1. Прокопьев Е.П. Магнитопозитроний в полупроводниках // Химия высоких энергий. 1996. Т.30. №2. С.141-144. УДК 539.124.6.539.21.539.189.2 МАГНИТОПОЗИТРОНИЙ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ Е.П.Прокопьев Федеральное Государственное Унитарное Предприятие «Государственный Научный центр Российской Федерации- Институт теоретической и Экспериментальной Физики им. А.И.Алиханова», ФГУП ГНЦ РФ – ИТЭФ, 117218 Россия, Москва, ул. Б.Черемушкинская, 25 2 Московский Государственный Институт Электронной техники (технический университет), МИЭТ, 124498 Россия, Москва, г.Зеленоград, проезд 4806, д.5 Поступила в редакцию 2008 г. 1 Магнитопозитроний – новая квазичастица – может образовываться при облучении полупроводников позитронами при сверхнизких температурах в сильных магнитных полях. В связи с этим в рамках теории Горького-Дзялошинского (Л.П.Горьков, И.Е.Дзялошинский, ЖЭТФ. 1967. Т.53. Вып.2. С.717-722) рассчитаны вероятности s и ширины N процесса двухквантовой аннигиляции магнитопозитрония. Оказалось, что величинам s и N присущи необычайно сильные аномалии, что позволяет надеяться детектировать магнитопозитроний, по крайней мере при максимально достижимых полях в лаборатории H ~ 100 Тл. Теория атома позитрония ( Ps ) большого и малого радиусов в различных веществах рассматривалась в работах [1-8]. В данном сообщении обсуждается теория Ps большого радиуса в полупроводниках в сильном магнитном поле. Эта задача во многои подобна задаче экситона в полупроводниках (см., например, [9-20]). Следуя [9-11], рассмотрим позитроний в сильном однородном магнитном поле, который будем называть по аналогии с магнитоэкситоном [12-15] магнитопозитронием. Свойства его резко отличаются от свойств позитрония большого радиуса в полупроводниках и от свойств свободного атома позитрония в вакууме. Теория позитрония большого радиуса в сильном магнитном поле во многом аналогична теории Элиота-Лудона [9], Хасегавы-Хауорда [21] и Горькова=Дзялошинского [10] для экситона Мота с равным нулю импульсом P 0 и P 0 . Здесь воспользуемся общим случаем теории экситона Мота в сильном магнитном поле с P 0 [10]. Ограничимся случаем сильного магнитного поля, когда расстояние между уровнями Ландау eH / c ( - приведенная масса) превосходит Кулонову энергию e 4 / 2 2 ( - диэлектрическая проницаемость) и случаем изотропного закона 1 дисперсии для электронов и позитрона. Для полноты изложения и более ясного понимания физической сущности проблемы изложим фрагменты теории экситона Мота в сильном магнитном поле Горькова-Дзялошинского [10]. Согласно [9,10], в первом приближении по малому параметру теории ( e 4 / 2 2 ) /( eH / c) волновая функция магнитопозитрония имеет вид (r ) ( ) ( z ) , (1) где ( ) характеризует свободное поперечное движение, а (z ) является решением уравнения, получающегося в результате усреднения уравнения Шредингера в сильном магнитном поле [10] при помощи ( ) . Как и в [10], ограничимся магнитопозитронием в нулевой зоне Ландау. Имеем ( ) 2 2 exp 2 2H 4 H 1 , (2) где магнитный радиус H равен H (c / eH )1 / 2 (3) При этом функция (z ) удовлетворяет уравнению Эллиота-Лудона 2 d 2 U ( z ) W , 2 2 dz (4) где u( z) 2 d 2 exp 22H [( 0 ) 2 z 2 ]1 / 2 2 H e2 (5) В формулах (1)-(5) c - скорость света, - постоянная Планка, H - напряженность магнитного поля, mn m p /( mn m p ) - приведенная масса позитрония, m n и m p эффективные массы электрона и позитрона соответственно, - диэлектрическая 2 проницаемость, 0 (c / eH 2 )[ HP ], M mn m p . Энергия магнитопозитрония получается равной E P 2 P 2 eH W 2M 2c (6) Здесь - расстояние между позитроннойьи электронной зонами. Решение уравнения (4) по Эллиоту-Лудону дает энергию основного магнитопозитрония. W0 2 2 2 ; r , B 2rB2 e 2 (7) где параметр теории Горькова-Дзялошинского является решением 2 P 2 C H 2 2 2 H rB 2 ln x ( x) dye y ln 0 , (8) x y (9) Здесь ( x) x при x 0 , ( x) ln x при x , C - постоянная Эйлера. Возбужденные состояния дискретного спектра магнитопозитрония даются формулой Горькова=-Дзялошинского [10] ( 1,2,... ) W 2 1 2 1 , 2rB2 2 2rB2 3 r 1 3 1 2 P 2 ln B ( ) C H 2 2 2 2 2 2 H 1 Здесь ( ) - -функция, а (x) (10) (11) - определяются формулой [9]. Кроме того, магнитопозитроний, как и экситон [9], имеет водородную серию уровней, отвечающую 3 антисимметричным по z волновым функциям. Приведем, согласно [9], добавку W0 к W0 при P 0 W0 P 2 / 2M 0 ; M 0 rB2 0 2H , (12) где 0 является решением уравнения (8) при P 0 . Соответствующая добавка к W равна для этого случая W0 P / 2M 0 ; M 2 2 rB2 3 2H v2 , (13) 0 Перейдем к расчету основных характеристик аннигиляции магнитопозитрония. Вероятность двухквантовой аннигиляции, просуммированная по волновым векторам центров масс аннигилирующих пар и поляризациям излучаемых фотонов, дается с хорошей точностью общеизвестной формулой [8] s 4r02 c | (0) | 2 , (14) где (r ) - волновая функция относительного движения магнитопозитрония. Согласно расчетам [10] | (0) | 2 02 ( 0 ) 2 (0) 1 2 2 H 2 (0) , (15) так что для основного состояния | 0 (0) | 2 , 22H rb (16) А для возбужденных состояний ( 1,2,... ) | (0) | 2 2 , 22H rB 3 1 (17) 4 где параметры и определяются уравнениями (8) и (11). Отметим, что в формулах (15)-(17) отсутствует экспоненциальная зависимость | 0 (0) | 2 от P , так как вероятность аннигиляции не зависит от P . Угловое распределение аннигиляционных фотонов (УРАФ) процесса двухквантовой аннигиляции магнитопозитрония дается выражением W (k ) r02 c k (k ) r02 (rn , rp )e iK ( rn rp ) d 3 rn rp 2 f (K ,T ) (18) k Здесь P K - волновой вектор центра масс магнитопозитрония, а f (K ,T ) - максвелловская функция распределения по импульсам магнитопозитрония. Отметим, что в экспериментах измеряются кривые УРАФ, определяемые выражениями P( K z ) Q( K z ) / Q(0); Q( K z ) 2 W ( K ) KdK (19) Вычисления функции P( K z ) для направлений вдоль и поперек поля H дают разные результаты. Для направления вдоль поля H величина W (K ) получается равной W ( K ) BK exp( K 2 / 2M 0, k 0T ) (20) Здесь B - некоторая постоянная, T - температура. Отсюда, согласно (19), кривые УРАФ определяются выражением P( K z ) I N ( ) exp( K 2 / 2M 0, k 0T ) (21) Здесь функция I N ( ) - так называемая узкая компонента в кривых УРАФ, обусловленная двухквантовой аннигиляцией магнитопозитрония. Ширина кривой P( K z ) (полная ширина кривой на полувысоте) исходя из выражения (21) дается выражением N 4,4 10 2 T 1 / 2 M 0, / M (22) 5 Здесь M 0 и M 0, даются выражениями (12) и (13). В случае направления вдоль поля H функция P( K z ) , согласно расчетам по формулам (18), (19), представляет собой дельтафункцию. Приведем некоторые численные оценки аннигиляционных характеристик магнитопозитрония в случае облучения GaAs позитронами в сильном магнитном поле при температурах жидкого гелия и ниже ( 11,8; принимаем m p ~ mn 0,082m ). При обычных значениях сильного поля H ~ 4 Тл расчеты по формулам (12), (13), (15), (16) и (22) дают для основного состояния магнитопозитрония s (4 Тл) 1.901 10 3 0 , с-1; N (4 Тл) 0.280 , мрад. Для максимальных возможных в лаборатории магнитных полей H ~ 100 s (100 Тл) 4.63 10 7 0 , с-1; N (100 Тл) 6.7240 , мрад. Тл значения Аналогичные расчеты для кремния ( 10,8; принимаем m p ~ mn 0,2m ) дают s (4 Тл) 5.067 10 3 0 , с-1; N (4 Тл) 0.3790 , мрад и s (100 Тл) 1.267 10 8 0 , с-1; N (100 Тл) 0.9470 , мрад. Следует отметить, что полная вероятность аннигиляции магнитопозитрония равна Ws s B R (23) Здесь BR - вероятность аннигиляции позитрона, входящего в состав магнитопозитрония на валентных электронах Ga, Si. Расчеты по методу Брандта-Райнхаймера [22] дают B R (GaAs) 4.3 10 9 , с-1; B R (Si) 4.08 10 9 , с-1. Эти оценки показывают, что аннигиляционные характеристикамагнитопозитрония присущи ярко выраженные аномалии: необычайно малые значения вероятностей аннигиляции s по сравнению с вероятностью 0s свободного позитрония, аномалии в величинах N для направлений, продольных и поперечных направлению магнитного поля при различных H . Особое внимание здесь следует обратить на увеличение N в GaAs при H 100 Тл. Однако наблюдать магнитопозитроний в полупроводниках не просто изза высокой вероятности аннигиляции Брандта_Райнхаймера. Например, в кремнии при H 100 Тл и 0 ~ 1 [9] Ws s B R 0.127 10 9 4,08 10 9 4,27 10 9 c-1, так что tot 2,377 10 10 с, что ближе всего к экспериментальному значению 1 (2.28 0.10) 10 10 с [8]. Вклад собственной аннигилчции магнитопозитрония в общий 6 процесс аннигиляции порядка 3 % при H 100 Тл. Такого типа состояния магнитопозитрония трудно, но все же можно уже наблюдать в прецизионных экспериментах при очень низких температурах. В то же время в окисном полупроводнике MgO s (100 Тл) 2.8 10 9 0 , с-1, а в щелочно-галоидном кристалле KI s (100 Тл) 3.37 10 9 0 , с-1. При расчете величины Ws по формуле (23) вместо выражения BR следует пользоваться величиной p , характеризующий собой процесс “pick-off” – аннигиляции магнитопозитрония. Согласно работе [24], она равна 1 4 p r02 cn * , (24) где 6, а n * ( MgO) 5.91 10 22 см-3. Расчет по формуле (24) дает p ( KI ) 1.52 108 с-1; p (MgO) 6.64 108 с-1. Таким образом, в очень сильных магнитных полях ( 0 1 ) величина Ws ( KI ) 3.519 10 9 с-1, так что stot ( KI ) 2.842 10 10 с, а величина Ws ( MgO ) 3.474 10 9 с-1, так что stot ( MgO ) 2.878 10 10 с. Таким образом, вклад собственной аннигиляции магнитопозитрония в общий процесс аннигиляции в случае KI составляет очень высокую величину порядка 96 %, а в случае MgO - величину порядка 81 %. Величина stot ( KI ) 2.842 10 10 с ближе к значению 1 ( KI ) (2.16 0.13) 10 10 в KI [25], а величина stot ( MgO ) 2.878 10 10 с ближе к значению 1 ( KI ) (2.03 0.10) 10 10 в MgO [24]. Таким образом, в окисном полупроводнике MgO и щелочно-галоидном кристалле KI наблюдение магнитопозитрония в очень сильных магнитных полях кажется вполне реальным. Еще одной возможностью наблюдения магнитопозитрония может явитья резкое увеличение значение параметра теории Горькова-Дзялошинского 0 , характеризующего в некоторой мере степень одномеризации магнитопозитрония в очень сильных магнитных полях [20]. Крайним критерием одномеризации может служить одномерна модель магнитопозитрония с потенциалом V e 2 / z . В этом случае согласно модели Лудона [25], одномерного атома водорода величина . 0 , так что в принципе в полупроводниках, согласно формуле (15), возможно наблюдение времен жизни s s0 1.25 10 10 с – времени жизни синглетного позитрония. Поиск таких короткоживущих состояний позитрония представляет самостоятельный научный интерес. Однако наблюдать такие состояния на современном этапе развития экспериментальной техники не просто. 7 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Гольданский В.И., Прокопьев Е.П. Об аномалиях аннигиляции позитронов в ионных кристаллах // Письма в ЖЭТФ. 1966. Т.4. Вып.5. С.422--425. 2. Прокопьев Е.П. Атом позитрония в твердых телах // Физика твердого тела. 1967. Т.9. Вып.7. С.1266-1268. 3. Прокопьев Е.П. Атом позитрония в полупроводниках // Известия вузов. Физика. 1974. №4. С.38-40. 4. ПрокопьевЕ.П. Энергетический спектр и аннигиляционные характеристики атома позитрония в ионных кристаллах // Оптика и спектроскопия. 1974. Т.36. Вып.2. С.361-367. 5. Прокопьев Е.П. Об аномальных свойствах атома позитрония (Ps) в ионных кристаллах и полупроводниках // Физика твердого тела. 1977. Т.19. Вып.2. С.472475. 6. Прокопьев Е.П. Позитроний и его свойства в полупроводниках и щелочно- галоидных кристаллах // Химия высоких энергий. 1978. Т.12. Вып.2. С.172-174. 7. Варисов А.З., Кузнецов Ю.Н., Прокопьев Е.П. Почему в полупроводниках наблюдается одно короткое время жизни позитронов // ДАН СССР. 1978. Т.239. №5. С.1082-1085. 8. Прокопьев Е.П. Исследования в области физики медленных позитронов. Позитронная аннигиляция - новый метод изучения строения вещества. М., 1986. 86 с. - Деп. в ЦНИИ “Электроника”. Р-4367. Сб. реф. НИОКР, обзоров, переводов и деп. рукописей. Сер.”ИМ”. №12. 1987. 9. Elliot R.J., Loudon R. // J. Phys. Chem. Solids. 1959. V. 8. №2. P. 382; 1960. V. 15. №1. P. 196. 10. Горьков Л.П., Дзялошинский И.Е. // ЖЭТФ. 1967. Т.53. Вып.2. С.717. 11. Буркова Л.А., Дзялошинский И.Е., Друкарев Г.Ф., Монозон Б.С. // ЖЭТФ. 1976. Т.71. Вып.2. С.526. 12. Akimoto O., Hasegava H. // J. Phys. Soc. Japan. 1967. V.22. №1. P.181. 13. Лернер И.В., Лозовик Ю.Е. // ЖЭТФ. 1980. Т.78. Вып.3. С.1167. 14. Yang S.R. Eric, Sham L.J. // Phys. Rev. Letters. 1987. V.58. №2. P.2598. 15. Green R.L., Bajaj K.K. // Phys. Rev. B. 1985. V.31. №10. P.6498. 16. Эфрос Ал.Л. // Физика и техника полупроводников. 1986. Т.20. №7. С.1281. 17. Кохановский И.С., Макушенко И.М., Сейсян Р.П., Эфрос Ал.Л., Язева Т.В., Абдуллаев М.А. // Физика твердого тела. 1991. Т.33. Вып.7. С.1719. 18. Покутний М.И. // Физика и техника полупроводников. 1991. Т.25. №2. С.628. 8 19. Прокопьев Е.П. Позитроний в полупроводниковых структурах с квантовыми ямами // Физика и техника полупроводников. 1992. Т.26. Вып.10. С.1681-1687. 20. Кавокин А.В., Несвижский А.И., Сейсян Р.П. // Физика и техника полупроводников. 1993. Т.27. №10. С.977. 21. Hasegava H., Howard R.E. // J. Phys. Chem. Solids. 1961. V.15. №1. P.196. 22. Brandt W., Reinheimer J. // Phys. Rev. B. 1970. V. 8. № 3. P.3104. 23. Bertolaccini M., Bisi A., Gambarini G., Zappa L. // J. Phys. C: Solid State Phys. 1971. V.4. №2. P.734. 24. Loudon R. // Am. J. Phys. 1959. V.27. №2. P.649. 25. Хаутоярви П., Яухо П. // Физика примесных центров в кристаллах, Тарту: Изд-во АН ЭССР, 1971. С.281. 9