Метод случайного поиска

ТЕМА 7
МЕТОД СЛУЧАЙНОГО ПОИСКА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В РЕШЕНИИ
ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ
Цель лабораторной работы: изучить сущность метода случайного поиска и
технику его применения к решению задач оптимизации.
1. Методы случайного поиска в задачах оптимизации
Случайными или стохастическими методами поиска называют методы, в которых
для определения оптимума целевой функции или направления движения к оптимуму
сознательно используются случайные числа. Необходимым условием применения'
данного метода является получение случайных чисел с заданными вероятностными
характеристиками. Эта задача далеко не простая. Поэтому на практике почти всегда
вместо случайных чисел используются так называемые псевдослучайные (ПСЧ).
Доказано, что если ПСЧ удовлетворяют определенным требованиям, то они с
достаточной для практики точностью могут заменить случайные числа.
1.1. Алгоритм получения на ЭЦВМ псевдослучайных чисел с
равномерным распределением
Пусть i-1 и i — предыдущее и последующее псевдослучайные числа. Тогда:
(1)
где М — достаточно большое целое число;
{ } — символ, обозначающий дробную часть заключенного в них числа.
Для получения 1 вводится стартовое число 0. В случае применения ЭВМ
величины 0 и М могут быть определены по формулам:
(2)
причем М< 2r при наибольшем значении р.
где: г — число двоичных разрядов в ячейке памяти ЭВМ, отводимых под
мантиссу числа, записываемого в эту ячейку;
р — некоторое целое число. Для получения ПСЧ X, равномерно распределенных
на произвольном интервале (а; в), используется простое соотношение:
(3)
В следующей таблице приведены значения г и соответствующие им значения М:
№ п/п
1
2
3
г
4
6
8
М
5
5
125
№ п/п
4
5
6
г
10
12
14
М
125
3125
3125
Получаемые по формулам (1) и (3) ПСЧ оказываются равномерно
распределенными на интервалах, соответственно, (0;1) и (а; в), т.е. любое значение
ПСЧ на этих интервалах появляется одинаково часто в достаточно длинных сериях
испытаний. ПСЧ именно с таким распределением и используется при решении задач
оптимизации.
1.2. Применение псевдослучайных чисел при решении задач оптимизации
На применении ПСЧ основаны некоторые методы решения задач оптимизации.
Такие задачи часто встречаются в технологических областях.
1.2.1. Постановка задачи оптимизации
Пусть известна зависимость: у = f (x1, х2,... хn) (4)
где: у — выходной параметр или параметр оптимизации; x1 — плотность по
основе для ткани или плотность по вертикали для трикотажа; х2 — плотность по утку
для трикотажа или плотность по горизонтали для трикотажа; хз — линейная
плотность нити.
В большинстве случаев на практике зависимость (4) неизвестна. Поэтому для
решения задачи оптимизации она заменяется адекватной моделью, имеющей, как
правило, форму полинома первой или второй степени:
y = в0 + в1х1 + в2х2 +…+ вnxn
или:
y = в0 + в1х1 + в2х2 +…+ вnxn + в12х1х2 + в13х1х3 + вijхiхj + …в11х21 + в22х22 +…+ вnnх2n
(5)
где вi, вij — некоторые постоянные коэффициенты (i,j = 1,2,3 ... n)
Для трех факторов эта модель приобретает вид:
y = в0 + в1х1 + в2х2 + в3х3 + в12х1х2 + в13х1х3 + в23х2х3 + в11х21 + в22х22 +…+ в33х23
Факторы xj, имеющие техническое, технологическое, геометрическое или
физическое содержание всегда имеют область значений, ограниченную слева и
справа. Поэтому:
x- < xj < х+
где знаками (-) и (+) обозначены нижняя и верхняя границы области значений.
Решение задачи оптимизации состоит в том, чтобы найти значения факторов, при
которых функция (4) достигает наилучших значений, например, минимальных или
максимальных. Методов решения поставленной задач известно несколько. Одним из
них является метод случайного поиска.
1.2.2. Сущность метода случайного поиска
Из области значений факторов xi случайным образом выбирается по одному
значению. Выбрать значение случайным образом из заданного интервала — означает
вычислить его, используя формулу (3), в которой принимается а=х-i, в=х+i.
При n факторах выбранные n значений факторов подставляются в формулу (5), по
которой определяется значение выходного параметра у. Найденное в первом цикле
поиска значение yi принимается за начальное. Условимся, что целью решения данной
задачи является достижение наименьшего значения параметра оптимизации.
После вычисления начального значения выходного параметра вновь выбирается п
значений факторов, которые снова подставляются в выражении (5). Если найденное
значение у < y1, то это значение у запоминается и последующие значения выходного
параметра сравниваются уже с ним. Если найденное у > y1 , то это значение
отбрасывается и цикл выбор значений факторов xj повторяется еще раз. Так
продолжается до тех пор, пока не отыщется у < y1, если такое значение существует.
Таким образом, в ходе решения задачи оптимизации методом случайного поиска
мы получаем последовательность улучшающихся значений выходного параметра,
которая по вероятности сходится к оптимальному, в частности, экстремальному.
1.2.3. Критерии прекращения поиска
Таких критериев два: точный и приближенный.
Точный критерий состоит в том, что число циклов поиска N рассчитывается
заранее по формуле:
(6)
где n — число факторов;
- граница точности достижения оптимального
значения;
Р — вероятность достижения оптимума с точностью до величины Д.
По окончании N циклов поиска оптимум достигается с точностью  при
доверительной вероятности .
Приближенный критерий сводится к двум признакам:
-снижение скорости изменения выходного параметра в процессе поиска
оптимального его значения;
-увеличение интервала времени, затрачиваемого ЭВМ на поиск очередного
"лучшего" значения выходного параметра.
На практике чаще используется приближенный критерий, так как решение о
прекращении поиска, как правило, можно принять гораздо раньше, чем будет
достигнуто значение N, вычисленное по формуле (6).
2. Методические рекомендации к выполнению работы
Модель зависимости (4) задается в форме (5), т.е. в виде полиномов 1-ой или 2-ой
степени. Коэффициентам "в" в этих полиномах придаются конкретные числовые
значения.
В используемой программе для ЭЦВМ полиномиальная модель зависимости у = f
(x1, х2, ... хn) рассматривается в кодированном факторном пространстве. Поэтому для
всех xj:
— 1 < xj < 1
(7)
Связь
между
натуральными
кодированными
устанавливается следующим соотношением:
значениями
факторов
где: xi — кодированное значение фактора;
Фi — натуральное значение фактора;
Фoi — среднее значение фактора;
i — шаг варьирования фактора.
В соотношениях (5) линейная форма получается из квадратической, если
задать равными нулю коэффициенты при произведениях факторов и квадратичных
членах.
Используемая в лабораторной работе программа для ЭЦВМ рассчитана на
полиномиальную модель второго порядка, построенную относительно пяти факторов.
Коэффициенты такой модели представлены в следующей таблице:
Порядковый
номер
коэфф.
Коэф
фици
ент
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
в0
в1
в2
в3
в4
в5
в12
в13
в14
в15
11
12.
13
14
15
16
17
18
19
20
21
в23
в24
в25
в34
в35
в45
в11
в22
в33
в44
в55
Для получения из нее модели для меньшего числа факторов достаточно задать
равными нулю все лишние коэффициенты. Например, для выделения модели первого
порядка относительно четырех факторов достаточно задать равными нулю
коэффициенты 7 — 21 включительно, а для формирования модели 2-го порядка
относительно трех факторов надо задать коэффициенты №№ 1; 2; 3; 4; 7; 8; 11; 17; 18;
19. Остальные коэффициенты установить равными нулю. ЭВМ запрашивает все 21
коэффициент, и все эти коэффициенты (отличные от нуля и нулевые) после
соответствующего запроса ЭВМ должны быть введены с ее клавиатуры. После ввода
последнего коэффициента ЭВМ переходит в режим поиска, сопровождаемого выводом
на дисплей или печатью его результатов. Решение о прекращении поиска принимается
по приближенному критерию.
3. Состав лабораторной работы
3.1 Изучить алгоритм случайного поиска.
3.2 Подготовить данные к вводу в ЭВМ.
3.3. Решить на ЭВМ задачу оптимизации на полиномиальной модели с
использованием метода случайного поиска.
3.4. Описать критерии прекращения процедуры поиска.
3.5. Дать интерпретацию полученных результатов.
4. Содержание отчета по лабораторной работе
Отчет по работе должен содержать:
— название темы и цель работы;
— краткое описание сущности задачи оптимизации;
— характеристику метода случайного поиска;
— анализ результатов решения задачи оптимизации на полиномиальной модели;
— характеристику использованного критерия окончания поиска.
5. Рекомендуемая литература
1. Хартман К. и др. Планирование эксперимента в исследовании технологических
процессов, М.: «Мир», 1977.
2. Фурунжиев Р.И. Вычислительная техника и ее применение. Минск: Вышэйшая
школа, 1975.
3. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования. М.: Наука,
1976.