На правах рукописи КРАСНИКОВ ИЛЬЯ ВЛАДИМИРОВИЧ Специальность 01.04.05 – «Оптика»
реклама
На правах рукописи КРАСНИКОВ ИЛЬЯ ВЛАДИМИРОВИЧ ТЕМПЕРАТУРНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ НА МНОГОСЛОЙНУЮ БИОЛОГИЧЕСКУЮ ТКАНЬ Специальность 01.04.05 – «Оптика» АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Хабаровск – 2007 2 Работа выполнена в Амурском государственном университете Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент, Сетейкин Алексей Юрьевич Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор, Илларионов Анатолий Ильич кандидат физико-математических наук, доцент, Воропаев Сергей Федорович Ведущая организация: Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН (ИАПУ), г. Владивосток Защита состоится 13 ноября 2007 года в 1600 часов на заседании регионального диссертационного совета ДМ 218.003.01 при Дальневосточном государственном университете путей сообщения по адресу: 680021, г. Хабаровск, ул. Серышева, 47, конференц-зал 2-го учебного корпуса. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Дальневосточного государственного университета путей сообщения. Автореферат разослан ___ октября 2007 г. Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук Шабалина Т.Н. 3 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность исследований В последние годы в медицине широко применяется лазерное излучение различного спектрального диапазона. Известно, что лазерная терапия по эффективности нередко превосходит другие средства и способы лечения. Чаще всего лазеротерапия используется при болезнях, которые носят затяжной или хронический характер, когда стандартные лекарственные средства оказываются малоэффективными. Особенно большое распространение получили терапевтические аппараты на основе полупроводниковых лазеров, излучающих в красной и ближней ИК-областях. Установлено, что лазерное излучение благодаря способности проникать на глубину до нескольких сантиметров оказывает стимулирующее воздействие, запуская механизмы разнообразных фотохимических реакций в биологических тканях в условиях синергетического эффекта. Характер взаимодействия лазерного излучения со средой определяется плотностью мощности падающего светового потока, оптическими и теплофизическими характеристиками биологической ткани. Излучение широко используемых в лазерной терапии He-Ne и полупроводниковых лазеров попадает в область «терапевтического окна» (λ = 500 – 1500 нм), где процессы динамического рассеивания однозначно превалируют над процессами поглощения. Лазерный пучок в таком случае не поглощается в тонком поверхностном слое кожи, а распределяется по объему. По этой причине получение достоверной информации о глубине проникновения лазерного пучка в материал, температурном поле и зоне термического влияния, а также поглощенной дозе затруднено сложностью моделирования тепловых источников в ткани, невозможностью аналитического решения уравнения теплопроводности. Теоретические исследования процессов, возникающих в ткани при воздействии низкоинтенсивного лазерного излучения (НИЛИ), появились относительно недавно и достаточно малочисленны. Основные направления исследований – это применение лазеров в глазной хирургии, стоматологии и дерматологии. Такой выбор обусловлен тем фактом, что эмпирическое применение лазеров в медицине намного опередило экспериментальное и теоретическое исследование температурного воздействия лазерного излучения на биологическую ткань. Существующие математические модели, описывающие процесс воздействия НИЛИ на кожу, основываются на аналитическом решении задачи распределения излучения в среде либо на 4 стохастическом методе Монте-Карло. В обоих случаях кожа представлена как многослойная среда с горизонтальным расположением слоев разной толщины. При этом внутренняя геометрия объекта исследования не учитывается. В существующих моделях рассматривается влияние какого-либо одного фактора, например, конвекции на поверхности – на результирующее температурное поле в ткани. В настоящее время нет математической модели, учитывающей одновременное влияние на результирующее температурное поле биоткани следующих физических факторов: типа и мощности излучения, конвекции на поверхности, перфузии в кровеносном слое, диаметра лазерного пучка, с учетом сложной геометрии ткани. Математическое моделирование может с достаточной степенью достоверности установить влияние различных физических факторов на распределение лазерного излучения в биологической ткани, пределы возникающих температур, глубину воздействия НИЛИ. Модельные эксперименты дают возможность получить новые данные о протекающих в ткани процессах, что позволит построить новые, более совершенные методы диагностики и лечения болезней. Цель работы Целью данной диссертационной работы является исследование теплового воздействия НИЛИ на многократно рассевающие биологические ткани. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи: 1. Разработать математическую модель, позволяющую произвести исследование воздействия низкоинтенсивного лазерного излучения на кожу человека, учитывающую сложную геометрию ткани, на основе модифицированного метода Монте-Карло. 2. Выявить влияние следующих факторов на управление тепловыделением в ткани: типа и мощности излучения, конвекции на поверхности, перфузии в кровеносном слое, диаметра лазерного пучка. Научная новизна 1. Разработанный на основе модифицированного метода МонтеКарло алгоритм позволил решить задачу распространения лазерного излучения в среде со сложной геометрией. Таким образом, расширен круг решаемых задач и можно перейти от рассмотрения воздействия на кожный покров человека к сложным объектам, таким как опухоли и внутренние органы. 5 2. Рассмотрено влияние перфузии на распределение температуры в среде при облучении низкоинтенсивным лазерным излучением. 3. В созданной модели учитывается одновременное влияние на распределение температуры в биологической ткани следующих факторов: типа и мощности излучения, конвекции на поверхности, перфузии в кровеносном слое, диаметра лазерного пучка. Практическая ценность работы Данная модель воздействия лазерного излучения на биоткань дает информацию об аккумуляции тепловой энергии в ткани и о методах регуляции процесса накопления и удержания уровня тепла в отдельных ее слоях. Новая математическая модель, учитывающая сложность геометрии ткани, позволяет исследовать воздействие НИЛИ на различные образования вблизи кожного покрова с большей точностью. На основе полученных результатов можно провести ряд экспериментов. Эти исследования, в конечном счете, позволят создать новые, более совершенные методы диагностики и лечения различных заболеваний. Основные положения, выносимые на защиту 1. Процесс воздействия лазерного излучения на сильнорассеивающую многослойную биологическую ткань со сложной геометрией адекватно описывается моделью, одновременно учитывающей: теплообмен с окружающей средой на поверхности ткани, перфузию в кровеносных сосудах, радиус и мощность лазерного пучка, с использованием метода Монте-Карло и триангуляцией расчетной области. 2. Перфузия (тепловой смыв) оказывает значительное влияние на характер температурного распределения в ткани при воздействии низкоинтенсивного лазерного излучения. 3. Непрерывный тип лазерного излучения характеризуется локализацией максимумов температуры на поверхности и в слое кровеносных сосудов. При импульсном типе излучения, в зависимости от длительности импульса и периода остывания среды происходит постепенное и равномерное нагревание ткани. 6 Апробация работы Результаты исследований по теме диссертационной работы были апробированы на: 1. Региональной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по физике. –Владивосток, 2004; 2. VI межвузовской конференции «Молодежь XXI века: шаг в будущее». –Благовещенск, 2005; 3. ОПТИКА-2005. СПб, 2005; 4. Asia-Pacific Conference on Optics and Microelectronics (APCOM). –Владивосток, 2005; 5. VII межвузовской конференции «Молодежь XXI века: шаг в будущее». –Благовещенск, 2006; 6. Asia-Pacific Conference on Optics and Microelectronics (APCOM). –Харбин, Китай, 2006; 7. Международном симпозиуме «Принципы и процессы создания неорганических материалов (третьи Самсоновские чтения)». –Хабаровск, 2006; 8. VI региональной научной конференции «Физика: фундаментальные и прикладные исследования, образование». –Благовещенск, 2006; 9. Научной сессии МИФИ-2007. –Москва, 2007; 10.VIII межвузовской конференции «Молодежь XXI века: шаг в будущее». –Благовещенск, 2007; 11.International Conference “Advanced Laser Technologies” (ALT). – Levi, Finland, 2007. Публикации и вклад автора По теме диссертации опубликовано 13 научных работ в отечественных и зарубежных изданиях, из них 3 статьи – в научных изданиях из перечня ВАК, в том числе 2 по отрасли. Большая часть исследований и расчетов проведена автором самостоятельно. Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка цитируемой литературы (130 наименований). Текст диссертации изложен на 133 страницах, включающих 38 рисунков и 1 таблицу. 7 СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулированы цели и задачи, указаны научная новизна, практическая применимость полученных результатов, а также положения, выносимые на защиту. В первой главе проведен обзор литературы, существующих математических моделей, описывающих взаимодействие НИЛИ с многослойной биотканью и гипертермию кожи. Множество исследований ограничивается моделированием воздействия НИЛИ на кожу, которая представляется в виде многослойной структуры с горизонтальным расположением слоев различной толщины. Такие модели описывают тепловое воздействие НИЛИ на кожу в простейшем случае, но не позволяют рассчитать возникающие температурные поля в более сложных объектах – таких как опухоли. В ряде работ осуществлена попытка ввести в модель кожи кровеносные сосуды в виде отдельных цилиндров, расположенных в толще среды. Как показывает практика, полученные результаты хорошо согласуются с расчетами, проводимыми без учета таких особенностей [1]. При описании воздействия лазерного излучения на кожу подразумевается, что оно проходит в два этапа: рассчитывается распределение излучения и плотности поглощенной мощности в слоях биологической ткани, далее вычисляется количество выделившегося тепла и решается задача теплопереноса внутри среды. Для первой подзадачи применяется метод Монте-Карло, который на основе заданных правил для движения фотонов дает представление о распределении поглощенной мощности. Вторая задача решается численно, методом конечных элементов на основе уравнения теплопереноса. Как показали исследования, результаты решения простого уравнения теплопереноса не согласуются с экспериментальными данными. Это расхождение обусловливается перфузией, возникающей вследствие кровотока в биологической ткани. Таким образом, уравнение теплопереноса должно быть дополнено компонентом, описывающим перфузию в кровеносных сосудах. Во второй главе из известных фактов теории переноса излучения, строится математическая модель, описывающая распространение лазерного излучения в гомогенной поглощающей и сильно рассеивающей среде. Фазовая функция p( s , s ' ) описывает рассеивающие свойства среды и представляет собой функцию плотности вероятности для рассеяния в направлении s ' фотона, движущегося в направлении s , 8 т.е. характеризует элементарный акт рассеяния. Если рассеяние симметрично относительно направления падающей волны, то фазовая функция зависит только от угла рассеяния θ между направлениями s и s ' , т.е. p ( s , s ' ) p () . Если предположить, что рассеиватели в среде распределены случайно (отсутствие в структуре биоткани пространственной корреляции), то это приводит к следующей нормировке: p()2 sin d 1 . (1) 0 Фактор анизотропии рассеяния излучения в среде определяется как средний косинус угла рассеяния: g cos p() cos 2 sin d . (2) 0 Значение g меняется в пределах от -1 до 1: g = 0 соответствует случаю изотропного рассеяния, g = 1 – полному рассеянию вперед, g = -1 – полному рассеянию назад. Измеренную фазовую функцию рассеяния удобно аппроксимировать какой-либо простой аналитической формулой. Выбор аппроксимации функции рассеяния определяется соображениями адекватности и математической простоты. В данном исследовании используется однопараметрическая функция Хени– Гринштейна [2, 3]: 1 1 g2 p() . 4 (1 g 2 2 g cos )3 / 2 (3) В разделе 2.3 описывается применение метода Монте-Карло к решению задач о распространении лазерного излучения в тканях. Этот метод моделирует "случайный ход" пакетов фотонов в среде, обладающей поглощением и рассеиванием. Метод основан на наборе законов, которые управляют движением пакета фотонов в ткани. На основе формул (2, 3) определяются правила рассеивания фотонов в среде [4]. При инициировании пакета фотонов ему присваивается статистический вес W=1. В процессе движения пакета фотонов в ткани его вес уменьшается. Накопленный вес пакетов фотонов сохраняется в элементах массива Qij. Далее, полагая, что энергии в 1 Дж соответствует полная энергия N пакетов фотонов, можно получить значение плотности поглощенной энергии в среде [Дж/мм3]: Qij Qij / NVij . (4) 9 В третьей главе рассматривается решение задачи теплопереноса в биологических тканях. Температурное поле среды образовано температурными полями множества мгновенных точечных источников. Функция Грина показывает значение температуры от мгновенного точечного источника единичной мощности. В биологической ткани главные световые поглотители – это вода, пигменты и хромофоры ткани. Для первого приближения каждый хромофор может быть представлен отдельным точечным источником, имеющим функцию Грина решения уравнения теплопереноса. Исследования показали, что одним из факторов управления тепловыделением в ткани является перфузия (тепловой смыв) в слое кровеносных сосудов. Вычисление температуры, принимая во внимание конвекцию тепла одновременно с его распространением, вообще говоря, возможно только посредством сложного численного моделирования. Аналитическое решение возможно, только если аппроксимировать перфузию как конвекцию тепла. При этих условиях дифференциальное уравнение для распространения тепла имеет ту же математическую форму, что и простое уравнение теплопроводности (5). Компонента нелокализованной перфузии описывает обмен массы ткани с постоянной величиной wb=0.0167 [м3/кг∙с]. Нагретая ткань в каждой точке отдает некоторое постоянное количество тепла и заменяется негорячим материалом температуры окружающей среды (перфузия тепла, или метод смыва). Компонент уравнения теплопереноса, описывающий тепловой смыв ρbcbwbTb добавляется к исходному уравнению, чтобы учитывать конвекцию тепла, где ρb – плотность крови; cb – теплоемкость крови; Tb – температура крови. Дифференциальное уравнение для дисперсии тепла будет иметь вид: cT / t k 2T Q b cb wb Tb , (5) где Q – источник тепла. Это означает, что конвекция тепла включена как дополнительный поток тепла из ткани, не переданного другим областям. Для решения уравнения теплопроводности выбран метод конечных элементов, с использованием двумерных треугольных конечных элементов первого порядка. Для упрощения вычислений выбраны метод аппроксимации весовых функций Галеркина, а также естественные краевые условия. Для решения задачи в динамике – метод частичной дискретизации. 10 В четвертой главе представлена разработанная математическая модель воздействия лазерного излучения на многослойную биологическую ткань, обладающую сложной геометрией. Различные искривления и особенности биологической ткани аппроксимируются семействами треугольников, одновременно вводится расчетная сетка. При правильном подборе треугольников можно достаточно точно приблизить любые объекты. Геометрия среды создается отдельно, и алгоритм работы программы не зависит от геометрии среды. В представленной работе выбрана упрощенная модель среды и не рассматриваются неровности границ слоев, но предполагается, что их можно реализовать при выборе конкретного объекта исследования. Каждый слой обладает независимыми физическими характеристиками, которые описывают макроскопические свойства слоя. Каждый слой представляется в виде однородной среды с распределенными в ней центрами поглощения и рассеивания. В данной работе рассматриваются только тепловые процессы, возникающие вследствие воздействия лазера на ткань. Расчет, как было предложено в главах 2 и 3, проводился в два этапа: расчет распространения света в толще среды и расчет тепломассопереноса. Для получения представления о распределении света в ткани использовались данные о распределении N=104 пакетов фотонов. По формуле (4) вычислено распределение плотности поглощенной мощности. На рис. 1 представлена карта распределения объемной плотности поглощенной мощности в единицах статистических весов фотонов. Первый локальный максимум плотности поглощенной мощности находится близко к поверхности. Однако имеется второй максимум, он расположен в третьем слое, обладающем большими показателями поглощения и рассеивания. Для решения тепловой задачи используется уравнение (5) в виде: T T dT (k ) (k ) Q cb b wb (Tb T ) c . (6) r r z z dt Компонент cbb wb (Tb T ) уравнения (6) задает тепловой смыв в ткани. На поверхности, где происходит теплообмен с окружающей средой, задается граничное условие 3-го рода [4]: (k T A(T Text ) 0, z z 0 , r[ R1 , R1 ] (7) 11 где k – коэффициент теплопроводности; А [Вт/м2·К] – приведенный параметр теплоотдачи; Text – температура окружающей среды. Рис. 1. Поглощенная энергия в единицах статистических весов пакетов фотонов Q. Диаметр пучка d=1 мм, λ=633 нм На нижней границе, на глубине Z1, задается граничное условие вида: Tz Z1 ,r [ R1 ,R1 ] 37 C . Как показывают исследования, у здорового человека, начиная с глубины под кожей примерно 450 мкм, температура стабилизируется именно на этом значении. На боковых границах области задаются нулевые стоки. Необходимо учесть также, что рассматриваемая среда не однородна и состоит из набора слоев. Чтобы не было скачков температуры, задается равенство температур и градиентов на границах раздела слоев. Для решения уравнения в динамике необходимы начальные условия. Чтобы получить начальные условия, решается задача стационарного теплопереноса для среды без воздействия излучения. Параметр теплоотдачи А на поверхности является одним из важнейших факторов для управления температурой в ткани. Варьируя данный параметр, можно управлять распределением температуры в среде (см. рис. 2-3). Уменьшение этого параметра приводит к большему нагреванию среды и сглаживанию максимума температуры, а увеличение – к сильному остыванию среды на поверхности и локализации максимума температуры внутри среды. К тому же охлаждение на поверхности предотвращает перегревание рогового слоя, и в результате не наносится повреждения верхним слоям кожи. Другим фактором, с помощью которого можно управлять процессом гипертермии биоткани, является мощность лазера. Мощность излучения не влияет на характер распределения 0 12 температуры в среде, а только изменяет значение максимумов. температурных Рис. 2. Температурное поле в ткани. d=1 мм, λ=633 нм, t=10 сек, P=0.025 Вт, А=0.05 Вт/м2К. Еще один способ управления тепловыделением внутри среды – это изменение диаметр пучка. При его увеличении уровень тепловыделения на поверхности падает, но на глубине ткани общий уровень тепловыделения остается прежним, поскольку энергия пучка не изменяется. Это можно объяснить следующим образом: максимум температуры в глубине ткани формируется сильнорассеянным светом, который поступает из предыдущих слоев, но максимум температуры на поверхности формируется практически не рассеянным светом. Рис. 3. Профили температуры вдоль оси Z для разных параметров теплоотдачи на поверхности: 1) А=0.05; 2) А=0.09; 3) А=0.15 Вт/м2К. 13 Рис. 4. Температурные профили по времени на глубине Z=1.05 мм, в центре слоя кровеносных сосудов.d=1 мм, λ=633 нм, P=0.025 Вт, А=0.09 Вт/м2К. 1) с учетом перфузии; 2) без учета перфузии. Кровоток внутри сосудов обладает практически постоянной температурой в 37 0С и осуществляет терморегуляцию всего организма. Из рис. 4 видно, что даже незначительный тепловой смыв внутри ткани, формируемый кровотоком в тонких капиллярах подкожного слоя кровеносных сосудов, приводит к изменению картины теплового воздействия на кожу. Рис. 5. Температурное поле в ткани при импульсном типе воздействия. d=1 мм, λ=633 нм, t=10 с, P=2 Вт, А=0.09 Вт/м2К, длительность импульса – 0.001 с, период остывания среды 0.015 с. 14 Рис. 6. Температурные профили по времени на разной глубине вдоль оси Z, d=1 мм, λ=633 нм, P=2 Вт, А=0.09 Вт/м2К, период воздействия – 0.001 с, период остывания среды 0.015 с. 1) Z=2.1 мм; 2) Z=1.4 мм; 3) Z=1.05 мм; 4) Z=0.7 мм; 5) Z=0 мм. На рис. 5 - 6 представлено температурное воздействие для импульсного лазера, с прямоугольным профилем. Большая длительность импульса (0.001 с) при мощности лазера 2 Вт приводит к превышению критической температуры ткани. Но следует обратить внимание, что ярковыраженных пиков температуры, как на рис. 2 при непрерывном типе воздействия, уже нет. Интенсивный теплообмен на поверхности практически сгладил пик температуры в первом, роговом слое. Температурный смыв в третьем слое также сглаживает пик в третьем слое и распределяет температуру по кровеносным сосудам и соседним слоям. Общий уровень температуры достаточно высок, т.е. терапевтический эффект от данного типа воздействия достигнут. ВЫВОДЫ 1. Предложенная математическая модель лучше других известных моделей учитывает сложную геометрию среды, не зависит от начальных условий задачи и позволяет рассчитать распределение поглощенной мощности низкоинтенсивного лазерного излучения и температурные поля в различных биологических объектах. 2. Численным моделированием установлены зависимости процесса гипертермии биологической ткани от типа и мощности излучения, 15 конвекции на поверхности, перфузии в кровеносном слое, диаметра лазерного пучка. 3. Продемонстрировано существенное влияние перфузии (тепловой смыв) внутри ткани, формируемой кровотоком в тонких капиллярах подкожного слоя кровеносных сосудов, на распределение температуры в слоях кожи. 4. Показано, что непрерывное воздействие низкоинтенсивного лазерного излучения приводит к нагреванию преимущественно верхнего рогового слоя кожи. При импульсном излучении, когда период остывания намного превышает длительность импульса, тепло распределяется по глубине более равномерно. ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Тучин В.В. Исследование биотканей методом светорассеяния // Успехи физических наук. –1997. –Т.167, №5. –С.517-539. 2. Das B.B., Liu F., Alfano R.R. Time-resolved fluorescence and photon migration studies in biomedical and random media// Rep. Prog. Phys. – 1993. –Vol.60. –P. 227- 292. 3. Wang L.H., Jacques S.L., Zheng L.Q. MCML-Monte Carlo modeling of photon transport in multy-layered tissues // Computer Methods and Programs in Biomedicine. –1995. –Vol.47. –P.131-146. 4. Щербаков Ю.Н., Якунин А.Н., Ярославский И.В., Тучин В.В. Моделирование тепловых процессов при взаимодействии некоагулирующего лазерного излучения с многослойной биотканью // Оптика и спектроскопия. –1994. –Vol.76, №5. –P. 845850. СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ 1. Сетейкин А.Ю., Красников И.В. Световые и тепловые поля в многослойных биотканях при освещении лазерным излучением // Материалы конф. ОПТИКА-2005. –СПб., 2005. –С.232-233. 2. Сетейкин А.Ю., Красников И.В. Теплофизическая модель взаимодействия лазерного излучения с многослойной биотканью // Вестник АмГУ. –2005. –№31. –С.15-17. 3. Сетейкин А.Ю., Красников И.В. Анализ тепловых эффектов, возникающих при взаимодействии лазерного излучения с многослойным биоматериалом // Изв. вузов. Физика. –2006. – №10. –С. 90-94. 4. Сетейкин А.Ю., Красников И.В. Расчет температурного воздействия низкоинтенсивного лазерного излучения на многослойную биоткань // Материалы международного 16 симпозиума «Принципы и процессы создания неорганических материалов (третьи Самсоновские чтения)». –Хабаровск, 2006. – С.304-306. 5. Сетейкин А.Ю., Красников И.В. О тепловых эффектах при воздействии лазерного излучения на биологическую ткань // Материалы VI региональной научной конференции «Физика: фундаментальные и прикладные исследования, образование». – Благовещенск, 2006. –С.104-106. 6. Сетейкин А.Ю., Красников И.В. Расчет температурных полей, возникающих при взаимодействии лазерного излучения с многослойным материалом. // Оптический журнал. –2006. –Т.73, №3. –С.31-34. 7. Сетейкин А.Ю., Красников И.В. Описание воздействия лазерного излучения на кожу, используя метод Монте–Карло // Труды научной сессии МИФИ-2007. –М., –2007. –С.117-118. 8. Сетейкин А.Ю., Красников И.В. Изучение распределения лазерного излучения в биологической ткани, используя метод Монте-Карло // Материалы VIII межвузовской конференции «Молодежь XXI века: шаг в будущее». –Благовещенск, 2007. –Т.4. –С.252-253. 9. Сетейкин А.Ю., Красников И.В. Vogel N. Моделирование температурных полей с учетом распространения света в биоткани // Изв. вузов. Приборостроение. –2007. –Т.50, №9. –С.24-28. 10.Seteikin A.Yu., Krasnikov I.V. The Simulation of Photons Propagation into the Tissue with Non-Trivial Geometry // Proceedings of International Conference “Advanced Laser Technologies” (ALT). – Levi, Finland, 2007. –P.107.
