Линейные и квадратные уравнения и неравенства с параметрами 1

Линейные и квадратные уравнения и
неравенства с параметрами
1
Оглавление
Введение ...........................................................4
Глава I Основные виды уравнений с
параметрами .....................................................6
Глава II. Линейные уравнения и неравенства
с параметрами ..................................................7
2.1 Линейные уравнения..................................................................................... 7
2.1.1 Линейные уравнения с параметрами ................................................... 7
2.2.1 Примеры линейных уравнений с параметрами................................... 8
2.3.1 Системы линейных уравнений с двумя неизвестными и
параметрами. .................................................................................................. 13
2.2 Линейные неравенства с параметрами ..................................................... 20
Глава III Квадратные уравнения и
неравенства с параметрами. ..........................24
3.1 Определение квадратного уравнения и квадратного неравенства......... 24
3.1.1 Определение квадратного уравнения: ............................................... 24
3.1.2 Определение квадратного неравенства: ............................................ 25
3.2 Типы квадратных уравнений с параметрами ........................................... 26
3.2.1 Задачи первого типа. ............................................................................ 26
3.2.2 Задачи второго типа. ............................................................................ 28
Глава IV Решение задач из ГИА ..................33
Вывод ..............................................................35
2
Список литературы ........................................36
3
Введение
Задачи с параметрами – один из труднейших разделов школьного курса
математики. Здесь, кроме использования определенных алгоритмов решения
уравнений и неравенств, приходится обдумывать, по какому признаку нужно
разбить множество значений параметра на классы, следить за тем, чтобы не
пропустить какие – либо тонкости. Здесь проверяется не натаскивание
учащегося на определенные алгоритмы, а понимание смысла конкретной
задачи. Поэтому ведущие вузы с повышенной требовательностью к
математической подготовке абитуриентов уравнения и неравенства с
параметрами часто включают в письменные работы по математике.
Как известно, решению задач с параметрами в общеобразовательной
средней
школе
предположить,
уделяется
что
очень
учащиеся,
мало
внимания.
подготовка
которых
Потому
не
трудно
содержала
«параметрического тренажера», смогут в жесткой атмосфере ЕГЭ успешно
справиться с подобными задачами.
Таким образом, старшеклассникам, готовящимся поступить в вузы, где
требуется основательная подготовка по математике, необходимо серьезно
поработать над изучением этой темы. Общеизвестно, что на ЕГЭ задания
части С содержат задачи, которым в традиционном школьном курсе в силу
различных причин уделяется мало внимания.
Одним из видов таких упражнений являются задачи, содержащие
параметры. В школьных учебниках практически нет заданий на эту тему,
потому что школьная программа охватывает узкий круг вопросов, делая
основной упор не на логику решения задач.
Овладение же методикой решения уравнений с параметрами очень
полезно: оно существенно повышает уровень математической подготовки.
Умение решать уравнения с параметрами во многом предопределяет
успешную сдачу экзаменов.
4
Поэтому целью этой научно-исследовательской работы является изучение
существующих методов решения задач с параметрами.
Отсюда вытекают следующие задачи:
- Выделить методы решения задач с параметрами;
- Найти задачи решаемые этими методами
- Решить задачи различными методами
Объектом являются задачи с параметрами.
Предметом - методы решения задач с параметрами.
5
Глава I Основные виды уравнений с параметрами
Определение. Решить уравнение (или систему), содержащее
параметры, это значит, для каждой допустимой системы значений
параметров найти множество всех решений данного уравнения (системы).
В математике существуют несколько видов уравнений с параметрами:
- линейные уравнения с параметрами;
- квадратные уравнения с параметрами;
- дробно-рациональные уравнения с параметрами, сводящиеся к
линейным;
- иррациональные уравнения с параметрами;
- тригонометрические уравнения с параметрами;
- показательные уравнения с параметрами;
- логарифмические уравнения с параметром.
В школьном курсе 8 класса изучаются линейные и квадратные
уравнения и неравенства, при этом уравнения с параметрами только
упоминаются. В своей работе я хочу рассмотреть и научиться решать
линейные и квадратные уравнения с параметрами, что поможет успешно
сдать ГИА и ЕГЭ.
6
Глава II. Линейные уравнения и неравенства с
параметрами
2.1 Линейные уравнения
2.1.1 Линейные уравнения с параметрами
Самым простыми уравнениями с параметрами являются линейные
уравнения с одним неизвестным. Это уравнения вида
a∙x=b,
где а и b – некоторые числа. Число а называется коэффициентом, b –
свободным членом уравнения.
Линейные уравнения могут иметь:
а) единственное решение;
б) не иметь решений;
в) бесконечно много решений.
В связи с эти перед нами будут стоять задачи:
1.
2.
3.
4.
При каких a и b уравнение имеет решения;
Определить число решений при разных a и b;
Найти эти решения;
Выяснить при каких a и b уравнение не имеет решений.
7
2.2.1 Примеры линейных уравнений с параметрами
Рассмотрим примеры когда правая часть уравнения является числом.
Пример №1.
Решить уравнение при всех значениях параметра а.
(a  1)  x  5
Решение:
1) Если a  1  0 , то x 
5
 уравнение имеет единственное решение.
a 1
2) Если a  1  0 , то уравнение не имеет решений.
5
Ответ:
при а≠1 x 
,
a 1
при а=1 решение нет
Пример №2.
Решить уравнение при всех значениях параметра а.
(2a  5)  x  0
Решение
1) Если 2a  5  0 , то x  0  уравнение имеет единственное решение.
2) Если 2a  5  0 , то x любое число  уравнение имеет бесконечное
множество решений.
Ответ:
при a  2,5 , x  0 ,
при a  2,5 x - любое число.
8
Рассмотрим примеры когда параметр а по обе стороны уравнения
Пример №1.
Решить уравнение при всех значениях параметра а.
(2a  4)  x  3a  1
Решение:
3a  1
 уравнение имеет единственное
1) Если 2a  4  0 , то x 
2a  4
решение.
2) Если 2a  4  0 , то a  2  3a  1  7  уравнение не имеет
решений.
3a  1
Ответ:
при a  2 , то x 
,
2a  4
при a  2 решение нет.
Пример №2.
Решить уравнение при всех значениях параметра а.
(3a  9)  x  a  3
Решение:
a3
a3
1

  уравнение имеет
3a  9 3(a  3) 3
единственное решение.
2) Если 3a  9  0 , то a  3 , 0  x  0  уравнение имеет бесконечное
множество решений.
1
Ответ:
при a  3 , то x  ,
3
при a  3 , уравнение имеет бесконечное множество
решений.
1) Если 3a  9  0 , то x 
Пример №3.
Решить уравнение при всех значениях параметра а.
(a  1)  x  (a  2)  (a  1)
Решение:
(a  2)  (a  1)
 a  2  уравнение имеет
a 1
единственное решение.
2) Если a  1  0 , то 0  x  3  0  уравнение имеет бесконечное
множество решений.
Ответ:
при a  1, то x  a  2 ,
при a  1, уравнение имеет бесконечное множество
решений.
1) Если a  1  0 , то x 
9
Пример №4.
Решить уравнение при всех значениях параметра а.
(a 2  9)  x  2a  6
Решение:
2a  6
2
 уравнение имеет
1) Если a 2  9  0 , то x  2

a 9 a 3
единственное решение.
2) Если a 2  9  0 ,
то при a  3 , 0  x  12  уравнение не имеет решений,
то при a  3 , 0  x  0  уравнение имеет бесконечное множество
решений.
2
Ответ:
при a  3 и a  3 , то x 
,
a 3
при a  3 , уравнение имеет бесконечное множество
решений,
при a  3 решений нет.
Пример №5.
Решить уравнение при всех значениях параметра а.
(5a 2  10  a)  x  a 2  4
Решение:
a2  4
a2
2

 уравнение имеет
1) Если 5a  10  a  0 , то x  2
5a  10  a
5a
единственное решение.
2) Если 5a 2  10  a  0 ,
то при a  0 , 0  x  4  уравнение не имеет решений,
то при a  2 , 0  x  0  уравнение имеет бесконечное множество
решений.
a2
Ответ:
при a  0 и a  2 , то x 
,
5a
при a  2 , уравнение имеет бесконечное множество
решений,
при a  0 решений нет.
10
Рассмотрим случай, когда к линейному уравнение необходимо приводить.
Пример №1.
Решить уравнение при всех значениях параметра а.
3x  5  ax  2a
Решение:
3x  ax  2a  5
x(3  a)  2a  5
1) Если 3  a  0 , то x 
2a  5
 уравнение имеет единственное
3 a
решение.
2) Если 3  a  0 , то 0  x  1 уравнение не имеет решений.
2a  5
Ответ:
при a  3 , то x 
,
3 a
при a  3 , решений нет.
Пример №2.
Решить уравнение при всех значениях параметра а.
a2 x  5a  9x  15
Решение:
a2 x  9x  5a  15
x(a2  9)  5a  15
1) Если a2  9  0 , то x 
5a  15
 уравнение имеет единственное
a2  9
решение.
2) Если a 2  9  0 , то 0  x  0 уравнение не имеет решений.
то при a  3 , 0  x  0  уравнение имеет бесконечное множество
решений,
то при a  3 , 0  x  30  уравнение не имеет решений.
5a  15
Ответ: при a  3 и a  3 , то x  2
,
a 9
при a  3 , уравнение имеет бесконечное множество
решений,
при a  3 решений нет.
11
Пример №3.
При каких значениях параметра а уравнение не имеет решений.
a2 x  a  3  3ax
Решение:
a2 x  3ax  3  a
x(a 2  3a)  3  a
a 2  3a  0 a (a  3)  0
a  3
3 a  0
Ответ: при a  0
a  0, a  3
a  3
Рассмотрим случай, когда линейное уравнение содержит несколько
параметров.
Пример №1.
При каких значениях параметров a и b уравнение имеет бесконечное
множество решений.
(3a  1) x  b  8
Решение:
3a  1  0
b 8  0
1
3
b8
a
1
a  , b 8.
3
Пример №2.
При каких значениях параметров a и b уравнение имеет бесконечное
множество решений.
3b(ax  1)  3b  7b  7
Ответ:
Решение:
3b(ax  1  1)  7(b  1)
3abx  7(b  1)
3ab  0
a0
7(b  1)  0 b  1
Ответ:
a  0 , b  1.
12
2.3.1 Системы линейных уравнений с двумя неизвестными и параметрами.
Определение. Система линейных уравнений — это объединение из n
линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных.
Записывается это так:
Многие, впервые сталкиваясь с высшей алгеброй, ошибочно полагают,
что число уравнений обязательно должно совпадать с числом переменных. В
школьной алгебре так обычно и бывает, однако для высшей алгебры это,
вообще говоря, неверно.
Определение. Решение системы уравнений — это последовательность
чисел (k1, k2, ..., kn), которая является решением каждого уравнения
системы, т.е. при подстановке в это уравнение вместо переменных x1, x2, ...,
xn дает верное числовое равенство.
Соответственно, решить систему уравнений — значит найти
множество всех ее решений или доказать, что это множество пусто.
Поскольку число уравнений и число неизвестных может не совпадать,
возможны три случая:
1. Система несовместна, т.е. множество всех решений пусто.
Достаточно редкий случай, который легко обнаруживается
независимо от того, каким методом решать систему.
2. Система совместна и определена, т.е. имеет ровно одно решение.
Классический вариант, хорошо известный еще со школьной скамьи.
3. Система совместна и не определена, т.е. имеет бесконечно много
решений. Это самый жесткий вариант. Недостаточно указать, что
«система имеет бесконечное множество решений» — надо описать,
как устроено это множество.
13
Пример №1.
Подобрать значения параметров a и b чтобы:
а) система имела единственное решение
б) система не имела решения
y  2x  a
by  10 x  15
Решение:
1 случай: b  0
y  2x  a
Система принимает вид
y
10 x 15

b
b
10 x 15

b
b
10 x 15
2x 
 a
b
b
10 15
x( 2  )   a
b
b
10
1) 2   0  b  5
b
система имеет единственное решение
10
2) 2   0  b  5
b
0 x  3 a
a3
система не имеет решения
2x  a 
2 случай: b  0
Система принимает вид
y  2x  a
10 x  15  0
y  2x  a
x
 15
10
система имеет единственное решение.
Ответ:
а) b  0 , a - любое число; b  5 , a - любое число;
б) b  5 , a  3
14
Пример №2.
Решить систему уравнений с параметрами k и p, если k≠p.
y  kx  3
y  px  3
Система решается графическим способом:
1. y  kx  3 прямая проходящая через точку (0;-3)
2. y  px  3 прямая проходящая через точку (0;-3)
Общая точка (0;-3)
y
x
-3
Ответ: (0;-3), при любых k  0 , p  0 , p  k .
15
Пример №3.
Решить систему уравнений с параметрами k и p, если k≠p.
y  (k  3) x  k
y  ( p  3) x  p
Решаем систему аналитическим методом.
y  (k  3) x  k
(k  3) x  k  ( p  3) x  p
1. Решаем второе уравнение системы относительно x.
(k  3) x  k  ( p  3) x  p
(k  3) x  ( p  3) x   p  k
x(k  3  p  3)   p  k
x( k  p )  k  p
x 1
2. Решаем первое уравнение системы при x=1
y  (k  3)1  k
y k 3k
y 3
Ответ: (1;3)
16
Пример №4.
Решить систему уравнений с двумя неизвестными x и y параметрами a и b .
a≠0, b≠0.
x  ay  a 2
x  by  b 2
Решаем систему аналитическим методом.
1 Случай b  a
1. Выразим x через y из первого уравнения системы
x  a 2  ay
2. Решаем второе уравнение системы
a 2  ay  by  b 2
y(b  a)  b 2  a 2
(b  a)(b  a)
y
(b  a)
y ba
3. x  a 2  a(b  a)  a 2  ab  a 2  ab
(ab; b  a)
2 Случай b  a
Система принимает вид
x  ay  a 2
x  ay  a 2
1. у любое
2. x  a 2  ay
Ответ:
b  a , (ab; b  a)
b  a , (a 2  ay; y)
17
Пример №5.
Решить систему уравнений с двумя неизвестными x и y параметрами a, a≠0
ax  y  a 2
x  ay  a 2  a  1
Решаем систему аналитическим методом.
1. Выразим y через x из первого уравнения системы
y  a 2  ax
2. Подставим значения y во второе уравнение системы
x  a(a 2  ax)  a 2  a  1
x  a3  a 2 x  a 2  a  1
x  a 2 x  a 3  a 2  a  1
x(1  a 2 )  a 2 (1  a)  (a  1)
x(1  a 2 )  (1  a)(a 2  1)
Если a  1, то 0  x  0
х любое число
y 1  x
Если a  1, то 0  x  0
х любое число
y 1  x
Ответ:
a  1, ( x;1  x) ;
a  1, ( x;1  x)
18
Пример №6.
Решить систему уравнений с двумя неизвестными x и y параметрами b, b≠0
x  3 y  3b  1
bx  y  2b
Решаем систему аналитическим методом.
1. Выразим x через y из первого уравнения системы
x  3b  1  3 y
2. Подставим значения x во второе уравнение системы
b(3b  1  3 y)  y  2b
3b 2  b  3 yb  y  2b
y  3 yb  b  3b 2
y(1  3b)  b(1  3b)
1
Если 1  3b  0 , b  , то y  b , x  1
3
1
Если 1  3b  0 , b  , то y - любое,
3
1
x  3   1  3y
3
x  2  3y
Ответ:
1
b  ; x  1; y  b
3
1
b  ; x  2  3 y ; y - любое.
3
19
2.2 Линейные неравенства с параметрами
Определение:
Неравенства вида:
ax  b  0 , ax  b  0 , ax  b  0 , ax  b  0 ,
где а и b любое действительное число, x переменная,
называется неравенствами первой степени (линейными неравенства).
Поскольку все неравенства решаются аналогично приведу решение первого
неравенства ( ax  b  0 ). Рассмотрим следующие случаи:
1. a  0 , тогда
ax  b  0  ax  b 
x
b
a
и, следовательно, множество решение неравенства ax  b  0 , a  0 есть
(
b
; )
a
2. a  0 , тогда
ax  b  0  ax  b 
x
b
a
и, следовательно, множество решение неравенства ax  b  0 , a  0 есть
( ;
b
)
a
3. a  0 , тогда неравенство примет вид ax  b  0 и для b  0 любое
действительное число есть решение неравенства а при b  0
неравенство не имеет решений.
20
Определение: Число a больше или равно, чем число b ( a  b ), если разность
(a-b) – положительна или равна 0, из этого следует 5  3 - верно, т.к. разность
5-3=2 – положительна.
Заметим, что условия разность (a-b) – положительна или равна 0, не должны
выполняться одновременно. В определение требуется, чтобы выполнялось
хотя бы одно из этих условий – разность положительна или разность равна 0.
Более того, одновременно эти условия не выполняются никогда.
2  5 - неверно, т.к. разность 2-5=-3 – отрицательна
5  5 - верно, т.к. разность 5-5=0
0  0 - верно, т.к. разность 0-0=0
Свойства неравенств:
Кроме определений неравенств мне в дальнейшее понадобятся основные
свойства неравенств.
1. Если к обеим частям неравенства прибавить произвольное число c, знак
неравенства не изменяется. Т.е., если a<b и c – произвольное число, то
a+c<b+c.
2. Если обе части неравенства умножить на произвольное, положительное
число k, то знак неравенства не изменится. Т.е., если a<b и k>0, то
ka<kb.
3. Если обе части неравенства умножить на отрицательное число k, то
знак неравенства на противоположный. Т.е. если a<b и k<0, то ka>kb.
4. Если a<b и b>c, то a<c. Это свойство, называется в математике
транзитивностью: если первое число меньше второго (a<b), а второе
меньше третьего (b>c), то первое число меньше третьего (a<c).
Следует заметить, что деление обеих частей неравенства на k можно
1
представить как умножение на . И тогда из свойств 2 и 3 сразу
k
следует, что при делении обеих частей неравенства на положительное
число k знак неравенства не изменится, а при делении на
отрицательное число знак неравенства изменится на
противоположный.
21
Пример №1.
Решить неравенство с параметром а.
ax  1
Решаем неравенство аналитическим методом.
В зависимости от знака а рассмотрим три случая:
1
1. Если a  0 , то x  ;
a
1
2. Если a  0 , то x  ;
a
3. Если a  0 , то неравенство примет вид 0  x  1 и, следовательно,
любое действительное число является решением исходного
неравенства.
Ответ:
1
;
a
1
a  0, x  ;
a
a  0 , то x любое действительное число.
a  0, x 
22
Пример №2.
Решить неравенство с параметром а.
3(4a  x)  2ax  3
Решаем неравенство аналитическим методом.
12a  3x  2ax  3
 2ax  3x  3  12a
x(2a  3)  3(1  4a)
x(2a  3)  3(4a  1)
Далее рассмотрим три случая
3
3(4a  1)
1. Если 2a  3  0 , a   , то x 
;
2a  3
2
3
3(4a  1)
2. Если 2a  3  0 , a   , то x 
;
2a  3
2
3
3. Если 2a  3  0 , a   , то 0  x  21 , следовательно х любое
2
действительное число.
Ответ:
3
3(4a  1)
если a   , то x 
;
2a  3
2
3
3(4a  1)
если a   , то x 
;
2a  3
2
3
если a   , то х любое действительное число.
2
23
Глава III Квадратные уравнения и неравенства с
параметрами.
3.1 Определение квадратного уравнения и квадратного неравенства
Для упрощения понятия квадратных уравнений и неравенств с
параметрами дадим определения квадратным уравнениям и неравенствам.
3.1.1 Определение квадратного уравнения:
Уравнение вида ax2  bx  c  0
- где a, b, c - действительные числа, причем a не равно 0, называют
квадратным уравнением.
коэффициент a называют первым или старшим,
коэффициент b называют вторым или коэффициентом при x,
c называется свободным членом этого уравнения.
Корни уравнения находят по формуле:
 b  b 2  4ac
x1, 2 
2a
D  b2  4ac — дискриминант квадратного уравнения.
Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней;
Если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень;
Если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня.
Если D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два
одинаковых корня. Используя выражение дискриминанта, можно переписать
формулу в виде: x1, 2 
b D
.
2a
24
3.1.2 Определение квадратного неравенства:
Определение. Квадратным неравенством называется неравенство вида
ax2  bx  c  0 , где вместо знака > может быть другой знак неравенства: <
или ,  .
Для решения квадратного неравенства надо представить себе
расположение графика функции ax2  bx  c  y относительно оси Ox.
Возможны два основных случая:
– график совсем не пересекает ось Ox (трехчлен не имеет корней)
– пересекает ее в двух точках (трехчлен имеет два корня)
– исключительный случай, когда график касается оси Ox (трехчлен
имеет один корень)
25
3.2 Типы квадратных уравнений с параметрами
Задачи, связанные с квадратным трёхчленом, встречающиеся в
школьной практике, чрезвычайно разнообразны. Но среди них нет
достаточного количества разнообразных квадратных уравнений, содержащих
параметры, где основное, что требуется от учащихся, это внимательное
чтение формулировки задания.
3.2.1 Задачи первого типа.
Определить все значения параметра а, при которых уравнение
имеет один корень, два корня, не имеет корней.
Пример 1.
2
При каких a уравнение ax  x  3  0 имеет единственное решение?
Решение: рассмотрим несколько случаев
1) a  0 , уравнение примет вид:  x  3  0 , то оно является линейным и
имеет единственное решение, x  3
2) a  0 , то имеем квадратное уравнение.
ax2  x  3  0 , где
D  1  12a , чтобы уравнение имело единственный корень, необходимо,
чтобы D  0 ,
1
a

1  12a  0 ,
12
1
12 .Как мы
Ответ: Уравнение имеет единственное решение при a  0 или
знаем, для того, чтобы квадратное уравнение ах2+bx+c=0 имело корни,
необходимо и достаточно выполнение неравенства D>=0. Как правило, в
случае необходимости в задачах доказать, что заданное квадратное
уравнение имеет решение, начинают с вычисления его дискриминанта, с тем,
чтобы потом доказать его неотрицательность.
a
Однако в некоторых случаях можно указать и иные, более простые способы
доказательства существования решения квадратного уравнения. Эти способы
основываются на очевидных графических соображениях. Так, если а>0, то
для доказательства того, что уравнение ах2+bx+c=0 имеет два решения,
достаточно указать одну точку х0, в которой f(x0)=ax02+bx0+c<0. Чаще всего
26
в качестве х0 берут 0 ( даёт достаточное условие с<0), 1 ( условие а+b+c<0)
или -1 ( условие а-b+c<0).
Пример 2.
2
При каких a уравнение ax  4 x  a  3  0 имеет более одного корня?
Решение:
1) Если a  0 , то уравнение примет вид
 4 x  3 и имеет единственный корень
x
3
4 , что не удовлетворяет условию.
2) Если a  0 , то данное уравнение – квадратное. Оно имеет два корня, если
его D > 0. D = 16 – 4a(a + 3) = 16 – 4a2 – 12a = - 4a2 – 12a + 16,
- 4a2 – 12a + 16 > 0, a2 + 3a – 4 < 0.
Решая квадратичное неравенство, получаем
-4 < a < 1.
Однако в полученный промежуток (-4;1) входит число 0, которое, как мы уже
проверили, неприемлемо, то -4 < a < 0 или 0 < a < 1.
Ответ. Уравнение имеет более двух корней
при -4 < a < 0
при 0 < a < 1.
27
3.2.2 Задачи второго типа.
Задачи на определение знаков корней квадратного уравнения.
1. Квадратное уравнение
ax2  bx  c  0 (a  0)
не имеет решений тогда и только тогда, когда D  0 .
2. Квадратное уравнение имеет:
а) два различных корня тогда и только тогда, когда D  0 ;
б) два (может быть кратных) корня тогда и только тогда, когда D  0 ;
в) два положительных корня тогда и только тогда, когда
b 2  4ac  0,
c

 0,
a
x1  x2  0
b
 0
a
D  0,
x1 x2  0,
г) два отрицательных корня тогда и только тогда, когда
b 2  4ac  0,
D  0,
c

x1 x2  0,
 0,
a
x1  x2  0
b
 0
a
д) корни разных знаков тогда и только тогда, когда
x1 x 2  0 
c
 0  ac  0
a
е) корень, равный нулю тогда и только тогда, когда
x1 x2  0  c  0
28
Пример 1.
При каких значениях параметра а уравнение
(3a  1) x 2  2ax  3a  2  0
имеет два действительных различных корня?
Решение
1
1. Если 3a  1  0  a  , то получаем линейное уравнение
3
2
x 1 0
3
2
x 1
3
x  1,5  уравнение имеет один корень
1
2. Если a  ,то получаем квадратное уравнение, которое имеет два
3
действительных различных корня тогда и только тогда, когда его
дискриминант положителен: D>0
(2a ) 2  4(3a  1)(3a  2) 
 4a 2  4(9a 2  3a  6a  2) 
 4a 2  4(9a 2  9a  2) 
 4a 2  36 a 2  36 a  8 
 32 a 2  36 a  8
 8a 2  9a  2  0
a1, 2 
9  17
16
+
9  17
16
-
1
3
+
9  17
16
 9  17 1   1 9  17 

;    ;
Ответ: 
3  3
16 
 16
29
Пример №2.
При каких значениях параметра а уравнение не имеет решений.
x2  x 
2a  1
a5
Решение:
Уравнение не имеет решения когда: D  0
1 4
2a  1
0
a5
a  5  4(2a  1)
0
a5
a  5  8a  4
0
a5
 7a  9
0
a5
Решаем неравенство методом интервалов
 7a  9  0
a5 0
 7a  9
a5
a
9
7
-
+
-5
9/7
9
Ответ: (-∞;-5)  ( ( ; ∞)
7
30
Пример №3.
Найти все значения параметра а, при каждом из которых среди корней
уравнения имеет ровно один отрицательный корень.
ax2  (a  4) x  a  1  0
Решение:
1. Если a=0,то получаем линейное уравнение
4х  1  0
х
1
4
Уравнение имеет единственный корень
2. Если a≠0 то
D  (a  4)2  4a(a  1)  3a2  4a  16
a) Уравнение имеет ровно один корень
D=0
 3a 2  4a  16  0
a1, 2 
 4  16  4(3)16
2(3)
a1, 2 
2  2 13
3
Т.к. по условию задачи x<0 то
x
2  2 13
a4
 0 , остается а равно a 
3
2a
б) Уравнение имеет корни разных знаков. В этом случае свободный
член приведенного уравнения отрицателен (дискриминант будет
положителен):
a 1
 0  1  a  0
a
31
в) Один из корней равен нулю, т.е. a  1  0  a  1. Квадратное
уравнение примет вид  x  3x  0 , и имеет корни x  0, x  3 .
По условию задачи корни уравнения могут быть только
отрицательными. Значение a  1 не удовлетворяют условию задачи.
 2  2 13 
Ответ: (1;0]  

3


32
Глава IV Решение задач из ГИА
Пример №1.
Найдите значения параметра c при которых прямая y  c пересекает
график функции y 
2 x  2, x  1
( x  2) 2 , x  1
в двух точках.
Решение:
При решении этой задачи требуется высокая графическая культура:
строится график функции, заданной разными формулами на разных участках
оси Ox, к тому же график функции имеет разрыв в точке x=1.
Параметр проявляет себя в полной мере: рассматриваются все прямые,
параллельные оси Ox, из которых нужно выбрать удовлетворяющие условию
задачи.
1. y  2 x  2, x  1 прямая
2
2. y  ( x  2) , x  1 , парабола
3. y  c , прямая параллельная оси ОХ
Ответ: с  0 , 1  с  4 .
33
Пример №2.
Найдите значения параметра k, при которых прямая y  kx , не имеет
x2  4
общих точек с графиком функции y 
x2
Решение:
x2  4
1. y 
графиком функции является прямая y=x+2 с выколотой
x2
точкой x=2
2. y  kx графиком функции является прямая проходящая через (0,0)
3. y=2x проходит через точки (0,0) и (2,4)
Ответ: k  2 , k  1.
34
Вывод
В этой работе рассмотрены линейные уравнения и неравенства с
параметрами,
квадратные
уравнения
и
неравенства
с
параметрами.
Рассмотрены несколько способов решения задач, в том числе некоторые
аналитические и графические способы решения. Овладение методикой
решения уравнений с параметрами очень полезно: оно существенно повысит
уровень
математической
подготовки.
Умение
решать
уравнения
и
неравенства с параметрами поможет при сдаче ГИА и ЕГЭ.
Поэтому целью это научно-исследовательской работы было изучение
существующих методов решения задач с параметрами, несмотря на то, что в
школьном курсе очень мало уделяется времени.
35
Список литературы
1. В.В. Мирошин Решение задач с параметрами. Теория и практика М.:
Издательство «Экзамен», 2009г.
2. В.С. Высоцкий Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ. М.:
Научный мир, 2011г
3. В.В. Амелькин, В.Л. Рабцевич Задачи спараметрами: Справочное
пособие по матеатике. Мн.: ООО «Асар» 2004г
4. В.Л.Натяганов, Л.М. Лужина Методы решения задач с параметрами:
Учебное пособие М.: Издательство МГУ, 2003г.
5. Методический журнал для учителей математики «Математика»
2011г №14
6. П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С.Якир Задачи с параметрами.
3-е издание, дополненное и переработанное М.: Илекса, Харьков: Гимназия,
2005г
36