Практическое занятие 5 Тройной интеграл 5.1 Определение, свойства и вычисление тройного интеграла 5.2 Замена переменных в тройном интеграле 5.3 Цилиндрические и сферические координаты 5.4 Приложения тройного интеграла 5.1 Определение, свойства и вычисление тройного интеграла О п р е д е л е н и е т р о й н о г о и н т е г р а л а . Пусть Q за- мкнутая область пространства 3 , на котором задана непрерывная функция f x; y; z . И пусть Qi , i 1,2,..., n , разбиение области Q на частичные области Q1 , Q2 , ... , Qn с объемами V1 , V2 , ... , Vn . При этом мелкость разбиения есть max d Qi , где d Qi – диаметр частичной области Qi , 1i n i 1,2,..., n . В каждой малой части Qi выберем произвольную точку Ci i ; i ; i . Сумма n n , Ci f i ;i ; i Vi (5.1) i 1 называется интегральной суммой Римана для функции f x; y; z на множестве Q , соответствующей разбиению и выбору точек Ci Qi , i 1,2,..., n . Если функция f x; y; z , ограничена на Q , то для любого разбиения Qi , i 1,2,..., n , определены числа: mi inf x ; y ; z Qi f x; y; z , M i sup x; y ; z Qi f x; y; z . Суммы n n s mi Vi , S M i Vi i 1 i 1 называются нижней и верхней суммами Дарбу, соответствующими разбиению Qi множества Q . 63 Тройным интегралом от функции f x; y; z по множеству Q называется предел (если он существует) интегральной суммы (5.1) при 0 : n f x; y; z dV lim f i ;i ; i Vi , 0 V (5.2) i 1 подынтегральная функция f x; y; z называется интегрируемой по замкнутой области Q , множество Q – областью интегрирования, x , y , z – переменными интегрирования, dv – элементом объема. Не ограничивая общности, можно считать, что dv dxdydz. Поэтому можно записать: f x; y; z dxdydz f x; y; z dv . V V Теорема 1 (необходимое условие интегр ируе м о с т и ) Если функция f x; y; z интегрируема в замкнутой области Q , то она ограничена в этой области. Теорема 2 (достаточное условие интегр ир у е м о с т и ) Если функция f x; y; z непрерывна в замкнутой области Q , то она интегрируема в ней. Теорема 3 (критерий интегрируемости Д а р б у ) Для того чтобы ограниченная функция была интегрируема в замкнутой области Q 3 , необходимо и достаточно, чтобы для любого 0 нашлось такое 0 , что для любого разбиения Qi с мелкостью выполнялось неравенство S s . С в о й с т в а т р о й н о г о и н т е г р а л а . Для тройного интеграла справедливы следующие свойства: – dv V , где V – объем области Q ; Q – (линейность) если и — произвольные постоянные числа, функции f x; y; z и g x; y; z интегрируемы в области 64 Q , то функция f x; y; z g x; y; z тоже интегрируема в Q и справедливо равенство: f x; y; z g x; y; z dv Q f x; y; z dv g x; y; z dv ; Q Q – (аддитивность) если область Q является объединением Q1 и Q2 , не имеющих общих внутренних точек, на областей каждом из которых функция f x; y; z интегрируема, то f x; y; z также интегрируема на Q и справедлива формула: f x; y; z dv f x; y; z dv f x; y; z dv ; Q Q1 Q2 – (монотонность) если в области Q имеет место неравенство f x; y; z 0 , то f x; y; z dv 0 ; Q – если функция f x; y; z непрерывна в области Q , объем которой равен V , то m V f x; y; z dv M V , Q где m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции на множестве Q . – (теорема о среднем) если функция f x; y; z непрерывна в области Q , объем которой равен V , то в этой области существует такая точка P0 x0 ; y0 z0 , что f x; y; z dv f x0 ; y0 ; z0 V . Q В ы ч и с л е н и е т р о й н о г о и н т е г р а л а . В декартовых координатах вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех определенных. 65 Пусть функция f x; y; z определена на измеримом множестве Q x; y; z x; y G Oxy, z1 x; y z z2 x; y , где z1 x; y и z 2 x; y – непрерывные функции в области G . И пусть каждая прямая, параллельная оси Oz , пересекает границу области Q не более чем в двух точках (рисунок 5. 1), т. е. пространственная область Q является элементарной относительно оси Oz . Рисунок 5. 1 – Пространственная область Q Т е о р е м а 4 Пусть 1) существует тройной интеграл f x; y; z dxdydz; Q 2) x; y G существует определенный интеграл I x; y z2 x; y f x; y; z dz z1 x ; y (при постоянных x и y ). Тогда существует двойной интеграл z2 x; y I x; y dxdy dxdy G G и справедливо равенство: 66 f x; y; z dz z1 x ; y z2 x; y f x; y; z dxdydz dxdy f x; y; z dz . V (5.3) z1 x ; y G Данная формула позволяет свести вычисление тройного интеграла к последовательному вычислению внутреннего определенного интеграла по переменной z (при постоянных x и y ) и внешнего двойного интеграла по области G . Выражение I x; y z2 x; y f x; y; z dz (5.4) z1 x ; y представляет собой функцию двух переменных. Если для этой функции и области G x; y a x b, y1 x y y1 x , по которой она интегрируется, выполнены условия теоремы о сведении двойного интеграла к повторному, то, переходя от двойного интеграла I x; y dxdy к повторному интегралу, получаем G b f x; y; z dxdydz dx Q a y1 x z2 x; y f x; y; z dz . dy y1 x (5.5) z1 x ; y Если пространственная область Q не является элементарной, то ее необходимо разбить на конечное число элементарных областей, к которым можно применить формулу (5.5). Порядок интегрирования в формуле при определенных условиях может быть иным, т. е. переменные x , y , z можно менять местами. Пусть Q – прямоугольный параллелепипед Q x; y; z a x b, c y d , p z q, f x, y, z – непрерывная в Q функция. Тогда: Q Если b d q d b q q d b a c p c a p p c a f dxdydz dx dy f dz dy dx f dz dz dy f dx . f x, y , z x g y h z 67 и область Q – прямоугольный параллелепипед, то b d q f x, y, z dxdydz x dx g y dy hz dz . Q a c p (5.6) 5.2 Замена переменных в тройном интеграле Замена переменных в тройном интеграле f x; y; z dxdydz Q состоит в переходе от координат x , y , z к новым криволинейным координатам u , v , w по формулам (5.7) x x u; v; w , y y u; v; w , z z u; v; w , где u; v; w Q* 3uvw . Функции (5.7) осуществляют взаимно-однозначное отображение области Q* 3uvw на область Q 3xyz . Т е о р е м а 5 Пусть 1) Q и Q * замкнутые ограниченные области в пространствах 3 xyz и 3 uvw соответственно; 2) функция f x; y; z ограничена и непрерывна в области Q ; 3) функции xu; v; w , y u; v; w , z u; v; w имеют в области Q * непрерывные частные производные первого порядка и яко- x x x u v w Dx; y; z y y y 0 в области Q * . биан J Du; v; w u v w z z z u v w Тогда справедлива формула замены переменных в тройном интеграле f x; y; z dxdydz (5.8) Q f xu; v; w; yu; v; w; zu; v; w J dudvdw. Q* 68 5.3 Цилиндрические и сферические координаты Ц и л и н д р и ч е с к и е к о о р д и н а т ы . Пусть M x; y; z произвольная точка в пространстве Oxyz , M ' x; y – проекция точки M на плоскость Oxy . Точка M однозначно определяется тройкой чисел r ; ; z , где r ; – полярные координаты точки M ' , z – аппликата точки M (рисунок 5. 2). Тройка чисел r ; ; z называется цилиндрическими координатами точки M . Рисунок 5. 2 – Связь декартовых и цилиндрических координат Рисунок 5. 3 – Связь декартовых и сферических координат Переход от прямоугольных координат x; y; z к цилиндрическим координатам r ; ; z задается формулами x r cos , (5.9) y r sin , z z, где 0 r , 0 2 , z . Иногда в качестве промежутка изменения берётся промежуток . Якобиан отображения есть x x x r z cos r sin 0 D( x, y, z ) y y y J sin r cos 0 r . D( p, , z ) r z 0 0 1 z z z r z 69 С ф е р и ч е с к и е к о о р д и н а т ы . Пусть M x; y; z – произвольная точка в пространстве Oxyz , M ' x; y – проекция точки M на плоскость Oxy . Точка M однозначно задается тройкой чисел r ; ; , где r – расстояние точки M до точки O (начала координат), – угол между лучами OM и Oz , – полярный угол точки M ' на плоскости Oxy (рисунок 5. 3). Тройка чисел r ; ; называется сферическими координатами точки M . Переход от прямоугольных координат x; y; z к сферическим координатам r ; ; задается формулами x r cos sin , y r sin sin , z r cos , где 0 r , 0 2 , 0 . Якобиан отображения есть: x x x r D( x, y, z ) y y y J D(r , , ) r z z z r cos sin r sin sin sin sin r cos sin cos 0 (5.10) r cos cos r sin cos r 2 sin . r sin x2 y 2 z 2 1 или его a 2 b2 c2 частью, переходят к обобщенным сферическим координатам по формулам: Если тело ограничено эллипсоидом 70 x a r sin cos , y b r sin sin , z c r cos , (5.11) якобиан отображения равен J abcr 2 sin . Тогда f x, y, z dxdydz Q f ar sin cos, br sin sin , cr cos abcr sin drdd . 2 Q* 5.4 Приложения тройного интеграла Пусть Q материальное тело с плотностью x; y; z . Тогда тройной интеграл используется для вычисления: – объема тела (5.12) V dxdydz ; Q – массы тела m x; y; z dxdydz ; (5.13) Q – статических моментов M yz , M zx , M xy тела относительно координатных плоскостей Oyz , Ozx , Oxy соответственно: M yz x x; y; z dxdydz ; Q M zx y x; y; z dxdydz ; (5.14) Q M xy z x; y; z dxdydz ; Q – координат центра xc ; yc ; zc тяжести тела: M yz M xy M , ; x0 z0 y0 zx , m m m 71 (5.15) – моментов инерции I yz , I zx , I xy тела относительно координатных плоскостей Oyz , Ozx , Oxy соответственно: I yz x 2 x; y; z dxdydz ; Q I zx y 2 x; y; z dxdydz ; (5.16) Q I xy z 2 x; y; z dxdydz ; Q – моментов инерции I x , I y , I z , I 0 тела относительно координатных осей Ox , Oy , Oz и начала координат O 0;0 соответственно: I x I zx I xy , I y I xy I yz , I z I yz I zx ; (5.17) I 0 I yz I zx I xy . Вопросы для самоконтроля 1 Дайте определения: а) интегральной суммы, б) нижней и верхней сумм Дарбу. 2 Что называется тройным интегралом? 3 Сформулируйте необходимое и достаточное условия интегрируемости функции f x; y; z . 4 Перечислите свойства тройного интеграла. 5 Сформулируйте теорему о сведении тройного интеграла к повторному. 6 Сформулируйте теорему о замене переменных в тройном интеграле. 7 Какие координаты называются цилиндрическими? Чему равен якобиан перехода от декартовых координат к цилиндрическим? 8 Какие координаты называются сферическими? Чему равен якобиан перехода от декартовых координат к сферическим? 9 При вычислении каких величин используется тройной интеграл? 72 Решение типовых примеров 1 Вычислить x y z dxdydz, где Q Q x; y; z 0 x 1,0 y 2, 0 z 3 . Р е ш е н и е . Область интегрирования – прямоугольный параллелепипед. По формуле (5.6) получим: 1 2 0 0 3 x y z dxdydz dx dy x y z dz Q 0 2 z2 3 9 dx xz yz 0 dy dx 3 x 3 y dy 2 2 0 0 0 0 1 2 1 1 1 3 9 3 xy y 2 y 02 dx 2 2 0 6 x 6 9 dx 0 1 6 x 15 dx 3x 2 15 x 1 0 3 15 18 . 0 2 Вычислить интеграл x y z dxdydz, область Q огра- Q ничена плоскостями x 0 , y 0 , z 0 , x y z 1 0 . Р е ш е н и е . Область Q проектируется на плоскость Oxy в область G , которая представляет собой треугольник (рисунок 5. 4): G x; y 0 x 1, 0 y 1 x . Рисунок 5.4 – Область интегрирования для типового примера 2 Рисунок 5.5 – Область интегрирования для типового примера 3 73 Имеем 1 1 x 1 x y 0 0 0 x y z dxdydz dx dy x y z dz Q 1 x y 1 1 x z2 dx xz yz 2 0 0 0 dy 1 x 1 1 1 1 y3 y yx2 xy 2 dx 2 3x x3 dx = 60 2 0 3 0 1 1 3x 2 x 4 1 3 1 2x . 6 2 4 0 6 4 8 x 3 Вычислить интеграл 2 y 2 dxdydz , где область Q Q ограничена поверхностями z x 2 y 2 и z 1 (рисунок 5. 5). Р е ш е н и е . Вычислим данный интеграл, переходя к цилиндрическим координатам по формулам (5.9). Область Q проектируется в круг x 2 y 2 1 . Поэтому 0 2 , 0 r 1 . Постоянному значению r в пространстве Oxyz соответствует цилиндр x 2 y 2 r 2 . Рассматривая пересечение этого цилиндра с областью Q , получаем изменение координаты z от точек, лежащих на параболоиде, до значений тех точек, лежащих на плоскости z 1 , т. е. r 2 z 1 . Имеем: x 2 2 1 1 0 0 2 y 2 dxdydz d dr r 2 rdz Q 2 1 2 r4 r6 1 d r z 2 dr d d . 4 6 12 0 6 0 0 0 0 1 3 1 2 4 Вычислить интеграл x 2 y 2 z 2 dxdydz, где область Q V есть шар x 2 y 2 z 2 R 2 (рисунок 5. 6). 74 Рисунок 5. 6 – Область интегрирования для типового примера 4 Рисунок 5. 7 – Область интегрирования для типового примера 5 Р е ш е н и е . Вычислим данный интеграл, переходя к сферическим координатам по формулам (5.10). Из вида области Q следует, что 0 r R , 0 2 , 0 . В этом случае подынтегральная функция примет вид: x 2 y 2 z 2 r 2 sin 2 cos2 r 2 sin 2 sin 2 r 2 cos 2 r 2 sin 2 r 2 cos 2 r 2 . Тогда x 2 R Q 0 R 2 y 2 z 2 dxdydz dr d r 2 r 2 sin d 2 0 0 5 R 0 0 R 0 0 r 4 dr sin d d 2 r 4 dr sin d 0 R 4 r 4 dr 4 0 r 5 0 4R . 5 5 3 5 Вычислить Q x2 y2 z 2 2 2 2 dxdydz, где Q – эллипсоид a b c 2 x y2 z2 1. a 2 b2 c2 Р е ш е н и е . Переходя к обобщенным сферическим координатам по формулам (5.11), получим уравнение эллипсоида r 2 1. (рисунок 5. 7) 75 Тогда 3 Q x2 y 2 z 2 2 2 2 dxdydz a b c r 6 r r 2 sin abcdrdd abc Q* 8 sin drdd Q* 2 1 0 0 abc d sin d r 8 dr abc 0 cos 0 r 2 0 9 9 1 0 abc 4abc . 2 1 1 9 9 6 Найти объем тела, ограниченного поверхностями 2z x2 y 2 , z 2 . Р е ш е н и е . Тело Q ограничено снизу параболоидом вращения с осью симметрии Oz , вершиной в начале координат, сверху – плоскостью z 2 . Проекция тела на плоскость Oxy – область, ограниченная окружностью 2 z x 2 y 2 , x2 y2 4 . z 2 , Для вычисления интеграла перейдем к цилиндрическим координатам по формулам (5.9): x2 y2 r2 z 2 , то z 2. Так как 2 2 Очевидно, что 0 2 , 0 r 2 . Тогда по формуле (5.12) объем тела равен V dxdydz r drddz Q* Q 2 2 2 2 2 d dr rdz d rz 0 0 r2 2 0 0 2 r2 2 2 2 r2 dr d r 2 dr 2 0 0 2 2 2 2 r3 r4 d 2r dr r 2 02 d 4 2d 2 8 0 0 0 0 76 2 2 d 2 2 0 4 . 0 7 Найти массу шара x 2 y 2 z 2 2 Rz , если плотность в каждой точке обратно пропорциональна расстоянию ее до начала координат. k Р е ш е н и е . По условию x, y, z и тогда по 2 x y2 z2 формуле (5.13) масса равна k m dxdydz . 2 x y2 z2 V Уравнение сферической поверхности приведем к каноническому виду x 2 y 2 z 2 2 Rz ; x 2 y 2 z 2 2Rz R 2 R 2 ; x 2 y 2 z R R 2 . Сфера с центром в точке 0;0; R радиуса R . Проекция тела на плоскость z 0 – область, ограниченная окружностью x2 y2 R2 . Переходим к сферическим координатам (5.10) .Из уравнения сферической поверхности находим пределы для r : x 2 y 2 z 2 2 Rz 0 r 2 2 Rr cos 0 r r 2 R cos 0 0 r 2 R cos . 2 При этом 0 2 , 0 Тогда масса равна m Q k x2 y 2 z 2 2 . dxdydz k Q* 77 r 2 sin drd d r k 2 2 2 R cos 0 0 r sin drd d k d d Q* 0 2 2 k d sin 0 r sin dr 0 2 r 2 2 R cos 0 2 d 2 k d sin 4 R 2 cos2 d 2 0 0 2 2 2kR2 d cos2 d cos 0 2 2kR2 0 cos 3 0 3 2 0 2 1 2 d 2kR2 0 d kR2 3 3 0 2 0 4 kR 2 . 3 Задания для аудиторной работы 1 Вычислить следующие тройные интегралы по указанным пространственным областям: 3 а) 5 x z dxdydz, Q : y x , y 0 , x 1 , z 0 , 2 Q z x 2 15y 2 ; x y z dxdydz, Q : 1 x 0 , 0 y 1 , 2 z 3 ; б) 2 Q в) dxdydz 1 x y z 3 , Q : x y z 1, x 0 , y 0 , z 0 ; Q г) 4 x y z dxdydz, Q z 2 x2 , x y 1, x 0 , y 0 , Q z 0; д) zdxdydz, Q : z 1 x2 y 2 , z 0 , y x , y 2x , Q x 1 ; 2 78 ydxdydz, е) Q : 4 x 2 y 2 z 2 16 , y 3x , y 0, Q z0; ж) zdxdydz, Q : Q 8 y ze и) 2 xyz x2 y 2 z 2 1, z 0 ; a 2 b2 c2 dxdydz, Q : x 0 , x 2 , y 1 , y 0 , z 0 , Q z 2; к) dxdydz 4x 3 y z 2 6 , Q : x y z 1, x 0 , y 0 , z 0 ; Q л) 1 2 y dxdydz, Q : z y 2 , z 2x 6 , x 0 , z 4 ; Q м) x 2 y 2 dxdydz, Q : x 2 y 2 1 , 0 z x 2 y 2 . Q 2 Найти объем тела, ограниченного поверхностями z 4 y 2 , z y 2 2 , x 1 , x 2 . 3 Вычислить массу тела Q , ограниченного поверхностями x 2 y 2 2 z , z 2 , если плотность x, y, z x 2 y 2 . 4 Найти массу шара x 2 y 2 z 2 2 x , если плотность x, y, z x 2 y 2 z 2 . 5 Вычислить массу тела Q , ограниченного поверхностями z 2y 2 , z 3y 2 y 0 , z 4 x , z 5 x , z 3 , с плотностью x, y, z y . 6 Вычислить объем тела Q , ограниченного поверхностями 2 z y 2 , 2 x 3 y 12 , x 0 , z 0 . 7 Найти объем тела Q , ограниченного поверхностями x 2 y 2 10 x , x 2 y 2 13 x , z x 2 y 2 , z 0 , y 0 . 79 8 Найти объем тела Q , ограниченного поверхностями z 64 x 2 y 2 , 12 z x 2 y 2 . 9 Найти массу однородного тела Q , ограниченного поверх- ностями x 2 y 2 z 2 16 , x 2 y 2 z 2 8 z 10 Вычислить массу тела Q , ограниченного поверхностью 9 x 2 2 y 2 18 z 2 18 , если плотность x, y , z x 2 y 2 x2 y2 z2 . 2 9 Задания для домашней работы 1 Вычислить следующие тройные интегралы по указанным пространственным областям: 6 x 8 y 4 z 5dxdydz , Q : 0 x 1 , 0 y 1 , 0 z 1 ; а) Q x y z dxdydz, б) Q : x y a , z 0, z c , x 0, Q y 0; в) x 2 y 2 z 2 dxdydz , Q : y 2 z 2 b 2 , x 0 , x a ; 2 y 2 z dxdydz, Q : z x 2 y 2 , z c c 0 ; Q г) x 3 Q д) x 2 3 y 2 z 2 dxdydz, Q : верхняя половина шара Q x y z 2 R2 ; 2 2 е) Q 2 x2 y 2 z 2 2 2 2 dxdydz, Q : внутренность эллипсоида a b c 2 x y z2 1; a 2 b2 c2 80 ж) 5x 3z dxdydz, Q : x 2 y 2 1 , z 4 , z 2x 3y 0 ; Q 2 x y dxdydz, и) Q: yx, y 0, z 1, x 1, Q z 1 x y2 ; 2 к) zdxdydz, Q : Q л) x2 y2 z 2 2 и z h h 0 ; R2 h x 2 y 2 z 2 dxdydz, Q : x 2 y 2 z 2 y ; Q м) xdxdydz x 2 Q y z 2 2 , Q : 1 x2 y2 z 2 9 , y x , y 0 , z0. 2 Вычислить массу тела Q расположенного в первом октанте и ограниченного цилиндрическими поверхностями z 2x 2 , z 3 x2 x0, и плоскостями y 0, y 2 , если x, y, z xy 2 . 3 Найти массу пирамиды, ограниченной плоскостями x y z 1 , x 0 , y 0 , z 0 , если x, y , z x . 4 Найти массу тела Q , ограниченного поверхностями z x 2 10 y 2 , z 20 x 2 10 y 2 , если плотность равна x, y, z x 2 y 2 . 5 Вычислить массу тела Q , ограниченного поверхностью 3 x2 y2 z 2 16 9 4 . 6 Вычислить объем тела Q , ограниченного поверхностями x2 y2 z 2 1 , с плотностью x, y, z 16 9 4 y 2 4 x 4 , y 2 2 x 4 , z 0 , z 3 . 7 Найти объем тела Q , ограниченного поверхностями y 2 x 1 , y 2 1 x , x y z 3 , z 0 . 81 8 Найти объем тела Q , ограниченного поверхностями y 12 x 2 z 2 , y z 2 x 2 . 82