к вопросу учета временной стоимости денег и
реклама
«Логистика сегодня», №3, 2006. Геннадий Леонидович Бродецкий Д.т.н., профессор каф. логистики ГУ-ВШЭ К ВОПРОСУ УЧЕТА ВРЕМЕННОЙ СТОИМОСТИ ДЕНЕГ И СКИДОК НА ЗАКАЗ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ЗАПАСАМИ ВВЕДЕНИЕ. В [1] представлены модификации модели системы управления запасами, позволяющие учитывать временную стоимость денег и предлагаемые скидки на заказ. При этом было принято, что выплаты издержек хранения реализуются либо по схеме пренумерандо (т.е. моменты времени выплат издержек хранения принимаются соотносящимися с началом периода поставки), либо по схеме постнумерандо (т.е. моменты времени выплат издержек хранения принимаются соотносящимися с началом уже следующего периода поставки). В зависимости от контрактных условий схема выплат таких издержек может предполагать, например, реализацию соответствующих платежей и в середине интервала повторного заказа, т.е. в середине промежутка времени хранения соответствующей партии товара после ее поставки. Поэтому в этой работе дополнительно рассмотрим (в кратком изложении) особенности оптимальной стратегии для случая, когда контрактные условия предполагают возможность учёта временной стоимости денег, если выплата издержек хранения реализуется в середине интервала повторного заказа. Оказывается, что именно в этом случае можно получить простые формулы для оптимальных параметров стратегии (обобщающие классические формулы Уилсона), которые легко использовать на практике, причем и применительно к другим модификациям модели. В [1] подчеркнуто, что анализ моделей управления запасами указанного типа связан с разработкой специального подхода или метода, использующего представление соответствующих логистических процессов (поставки, хранение и т.д. в рамках анализируемой системы управления запасами) на основе имеющих место денежных потоков уходящих и приходящих платежей. Это, в свою очередь, позволяет ввести понятие интенсивности потока доходов в рамках конкретной системы управления запасами и сформулировать критерий оптимизации (отличающийся от принятых в классической теории управления запасами), понятный менеджеру, а также естественный и традиционный для финансового менеджмента. А именно, соответстввющий критерий оптимизации это – максимизация чистого приведенного дохода на основе максимизации показателя интенсивности потока доходов соответствующей системы управления запасами. При этом возможности повышения эффективности ситемы за счет специфики выбранного критерия оптимизации и учета временной стоимости денег (или, грубо говоря, соответствующих процентов) могут оказаться весьма существенными при большой номенклатуре товаров. Важность соответствующих результатов состоит в том, что такие результаты предоставляют менеджерам в области логистики возможность: учета временной стоимости денег в оптимизационных моделях стратегий управления запасами (в отличие от соответствующих их традиционных аналогов классической теории); использования нового критерия оптимизации стратегий управления запасами, максимизации чистого приведенного дохода на основе максимизации 1 интенсивности потока доходов (в отличие от традиционной минимизации суммарных годовых издержек, причем без учета временной стоимости денег); учета специфики контрактных условий для выплаты издержек хранения при учете временной стоимости денег в соответствующих оптимизационных моделях, причем на основе использования простых и доступных формул. Найденная и представленная в данной работе оптимальная стратегия управления запасами для рассматриваемой модификации модели при указанных выше особенностях контрактных требований, относящихся к схеме выплат издержек хранения, сравнивается (в рамках условного примера) с предлагаемым классическим аналогом оптимальной стратегии, когда временная стоимость издержек/доходов не учитывается. Это позволяет проиллюстрировать соответствующие отклонения в рекомендациях для основных параметров таких стратегий управления запасами, а также имеющиеся возможности повышения эффективности соответствующих логистических процессов в системах управления запасами за счёт учёта действующей на рынке временной структуры процентных ставок. Кроме того, представленная в данной работе оптимальная стратегия управления запасами для модификации модели при выплате издержек хранения в середине промежутка времени хранения товара сравнивается с оптимальными стратегиями применительно к другим контрактным условиям выплаты издержек хранения (по схемам пренумерандо и постнумерандо). Это, в свою очередь, позволяет проиллюстрировать возможность использования предложенного в данной работе более простого (чем изложенного ранее в [1]) алгоритма для нахождения параметров оптимальной стратегии применительно к схемам выплаты издержек хранения пренумерандо и постнумерандо. ОСОБЕННОСТИ МОДЕЛИ И ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ Анализируется классическая одно-продуктовая модель управления запасами с постоянным спросом и с учетом временной стоимости денег. Отметим основные атрибуты модели и используемые далее обозначения: D – объем годового потребления соответствующего товара; C0 – накладные расходы на поставку одной партии товара; СП – стоимость единицы товара; РП – прибыль от реализации единицы товара; С0П – издержки доставки единицы товара, не включающие накладные расходы на поставку соответствующей партии; Сh – годовые издержки хранения единицы товара; q – размер партии заказа (оптимизируемая величина в рамках рассматриваемой модели); Т –период поставки (в годах), связанный с показателем q равенством Т = q /D (также оптимизируемая величина); r – годовая ставка наращения, действующая на рынке; учет временной стоимости денег (издержек/доходов) реализуется применительно к схеме простых процентов. Особенность рассматриваемой здесь оптимизационной модели управления запасами, помимо соответствующей специфики учета временной стоимости издержек/доходов, состоит также в следующем. Далее будем учитывать, что стоимость партии товара будет зависеть от размера заказа (из-за предлагаемой скидки). По 2 условиям скидки цена единицы товара будет снижена, если размер партии заказа будет не меньшим, чем оговариваемое для него соответствующее пороговое значение. А именно, пусть q1 – пороговое значение размера партии заказа, начиная с которого действуют условия скидки; СП0 – цена единицы товара без учета скидки, т.е. при размере партии заказа, меньшем, чем q1; СП1 – цена единицы товара с учетом скидки, т.е. при размере партии заказа, большем или равном q1; естественно, далее принимаем, что имеет место неравенство СП0 > СП1. Соответственно цена единицы товара в рамках рассматриваемой модели будет уже представлена функцией СП = СП(q) переменного q , задаваемой в области q > 0 равенством СП0 , если 0 < q < q1; СП(q) = СП1 , если q ≥ q1 (естественно, далее принимаем, что имеет место неравенство СП0 > СП1). Разумеется, в реальной ситуации может оказаться, что при этом тарифы издержек доставки также будут зависеть от выбора размера партии заказа (например, если они оговариваются в виде определенного процента от стоимости партии товара). Поэтому далее, чтобы анализируемая модель была представлена в общем виде, также принимаем, что С0П является функцией С0П = С0П(q) переменного q , причем по аналогии с предыдущим представлением: С0П0 , если 0 < q < q1; С0П(q) = С0П1 , если q ≥ q1 , где С0П0 - издержки доставки единицы товара, не включающие накладные расходы на поставку соответствующей партии, если размер партии заказа не соответствует возможности получения скидки на ее стоимость; С0П1 - издержки доставки единицы товара, не включающие накладные расходы на поставку соответствующей партии, если товар поставляется с учетом скидки. ( далее принимаем, что имеет место неравенство С0П0 > С0П1). Кроме того, в рамках рассматриваемой модели величину прибыли РП от реализации товара, естественно, зависящую от цены единицы такого товара, также 3 необходимо далее представить в виде функции РП = РП(q) от объема поставок партии товара: РП0 , если 0 < q < q1; РП(q) = РП1 , если q ≥ q1 , где соответственно принято, что РП0 - прибыль от реализации единицы товара при ее стоимости СП0; РП1 - прибыль от реализации единицы товара при ее стоимости СП1; (естественно учитываем, что имеет место неравенство РП1 > РП0 ). Наконец, отметим, что в рамках анализируемой модели применительно к денежным потокам, характеризующим работу соответствующей системы управления запасами, далее принимаем следующее. Уходящие платежи соотносим с начальными моментами каждого периода времени между поставками товара (исключение будет иметь место только для выплаты издержек хранения, причем, как уже было оговорено, такие выплаты будут соотнесены с серединой соответствующего промежутка времени хранения товара), а приходящие платежи соотносим, в среднем, с серединами периодов времени между поставками товара. Тогда величины денежных потоков в рамках анализируемой здесь модификации модели определяются следующим образом. - Для величины уходящих платежей на одном периоде поставки, которые соотносим с началом (УП(Н)) каждого такого периода, имеем представление УП(Н) = C0 + C0П(q) q + CП(q) q. - Для величины уходящих платежей на одном периоде поставки, которые соотносим с серединой (УП(С)) каждого такого периода, имеем представление УП(С) = Ch q T /2 . При этом приходящие платежи остаются прежними, как и в рассмотренных модификациях модели, представленных в указанной выше работе [1]. А именно, для величины приходящих платежей (ПП) на одном периоде поставки, соотносимыми, в среднем, с серединой каждого периода времени между поставками, имеем представление ПП = (CП(q) + РП(q) ) q . Здесь слагаемое CП(q) qi - «возвращенная» стоимость партии заказа после реализации соответствующего товара, а РП(q) qi - соответствующая прибыль. Подчеркнем также, что вся указанная денежная сумма (ПП) приходящих платежей на одном периоде поставки действительно может быть соотнесена с серединой интервала времени между поставками (несмотря на то, что такие поступления для модели с постоянным спросом будут равномерно распределены на указанном интервале), т.к. в рамках 4 рассматриваемой модели для учета временной стоимости денег принята схема простых процентов. Задача максимизации интенсивности потока денежных доходов для интересующей нас здесь модификации модели (обозначим указанную интенсивность через Fсред) с выплатой издержек хранения в середине интервала повторного заказа, причем с учётом временной стоимости денег и предлагаемой скидки принимает вид: Fсред max , где функция Fпост = 1/T [ q (CП(q) + PП(q)) – (1 + r ·T /2) (C0 + C0П(q) q + + CП(q)q ) +Chq T/2)], определена в области Т > 0 и q > 0, а переменные q и T связаны равенством Т = q /D. Обратим внимание на то, что здесь, как это требуется принципами и правилами финансового анализа, финансового менеджмента и финансовой математики, выплаты соответствующих издержек на поставку и стоимость партии товара, характеризуемые слагаемым – (1 + r ·T /2) (C0 + C0П(q) q + CП(q)q ) (относящиеся к началу периода поставки), уже наращены в рамках схемы простых процентов к общему моменту времени учёта всех платежей. А именно, они приведены к середине интервала времени между поставками, т.е. к моменту Т/2 . После несложных преобразований (они опускаются из-за ограниченности объема работы) интересующая нас целевая функция Fсред = Fсред(q) как функция переменной q легко приводится к виду Fсред(q) = D (РП(q) – С0П(q)) – С0 ( - q D r ) – Сh 2 q 2 r q (C0П(q) + CП(q)) . 2 (***) Как видим, в этой рассматриваемой ситуации он оказался более простым, чем вид целевой функции F (см. [ 1], формулу (*)) применительно к задаче оптимизации стратегии управления запасами для рассмотренной модификации модели с выплатами издержек хранения пренумерандо) и вид целевой функции Fпост (см. [1], формулу (**)) применительно к аналогичной задаче для модификации модели с выплатами издержек хранения постнумерандо). Действительно, особенность рассматриваемого здесь случая (выплаты издержек хранения в середине интервала повторного заказа) по сравнению с рассмотренными ранее, отражается аналитически отсутствием слагаемого, содержащего q2. Это, как мы увидим, значительно упрощает алгоритм нахождения оптимальной стратегии. Соответствующая задача минимизации потерь в интенсивности потока доходов с 5 целью максимизации чистого приведенного дохода в рамках анализируемых логистических процессов может быть представлена (после домножения всего выражения на –2) в следующем виде fсред(q) min, где функция fсред(q) определяется равенством fсред(q) = 2C0 D/q qCh + qr(C0П(q) + CП(q)) + + 2D (C0П(q) – РП(q)) в области q > 0 с учетом отмеченных выше особенностей представлений для функций CП(q), C0П(q) и PП(q). При этом, подчеркнем, что специально выделенная квадратными скобками часть выражения для fсред(q) это – аналог целевой функции применительно к задаче минимизации издержек для классического варианта модели без учета временной структуры процентных ставок и без предлагаемой скидки (применительно к которому действует формула Уилсона для экономичного размера партии заказа, величину которого мы далее обозначаем через q0). Прежде, чем представить алгоритм нахождения оптимального размера партии заказа для рассматриваемой здесь модификации модели (обозначим его через q*сред), минимизирующего потери в интенсивности потока доходов, подчеркнем также следующее. Если в выражении для fсред(q) формально заменить CП(q), C0П(q) и PП(q) соответственно на конкретные значения CП0, C0П0 и PП0 , то получим функцию, которую по аналогии с [1] обозначим через φ0 сред(q). Эта функция имеет единственную точку минимума q0*(сред), которую можно находить по формуле, найденной в [2] , но применительно к указанным значениям параметров CП0, C0П0 и PП0 рассматриваемой здесь модели. А именно: 2С0 D . Ch r (CОП 0 С П 0 ) q0*(сред) = При этом будет выполнено неравенство q0*(сред) < q0 : в рамках такого варианта модификации модели при учете временной стоимости денег, как и в [1], классические рекомендации опять, как видим, завышают размер партии заказа. Если в выражении для fсред(q) формально заменить CП(q), C0П(q) и PП(q) соответственно на конкретные значения CП1, C0П1 и PП1 , то получим функцию, которую по аналогии с [1 ] обозначим через φ1сред(q). Легко убедиться в том, что эта функция также имеет единственную точку минимума q1*(сред), которую снова можно находить по формуле, найденной в [2 ] , но уже применительно к значениям параметров CП0, C0П0 и PП0 рассматриваемой здесь модели. А именно: 6 2С0 D . Ch r (CОП1 С П1 ) q1*(сред) = Причем опять будет выполнено неравенство q1*(сред) < q0 : и в этой ситуации классические рекомендации завышают размер партии заказа. Кроме того, учитывая, что в соответствии с условиями скидки выполняются неравенства СП0 > СП1 ; СОП0 > СОП1 и РП1 > РП0 , указанные функции в любой точке q ( q>0) связаны неравенством φ0 сред(q) > φ1 сред(q) (иллюстрации представлены на рис. 1 – 2). Таким образом, на основе представленного выше анализа для структурного вида функции fсред(q) (и соответствующей взаимосвязи ее с функциями φ0сред(q) и φ1сред(q)) применительно к рассматриваемой в этой работе модификации модели управления запасами для интересующего нас оптимального размера партии заказа (обозначим его далее через q*(сред) ) с учетом временной стоимости денег и учетом предлагаемой скидки становится понятным следующее. А именно, для оптимального значения q*(сред) в рамках такой модели приемлемы лишь три возможных варианта. 1. Либо окажется, что q*(сред) = q0*(сред), если пороговое значение q1 размера партии заказа для получения скидки будет весьма большим и соответственно условия скидки будут неприемлемыми (рис. 1). 2. Либо окажется, что q*(сред) = q1 , если пороговое значение q1 размера партии заказа для получения скидки будет достаточно близким к q0*(сред) , но большим, чем q1*(сред) , и соответственно условия скидки будут приемлемыми (рис. 2). 3. Либо окажется, что q*(сред) = q1*(сред) , если пороговое значение q1 размера партии заказа для получения скидки будет достаточно близким к q0* , причем меньшим, чем q1*(сред) , и соответственно условия скидки также будут приемлемыми (рис. 2). Указанные особенности позволяют представить весьма простой алгоритм оптимизации стратегии управления запасами для рассматриваемой модификации модели. А именно, прежде всего подчеркнем, что для модели выплат издержек хранения в середине интервала повторного заказа структура функции fсред(q) при определении оптимального размера партии заказа q0*(сред) оказывается такой же, как и структура рассмотренной в [1 ] функции f(q) для модели выплат издержек хранения пренумерандо. Следовательно, для выбора оптимального размера партии заказа q*(сред) необходимо сравнивать интенсивности потоков доходов Fсред(q) для рассматриваемой модификации модели в следующих ситуациях: 1. при q = q0*(сред) ; 2. при q = q1 3. и при q = q1*(сред), выбрав соответственно тот вариант организации поставок, где такая интенсивность будет больше. 7 Потери в интенсивности потока доходов Функция 0 сред (q) (верхняя линия) Функция 1 сред (q) (нижняя линия) q0*(сред) 0 q1 q Рис. 1. Иллюстрация зависимости потерь в интенсивности потока доходов от объема партии заказа (условия скидки неприемлемы) Формулы для расчета указанных значений интенсивностей потоков доходов в соответствии с (***) – следующие: а) при q = q0* (сред) имеем Fсред(q0*(сред)) q0* (сред) D r ) – Сh = D (РП0 – С0П0 ) – С0 ( * – q0 (сред) 2 2 r 2 – q0*(сред)(C0П0 + СП0); в) при q = q1 имеем Fсред(q1) = D (РП1 – С0П1 ) – С0 ( q D r ) – Сh 1 – q1 2 2 r 2 – q1 (C0П1 + СП1). с) при q = q1*(сред) формула для определения соответствующей интенсивности потока доходов Fпост(q1*) аналогична предыдущей, но с учетом требуемой замены q1 на q1*(сред). 8 Потери в интенсивности потока доходов Функция 0сред (q) (верхняя линия) Функция 1сред (q) (нижняя линия) 0 q0* (сред) q1 q Рис. 2. Иллюстрация зависимости потерь в интенсивности потока доходов от объема партии заказа (условия скидки приемлемы) Подчеркнем также, что и применительно к рассматриваемой здесь модификации модели с выплатой издержек хранения в середине интервала повторного заказа остается справедливым сделанное в [1] замечание (как для модели с выплатой издержек хранения пренумерандо, так и для модели с выплатой издержек хранения постнумерандо) относительно возможности исключения из расчетов последнего случая (с), если q1 > q0. Для сравнения параметров оптимальной стратегии и интенсивности потока доходов, относящихся к модификации модели при выплате издержек хранения в середине интервала повторного заказа, с аналогичными, но относящимися к ранее представленным в [1] аналогам модели, когда такие выплаты предполагались пренумерандо либо постнумерандо, рассмотрим аналогичную [1] условную ситуацию в виде следующего примера. ПРИМЕР: выплаты издержек хранения в середине интервала повторного заказа. Для иллюстрации предложенного алгоритма нахождения интересующих нас параметров оптимальной стратегии управления запасами рассматриваемой модификации модели (с учетом временной стоимости денег и возможности использования предлагаемой скидки при выплате издержек хранения в середине интервала повторного заказа), а также для иллюстрации изменения таких параметров по сравнению с рекомендациями как классического подхода (без учета временной стоимости издержек/доходов), так и с учетом временной стоимости денег, но при других контрактных условиях выплаты издержек хранения, рассмотрим следующую условную ситуацию. Пусть, как и в [1], анализируется оптимальная стратегия 9 организации поставок некоторого товара, максимизирующая чистый приведенный доход от соответствующих логистических операций с учетом годовой ставки наращения, составляющей 20%. При этом требуется дополнительно учесть, что при размере партии заказа в 300 (ед. тов.) и более действует скидка в 1% на стоимость соответствующего товара. Необходимые в рамках указанного анализа параметры – следующие: D = 20000 (ед. тов.) – объем годового потребления соответствующего товара; C0 = 20 (у.е.) – накладные расходы на поставку одной партии товара; q1 = 300 (ед. тов.) – пороговое значение размера партии заказа, начиная с которого действуют условия скидки; СП0 = 100 (у.е.) – цена единицы товара без учета скидки, т.е. при размере партии заказа, меньшем, чем q1; СП1 = 99 (у.е.) – цена единицы товара с учетом скидки, т.е. при размере партии заказа, большем или равном q1; РП0 = 20 (у.е.) - прибыль от реализации единицы товара при ее стоимости СП0; РП1 = 21 (у.е.) - прибыль от реализации единицы товара при ее стоимости СП1; Сh = 20 (у.е.) – годовые издержки хранения единицы товара. Дополнительно, для удобства дальнейшего сравнения результатов с аналогичными, но уже для классической модели без учета временной стоимости денег, полагаем C0П (q) = 0 (например, соответствующие издержки уже включены в стоимость товара). Кроме того, подчеркнем, что в соответствии с условиями примера далее в расчетах принимаем r = 0,2. Найдем параметры оптимальных стратегий управления запасами как для модифицированной модели с учетом временной структуры процентных ставок при выплате издержек хранения в середине интервала повторного заказа, так и для классической модели (без учета таковой), и сравним их между собой. РЕШЕНИЕ. Прежде всего заметим, что применительно к классическому аналогу модели управления запасами с постоянным спросом по формуле Уилсона соответствующее оптимальное значение q0 размера партии заказа (разумеется, без учета временной стоимости денег и без учета предлагаемой скидки) составит q0 = 2С0 D = Ch 2 20 20000 = 200 (ед. тов.), 20 при этом период повторного заказа будет равен Т0= q0 /D = 200 / 20000 = 1/100 (года), что соответствует 100 поставкам за год. Найдём в условиях этого примера соответствующее оптимальное значение размера заказа q0*(сред). А именно, для этого показателя по представленной выше формуле получаем q0*(сред) = 2 20 20000 = 141,4 (ед. тов.) 20 0,2 100 10 (сравните это значение с найденным в [1] значением q0* = 141,3 применительно к модели выплат издержек хранения пренумерандо или со значением q0*(пост) = 141,5 применительно к модели выплат издержек хранения постнумерандо). При этом для оптимального значения размера заказа q1*(сред) имеем: q1*(сред)= 2 20 20000 = 141,8 (ед. тов.). 20 0,2 99 Сравните и это значение с соответствующими значениями значениями q1* и q1*(пост) применительно к примерам, рассмотренным в [1] для моделей выплат издержек хранения пренумерандо и постнумерандо. Отметьте при этом, насколько более просто можно находить требуемые параметры для определения оптимальной стратегии, пользуясь полученными в этой работе формулами, вместо решения кубических уравнений по методике [1]. Как видим, требуемые показатели/параметры для определения оптимальной стратегий управления запасами применительно к такой модели, практически, совпадают с аналогичными в рамках рассмотренных выше модификаций модели (с выплатой издержек хранения пренумерандо и постнумерандо). Более того, фактически для практиков они просто совпадают, т.к. при оформлении заказа потребуется округлять указанные значения до ближайшего приемлемого целого числа. Подчеркнем, что, вообще говоря, как и в примерах рассмотренных в [1], расчет показателей q1*(сред) и Fсред(q1*(сред)) в этой ситуации не требуется, поскольку выполнено условие q1 ≥ q0 (300>200). Для нахождения наилучшего решения (принять условия скидки или нет) сравниваем интенсивности потоков доходов Fсред(q0*(сред)) и Fсред(q1) для указанных альтернативных вариантов решений. Случай 1. При отказе от условий скидки и поставках товара партиями оптимального (с учетом временной стоимости денег) объема q0*(сред) для интенсивности соответствующего потока доходов (по формуле для Fсред(q0*(сред)) имеем: 141,42 0,2 20000 0,2 ) - 20 141,42100 = 2 2 141,42 2 =394341,2 ( у.е./год). Fсред(q0*(сред)) = 2000020 - 20( Случай 2. Если принять условия скидки и реализовать поставки товара партиями соответствующего объема q1 = 300 для интенсивности потока доходов (по формуле для Fсред(q1) имеем: 20000 0,2 300 0,2 ) - 20 30099 = 300 2 2 2 =412696,(6) ( у.е./год). Fсред(q1) = 2000021 - 20( Как видим, и в ситуации, когда выплаты издержек хранения реализуются в середине интервала повторного заказа, оптимальным решением снова будет следующее решение: принять условия скидки и организовать поставки товара с размером партии заказа, равным 300 (ед. тов.). 11 Обратим также внимание на то, что найденные интенсивности потоков доходов Fсред(q0*(сред)) = 394341,2 (у.е./год) и Fсред(q1) = 412696,(6) ( у.е./год) для модели выплат издержек хранения в середине интервала повторного заказа оказались немного большими, чем соответствующие интенсивности F(q0*) и F(q1) для модели выплат издержек хранения пренумерандо (см. аналогичный пример в [ 1 ]), и немного меньшими, чем соответствующие интенсивности Fпост(q0*(пост)) и Fпост(q1) для модели выплат издержек хранения постнумерандо (см. аналогичный пример в [1]). Это, естественно, обусловлено особенностью учета временной стоимости денег: при более поздних сроках реализации уходящих платежей соответствующие показатели чистой приведенной стоимости и интенсивности потока доходов должны (при прочих равных условиях) возрастать. Заметим, что в соответствии с классическими рекомендациями без учета временной стоимости денег при размере партии заказа (формула Уилсона) q0 = 200 (ед. тов.) для интенсивности потока доходов в анализируемой здесь ситуации получим: 20000 0,2 200 0,2 ) - 20 - 200 100 = 200 2 2 2 = 393998 ( у.е./год). Fсред(q0 ) = 2000020 - 20( Сравнивая это значение с Fсред(q0*(сред)) = 394341,2 (у.е./год) видим, что разность в интенсивности потока доходов за счет учета временной стоимости денег для этой модификации модели составляет 343,2 у.е./год (применительно к анализируемому одному виду номенклатуры). Это – соответствующий эффект оптимизации за счет учета временной стоимости денег в рамках соответствующей модели управления запасами. Поскольку в реальных ситуациях перечень номенклатуры измеряется сотнями и даже тысячами наименований, то суммарный эффект по всей группе товаров может оказаться весьма значительным. ЗАМЕЧАНИЕ. Как видим, этот эффект остается, практически, таким же, как и применительно к условиям аналогичных примеров в [ 1 ] для рассмотренных там модификаций модели с выплатами издержек хранения пренумерандо и постнумерандо соответственно. Следовательно, все выводы и комментарии, сделанные в [ 1 ] применительно к возможности повышения эффективности системы управления запасами за счет учета временной стоимости денег, относятся напрямую и к этой модификации модели. Другими словами, можно принять, что они практически не зависят от оговариваемой в контракте схемы выплат издержек хранения. Результаты представленного здесь исследования соответственно позволяют сделать следующие выводы. ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Классические модели анализа скидок на заказ при нахождении оптимальных стратегий управления запасами могут быть улучшены в смысле повышения эффективности использования таких логистических систем (например, максимизации чистого приведенного дохода или максимизации интенсивности потока доходов) за счет учета действующих на рынке процентных ставок на основе учета временной стоимости денег при анализе денежных потоков, характеризующих соответствующие издержки и доходы анализируемых логистических процессов. Особенности конкретных схем выплат издержек хранения мало влияют на параметры оптимальной стратегии управления запасами при заданных остальных параметрах модели. Для нахождения оптимальных параметров стратегии управления 12 запасами в таких моделях можно использовать полученные в данной работе простые формулы, относящиеся именно к модели выплаты издержек хранения в середине интервала повторного заказа. Суммарный показатель возможного повышения эффективности системы за счет учета временной стоимости издержек/доходов по всей номенклатуре товаров может оказаться весьма значительным. Работа выполнена при поддержке индивидуального исследовательского гранта ГУ-ВШЭ 2005 г. «Возможности повышения эффективности стратегий управления запасами при учете временной стоимости издержек/доходов». Литература 1. Бродецкий Г.Л. Анализ скидок на заказ при оптимизации моделей управления запасами с учетом временной стоимости денег. Журн. «Логистика сегодня», № 6, 2005 г., с. 30 – 42. 2. Бродецкая Н.Г., Бродецкий Г.Л. Возможности повышения эффективности стратегий управления запасами при учете временной стоимости издержек/доходов. Журн. «Логистика сегодня», № 2, 2005. АННОТАЦИЯ Можно ли упростить алгоритм оптимизации стратегии управления запасами с учетом временной стоимости денег и специфики контрактных условий, связанных с моментами выплат издержек хранения, в частности, если имеется система скидок на заказ? Будет ли такой алгоритм достаточно простым и удобным для использования на практике? Чтобы получить ответ на эти и другие вопросы, в статье представлена оптимальная стратегия для модификации классической модели управления запасами с учетом временной стоимости денег при выплате издержек хранения в середине интервала повторного заказа. В рамках такой модели получены простые формулы для оптимальных параметров стратегии, обобщающие классические формулы Уилсона. Показано, что специфика различных схем выплат издержек хранения (постнумерандо, пренумерандо) мало влияет на параметры оптимальной стратегии, - так что эти формулы могут быть использованы и применительно к другим схемам выплат издержек хранения. При этом, возможности повышения эффективности системы за счет учета временной стоимости денег могут оказаться весьма существенными. 13
