Выбор экономической политики на базе многокритериальной оптимизации Ашимов А.А., Султанов Б.Т., Боровский Ю.В., Алшанов Р.А., Боровский Н.Ю., Айсакова Б.А. В работе представлены результаты по выбору эффективной согласованной экономической политики в сфере экономического роста при многокритериальной оптимизации на базе двух вычислимых моделей общего равновесия с общими переменными оптимизации. Показана эффективность применения одного метода совместной параметрической идентификации исследуемых моделей: CGE модели секторов экономики и CGE модели с сектором знаний. Найдены согласованные оптимальные (в смысле функции полезности на базе двух сформулированных критериев средних значений ВВП страны и ВДС инновационного сектора экономики в выбранном промежутке времени) значения регулируемых параметров. Key words: вычислимая модель общего равновесия, parametrical identification, многокритериальная оптимизация. Введение Как известно [1], принятие решений по экономической политике в сфере экономического роста является многоцелевой проблемой, связанной как с выбором адекватных математических моделей, так и с выбором методов оптимизации и согласования целей. В [1, 2, 3] не обсуждается выбор адекватных моделей, обеспечивающих как решение задачи оценки согласованных оптимальных (с точки зрения функции полезности на базе критериев, описывающих степень достижения соответствующих целей) значений экономических инструментов, так и решение задачи эффективной реализации найденных значений экономических инструментов. В них [1, 2, 3] также, не рассматриваются вопросы: выбора эффективных методов решения задач параметрической идентификации для случая большого числа оцениваемых параметров; выбора алгоритма решения задачи оценки точек Парето области на базе двух и более CGE моделей, имеющих общие ограничения на эндогенные переменные. В работе обосновывается выбор двух CGE моделей для решения задачи в сфере экономического роста по согласованной оптимизации на базе двух целей: максимизации валовой добавленной стоимости инновационного сектора и максимизации ВВП. Предложен алгоритм совместной параметрической идентификации указанных моделей. На основе двух CGE моделей сформулирована двухкритериальная задача оптимизации и построено Парето множество, на базе которого методом иерархии [4] решена задача согласованной оптимизации. 1. Представление вычислимых моделей общего равновесия Выбор адекватных математических моделей для решения задач согласованной оптимизации и эффективной реализации найденных оптимальных значений экономических инструментов в рассматриваемой сфере экономического роста осуществляется в классе CGE моделей. Рассматриваемые вычислимые модели общего равновесия в общем виде представляется с помощью следующей системы соотношений [5]. 1) Подсистема разностных уравнений, связывающая значения эндогенных переменных для двух последовательных лет: 1 𝑥𝑖 (𝑡 + 1) = 𝑓𝑖 (𝑥𝑖 (𝑡), 𝑦𝑖 (𝑡), 𝑧𝑖 (𝑡), 𝑢(𝑡), 𝛼𝑖 ), 𝑥𝑖 (0) = 𝑥𝑖0 , (1) Здесь 𝑖 = {1, 2} – номер модели (значение 𝑖 = 1 соответствует CGE модели секторов экономики и 𝑖 = 2 - CGE модели с сектором знаний) 𝑡 = 0, 1, … , 𝑛 − 1 – номер года, дискретное время; 𝑥̃𝑖 (𝑡) = (𝑥𝑖 (𝑡), 𝑦𝑖 (𝑡), 𝑧𝑖 (𝑡)) ∈ 𝑅 𝑚𝑖 – вектор эндогенных переменных системы; 𝑚𝑖,1 (𝑡)) ∈ 𝑋𝑖,1 (𝑡), 𝑚𝑖,2 (𝑡)) ∈ 𝑋𝑖,2 (𝑡), 𝑥𝑖 (𝑡) = (𝑥𝑖1 (𝑡), 𝑥𝑖2 (𝑡), … , 𝑥𝑖 𝑦𝑖 (𝑡) = (𝑦𝑖1 (𝑡), 𝑦𝑖2 (𝑡), … , 𝑦𝑖 𝑧𝑖 (𝑡) = 𝑚 (𝑧𝑖1 (𝑡), 𝑧𝑖2 (𝑡), … , 𝑧𝑖 𝑖,3 (𝑡)) (2) ∈ 𝑋𝑖,3 (𝑡). Здесь переменные 𝑥𝑖 (𝑡) включают в себя значения основных фондов секторовпроизводителей, остатки средств агентов на счетах в банках и др.; 𝑦𝑖 (𝑡) включают в себя значения спроса и предложения агентов на различных рынках и др., 𝑧𝑖 (𝑡) – различные виды рыночных цен и доли бюджета на рынках с государственными ценами для различных экономических агентов; 𝑚𝑖,1 + 𝑚𝑖,2 + 𝑚𝑖,3 = 𝑚𝑖 ; 𝑢(𝑡) – общий для обеих моделей вектор управляемых (регулируемых) параметров, 𝑢(𝑡) = 1 (𝑡), 2 (𝑡), 𝑞 (𝑡)) 𝑞 (𝑢 𝑢 …,𝑢 ∈ 𝑈(𝑡) ⊂ 𝑅 ; 𝑋𝑖,1 (𝑡), 𝑋𝑖,2 (𝑡), 𝑋𝑖,3 (𝑡), 𝑈(𝑡), – компактные множества 𝑠 с непустыми внутренностями; 𝛼𝑖 = (𝛼𝑖1 , 𝛼𝑖2 , … , 𝛼𝑖 𝑖 ) ∈ 𝐴𝑖 ⊂ 𝑅 𝑠𝑖 - вектор неуправляемых параметров, 𝐴𝑖 - открытое связное множество; 𝑓𝑖 : 𝑋𝑖,1 (𝑡) × 𝑋𝑖,2 (𝑡) × 𝑋𝑖,3 (𝑡) × 𝑈(𝑡) × 𝐴𝑖 → 𝑅 𝑚𝑖,1 – непрерывное отображение для 𝑡 = 0, 1, … , 𝑛 − 1. 2) Подсистема алгебраических уравнений, описывающих поведение и взаимодействие агентов на различных рынках в течение выбранного года, эти уравнения допускают выражение переменных 𝑦𝑖 (𝑡) через экзогенные параметры и остальные эндогенные переменные: 𝑦𝑖 (𝑡) = 𝑔𝑖 (𝑥𝑖 (𝑡), 𝑧𝑖 (𝑡), 𝑢(𝑡), 𝛼𝑖 ). (3) Здесь 𝑔𝑖 : 𝑋𝑖,1 (𝑡) × 𝑋𝑖,3 (𝑡) × 𝑈(𝑡) × 𝐴𝑖 → 𝑅 𝑚𝑖,2 - непрерывное отображение, 𝑡 = 0, 1, … , 𝑛. 3) Подсистема рекуррентных соотношений для итеративных вычислений равновесных значений рыночных цен на различных рынках и долей бюджета на рынках с государственными ценами для различных экономических агентов: 𝑧𝑖,𝑄𝑖 +1 (𝑡) = ℎ𝑖 (𝑦𝑖,𝑄𝑖 (𝑡), 𝑧𝑖,𝑄𝑖 (𝑡), 𝐿𝑖 , 𝑢(𝑡), 𝛼𝑖 ). (4) Здесь 𝑄𝑖 = 0, 1, … – номер итерации; 𝐿𝑖 – набор из положительных чисел (настраиваемые константы итераций, при уменьшении их значений экономическая система быстрее приходит в состояние равновесия, однако при этом увеличивается опасность ухода цен в отрицательную область; ℎ𝑖 : 𝑋𝑖,2 (𝑡) × 𝑋𝑖,3 (𝑡) × (0, +∞)𝑚𝑖,2 × 𝑈(𝑡) × 𝐴𝑖 → 𝑅 𝑚𝑖,2 – непрерывное отображение (являющееся сжимающим при фиксированных 𝑥𝑖 (𝑡) ∈ 𝑋𝑖,1 (𝑡), 𝑢(𝑡) ∈ 𝑈(𝑡), 𝛼𝑖 ∈ 𝐴𝑖 и некоторых фиксированных 𝐿𝑖 . В этом случае отображение ℎ𝑖 имеет единственную неподвижную точку, к которой сходится итерационный процесс (3), (4)), 𝑡 = 0, 1, … , 𝑛. Вычислимые модели (1), (3), (4) при фиксированных значениях экзогенных параметров для каждого момента времени t определяет значения эндогенных переменных 𝑥̃𝑖 (𝑡), соответствующие равновесию цен спроса и предложения на рынках товаров и услуг агентов в рамках следующего алгоритма. 2 1) На первом шаге полагается 𝑡 = 0 и задаются начальные значения переменных 𝑥𝑖 (0) 2) На втором шаге для текущего 𝑡 задаются начальные значения переменных 𝑧𝑖,0 (𝑡) на различных рынках и для различных агентов; с помощью (2), вычисляются значения 𝑦𝑖,0 (𝑡) = 𝑔𝑖 (𝑥𝑖 (𝑡), 𝑧𝑖,0 (𝑡), 𝑢(𝑡), 𝛼𝑖 ) (начальные значения спроса и предложения агентов на рынках товаров и услуг). 3) На третьем шаге для текущего 𝑡 запускается итерационный процесс (4). При этом для каждого значения 𝑄𝑖 текущие значения спросов и предложений находятся из (3): 𝑦𝑖,𝑄𝑖 (𝑡) = 𝑔𝑖 (𝑥𝑖 (𝑡), 𝑧𝑖,𝑄𝑖 (𝑡), 𝑢(𝑡), 𝛼𝑖 ) через уточнения рыночных цен и долей бюджетов экономических агентов. Условием остановки итерационного процесса является равенство значений спросов и предложений на различных рынках. В результате определяются равновесные значения рыночных цен на каждом рынке и долей бюджета на рынках с государственными ценами для различных экономических агентов. Индекс 𝑄𝑖 для таких равновесных значений эндогенных переменных мы опускаем. 4) На следующем шаге по полученному равновесному решению для момента времени 𝑡 с помощью разностных уравнений (1) находятся значения переменных 𝑥𝑖 (𝑡) для следующего момента времени. Значение 𝑡 увеличивается на единицу. Переход на шаг 2. Количество повторений шагов 2, 3, 4 определяются в соответствии с задачами параметрической идентификации, прогноза и регулирования на заранее выбранных интервалах времени. 2. Вычислительные эксперименты по нахождению оптимальных значений регулируемых параметров одной двухкритериальной задачи на базе двух вычислимых моделей общего равновесия 2.1. Выбор и совместная параметрическая идентификация двух вычислимых моделей общего равновесия Эвристической основой выбора двух и более CGE моделей на примере двух целей может служить следующий алгоритм: 1 шаг: Выбор двух и более CGE моделей по назначению. 2 шаг: Оценка соответствия результатов шага 1 требованиям обеспечения как решения задачи оценки согласованных, с точки зрения функции полезности на базе критериев, описывающих степень достижения соответствующих целей, значений экономических инструментов, так и решение задачи эффективной реализации найденных значений экономических инструментов. В работе в рамках первого шага предложенного алгоритма из множества CGE моделей выбраны две: CGE модель с сектором знаний [5] и CGE модель отраслей экономики [5], которые предназначены для исследований в рамках экономического роста. Оценка соответствия выбранных CGE моделей на первом шаге требованиям второго шага рассматриваемого алгоритма показывает, что совместное рассмотрение CGE модели с сектором знаний с интегральным рассмотрением всех отраслей экономики (кроме отраслей науки и образования и инновационного сектора) в виде прочих отраслей экономики с CGE моделью отраслей экономики позволяет эффективно реализовать найденные оптимальные значения экономических инструментов на уровне прочих отраслей (CGE модели с сектором знаний) на базе развёрнутой структуры отраслей экономики (CGE модели отраслей экономики). Выбранные CGE модели представлены в следующем порядке: Рассматриваемая модель описывает поведение и взаимодействие на 46 товарных рынках и 16 рынках рабочей силы следующих 19 экономических агентов (секторов). Экономический агент № 1. Сельское хозяйство, охота и лесоводство; 3 Экономический агент № 2. Рыболовство, рыбоводство; Экономический агент № 3. Горнодобывающая промышленность; Экономический агент № 4. Обрабатывающая промышленность; Экономический агент № 5. Производство и распределение электроэнергии, газа и воды; Экономический агент № 6. Строительство; Экономический агент № 7. Торговля; ремонт автомобилей и изделий домашнего пользования; Экономический агент № 8. Гостиницы и рестораны; Экономический агент № 9. Транспорт и связь; Экономический агент № 10. Финансовая деятельность; Экономический агент № 11. Операции с недвижимым имуществом, аренда и услуги предприятиям; Экономический агент № 12. Государственное управление; Экономический агент № 13. Образование; Экономический агент № 14. Здравоохранение и социальные услуги; Экономический агент № 15. Прочие коммунальные, социальные и персональные услуги; Экономический агент № 16. Услуги по ведению домашнего хозяйства; Часть выпущенного продукта экономических агентов - производителей товаров и услуг № № 1–16 используется в производстве, другая часть уходит на инвестиции, а третья продается домашним хозяйствам. Агенты–производители торгуют между собой промежуточными и инвестиционными товарами. Экономический агент № 17. Совокупный потребитель, объединяющий в себя домашние хозяйства; Совокупный потребитель покупает потребительские товары, производимые агентами–производителями. Кроме того, он покупает импортные товары, предлагаемые внешним миром. Экономический агент № 18. Правительство, представленное совокупностью центрального, региональных и местных правительств, а также внебюджетными фондами. Правительство устанавливает налоговые ставки и определяет сумму субсидий агентампроизводителям и размеры социальных трансфертов домашним хозяйствам. Кроме того, в этот сектор входят некоммерческие организации, обслуживающие домашние хозяйства (политические партии, профсоюзы, общественные объединения и т. д.); Экономический агент № 19. Банковский сектор, включающий в себя Национальный банк и коммерческие банки. Здесь экономические сектора № 1-16 являются агентами производителями. Модель отраслей экономики представляется в рамках общих выражений соотношений (1), (3), (4) соответственно 𝑚1,1 = 67, 𝑚1,2 = 597, 𝑚1,3 = 34 выражениями, с помощью которых рассчитываются значения ее 698 эндогенных переменных. Эта модель также содержит 2045 оцениваемых экзогенных параметров. CGE модель с сектором знаний описывает поведение и взаимодействие на 9 товарных рынках и 2 рынках рабочей силы следующих 7 экономических агентов: Экономический агент № 1 — сектор науки и образования (знаний),оказывающий услуги по обучению студентов и производству знаний; Экономический агент № 2 — инновационный сектор, представляющий собой совокупность инновационно – активных предприятий и организаций; Экономический агент № 3 – прочие отрасли экономики; Экономический агент № 4 – совокупный потребитель, объединяющий в себя домашние хозяйства; Экономический агент № 5 – правительство; Экономический агент № 6 — банковский сектор. 4 Здесь экономические сектора № 1, 2, 3 являются агентами производителями. Модель с сектором знаний представляется в рамках общих выражений соотношений (1), (3), (4) соответственно 𝑚2,1 = 12, 𝑚2,2 = 88, 𝑚2,3 = 10 выражениями, с помощью которых рассчитываются значения ее 110 эндогенных переменных. Эта модель также содержит 86 оцениваемых экзогенных параметров. Из них 𝑠0 = 9 оцениваемых параметров являются общими для двух рассматриваемых моделей. Задача параметрической идентификации рассматриваемой пары исследуемых макроэкономических математических моделей состоит в нахождении оценок неизвестных значений их параметров в заданной области, при которых достигается минимальное значение целевой функции, характеризующей: - отклонения значений выходных переменных модели от соответствующих наблюдаемых значений (известных статистических данных); - расхождения между значениями эндогенных переменных двух моделей, имеющих одинаковый смысл; и при дополнительном условии совпадения соответствующих значений 𝑠0 общих для обеих моделей оцениваемых параметров. Эта задача сводится к нахождению минимального значения функции нескольких переменных (параметров) в некоторой замкнутой области Ω евклидова пространства с ограничениями вида (2), накладываемыми на значения эндогенных переменных. В случае большой размерности области возможных значений искомых параметров, стандартные методы нахождения экстремумов функции часто бывают неэффективными в связи наличием нескольких локальных минимумов целевой функции. Ниже предлагается алгоритм, учитывающий особенности задачи параметрической идентификации макроэкономических моделей и позволяющий обойти указанную проблему «локальных экстремумов» В качестве области из множества 𝑈 × 𝐴1 × 𝐴2 × 𝑋1,1 × 𝑋2,1 для оценки возможных 𝑞+𝑠+𝑚 значений экзогенных параметров рассматривалась область вида Ω = ∏𝑗=1 1[𝑎𝑗 , 𝑏𝑗 ], где [𝑎𝑗 , 𝑏𝑗 ] - промежуток возможных значений параметра 𝜔𝑗 , 𝑗 = 1, … , (𝑞 + 𝑠1 + 𝑠2 − 𝑠0 + 𝑚1,1 + 𝑚2,1 ). При этом оценки параметров, для которых имелись наблюдаемые значения, искались в малых промежутках [𝑎𝑗 , 𝑏𝑗 ] с центрами в соответствующих наблюдаемых значениях (в случае одного такого значения) или в некоторых промежутках, покрывающих наблюдаемые значения (в случае нескольких таких значений). Прочие промежутки [𝑎𝑗 , 𝑏𝑗 ] для поиска параметров выбирались с помощью косвенных оценок их возможных значений. Для нахождения минимальных значений непрерывной функции нескольких переменных 𝐹: Ω → 𝑅 с дополнительными ограничениями на эндогенные переменные вида (2) в вычислительных экспериментах использовался алгоритм направленного поиска Нелдера - Мида [6]. Применение этого алгоритма для начальной точки 𝜔1 ∈ Ω можно интерпретировать в виде сходящейся к локальному минимуму 𝜔0 = argmin 𝐹 функции 𝐹 последовательности {𝜔1 , 𝜔2 , … }, где 𝐹(𝜔𝑗+1 ) ≤ 𝐹(𝜔𝑗 ), 𝜔𝑗 ∈ Ω; 𝑗 = Ω,(2) 1,2, … В описании следующего алгоритма мы будем считать, что точка 𝜔0 может быть найдена достаточно точно. Для решения задачи параметрической идентификации рассматриваемых моделей на основе очевидного предположения о несовпадении (в общем случае) точек минимума двух различных функций предложены два критерия следующего типа: 𝐾𝐴 (𝜔) = 𝑛𝑖,𝐴 √ ∑𝑡2 (∑2𝑖=1 ∑𝑗=1 𝛼𝑖,𝑗 𝑛𝛼 (𝑡2 −𝑡1 +1) 𝑡=𝑡1 1 5 𝑗 ( 𝑗∗ 𝑦𝑖 (𝑡)−𝑦𝑖 (𝑡) 𝑗∗ 𝑦𝑖 (𝑡) 2 𝑛 𝑢,𝐴 ) + ∑𝑗=1 𝛼𝑢,𝑗 ( 𝑗 𝑗 𝑦1 (𝑡)−𝑦2 (𝑡) 𝑗 𝑦2 (𝑡) 2 ) ), 𝐾𝐵 (𝜔) = 𝑛𝑖,𝐵 √ ∑𝑡2 (∑2𝑖=1 ∑𝑗=1 𝛽𝑖,𝑗 𝑛𝛽 (𝑡2 −𝑡1 +1) 𝑡=𝑡1 1 𝑗 𝑗∗ 𝑦𝑖 (𝑡)−𝑦𝑖 (𝑡) ( 𝑗∗ 𝑦𝑖 (𝑡) 2 𝑛 𝑗 2 𝑗 𝑦1 (𝑡)−𝑦2 (𝑡) 𝑢,𝐵 ) + ∑𝑗=1 𝛽𝑢,𝑗 ( 𝑗 𝑦2 (𝑡) ) ). (5) 𝑗 𝑗∗ Здесь {𝑡1 , … , 𝑡2 } – промежуток времени идентификации; 𝑦𝑖 (𝑡), 𝑦𝑖 (𝑡) – соответственно расчетные и наблюдаемые значения выходных переменных i-ой модели, 𝐾𝐴 (𝜔) – вспомогательный критерий, 𝐾𝐵 (𝜔) – основной критерий; 𝑛𝑖,𝐵 – количество наблюдаемых эндогенных переменных i-ой модели, 𝑛𝑖,𝐵 > 𝑛𝑖,𝐴 ; 𝑛𝑢,𝐵 - количество эндогенных переменных двух моделей, имеющих одинаковый смысл, 𝑛𝑢,𝐵 > 𝑛𝑢,𝐴 ; 𝛼𝑖,𝑗 > 0, 𝛼𝑢,𝑗 > 0, 𝛽𝑖,𝑗 > 0 и 𝛽𝑢,𝑗 > 0 – некоторые весовые коэффициенты, значения которых определяются в процессе решения задачи параметрической идентификации динамических 𝑛𝑖,𝐴 𝑛𝑖,𝐵 𝑛𝑢,𝐴 𝑛𝑢,𝐵 систем; ∑2𝑖=1 ∑𝑗=1 𝛼𝑖,𝑗 + ∑𝑗=1 𝛼𝑢,𝑗 = 𝑛𝛼 , ∑2𝑖=1 ∑𝑗=1 𝛽𝑖,𝑗 + ∑𝑗=1 𝛽𝑢,𝑗 = 𝑛𝛽 . Алгоритм решения задачи параметрической идентификации пары моделей был выбран в виде следующих этапов. 1. Параллельно, для некоторого вектора начальных значений параметров 𝜔1 ∈ Ω, решаются задачи 𝐴 и 𝐵, в результате находятся точки 𝜔𝐴0 и 𝜔𝐵0 минимума критериев 𝐾𝐴 и 𝐾𝐵 соответственно. 2. Если для некоторого достаточно малого числа 𝜀 верно неравенство 𝐾𝐵 (𝜔𝐵0 ) < 𝜀, то задача параметрической идентификации моделей (1), (3), (4) решена. 3. В противном случае, используя в качестве начальной точки 𝜔1 точку 𝜔𝐵0 , решается задача A, и, используя в качестве начальной точки 𝜔1 точку 𝜔𝐴0 , решается задача B. Переход на этап 2. Достаточно большое число повторений этапов 1, 2, 3 дает возможность выходить искомым значениям параметров из окрестностей точек неглобальных минимумов одного критерия с помощью другого критерия и, тем самым, решить задачу параметрической идентификации. В результате совместного решения задач A и B согласно указанному алгоритму на базе статистических данных Республики Казахстан за 2000-2008 г.г. c использованием алгоритма Нелдера-Мида [6] были получены значения 𝐾𝐴 = 0.044 и 𝐾𝐵 = 0.026. При этом средняя относительная величина отклонений расчетных значений переменных используемых в основном критерии от соответствующих наблюдаемых значений, а также отклонений значений общих для двух моделей переменных модели 1 от соответствующих значений переменных модели 2 составила менее 0.26%. Результаты просчета и ретроспективного прогноза модели на 2008 г., частично представленные в таблице 1 демонстрируют расчетные (𝑌1 , 𝑌𝑔𝑖 , 𝑃𝑖 ), наблюдаемые значения и отклонения расчетных значений основных выходных переменных моделей от соответствующих наблюдаемых значений. Здесь промежуток времени 2000 - 2007 гг. соответствует периоду параметрической идентификации моделей; 2008г.- период ретропрогноза; 𝑌1 – валовый выпуск (× 1012 тенге, в ценах 2000 года, тенге – денежная единица Республики Казахстан; аналог переменной 𝑌1 у второй модели отсутствует); 𝑌𝑔𝑖 – ВВП (× 1012 тенге, в ценах 2000года); 𝑃𝑖 – индекс потребительских цен в процентах к предыдущему году; знак «*» соответствует наблюдаемым значениям, знак «Δ» соответствует отклонениям (в процентах) расчетных значений эндогенных переменных от соответствующих наблюдаемых значений. 6 Таблица 1. Наблюдаемые, расчетные значения выходных переменных моделей и соответствующие отклонения. Год 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 𝑌1∗ 5.44 6.32 6.47 6.86 7.72 8.52 9.25 9.69 9.84 𝑌1 5.36 6.28 6.41 6.80 7.68 8.49 9.23 9.55 9.66 𝛥𝑌1 -1.51 -0.55 -0.9 -0.87 -0.45 -0.33 -0.26 -1.4 -1.89 𝑌𝑔𝑖∗ 2.45 2.78 3.05 3.36 3.72 4.09 4.55 5.01 5.18 𝑌𝑔1 2.45 2.76 3.03 3.33 3.72 4.09 4.55 5.01 5.22 𝑌𝑔2 2.43 2.80 3.05 3.35 3.74 4.07 4.57 5.05 5.21 Δ𝑌𝑔1 -0.13 -0.69 -0.71 -0.72 -0.13 0.01 0.03 -0.07 0.86 Δ𝑌𝑔2 -0.70 0.75 0.08 -0.38 0.51 -0.39 0.46 0.85 0.53 𝑃𝑖∗ 106.4 106.6 106.8 106.7 107.5 108.4 118.8 109.5 𝑃1 107.8 108.8 108.4 107.5 107.2 108.1 117.4 109.3 𝑃2 104.6 105.8 106.4 105.9 107.2 108.1 118.5 109.3 Δ𝑃1 1.35 2.11 1.52 0.83 -0.24 -0.25 -0.30 -0.16 Δ𝑃2 -1.73 -0.77 -0.36 -0.72 -0.31 -0.32 -0.29 -0.15 2.2. Согласованная оптимизация на базе двух вычислимых моделей общего равновесия В работе рассматривается многоцелевой (двухцелевой) выбор оптимальной экономической политики с двумя независимыми по предпочтению критериями, характеризующими ВВП и ВДС инновационного сектора на базе двух CGE моделей (CGE модели отраслей экономики и CGE модели с сектором знаний) с их малоотличающимеся эндогенными переменными, имеющими одинаковый смысл. Формулировка рассматриваемой задачи имеет вид: 1 1 2015 𝐾1 = 5 ∑2015 ̅̅̅̅ и 𝐾2 = ∑𝑡=2011 𝑌22 (𝑡) → max 𝑂 𝑗 (𝑡),𝑗=1,16 ̅̅̅̅̅̅ .(6) 𝑡=2011 𝑌𝑔1 (𝑡) → max 𝑂𝑘 (𝑡),𝑘=1,3 5 На базе двух CGE моделей (CGE модели отраслей экономики и CGE модели с сектором знаний), дополнительно имеющих следующие ограничения на эндогенные переменные, имеющие одинаковый смысл. 𝑗 𝑗 𝑦1 (𝑡) ∈ 𝑌1 (𝑡), 𝑦2 (𝑡) ∈ 𝑌2 (𝑡), |𝑦1 (𝑡) − 𝑦2 (𝑡)| ≤ 𝜀𝑗 (7) Дополнительные ограничения на рост уровня потребительских цен, в рамках -ой CGE модели, имеют следующий вид: 𝑃𝑖 (𝑡) ≤ 1.09𝑃̅𝑖 (𝑡); 𝑡 = 2011, … , 2015; 𝑖 = 1, 2. (8) Ограничение на уровень дополнительных инвестиций, вкладываемых в рамках двух CGE моделей, имеет вид: 16 3 2015 𝑘 12 ∑2015 𝑡=2011 ∑𝑘=1 𝑂 (𝑡) = ∑𝑡=2011 ∑𝑗=1 𝑂𝑗 (𝑡) ≤ 11.5 ∙ 10 . (9) 𝑘 𝑘 𝑘 3 Здесь 𝑂𝑘 (𝑡) = ∑16 𝑗=1 𝑂𝑗 (𝑡), 𝑂𝑗 (𝑡) = ∑𝑘=1 𝑂𝑗 (𝑡), при этом некоторые 𝑂𝑗 (𝑡) = 0, как не имеющие экономического содержания. Так 𝑂𝑗1 (𝑡) = 0 при 𝑗 = 1, … ,10, 12, 14,15,16 и 3 (𝑡) 𝑂13 = 0. 7 При приведённой формулировке двухкритериальной задачи соответствующие обозначения имеют следующие содержания: 𝑌𝑔𝑖 – ВВП (× 1012 тенге, в ценах 2000года); 𝑌22 (𝑡) – gross value added of the second model’s innovative sector in the year 𝑡 (× 1010 tenge, in prices of 2000); 𝑌1 и 𝑌2 – заданные множества; 𝜀𝑗 , 𝑗 = 1, … , 𝑛𝑢,𝐵 – заданные малые числа; 𝑃̅𝑖 (𝑡) – расчётный уровень потребительских цен i-ой моделей без оптимизации; 𝑃𝑖 (𝑡) – уровень потребительских цен с оптимизацией. 𝑂𝑘 (𝑡) – дополнительные инвестиции, идущие на субсидирование отраслейпроизводителей CGE модели с сектором знаний; 𝑂𝑗 (𝑡) – дополнительные инвестиции, идущие на субсидирование отраслейпроизводителей CGE модели отраслей экономики; 11.5 ∙ 1012 – объём инвестиций на период 2011 – 2015 годы (в тенге); 𝑗 = 1, … ,16 – номер отрасли модели 1; 𝑘 = 1, 2, 3 – номер отрасли модели 2; 𝑂𝑗𝑘 (𝑡) ≥ 0 - дополнительные инвестиции, идущие в год t на субсидирование j-ой отрасли первой модели, при субсидировании k-ой отрасли второй модели. Для сформулированной двухкритериальной задачи с использованием алгоритма Нелдера–Мида [6] была построена оценка П множества Парето в виде набора точек на плоскости (𝐾1 , 𝐾2 ), представленная на рисунке 1. На рисунке 1 точки Парето множества П для наглядности последовательно соединены непрерывной линией. Пусть предпочтения лица принимающего решения (ЛПР) в рамках двухкритериальной задачи (6) на базе рассматриваемых моделей с ограничениями (7), (8), (9) определяются с помощью линейной функции полезности вида 𝑈(𝐾1 , 𝐾2 ) = ∑2𝑖=1 𝑊𝑖 𝐾𝑖 /𝐾𝑖0 → max (10) Здесь 𝑊𝑖 > 0 – веса, значения которых заранее не известны; но предполагается, что ∑2𝑖=1 𝑊𝑖 = 1. В рамках определения значений весов 𝑊𝑖 ЛПР сообщает не сами значение весов, а показатель относительной важности 𝑎1,2 для пары критериев (𝐾1 , 𝐾2 ). В этом случае ЛПР 𝑊 определяет число 𝑎1,2 = 𝑊1. Добавляя сюда условие 𝑊1 + 𝑊2 = 1, получим систему из 2 двух уравнений с двумя неизвестными, из которой получаем 𝑊1 = 1 1+𝑎1,2 ; 𝑊2 = 1 − 𝑊1. (11) Сформулируем следующую задачу оптимизации функции полезности на базе двух целевых функционалов задачи двухкритериальной оптимизации по синтезу оптимального закона параметрического регулирования. Задача 1. На базе двух CGE моделей (модели отраслей экономики и модели с сектором знаний) с общими эндогенными переменными и для заданного показателя относительной важности 𝑎1,2 для пары критериев (6) найти такой набор дополнительных направляемых в отрасли экономики страны инвестиций 𝑂𝑘 (𝑡) и 𝑂𝑗 (𝑡), удовлетворяющий условию (9), чтобы соответствующие ему решения исследуемых CGE моделей удовлетворяли для указанных значений времени условиям (7) - (8) и доставляли максимум функции полезности (10). Согласование целей на базе сформулированной двухкритериальной задачи оптимизации можно осуществить следующим образом: 8 Путём взаимодействия с ЛПР в процессе решения сформулированной двухкритериальной задачи, определяется оптимальная (в смысле критерия (10) со значениями весов (11)) точка 𝐴(𝐾1𝑚 , 𝐾2𝑚 ) ∈ Π и значения долей дополнительных инвестиций 𝑂𝑗𝑘 (𝑡) по значениям критериев 𝐾1𝑚 , 𝐾2𝑚 . На рисунке 1, например, отмечена точка 𝐴(6.27, 4.30) ∈ Π представляющая решение второго этапа рассматриваемой задачи оптимизации для случая 𝑎1,2 = 1, (𝑊1 = 𝑊2 = 0.5). Наклонная прямая проходящая точку A – это линия уровня (equipotential line) функции полезности (10) для рассматриваемого случая, соответствующая максимальному значению этой функции на множестве Π. Анализ представленной на рисунке 1 оценки Π множества Парето показывает, что при различных значениях выбираемого ЛПР показателя 𝑎1,2 возможны только следующие ситуации. 1. Если 𝑎1,2 < 0.217, то решению задачи 1 соответствует точка 𝐵(5.89, 4.36) ∈ Π. 2. Если 𝑎1,2 ≈ 0.217, то задача 1 имеет два решения, которым соответствуют точки B и A. 3. Если 0.217 < 𝑎1,2 < 1.373, то решению задачи 1 соответствует точка A. 4. Если 𝑎1,2 ≈ 1.373, то задача 1 имеет два решения, которым соответствуют точки A и 𝐶(6.28, 4.29) ∈ Π. 5. Если 𝑎1,2 > 1.373, то решению задачи 1 соответствует точка C. Рис. 1. Оценка множества Парето для задачи 1. Заключение Показана эффективность предложенного метода совместной параметрической идентификации двух большеразмерных CGE моделей. Предложен эффективный метод выбора согласованной экономической политики в сфере экономического роста на базе постановки и решения многокритериальной (двухкритериальной) задачи оптимизации в среде двух CGE моделей. Полученные результаты могут быть использованы при разработке и осуществлении эффективной государственной экономической политики в сфере экономического роста. Литература 9 [1] F.J. Andre, M.A. Cardenete, & C. Romero, Designing public policies: An approach based on multi-criteria analysis and computable general equilibrium modeling, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, (642), Springer, 2010. [2] R.L. Keeney, H. Raiffa, Decisions with multiple objectives: preferences and value tradeoffs (Cambridge University Press, 1993). [3] E. Triantaphyllou, Multi-criteria decision making methods: a comparative study (Kluwer Academic Publishers, 2002). [4] T. L. Saaty, The analytic hierarchy process: planning, priority setting, resource allocation (McGraw-Hill, 1980). [5] V.L. Makarov, A.R. Bakhtizin, & S.S Sulakshin, The use of computable models in public administration (Moscow: Scientific Expert, 2007, in Russian). [6] J.A Nelder, R. Mead, A simplex method for function minimization, The Computer Journal, (7), 1965, 308-313. 10