УДК 523.03:677.4 ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РАСЧЕТА МЯГКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ТЕКСТИЛЬНЫМ ИЗДЕЛИЯМ Ахмедов К., д.т.н.,проф.Мавлянов Т.М.,к.т.н.,доц.Янгибаев Ю.Д (ТИТЛП г.Ташкент) Как известно существует достаточно много работ по теории оболочек. Однако целесообразности применения этих теории к текстильным оболочкам недостаточно обоснованы. Поэтому, приступая к работе по созданию математических моделей текстильных оболочек, целесообразно проверить возможность использования нелинейной теории мягких оболочек применительно к текстильным оболочкам и сформулировать допустимые упрощения, которые позволили бы получить практические результаты. Теория мягких оболочек применяется при расчете тонкостенных конструкций, изгибная жесткость которых весьма мала. Одна из важных особенностей таких конструкций состоит в том, что при определенных условиях на поверхности оболочки могут появляться мелкие складки. Они возникают в результате действия сжимающих сил. Разрешающие уравнения должны быть составлены для деформированного состояния. Наиболее общей оказывается теория больших деформаций оболочки, использующая нелинейные геометрические и физические соотношения. Ниже рассмотрены некоторые вопросы теории мягких оболочек. Особенности построения исходных зависимостей, их обоснование и применение для расчета выявлены в задаче о деформировании мягкой текстильной оболочки. Пусть срединная поверхность оболочки отнесена к криволинейной ортогональной системе координат и совпадают с линиями главной кривизны срединной поверхности оболочки. В выбранной системе координат срединная поверхность будет характеризоваться главными кривизнами соответствующими радиусами K1 K1 ( , ), K 2 K 2 ( , ) и коэффициентами первой квадратичной формы R1 ( , ), R2 R2 ( , ), A A( , ), B B( , ), с помощью которых квадрат линейного элемента срединной поверхности кривизны R1 представляется формулой dS 2 A 2 d 2 B 2 d 2 . Величины K i , A, B должны подчиняться известным соотношениям Гаусса-Кодации [1] 1 K 2 1 B ( K1 K 2 ) ; A A1 A2 1 1 B ( ) K1 K 2 B. A A (1) Повороты нормали к координатной поверхности, возникающие в результаты деформации можно выразить через перемещения точек координатной поверхности u , v, w : 1 w 1 w (2) K1u; 2 K 2 v. A B Положительные направления перемещений u , v, w и поворотов 1 , 2 показаны на рис.1. Удлинения и сдвиг связаны с перемещениями и поворотами следующими нелинейными соотношениями: z 1 2 2 1 1 u Рис.1 Рис.2. 1 u 1 1 u 1 1 B K1 w 12 ; E 22 K 2 w 22 u; A 2 B 2 AB 1 B 1 u E12 E 21 v K1 w 1 2 . AB B E11 (3) Компоненты изгибной деформации координатной поверхности связаны с перемещениями и поворотами соотношениями 1 1 1 2 1 B ; K 22 1 ; A B AB (4) K 2 v 1 1 1 B 1 2 1 B 1 u K12 2 ; K 21 K1 ( v ). B AB A A AB B K11 Выше приведенными формулами определяются геометрические соотношения простейшего варианта нелинейной теории мягких оболочек. Далее переходим к установлению физических соотношений для мягких оболочек. Предположим, что элемент, рассматриваемый оболочки характеризуется модулем упругости, коэффициентом Пуассона и нелинейно-упругой диаграммой растяжения образцов ( ) (рис.2). Интенсивность деформаций в этом случае i 2 ( 11 22 ) 2 ( 22 33 ) 2 ( 11 33 ) 2 , 3 (5) а интенсивность напряжений 2 i 112 11 22 22 Связь i i ( i ). (6) между интенсивностями напряжений и деформацией определяется зависимостью Для определения этой зависимости использует диаграмму растяжения (рис.2). С помощью этой диаграммы по формулам i ; i можно посчитать значения модули: . Ec i ( i ) / i секущий i и i , 1 2 3E определяющие диаграмму деформирования (7) i i ( i ) и Ek d i ( i ) / d i . При этом деформации и и касательный напряжения связаны зависимостями ii ( K 2 Ec / 9) 0 2 Ec ii / 3 (i 1,2,3), K В случае, когда 11 33 намного меньше, чем 22 и 11 E ; 0 11 22 33 . (8) 3(1 2 ) уравнение (8) можно преобразовать к виду 1 2 Ec / 9 K 1 1 1 ( 11 22 ) ( 11 22 ) (1 2), 33 ( 11 22 ). (9) 9K Ec 2 1 4 Ec / 9 K Компоненты вектора обобщенных усилий связаны с компонентами вектора обобщенных деформаций соотношением N C D, где (10) T C - матрица жесткостей; N T11 T22 M 11 M 22 S H ; D вектор дополнительных сил (например, влажностные, температурные и др.). Далее основываясь на [2] напишем уравнения равновесия для элемента оболочки. T11 (T11 T22 ) S k1 (Q11 H ) p1 0; S 2 ( S k1 H ) T22 k 2 (Q22 H ) p 2 0; Q11 Q11 Q22 k1T11 k 2T22 p3 0; M 11 ( M 11 M 22 ) H Q11 0; (11) H 2H M 22 Q22 0, где . p1 q1 u; p2 q2 v; p3 q z w (12) q1 , q2 , q z - распределенные поверхностные нагрузки, направление которых совпадает с направлениями координатных осей , , z. В качестве примера рассмотрим мягкую цилиндрическую оболочку, расчетная схема которой представлена на рис.3. L1' R б P L1 Рисунок 3 - Расчетная схема При этом система (11) сводится к виду dy f ( , y ), d (13) где y - вектор перемещений, компоненты которого является поворота (v ) ; y 3 - поперечное перемещение (w) ; y1 - продольная сила (T1 ) ; y 2 - угол y 4 - продольное перемещение (u ), ненулевые компоненты векторов определяют по формулам f1 (T2 T1 ) 1 1 1 T 1 1 1 cos( ); f 2 2 sin( ); f 3 (1 1 ) cos( ); f 4 (1 1 ) sin( ) 1; 1 2 R T1 1 2 R 1 u / R; 2 w / R. Для интегрирования уравнений системы необходимо на каждом контуре иметь по два граничных условия. В рассматриваемом случае они имеет следующий вид: (15) w(0) 0; u(0) 0; (l / 2) / 2; T1 (l / 2) p( R w) / 2. При расчете мягких оболочек необходимо определить силы и деформированную геометрию оболочки, часть поверхности которой занимают складки. Условие существования складчатых участковравенство нулю одной из главных сил, в данном случае сила T2 . Тогда общий вид систему уравнений остается также как в виде (13), компоненты правой части будут другими f 1 T1 (1 1 ) 3 / 2 1 p cos( ); f 2 ; f 3 (1 1 ) cos( ); f 4 (1 1 ) sin( ) 1; R T1 1 u / R; 2 w / R. Уравнение (13) решается численно, методом Рунге-Кутта на «Mathcad». Численные результаты приведены, для каждого случая в виде графиков на рис.4 и рис.5. 20 Z 1 Z 2 Z 3 4 Z 0 20 40 0 2 4 6 0 Z 8 Рисунок 4 - Изменение компонентов перемещения и усилий в зависимости от угла 10 (мягкая оболочка без складок) 50 Z1 1 Z1 2 Z1 3 4 Z1 0 50 100 0 2 4 6 0 Z1 8 10 Рисунок 5 - Изменение вектора перемещений и усилий в зависимости от угла. (мягкая оболочка со складками) Приведенные решения иллюстрируют основные подходы к расчету мягких оболочек. При нелинейной постановке необходимо составлять численные алгоритмы расчета. Полученные упрощенные результаты могут быть основой для получения более точных нелинейных решений.