Графы - первое знакомство.

21. Графы  первое знакомство.
Главная цель, которую нужно преследовать, занимаясь графами, 
научится видеть граф в условиях задачи и грамотно переводить это условие на
язык теории графов.
Теорет. материал и задачи в [21], [31], [10], также [28]. Литература
Задача 1. Между 9 планетами Солнечной системы введено космическое
сообщение. Ракеты летают по следующим маршрутам: Земля 
Меркурий, Плутон  Венера, Земля  Плутон, Плутон  Меркурий,
Меркурий  Венера, Уран  Нептун, Нептун  Сатурн, Сатурн 
Юпитер, Юпитер  Марс и Марс  Уран. Можно ли добраться с Земли
до Марса?
Решение. Нарисуем схему: планетам будут соответствовать точки, а
соединяющим их маршрутом  непересекающиеся между собой линии.
З
Н
Ме
С
У
П
В
Ма
Ю
Теперь видно, что долететь от Земли до Марса нельзя.
Задача 2. Можно ли, сделав несколько ходов конями из исходного положения,
изображенного на рис.1, расположить их так, как показано на рис.2.
Решение .Занумеруем клетки доски числами1, 2, 3,…, 9 так, как на рис.3.
Каждой клетке сопоставим точку на плоскости, и если из одной клетки можно
попасть в другую ходом коня, то соединим соответствующие точки линией
рис.4. Исходная и требуемая расстановки коней на рис.5. Порядок следования
коней на окружности, очевидно, не может изменится. Поэтому переставить
коней требуемым образом невозможно.
1
Рис.1
Рис.2
4
2
5
8
3
6
9
Рис.3
6
7
7
5
1
8
3
Рис.4
6
2
9
4
7
2
5
1
8
3
6
9 1
4
8
7
5
3
Рис.5
Решение разобранных задач объединяет графическое изображение
условия. При этом получившиеся схемы представляют из себя набор точек,
некоторые из которых соединены линиями. Такие схемы называются графами.
Одинаковые, но по-разному нарисованные графы называются изоморфными
графами. (Желательно поупражняться в распознавании изоморфных графов).
Задача 3. В стране Цифра 9 городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией в
том и только в том случае, если двузначное число, составленное из
цифр–названий этих городов, делится на 3. Можно ли добраться из
города 1 в город 9?
Ответ
2
9
4
Задача 4. В семье четверо детей, им 5, 8, 13 и 15 лет. Детей зовут Аня, Боря,
Вера и Галя. Сколько лет каждому ребёнку, если одна девочка ходит в
детский сад, Аня старше Бори и сумма лет Ани и Веры делится на 7.
Ответ
Ориентированные графы.
Граф, на котором указано направление каждого его ребра, называется
ориентированным графом. Общего метода решения таких задач нет, но сами
задачи весьма интересны и часто встречаются на олимпиадах.
Задача 5. Класс выставил на соревнования по плаванию команду мальчиков. В
неё Витя, Коля, Андрей, Саша. Коля проплыл дистанцию быстрее
Андрея, но медленнее Саши. Андрей затратил времени на ту же
дистанцию больше, чем Витя, который плавал медленнее Коли. Как
распределились места на соревнованиях?
Решение. Пусть точки В, К, А, С изображают соответственно Витю, Колю,
Андрея, Сашу. Будем соединять две точки M и N стрелкой (от M к N) в случае,
если М проплыл быстрее N.
Получаем следующую картинку.
Из этого рисунка видно, что быстрее всех проплыл Саша.
Коля занял второе место, Витя  третье, Андрей  четвертое.
Условие: “Коля проплыл быстрее Андрея”  лишнее.
Задача 6. Дима, приехав из Врунляндии, рассказал, что там есть несколько озер,
соединенных между собой реками. Из каждого озера вытекает три
реки, и в каждое озеро впадает четыре реки. Докажите, что он
ошибается.
Указание
Задача 7. “Сестер и братьев у меня нет, но отец того человека  сын моего
отца”. В каком родстве состоят перечисленные лица?
Решение. Построим граф. На этом графе вершинами обозначим: С1 
говорящий, М  тот человек, С2  отец М, О  отец С1. С и Р отношения типа:
“сын кого-то” и “отец кого-то” (рис.1). Стрелки на ребрах указывают причинноследственную связь в этих отношениях. Например, стрелка Р, идущая от О к С1,
показывет, что О  отец С1.
Анализируя граф, видим, что у отца О имеются два сына С1 и С2, они должны
быть братьями, но по условию у говорящего С1 братьев нет.
Казалось бы явное противоречие, но выход есть: С1 и
С2  совпадают. И граф семейных отношений будет
таким как на рис.2. Поэтому О дед, С1 (С2)  его сын,
М  сын сына (внук деда). Получаем, что
перечисленные лица состоят в следующем родстве:
дед  сын внук.
Содержание