1299421148_Экономико-математические основы инфлюентного

А.Л. Усов
Вологодское отделение №8638 Сбербанка России, г. Вологда
Л.В. Усов
Вологодский государственный университет, г. Вологда
Экономико-математические основы инфлюентного анализа баланса банка
Ключевые слова: факторный анализ, баланс банка, метод точки Лагранжа
Важнейшим аспектом статистического изучения показателей деятельности банка является факторный анализ, представляющий отдельную ветвь статистической методологии, исследующую методы оценки влияния отдельных
факторов на изменение обобщающего показателя. Различают два типа факторного анализа. Факторный анализ Ч. Спирмена, Л. Тэрстоуна и других специалистов по математической статистике основан на ее методах и имеет основной задачей построение комплексов укрупненных факторов с целью экономного описания экспериментальных данных и оценку силы их влияния на
зависимую величину. При экономическом, финансовом и инвестиционном
анализе детерминированных зависимостей требуется иной тип факторного
анализа, задачей которого является оценка величины приращения обобщающего показателя под влиянием изменения каждого фактора. Этот тип анализа
назовем инфлюентным факторным анализом (ИФА). К сожалению, регламенты и методики инвестиционного, финансового анализа (ФА) и анализа
бухгалтерской отчетности банка, оценки кредитоспособности (КС) банка и
его ссудозаемщиков, экономической эффективности использования ресурсов
и конкурентоспособности организации эти виды анализа сводят к только к
расчету финансовых коэффициентов по данным бухгалтерской отчетности, а
решение задач ИФА не предусматривают. Хотя использование ИФА в этих
видах анализа не только возможно, но и необходимо. К примеру, при оценке
эффективности деятельности организации мало рассчитать выручку или рентабельность продаж и их изменение за отчетный период, важно определять за
счет каких факторов и насколько произошли эти изменения. Например, капитальное уравнение баланса банка, выражая зависимость отдачи собственного
капитала (Y) от факторов: прибыльности (X1), маржи прибыли (X2), доходности активов (X3) и мультипликатора капитала (X4), представляет мультипликативную функцию - произведение 4-х факторов Y= X1 X2 X3 X4. Значения
факторов характеризуют эффективность финансовой политики банка, в частности, эффективность управления налогами, расходами, активами и ресурсами банка, а их изменение обусловливает приращение отдачи капитала в отчетном периоде. Задача ИФА оценить влияние изменений факторов на прирост отдачи капитала и на этой основе оценить эффективность финансовой
политики банка в прошлом, указать резервы роста и выработать меры на будущее. А разве не интересно знать при оценке КС, как и насколько, влияют
разные факторы на изменение запаса финансовой прочности организации?
Модернизация указанных типов анализа посредством ИФА существенно
расширит возможности принимать объектные решения. Но для проведения
ИФА нужен доступный и теоретически обоснованный метод.
Математически задача ИФА, заключается в следующем: по зависимости
показателя Y от факторов X1, X2, Xn вида Y=f(X1,X2, Xn) при известных
начальных (базисных) ai и конечных (текущих) bi значениях факторов Xi (i
=1, n ) определить величины (инфлюенты) Ai, являющиеся оценками влияния
приращения (bi - ai) фактора Xi на приращение ∆Y = f (b)- f (a) зависимого показателя. Инфлюенты Ai, должны удовлетворять условию
n
A
i 1
i
 f . Для це-
лей ИФА все факторы имеют самостоятельное значение и могут быть представлены абсолютными, относительными или средними величинами. В общей теории статистики активно изучаются, а в практике органов статистики
и экономическом анализе регулярно применяются для ИФА экономические
индексы и метод цепных подстановок. Методологически эти методы, по
нашему мнению, основаны на здравом смысле. Так, в МЦП в качестве инфлюент принимаются величины Ai = f(a1,a2,…,ai-1, bi , bi+1…,bn) – f(a1,a2,…,ai,
bi+1,…,bn). При таком подходе значения инфлюент зависят от порядка анализа
факторов, а различных вариантов подстановок существует n! Обоснованного
же и общепризнанного способа выбора конкретной подстановки не существует, а расчет всех вариантов значений инфлюент при значительном количестве факторов трудоемок и дает разные значения инфлюент. Потому объективно и однозначно оценить степень влияния фактора затруднительно. Методы индексного анализа, интегральный и другие статистические методы
ИФА имеют аналогичные недостатки.
В качестве альтернативы для целей ИФА банка предлагаем экономикоматематические основы методологии методов ИФА. Более обоснованным как
экономически, так и математически, нам представляется, метод, разработанный Усовым Л.В. и Свердловым С.З. [1] в Вологодском государственном
техническом университете (ВоГТУ). Часто коротко называют его методом
точки Лагранжа Усова - Свердлова (ТЛУС). Метод адаптирован нами к отчетной бухгалтерской и финансовой информации и задачам ФА банка и его
ссудозаемщиков-юридических лиц при оценке их КС. Разработанные нами
экономико-математических модели (ЭММ) для целей ИФА на основе бухгалтерской отчетности дают много полезной информации, апробированы на реальных данных и положены нами в основу модернизации методики оценки
КС Сбербанка России. ЭММ и отдельные методики используется в ВоГТУ и
в ряде других вузов г. Вологды при написании как студенческих дипломных,
так диссертационных магистерских и аспирантских работ. Идея метода в том,
что значения инфлюент можно считать пропорциональными значениям частных производных функции по соответствующим факторам и их приращениям. Подобный подход к вычислению инфлюент можно считать вполне обоснованным, т.к. величина производной характеризует скорость изменения показателя, а в случае, если f(X) изменяется монотонно при росте (уменьшении)
данного фактора, то и абсолютная величина инфлюенты, вычисленной в не-
которой точке факторного пространства, должна возрастать (уменьшаться).
Преимущество метода ТЛУС в том, что он применим для ИФА зависимостей
произвольного вида, осуществляет однократное и однозначное вычисление
инфлюент. Метод основывается следующих на двух теоремах Лагранжа о
конечном приращении функции.
Теорема 1 Если функция f(X) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на
(a,b), то в интервале (a,b) существует такое число X, что f(b)-f(a) =f′(X)·(b-a)
Теорема 2 (для функции нескольких переменных). Если функция
f(X1,X2,…,Xn) непрерывна при ai≤Xi≤bi и дифференцируема при ai<Xi<bi
(i=1, n ), то существует набор таких чисел X1,X2,…,Xn , что ai<Xi<bi (i=1, n ) и
f(b1,b2,…,bn) – f (a1 , a2 ,…, an) =
n

i 1
f
X i
X1 , X 2 ,..., X n
 (bi  ai )
Но как найти эти числа, названные авторами метода точкой Лагранжа?
Оказывается справедливо следующее утверждение, доказанное в [1]: при соблюдении условий теоремы 2 на отрезке прямой, соединяющей в n-мерном
пространстве факторов точки a с координатами (a1,a2,…,an) и b с координатами (b1,b2,…,bn), существует точка Лагранжа с координатами Xi = ai + (bi –ai)S,
где 0≤S≤1, и i  1,n , координаты которой удовлетворяют теореме 2.
Докажем его. Запишем параметрически уравнение отрезка прямой, проходящей через точки a и b,:
Xi = ai + (bi –ai)S = ai + SI , где 0≤S≤1 i  1,n
(1)
С учетом (1) ƒ(X1,X2,…,Xn) = ƒ(a1 + S1, a2 + S2,…, an + Sn) = ƒ(S),
т.е. на рассматриваемом отрезке ƒ(X) представляет собой функцию одной переменной S и к этой функции может быть применена теорема 1
ƒ(S =1 ) - ƒ(S = 0)=
df
dS
S S
 S , где 0≤ S ≤1 i  1,n и ΔS=1
(2)
А так как ƒ(S = 0)=ƒ(a1,a2,…,an), ƒ(S = 1)=ƒ(b1,b2,…,bn), получаем (3)
df ( S )
dS
S S
 f
(3)
Но производная в левой части (3) может быть представлена в виде (4)
n
df (S ) f
f
f
f

1 
 2  ...
n  
i
dS
X l
X 2
X n
i 1 X i
Тогда (3) эквивалентно равенству
n
f
 X
i 1
Xi  ai  S i
i
  i  f
(4)
(5).
Но (5) соответствует второй теореме Лагранжа, что и доказывает данное
утверждение. А поскольку значение Δf при решении задачи ИФА известно,
то значение S является корнем уравнение (6).
df ( S )
 f
dS
(6)
А если записать (6) в виде (7), то получим условие экстремума функции
f(S) - S∙Δf.
df ( S )
 f  0
dS
(7)
Значение S , являющееся корнем (6), может определяться из условия
f(S)-S∙Δf =extr
(8)
Определив значение S , можно вычислить инфлюенты, в качестве которых принимаются слагаемые левой части (5)
Ai   i
f
X i
Xi  ai  S i
(9)
Таким образом, алгоритм численного определения инфлюент методом
точки Лагранжа оказывается следующий:
1. Представляются параметрически координаты точки Лагранжа и подставляются в функцию, выражающую зависимость обобщающего показателя
от факторов.
2. Отыскивается одним из методов поиска экстремума функции одной
переменной значение S , удовлетворяющее (8 и 6) и позволяющее определить
координаты точки Лагранжа Xi=ai+ S i (i= 1, n )
2. Вычисляются (численно или аналитически) значения частных производных в найденной точке, которые, будучи умножены на величины приращений факторов i, дают значения инфлюент (формула (9)).
Литература
1. С.З. Свердлов, Л.В. Усов Вологодский политехнический институт
Численные методы инфлюентного анализа. Рукопись депонирована в ВИНИТИ 6.08.85. 5851-85 ДЕП размещена в интернет.