якоби:
 61 
а) 
;
 103 
 109 
b) 
;
 73 
 9 
 49 
c) 
 ; d) 
;
 123 
 201 
 148 
e) 
;
 241 
 175 
f) 
.
 459 
2. Выяснить, сколько решений имеет сравнение, не решая его.
a) x220 (mod 31); b) x221 (mod 49); c) x22 (mod 55); d) x289(mod 160).
3. Решить квадратичные сравнения
a) x213 (mod 23);
b) x224 (mod 53);
c) x210 (mod 41).
Пример варианта контрольной работы №3.
1. Сколько порождающих элементов в Z*m? Найти порождающий элемент, если они
существуют.
а) m=214;
б) m=85;
в) m=202;
г) m=23;
д) m=343.
2. Какие из чисел 2, 3, 4, m-2, m-3, m-4 являются порождающими элементами Z*m?
а) m=11;
б) m=46;
в) m=242;
г) m=169;
д) m=280.
3. Вычислить log23(mod 101–1) методом «шаг младенца–шаг великана».
4. Вычислить log 6 5 (mod 103–1) ро-методом.
5. Вычислить log 5 2 (mod 97–1) методом Полига-Хэллмана.
6. Вычислить log 5 71 (mod 73–1) методом исчисления порядка.
Пример варианта контрольной работы №4.
1. Построить группу точек эллиптической кривой
y22x3+3x+9
(mod
11),
определить ее порядок.
2. Найти порядки трех произвольных точек. Найти генератор кривой. Вычислить
значения точек A+B, 2A, 3A, где A(0,3), B(1,5).
3. Вычислить LOGB A на этой эллиптической кривой ро-методом.
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний,
умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы
формирования компетенций.
К экзамену допускаются студенты, набравшие за семестр 35 баллов. Экзамен
проходит в традиционной форме, по билетам. В билете – 2 теоретических вопроса и
задача. Для получения оценки «удовлетворительно» студентом должен быть сделан ответ
на 1 вопрос из билета, в общем раскрывающий тему и не содержащий грубых ошибок.
Ответ студента должен показывать, что он знает и понимает смысл и суть описываемой
темы и ее взаимосвязь с другими разделами дисциплины и с другими дисциплинами.
Для получения оценки «хорошо» студент должен ответить на оба вопроса билета и
решить задачу. Ответ должен раскрывать тему и не содержать грубых ошибок. Ответ
студента должен показывать, что он знает и понимает смысл и суть описываемой темы и
ее взаимосвязь с другими разделами дисциплины и с другими дисциплинами
специальности, может воспроизвести общую схему описываемого криптографического
алгоритма, или условие теорем. Может привести пример по описываемой теме. Ответ
может содержать небольшие недочеты, допускается отсутствие доказательств теорем,
15
подробного описания транзакций протоколов, если приведена их суть. Решение задачи
должно быть в целом верным, допускаются небольшие вычислительные или
алгоритмические ошибки при условии, что после указания на них, студент может
исправить их самостоятельно.
Для получения оценки «отлично» студент должен ответить на оба вопроса билета и
решить задачу. Ответ должен быть подробным, в полной мере раскрывать тему и не
содержать грубых или существенных ошибок. Каждый вопрос должен сопровождаться
примерами. В ответе должны быть приведены доказательства всех теорем и(или)
подробное описание транзакций протоколов. Решение задачи должно быть верным и не
содержать ошибок.
11. Образовательные технологии.
В учебном процессе используются такие виды учебной активности, как
лекционные и семинарские занятия, конспектирование, решение задач индивидуально и в
группах под руководством преподавателя, выполнение расчетных работ в группах.
Домашние работы студентов обсуждаются на собеседованиях по заданной теме, знание
теоретического материала проверяется на коллоквиумах. Предусмотрены контрольные
работы.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины.
12.1 Основная литература:
1. Иванов М.А. Криптографические методы защиты информации в компьютерных
системах и сетях [Электронный ресурс]: учебное пособие /М.А. Иванов, И.В.
Чугунков
–
М.:
МИФИ,
2012.
–
400
с.
Режим
доступа:
http://www.biblioclub.ru/book/231673/ (дата обращения: 01.09.2014);
2. Кнауб, Л.В. Теоретико-численные методы в криптографии [Электронный ресурс]:
учебное пособие/ Л.В. Кнауб, Е.А. Новиков, Ю.А. Шитов – Красноярск: СибФУ,
2011. - 160 с. Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=229582
(дата обращения: 01.09.2014).
12.2 Дополнительная литература:
1. Ниссенбаум О.В. Теоретико-числовые методы в криптографии: сб. заданий: учеб.метод. пособие,Ч.2. - Тюмень: Изд-во ТюмГУ. - 2012. – 40 с.
2. Ниссенбаум О.В. Теоретико-числовые методы в криптографии: сб. заданий: учеб.метод. пособие, Ч.3. - Тюмень: Изд-во ТюмГУ. - 2014. – 40 с.
3. Фирдман, И.А. Теоретико-числовые алгоритмы и их применение в криптографии
[Электронный ресурс]: сборник задач/ И.А. Фирдман. - Омск: Омский
государственный
университет,
2011.
19
с.
Режим
доступа:
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=238201 (дата обращения: 01.09.2014).
12.3 Интернет-ресурсы:
- вузовские электронно-библиотечные системы учебной литературы.
- доступ к открытым базам цитирования, в т.ч. springer.com, scholar.google.com, math-net.ru
- A. Menezes, P. van Oorschort, S. Vanstone, Handbook of Applied Cryptography – CRC
Press Inc., 5th Printing, 2001 [On-line] http://www.cacr.uwaterloo.ca/hac/
- http://www.ietf.org/rfc.html [On-line] - документы IETF – инженерного совета
Интернета.
- http://www.iacr.org/
- http://www.gost.ru/
16
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень
программного обеспечения и информационных справочных систем (при
необходимости).
- Visual Studio;
- MS Excel или Open Office Calc.
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины.
-компьютерный класс.
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).
Для подготовки к собеседованиям и коллоквиумам необходимо пользоваться
конспектом лекций и [1,2] из списка основной литературы. Для выполнения расчетных
работ на практических занятиях следует использовать [1-2] из списка дополнительной
литературы. [3] из списка дополнительной рекомендуется использовать как справочную.
Для получения расширенных и углубленных знаний по тематике рекомендуется
пользоваться ссылками из списка интернет-ресурсов, приведенных в данном УМК, а
также электронными и бумажными номерами научных журналов, имеющихся в ИБЦ,
областной научной библиотеке и сети интернет. Особенное внимание рекомендуется
обратить на издания «Математические вопросы криптографии», «Прикладная дискретная
математика», материалами конференций RealWorldCrypto, Crypto, Eurocrypt, Rusсrypt,
Sibeсrypt, Asiacrypt.
17