1. УМФ 1. 3курс 6 семестр 2 задание Интегральные уравнения. 1. Интегральные уравнения с вырожденным ядром. 2. Найти характеристические числа, собственные функции, а также то значение 2 параметра , при котором интегральное уравнение x 10 x 6 x y y dy , y 1 x 1, x x1 , x2 , y y1 , y2 разрешимо для любых . Найти решения при этом значении . 2. 3. Задача Штурма-Лиувилля. 1. Свести к интегральному уравнению задачу: e 2 x y 4 y 3 y y , 0 x ln 2 , y0 y0 0 , yln 2 0 . Сферические функции. 1. Решить задачу: u 0 , 1 r 2 , r x 2 y 2 z 2 , u r 1 2 sin 2 cos 2 cos 2 , u r 2 31sin 2 sin , где r x 2 y 2 z 2 , x r sin cos , y r sin sin . 4. Функция Грина задачи Дирихле. 1. Поставить внутреннюю задачу Неймана для уравнения Лапласа для шара радиуса R с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение (обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке задачи функций). 2. Построить функцию Грина для следующих областей в R3: полупространство x3 > 0. u f x x3 0 3. Найти решение задачи Дирихле: для непрерывных и u u0 x x3 0 ограниченных f(x) и u0(x). 5. Потенциалы. 1. Дать определение объемного потенциала. 2. Найти ньютонов потенциал шара x R с постоянной плотностью. Рассмотреть случай n=3. Определить потенциал не только в шаре x R, но и вне него. ----------------------------------------------- 2. УМФ 1. 3курс 6 семестр 2 задание Интегральные уравнения. 1. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с вырожденным ядром. 2. Найти характеристические числа и собственные функции ядра интегрального уравнения. Решить интегральное уравнение при всех возможных : 2 4 ux 2 2 1u y dy 3x 2 4 , ux C1, 2 . x y 1 2. Задача Штурма-Лиувилля. 1. С помощью функции Грина для соответствующего дифференциального оператора свести к интегральному уравнению задачу: x 2 1 y 2 xy 2 y y , 0 x 1 , y0 0 , y1 y1 0 . 3. Сферические функции. 1. Решить задачу: u 20 , r 3 , r x 2 y 2 z 2 , u u xx u yy u zz , u r 3 15 15 cos 2 3 sin sin , где x r sin cos , y r sin sin . 4. Функция Грина задачи Дирихле. 1. Поставить внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа для шара радиуса R с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение (обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке задачи функций). 2. Найти функцию Грина для полуплоскости Im z > 0. y0 u 0 3. Найти решение задачи Дирихле . u x a y 0 5. Потенциалы. 1. Дать определение потенциала двойного слоя. 2. На сфере радиуса R распределены диполи с плотностью момента cos , ориентированные вдоль внешней нормали. Найти потенциал двойного слоя в точке оси 0 0 . ----------------------------------------------- 3. УМФ 1. 3курс 6 семестр 2 задание Интегральные уравнения. 1. Теорема о разрешимости уравнения Фредгольма с малым непрерывным ядром. 2. Найти характеристические числа и собственные функции ядра интегрального уравнения. Решить интегральное уравнение при всех возможных : 1 ux 2 xy 1 u y dy 10x 9 , ux C0,1. 0 2. Задача Штурма-Лиувилля. 1. Свести к интегральному уравнению задачу: 1 e x y y y e 2 x , 0 x 2 , y0 2 ln 2 y0 0 , y2 0 . 3. Сферические функции. 1. Решить задачу: u 0 , 1 r 2 , r x 2 y 2 z 2 , u u xx u yy u zz , 5 5 cos 2 , 6 2 где x r sin cos , y r sin sin . ur 4. r 1 5 sin 2 cos 2 , u r 2 Функция Грина задачи Дирихле. 1. Поставить внутреннюю задачу Неймана для уравнения Лапласа для шара радиуса R с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение (обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке задачи функций). 2. Построить функцию Грина для следующих областей в R3: восьмая часть шара x< R, x1 0 , x2 0 , x3 > 0. u f x 3. Найти решение задачи Дирихле для шара x< R: u x R u0 x 5. x R . Потенциалы. 1. Дать определение потенциала простого слоя. 2. Найти потенциал простого слоя с постоянной плотностью, сосредоточенный на границе шара x R . Рассмотреть случай n=3. Определить потенциал не только в шаре x R, но и вне его. ----------------------------------------------- 4. УМФ 1. 3курс 6 семестр 2 задание Интегральные уравнения. 1. Лемма об эквивалентности интегрального уравнения с непрерывным ядром интегральному уравнению с вырожденным ядром. 2. Найти характеристические числа и собственные функции ядра интегрального уравнения. Решить интегральное уравнение при всех возможных : 1 3x 2 1 ux 2 8 u y dy 6 x 2 7 , u x C ,1 . y 2 1 2 2. Задача Штурма-Лиувилля. 1. Свести к интегральному уравнению: x 2 1 y 2 xy 2 y y 0 , 0 x 1 , y0 0 , y1 y1 0 . 3. Сферические функции. 1. Решить задачу: 1 u 4 , r 2 , r x 2 y 2 z 2 , u 0 , r u ur r 2 sin cos 2 sin , 2 6 где x r sin cos , y r sin sin . 4. Функция Грина задачи Дирихле. 1. Поставить внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа для шара радиуса R с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение (обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке задачи функций). 2. Найти функцию Грина для круга z< R. 0 y u 0 3. Найти решение задачи Дирихле u y 0 x . u 0 y 5. Потенциалы. 1. Дать определение объемного потенциала. 2. Найти ньютонов потенциал шара x R с постоянной плотностью. Рассмотреть случай n=3. Определить потенциал не только в шаре x R, но и вне его. ----------------------------------------------- 5. УМФ 1. 3курс 6 семестр 2 задание Интегральные уравнения. 1. Теоремы Фредгольма в общем случае. 2. Найти характеристические числа и собственные функции ядра интегрального уравнения. Решить интегральное уравнение при всех возможных : ln 2 2 ux e 3 x y 3e y u y dy 4e 3 x 18 , ux C0, ln 2. 3 0 2. 3. Задача Штурма-Лиувилля. 2 1. Свести к интегральному уравнению задачу: x 1 y 3x 1 y y f x , 0 x 1 , y0 0 , y1 0 , где f x - непрерывная на отрезке 0;1 функция. Сферические функции. 1. Решить задачу: 3 1 u 5 , r 1 ; r x 2 y 2 z 2 ; r 2 u r 1 2 cos 2 cos 2 cos 2 , 2 ur r 1 sin 2 sin , где x r sin cos , y r sin sin . 4. Функция Грина задачи Дирихле. 1. Поставить внутреннюю задачу Неймана для уравнения Лапласа для шара радиуса R с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение (обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке задачи функций). 2. Построить функцию Грина для следующих областей в R3: четверть шара x< R, x2 0 , x3 > 0. x3 0 u 0 3. Найти решение задачи Дирихле: . u x2 x1 x3 0 5. Потенциалы. 1. Дать определение потенциала двойного слоя. 2. Найти потенциал двойного слоя с постоянной плотностью, сосредоточенный на границе шара x R . Рассмотреть случай n=3. Определить потенциал не только в шаре x R, но и вне его. ----------------------------------------------- 6. УМФ 1. 3курс 6 семестр 2 задание Интегральные уравнения. 1. Свойства собственных значений и собственных функций интегрального уравнения с вещественным симметричным ядром. ux 5 x 2 y 3 7 x 3 y 2 u y dy 5 x 7 x 4 , 1 2. Решить интегральное уравнение: 1 uxC1,1 , где – вещественный параметр. Найти характеристические числа и собственные функции соответствующего интегрального оператора. 2. Задача Штурма-Лиувилля. 1. Свести задачу Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению: y 0 x 1 , y0 0 , y1 y1 0 . 3. 2 y x 3 y , x Сферические функции. 1. Решить задачу: u 6r 3 , 1 r 2 ; r x 2 y 2 z 2 ; u r 1 cos 2 1sin 2 sin 2 , ur где x r sin cos , y r sin sin . 4. r 2 15 sin cos , Функция Грина задачи Дирихле. 1. Поставить внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа для шара радиуса R с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение (обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке задачи функций). 2. Построить функцию Грина для следующих областей в R3: двугранный угол x2 > 0, x3 > 0. u 0 x R 3. Найти решение задачи Дирихле для шара x< R: . u x R 1 5. Потенциалы. 1. Дать определение потенциала простого слоя. 2. На круглом диске радиуса R распределены диполи с постоянной плотностью момента, ориентированные вдоль нормали, направленной в сторону отрицательных x3. Найти потенциал двойного слоя в точке, лежащей на оси диска. 7. УМФ 1. 3курс 6 семестр 2 задание Интегральные уравнения. 1. Теорема Гильберта-Шмидта. 2. Решить интегральное уравнение: ux x sin y cos 2 y u y dy 3sin x cos x , ux C , , где – вещественный параметр. Найти характеристические числа и собственные функции соответствующего интегрального оператора. 2. Задача Штурма-Лиувилля. 1. Свести к интегральному уравнению задачу: x 2 y x 2 y y f x , -1 < x < 0, y1 0 , y0 y0 0 , где 0 , f xC1;0. 2 3. Сферические функции. 1. Решить задачу: 6 1 u , r 1 ; r x 2 y 2 z 2 ; r 3 u r 1 cos 2 cos 2 2 sin 2 , 3 u r 1 1 cos , где x r sin cos , y r sin sin . 4. Функция Грина задачи Дирихле. 1. Поставить внутреннюю задачу Неймана для уравнения Лапласа для шара радиуса R с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение (обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке задачи функций). 2. Пользуясь методом отражений построить функцию Грина для части пространства, заключенного между параллельными плоскостями x3 0 и x3 1 . u a const 3. Найти решение задачи Дирихле для шара x< R: u x R 0 5. Потенциалы. 1. Дать определение объемного потенциала. 2. Найти ньютонов потенциал шара x R с постоянной x R . плотностью. Рассмотреть случай n=2. Определить потенциал не только в шаре x R, но и вне его. ----------------------------------------------- 8. УМФ 1. 3курс 6 семестр 2 задание Интегральные уравнения. 1. Интегральные уравнения с вырожденным ядром. 1 2. Решить интегральное уравнение: ux 3 xy 2 5 x 2 y u y dy 5 x 3 7 x 4 , 1 uxC1,1 , где – вещественный параметр. Найти характеристические числа и собственные функции соответствующего интегрального оператора. 2. Задача Штурма-Лиувилля. 1. С помощью функции Грина для соответствующего дифференциального оператора 1 свести к интегральному уравнению задачу: x 2 y xy y x 3 y f x , x 1 , 2 3. 1 1 2 y y 0 , y1 0 . 2 2 Сферические функции. 1. Решить задачу: u 12r , 1 r 3 ; r x 2 y 2 z 2 ; u r 1 0 , u r 3 cos 2 sin 2 + sin 2 cos sin , где x r sin cos , y r sin sin . 4. Функция Грина задачи Дирихле. 1. Поставить внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа для шара радиуса R с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение (обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке задачи функций). 2. Построить функцию Грина для следующих областей в R3: полушар x< R, x3 > 0. u f x x3 0 3. Найти решение задачи Дирихле: для непрерывных и u u0 x x3 0 ограниченных f(x) и u0(x). 5. Потенциалы. 1. Дать определение потенциала двойного слоя. 2 2. На круглом диске радиуса R распределен простой слой с плотностью r . Найти потенциал в точке, лежащей на оси диска. ----------------------------------------------- 9. УМФ 1. 3курс 6 семестр 2 задание Интегральные уравнения. 1. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с вырожденным ядром. 3 2. Решить интегральное уравнение: ux x cos y y cos x u y dy x 2 2 sin x , 2 ux C , , где – вещественный параметр. Найти характеристические числа и собственные функции соответствующего интегрального оператора. 2. 3. Задача Штурма-Лиувилля. 2 1. Свести к интегральному уравнению задачу: x 1 y 3x 1 y y f x , 0 x 1 , y0 y0 , y1 0 , где 0 , f x - непрерывная на отрезке 0;1 функция. Сферические функции. 1. Решить задачу: 1 , r x2 y2 z2 ; 2 1 sin 4 sin 2 , u r 1 cos 2 2 sin cos + 16 2 где x r sin cos , y r sin sin . u 24 xy , r 4. Функция Грина задачи Дирихле. 1. Поставить внутреннюю задачу Неймана для уравнения Лапласа для шара радиуса R с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение (обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке задачи функций). 2. Построить функцию Грина для следующих областей в R3: октант x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0. y0 u 0 3. Найти решение задачи Дирихле . u y 0 x a 5. Потенциалы. 1. Дать определение потенциала простого слоя. 2. Найти ньютонов потенциал шара x R с плотностью x . Рассмотреть случай n=3. Определить потенциал не только в шаре x R, но и вне его. ----------------------------------------------- 10. УМФ 1. 3курс 6 семестр 2 задание Интегральные уравнения. 1. Теорема о разрешимости уравнения Фредгольма с малым непрерывным ядром. 2. Решите при всех допустимых значениях λ и a уравнение (x) = xy3 x 2 y 2 y dy +ax2 + x3 и найдите характеристические числа, собственные 1 1 функции интегрального оператора. 2. Задача Штурма-Лиувилля. 1. Свести к интегральному уравнению задачу: 1 x 2 , y1 0 , y2 2 y2 0 . 3. 1 1 3 y 2 y 3 y sin x y e x , x x x Сферические функции. 1. Решить задачу: u 1 , 1 r 2 , r x 2 y 2 z 2 ; 2 , 3 где x r sin cos , y r sin sin . u r 1 0 , u r 2 2 sin sin 4. Функция Грина задачи Дирихле. 1. Поставить внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа для шара радиуса R с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение (обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке задачи функций). 2. Построить функцию Грина для следующих областей в R3: шар x< R. u f x x R 3. Найти решение задачи Дирихле для шара x< R: . u u0 x x R 5. Потенциалы. 1. Дать определение объемного потенциала. 2. Найти потенциал простого слоя, распределенный с постоянной плотностью на цилиндре x1 x2 R , 0 x3 H в точке лежащей на оси x3 . 2 2 2 ----------------------------------------------- 11. УМФ 1. 3курс 6 семестр 2 задание Интегральные уравнения. 1. Лемма об эквивалентности интегрального уравнения с непрерывным ядром интегральному уравнению с вырожденным ядром. 2. Решите при всех допустимых значениях λ и a уравнение (x) = x sin y cos y cos x y dy +ax +cos x и найдите характеристические числа, собственные функции интегрального оператора. 2. Задача Штурма-Лиувилля. 1. Свести к интегральному уравнению задачу: x 2 y x 2 y y f x , 0 x 1 , y1 0 , y0 0 , где f xC1;0. 2 3. Сферические функции. 1. Решить задачу: u 12 x 2 y 2 , 1 r 2 , r x 2 y 2 z 2 ; u r 1 2 sin 2 sin sin 4 cos 2 , u r 2 4 sin 2 cos 2 , 2 где x r sin cos , y r sin sin . 4. Функция Грина задачи Дирихле. 1. Поставить внутреннюю задачу Неймана для уравнения Лапласа для шара радиуса R с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение (обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке задачи функций). 2. Построить функцию Грина для следующих областей в R3: полупространство x3 > 0. 0 y u 0 3. Найти решение задачи Дирихле u y 0 x . u y 0 5. Потенциалы. 1. Дать определение потенциала двойного слоя. 2. Найти потенциал простого слоя с постоянной плотностью, сосредоточенный на границе шара x R . Рассмотреть случай n=2. Определить потенциал не только в шаре x R, но и вне его. ----------------------------------------------- 12. УМФ 1. 3курс 6 семестр 2 задание Интегральные уравнения. 1. Теоремы Фредгольма в общем случае. 2. Решите при всех допустимых значениях λ и a уравнение (x) = x 2 y 2 xy y dy 1 1 + x + a и найдите характеристические числа, собственные функции интегрального оператора. 3 2. 3. Задача Штурма-Лиувилля. 1. Свести к интегральному уравнению задачу: e 2 x y 4 y 3 y y , 0 x ln 2 , y0 y0 0 , yln 2 0 . Сферические функции. 1. Решить задачу: u 6 z , r 1 , r x 2 y 2 z 2 ; u r 1 2 sin 2 sin 2 cos3 , где x r sin cos , y r sin sin . 4. Функция Грина задачи Дирихле. 1. Поставить внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа для шара радиуса R с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение (обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке задачи функций). 2. Найти функцию Грина для полуплоскости Im z > 0. x3 0 u 0 3. Найти решение задачи Дирихле: . u x2 x1 x3 0 5. Потенциалы. 1. Дать определение потенциала простого слоя. 2. Найти потенциал двойного слоя с постоянной плотностью, сосредоточенный на границе шара x R . Рассмотреть случай n=2. Определить потенциал не только в шаре x R, но и вне его. ----------------------------------------------- 13. УМФ 1. 3курс 6 семестр 2 задание Интегральные уравнения. 1. Свойства собственных значений и собственных функций интегрального уравнения с вещественным симметричным ядром. 2. Решите при всех допустимых значениях λ и a уравнение (x) = x 2 cos y y sin x y dy +cos x +asinx и найдите характеристические числа, собственные функции интегрального оператора. 2. Задача Штурма-Лиувилля. 1. С помощью функции Грина для соответствующего дифференциального оператора свести к интегральному уравнению задачу: x 2 1 y 2 xy 2 y y , 0 x 1 , y0 0 , y1 y1 0 . 3. Сферические функции. 1. Решить задачу: u 12 x 2 y 2 , ur r 1 2 4 1 r 1; 2 1 sin 4 cos 2 , u r 2 r 1 1 2 sin cos 2 2 sin 4 sin 4 cos 2 , где r x 2 y 2 z 2 , x r sin cos , y r sin sin . 4. Функция Грина задачи Дирихле. 1. Поставить внутреннюю задачу Неймана для уравнения Лапласа для шара радиуса R с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение (обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке задачи функций). 2. Построить функцию Грина для следующих областей в R3: восьмая часть шара x< R, x1 0 , x2 0 , x3 > 0. u 0 3. Найти решение задачи Дирихле для шара x< R: u 1 x R 5. Потенциалы. 1. Дать определение объемного потенциала. 2. Найти ньютонов потенциал шара x R с плотностью x x R . . Рассмотреть случай n=3. Определить потенциал не только в шаре x R, но и вне его. ----------------------------------------------- 14. УМФ 1. 3курс 6 семестр 2 задание Интегральные уравнения. 1. Теорема Гильберта-Шмидта. 1 2 sh y x ch x y 2 2e y y dy + f(x), -1 < 2. Найти решение уравнения (x) = sin 3 x y 1 x < 1. При каких f(x) C([-1,1]) и решение существует? Каково множество характеристических чисел сопряженного оператора? 2. Задача Штурма-Лиувилля. 1. Свести к интегральному уравнению задачу: 1 e x y y y e 2 x , 0 x 2 , y0 2 ln 2 y0 0 , y2 0 . 3. Сферические функции. 1. Решить задачу: u 0 , 1 r 2 , r x 2 y 2 z 2 , u r 1 2 sin 2 cos 2 cos 2 , u r 2 31sin 2 sin , где x r sin cos , y r sin sin . 4. Функция Грина задачи Дирихле. 1. Поставить внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа для шара радиуса R с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение (обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке задачи функций). 2. Найти функцию Грина для круга z< R. 3. 5. u a const Найти решение задачи Дирихле для шара x< R: u x R 0 Потенциалы. 1. Дать определение потенциала двойного слоя. 2. Для сферического слоя R1 x R2 вычислить объемный потенциал x R . масс, распределенных с постоянной плотностью. ----------------------------------------------- 15. УМФ 1. 3курс 6 семестр 2 задание Интегральные уравнения. 1. Интегральные уравнения с вырожденным ядром. 2. Найти характеристические числа, собственные функции интегрального оператора и решить при всех допустимых значениях уравнение (x) = cos y x y dy + 2 2 3 2 cosx . 2. Задача Штурма-Лиувилля. 1. Свести к интегральному уравнению: x 2 1 y 2 xy 2 y y 0 , 0 x 1 , y0 0 , y1 y1 0 . 3. Сферические функции. 1. Решить задачу: u 20 , r 3 , r x 2 y 2 z 2 , u u xx u yy u zz , u r 3 15 15 cos 2 3 sin sin , где x r sin cos , y r sin sin . 4. Функция Грина задачи Дирихле. 1. Поставить внутреннюю задачу Неймана для уравнения Лапласа для шара радиуса R с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение (обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке задачи функций). 2. Построить функцию Грина для следующих областей в R3: четверть шара x< R, x2 0 , x3 > 0. u f x x3 0 3. Найти решение задачи Дирихле: для непрерывных и u u0 x x3 0 ограниченных f(x) и u0(x). 5. Потенциалы. 1. Дать определение потенциала простого слоя. 2. С помощью потенциалов решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа внутри и вне шара x R в R . 3 ----------------------------------------------- 16. УМФ 1. 3курс 6 семестр 2 задание Интегральные уравнения. 1. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с вырожденным ядром. 2. Найти характеристические числа, собственные функции интегрального оператора и решить при всех допустимых значениях уравнение (x) = 1 24 x 3 y 2 14 x 3 y dy - 12 x3 + 1, 0 x 1 . 0 2. Задача Штурма-Лиувилля. 1. Свести к интегральному уравнению задачу: x 1 y 3x 1 y y f x , 0 x 1 , y0 0 , y1 0 , где f x - непрерывная на отрезке 0;1 функция. 2 3. Сферические функции. 1. Решить задачу: u 0 , 1 r 2 , r x 2 y 2 z 2 , u u xx u yy u zz , 5 sin 2 cos 2 , 5 5 u r 2 cos 2 , 6 2 где x r sin cos , y r sin sin . ur 4. r 1 Функция Грина задачи Дирихле. 1. Поставить внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа для шара радиуса R с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение (обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке задачи функций). 2. Построить функцию Грина для следующих областей в R3: двугранный угол x2 > 0, x3 > 0. y0 u 0 3. Найти решение задачи Дирихле . u x a y 0 5. Потенциалы. 1. Дать определение потенциала двойного слоя. 2. На круглом диске радиуса R распределен простой слой с плотностью непрерывная 2-периодическая функция. Найти потенциал в точке, лежащей на оси диска. ----------------------------------------------- 17. УМФ 1. 3курс 6 семестр 2 задание Интегральные уравнения. 1. Теорема о разрешимости уравнения Фредгольма с малым непрерывным ядром. 2. Найти решение уравнения (x) = xex sh 4 y sin x y 2 y 4 cos y y dy + f(x), -1 < 1 2 1 x < 1. При каких f(x) C([-1,1]) и решение существует? Каково множество характеристических чисел сопряженного оператора? 2. Задача Штурма-Лиувилля. 1. Свести задачу Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению: y 0 x 1 , y0 0 , y1 y1 0 . 3. 2 y x 3 y , x Сферические функции. 1. Решить задачу: 1 u 4 , r 2 , r x 2 y 2 z 2 , u 0 , r u ur r 2 sin cos 2 sin , где x r sin cos , y r sin sin . 2 6 4. Функция Грина задачи Дирихле. 1. Поставить внутреннюю задачу Неймана для уравнения Лапласа для шара радиуса R с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение (обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке задачи функций). 2. Пользуясь методом отражений построить функцию Грина для части пространства, заключенного между параллельными плоскостями x3 0 и x3 1 . u f x 3. Найти решение задачи Дирихле для шара x< R: u u0 x x R 5. x R . Потенциалы. 1. Дать определение объемного потенциала. 2. Найти ньютонов потенциал шара x R с плотностью e x . Рассмотреть случай n=3. Определить потенциал не только в шаре x R, но и вне его. ----------------------------------------------- 18. УМФ 1. 3курс 6 семестр 2 задание Интегральные уравнения. 1. Лемма об эквивалентности интегрального уравнения с непрерывным ядром интегральному уравнению с вырожденным ядром. 2. Найти характеристические числа, собственные функции интегрального оператора и решить при всех допустимых значениях уравнение (x) = sh x x 2 y 2 y dy 1 1 3. 2. Задача Штурма-Лиувилля. 1. Свести к интегральному уравнению задачу: x 2 y x 2 y y f x , -1 < x < 0, y1 0 , y0 y0 0 , где 0 , f xC1;0. 2 3. Сферические функции. 1. Решить задачу: 3 1 u 5 , r 1 ; r x 2 y 2 z 2 ; r 2 u r 1 2 cos 2 cos 2 cos 2 , 2 ur r 1 sin 2 sin , где x r sin cos , y r sin sin . 4. Функция Грина задачи Дирихле. 1. Поставить внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа для шара радиуса R с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение (обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке задачи функций). 2. Построить функцию Грина для следующих областей в R3: полушар x< R, x3 > 0. 0 y u 0 3. Найти решение задачи Дирихле u y 0 x . u y 0 5. Потенциалы. 1. Дать определение потенциала простого слоя. 2. Найти ньютонов потенциал шара x R с плотностью x . Рассмотреть случай n=3. Определить потенциал не только в шаре x R, но и вне его. ----------------------------------------------- 19. УМФ 1. 3курс 6 семестр 2 задание Интегральные уравнения. 1. Теоремы Фредгольма в общем случае. 2. Найти характеристические числа, собственные функции интегрального оператора и решить при всех допустимых значениях уравнение (x) = 15 x 3 3x 2 y 4 y dy + 9 x + 1, -1 x 1 . 1 1 2. Задача Штурма-Лиувилля. 1. С помощью функции Грина для соответствующего дифференциального оператора 1 свести к интегральному уравнению задачу: x 2 y xy y x 3 y f x , x 1 , 2 1 1 2 y y 0 , y1 0 . 2 2 3. Сферические функции. 1. Решить задачу: u 6r 3 , ur 4. r 2 1 r 2; r x2 y2 z2 ; u r 1 cos 2 1sin 2 sin 2 , 15 sin cos , где x r sin cos , y r sin sin . Функция Грина задачи Дирихле. 1. Поставить внутреннюю задачу Неймана для уравнения Лапласа для шара радиуса R с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение (обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке задачи функций). 2. Построить функцию Грина для следующих областей в R3: октант x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0. x3 0 u 0 3. Найти решение задачи Дирихле: . u x2 x1 x3 0 5. Потенциалы. 1. Дать определение потенциала двойного слоя. 2. На сфере радиуса R распределены диполи с плотностью момента cos , ориентированные вдоль внешней нормали. Найти потенциал двойного слоя в точке оси 0 0 . ----------------------------------------------- 20. УМФ 1. 3курс 6 семестр 2 задание Интегральные уравнения. 1. Свойства собственных значений и собственных функций интегрального уравнения с вещественным симметричным ядром. 2. Найти характеристические числа, собственные функции интегрального оператора и решить при всех допустимых значениях уравнение (x) = y 2 x y dy + 1. 2 2 2. 3. Задача Штурма-Лиувилля. 2 1. Свести к интегральному уравнению задачу: x 1 y 3x 1 y y f x , 0 x 1 , y0 y0 , y1 0 , где 0 , f x - непрерывная на отрезке 0;1 функция. Сферические функции. 1. Решить задачу: 6 1 u , r 1 ; r x 2 y 2 z 2 ; u r 1 cos 2 cos 2 2 sin 2 , r 3 3 u r 1 1 cos , где x r sin cos , y r sin sin . 4. Функция Грина задачи Дирихле. 1. Поставить внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа для шара радиуса R с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение (обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке задачи функций). 2. Построить функцию Грина для следующих областей в R3: шар x< R. u 0 x R 3. Найти решение задачи Дирихле для шара x< R: . u 1 x R 5. Потенциалы. 1. Дать определение объемного потенциала. 2. Найти потенциал простого слоя с постоянной плотностью, сосредоточенный на границе шара x R . Рассмотреть случай n=3. Определить потенциал не только в шаре x R, но и вне его. 21. УМФ 1. 3курс 6 семестр 2 задание Интегральные уравнения. 1. Теорема Гильберта-Шмидта. 2. Найти характеристические числа, собственные функции интегрального оператора и 1 решить при всех допустимых значениях уравнение (x) = 3x 2 6 xy 1 y dy + 0 4 x - 1, 0 x 1 . 2. Задача Штурма-Лиувилля. 1. Свести к интегральному уравнению задачу: 1 x 2 , y1 0 , y2 2 y2 0 . 3. 1 1 3 y 2 y 3 y sin x y e x , x x x Сферические функции. 1. Решить задачу: u 12r , 1 r 3 ; r x 2 y 2 z 2 ; u r 1 0 , u r 3 cos 2 sin 2 + sin 2 cos sin , где x r sin cos , y r sin sin . 4. Функция Грина задачи Дирихле. 1. Поставить внутреннюю задачу Неймана для уравнения Лапласа для шара радиуса R с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение (обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке задачи функций). 2. Построить функцию Грина для следующих областей в R3: полупространство x3 > 0. u a const x R 3. Найти решение задачи Дирихле для шара x< R: . u x R 0 5. Потенциалы. 1. Дать определение потенциала простого слоя. 2. Найти ньютонов потенциал шара x R с постоянной плотностью. Рассмотреть случай n=3. Определить потенциал не только в шаре x R, но и вне его. ----------------------------------------------- 22. УМФ 1. 3курс 6 семестр 2 задание Интегральные уравнения. 1. Интегральные уравнения с вырожденным ядром. 1 sin 3 y 2. Найти решение уравнения (x) = x sh 2 x sin 3 x y 2 ch y y dy + f(x), -1 < y 1 x < 1. При каких f(x) C([-1,1]) и решение существует? Каково множество характеристических чисел сопряженного оператора? 2. Задача Штурма-Лиувилля. 1. Свести к интегральному уравнению задачу: x 2 y x 2 y y f x , 0 x 1 , y1 0 , y0 0 , где f xC1;0. 2 3. Сферические функции. 1. Решить задачу: 1 , r x2 y2 z2 ; 2 1 sin 4 sin 2 , u r 1 cos 2 2 sin cos + 16 2 где x r sin cos , y r sin sin . u 24 xy , r 4. Функция Грина задачи Дирихле. 1. Поставить внутреннюю задачу Неймана для уравнения Лапласа для шара радиуса R с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение (обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке задачи функций). 2. Найти функцию Грина для полуплоскости Im z > 0. u f x x3 0 3. Найти решение задачи Дирихле: для непрерывных и u u0 x x3 0 ограниченных f(x) и u0(x). 5. Потенциалы. 1. Дать определение объемного потенциала. 2. Найти ньютонов потенциал шара x R с постоянной плотностью. Рассмотреть случай n=3. Определить потенциал не только в шаре x R, но и вне его.