1 ПРОГРАММА ПО КУРСУ "ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА"

1
ПРОГРАММА ПО КУРСУ
"ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА"
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ
Цель курса – освоение студентами базовых понятий дискретной математики и, в
частности, теории графов; изучение и реализация классических алгоритмов на графах.


Задачами данного курса являются:
формирование базовых знаний в области теории графов;
машинная реализация алгоритмов на графах;
Содержание дисциплины
№
п/п
1.1
Раздел
Тема
Содержание
Введение в
Задачи комбинаторной
дискретную
оптимизации
Модели вычисления, вычислительная
сложность.
Основные понятия
Компоненты
теории графов
связности, деревья, маршруты, циклы, полные,
математику
1.2
двудольные графы.
1.3
Связь булевых матриц,
бинарных отношений и
графов. Операции над
бинарными
Операции над бинарными отношениями и
соответствующие им операции над графами.
отношениями.
1.4
Матрица смежности
графа, алгоритм
Матрица смежности графа, алгоритм
нахождения числа
нахождения числа компонент связности
компонент связности
1.5
Теорема Эйлера.
Алгоритм нахождения
эйлерова цикла
2.1
Задача
Алгоритм Форда
нахождения
кратчайшего пути
3.1
Транспортные
Потоки в сетях,
сети
алгоритм
Форда-Фолкерсона
Теорема Эйлера. Алгоритм нахождения
эйлерова цикла
Алгоритм нахождения пути с наименьшим
числом дуг. Алгоритм нахождения пути
кратчайшей длины.
Величина потока, разрез, пропускная
способность разреза.
2
3.2
Критерии
существования
потока, насыщающего
Соотношение между поглощающей
способностью и потребностью.
выходные дуги
4.1
Задача
о
назначении
Двудольные графы,
решение
задачи о назначении
5.1
Задача
коммивояжера
5.2
6.1
Задача
оптимального
квардатичного
Сведение задачи о назначении к задаче
построения потока насыщающего выходные
дуги.
Гамильтоновы контуры Величина рассечения, дефицит графа.
Необходимое условие существования
гамильтонова контура.
Метод ветвей и границ. Общая формулировка метода ветвей и границ.
Применение метода для решения задачи
Алгоритм Литтла.
коммивояжера.
Решение задачи
методом
ветвей и границ.
Лемма Гилмора. Решение задачи методом
ветвей и границ.
назначения
7.1
Обобщенная
Обобщенный метод
задача
волны
кратчайшего пути
8.1
Обобщенный
Многоитерационные
метод волны
задачи оптимизации на
графах
9.1
Уравнение
Идемпотентные
Беллмана-
полукольца.
Маслова
Уравнение БеллманаМаслова в полумодуле
Обобщенная задача кратчайшего пути на
«взвешенном» графе. Обобщенный метод
волны.
Применение обобщенного метода волны к
рещению многоитерационных задач
оптимизации на графах. Обобщенная задача о
назначении в двудольном графе.
Принцип суперпозиции, теорема об
истокообразном представлении решения.
функций С(А) и
его свойства.
9.2
Функция Грина и
принцип Дюамеля для
нестационарного
уравнения Беллмана-
Явные формулы для разрешающего оператора
уравнения в однородной регулярной дискретной
среде.
Маслова.
10.
Комбинаторика
Комбинаторика
Комбинаторика разбиений и ее связь со
1
разбиений
разбиений и ее связь со
статистикой распределения по энергиям
статистикой
для системы тождественных
3
распределения по
частиц
энергиям
для системы
тождественных
частиц
Контрольные вопросы к зачету:
1) Графы, связность, матрицы смежности.
2) Теорема Эйлера. Алгоритм нахождения эйлерова цикла.
3) Алгоритм Форда
4) Потоки в сетях, алгоритм Форда-Фолкерсона
5) Критерии существования потока, насыщающего выходные дуги
6) Двудольные графы, решение задачи о назначении
7) Гамильтоновы контуры
8) Метод ветвей и границ. Алгоритм Литтла.
9) Лемма Гилмора. Обобщенный метод волны
10) Многоитерационные задачи оптимизации на графах
11) Уравнение Беллмана-Маслова, его свойства.
Основная литература:
1) В.В. Белов, Е.М. Воробьев, В.Е. Шаталов «Теория графов», "Высшая школа", 1976.
2) Зыков А. А. «Основы теории графов.» — М.: «Вузовская книга», 2004.
3) Емеличев В. А., Мельников О. И., Сарванов В. И., Тышкевич Р. И. «Лекции по теории
графов.» Изд.2, испр. М.: УРСС, 2009.
4) Кирсанов М. Н. «Графы в Maple.», М.: Физматлит, 2007.
5) Харари Ф. «Теория графов.», Изд 3, М.: КомКнига, 2006.
Пособия и методические указания.
1) Алексеев В. Б., Ложкин С. А., Элементы теории графов, схем, автоматов.Учебное пособие по
курсам «Введение в дискретную математику» и «Основы кибернетики», Москва, МГУ, 2000.
2) Рабкин Е.Л., Фарфоровская Ю.Б., Булевы функции и элементы теории графов, методические
указания и контрольные задания.
Электронные ресурсы:
1) http://ru.wikipedia.org/Теория_графов
2) http://math-portal.ru/teoriagrafov