О формах поверхностной устойчивости

УДК 539.3
О ФОРМАХ ПОВЕРХНОСТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
Н. Ф. Морозов, П. Е. Товстик
Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия
Введение. Вопросам поверхностной устойчивости трансверсально изотропного
полупространства, а также вопросам устойчивости однослойных и многослойных
пластин, лежащих на упругом основании, посвящено много работ [1–9]. Начальные
напряжения, вызывающие поверхностную потерю устойчивости, могут быть связаны с
силовым и/или температурным нагружением. Рассматривается однородное в
тангенциальных направлениях начальное напряженное состояние. При потере
устойчивости на поверхности пластины или полупространства образуется система
периодических или двояко периодических вмятин, а перемещения экспоненциально
затухают при удалении вглубь полупространства. Критическая нагрузка может быть легко
найдена из линейной системы уравнений, описывающей бифуркацию. При определении
формы потери устойчивости возникают трудности, связанные с ее неоднозначностью. В
ряде случаев неоднозначной оказывается как длина волны деформации на поверхности,
так и форма вмятины.
Рассмотрим трансверсально изотропный материал и зададим форму прогиба
поверхности в виде двояко периодической функции w( x1 , x2 )  w0 cos r1 x1 cos r2 x2 . Этот
случай реализуется, если начальные напряжения  10 и  20 равны между собой (в
противном случае вмятины вытянуты в одном из направлений, причем r1  0 или r2  0 ).
При этом критическая нагрузка не зависит от волновых чисел r1 , r2 по отдельности, а
зависит лишь от их комбинации r  r12  r22 . Следовательно, в линейном приближении
форма прогиба остается неопределенной. Рассмотрение послекритического наргужения в
геометрически нелинейной постановке приводит к «шахматной» форме потери
устойчивости (при r1  r2 ), ибо в этом случае реализуется минимум потенциальной
энергии деформации. Этот результат получен как для однослойной [1, 4], так и для
двухслойной [10] пластины, лежащей на упругом основании. Более того, для однородного
полупространства при континуальном подходе неопределенной оказывается и
характерная длина волны L  2 / r , ибо из уравнения бифуркации линейный размер
исключается. Однозначное определение длины волны L возможно лишь при наличии
какой-либо неоднородности в вертикальном направлении x3 . В частности, для пластины,
лежащей на упругом основании, длины волны L зависит от толщины пластины и
определяется однозначно. Определение длины волны для однородного полупространства
возможно лишь в результате более детального анализа поверхностных явлений. В работах
[2, 3] длину волны L удается оценить при введении в рассмотрение поверхностной или
объемной диффузии. В работе [5] анализируется двухмерная дискретная модель и
установлено, что длина волны имеет порядок расстояния между частицами. Ниже
рассматривается задача в континуальной постановке.
Уравнения бифуркации трансверсально изотропного полупространства.
Уравнения равновесия предварительно напряженного полупространства имеют вид
 ij
 2ui

 0, i, j  1,2,3,  30  0, x3  z , u 3  w,
x j
x j
0
j
(1)
где  ij – дополнительные напряжения, u i – соответствующие перемещения, причем для
трансверсально изотропного материала
 ii  Eij  jj ,  ij  Gij  ij , E11  E 22  E12  2G12 , E13  E 23 , G13  G23 ,
(2)
ui
u u j
,  ij  i 
, i, j  1, 2, 3, i  j .
(3)
xi
x j xi
Зададим дополнительные перемещения в виде двояко периодических функций
u1  u1 ( z) cos r1 x1 sin r2 x2 , u2  u2 ( z) sin r1 x1 cos r2 x2 , w  w( z) sin r1 x1 sin r2 x2 .
После введения вспомогательных неизвестных u  (ru
  (r1 13  r2 23 )r ,
1 1  r2u2 ) / r ,
 ii 
система шестого порядка (1–3) распадается на
v  (r2u1  ru
1 2 ) / r ,   (r2 13  r1 23 )r
системы четвертого и второго порядков [8]
  r  0,
   ( E11   0 )r 2 u  E13 rw  0,
 33
  (G13   0 )u   G13 rw  0,  33  E33 w  E13 ru ,
( ) 
d
,
dz
(4)
   r (G12   0 )  v  0,   G13v,  0  (r12 10  r22 20 ) / r 2 .
(5)
Должны быть выполнены условия затухания u, v, w  0 при z   .
Система (5) не порождает локализованных форм потери устойчивости.
Система (4) является отправным пунктом исследований локализованных вблизи
поверхности форм потери устойчивости. Вместе с граничными условиями на свободной
поверхности  (0)   33 (0)  0 она дает критическую нагрузку для полупространства,
начальные усилия  10 ,  20 в котором не зависят от x1 , x2 [1, 8]. При  10   20 нагрузка не
зависит от r1 , r2 по отдельности. После замены z  zˆ / r переменная r также исключается
из системы (4) и длина волны деформации остается неопределенной. Система (4) может
быть использована и для анализа пластин [6, 7, 8], и многослойных пластин [4, 5] на
упругом основании, ибо возможный разрыв непрерывности модулей упругости E ij , Gij и
начальных напряжений  i0 на границах контакта слоев не является препятствием для
численного интегрирования системы (4).
Использование двухмерных моделей пластин Кирхгофа-Лява или Тимошенко на
упругом основании приводит к приближенным формулам для критической нагрузки
[6, 8, 9]. При этом жесткость основания, зависящая, в свою очередь, от характера
волнообразования, учитывается по явным формулам [10, 11]. Например, для изотропной
пластины толщины h, лежащей на мягком изотропном основании, критическая нагрузка
  и критическое значение волнового параметра r вычисляются по приближенным
формулам [4]
1/ 3
 (3  4 0 ) E 
E0
3Dr2 3
Eh3
  
, r 
, D
, L  2 h 
(6)

2
2
h
(3  4 0 ) D
12(1  )
 12(1  ) E0 
где E0 ,  0 , E,  – модуль Юнга и коэффициент Пуассона основания и пластины
соответственно. В отличие от полупространства длина волны деформации L зависит от
параметров задачи, следовательно, появляется возможность управлять волнообразованием
на поверхности пластины. Точность формул (6) возрастает с уменьшением отношения
E0 / E , а область их применимости ограничена неравенством E0 / E  1 . Использование
тонкой прослойки между пластиной и основанием расширяет возможности управления
размерами вмятин [9].
О форме вмятин при поверхностном волнообразовании. Как упоминалось, при
0
 1   20   0 форма вмятин в линейном приближении остается неопределенной, ибо
критическая нагрузка зависит лишь от величины r  r12  r22 Обратимся к геометрически
нелинейному приближению и рассмотрим послекритическое поведение изотропной
пластины, лежащей на мягком изотропном основании [1]. Для пластины используем
модель Кирхгофа-Лява, разложим перемещения точек срединной плоскости пластины в
ряды Фурье
u1   amn sin r1mx1 cos r2nx2 , u2  bmn cos r1mx1 sin r2nx2 , w   wmn cos r1mx1 cos r2nx2 .
и ограничимся минимально возможным числом слагаемых в этих рядах
w  w0 cos r1 x1 cos r2 x2 , u1  sin 2r1 x1 (a0  a1 cos 2r2 x2 ), u2  sin 2r2 x2 (b0  b1 cos 2r1x1 ) .
Используя нелинейные формулы типа   u1 / x1  0.5 (w / x1 ) 2 при вычислении
деформаций срединной плоскости, найдем энергию деформации пластины и основания,
приходящуюся на ячейку периодичности. После минимизации по коэффициентам ai , bi
эта энергия может быть записана в виде
 (r1 , r2 , w0 )  (    0 )r 2 w02  F (r1 , r2 ) w04 , F  E (3r14  4 r12 r22  3r24 ) /(256(1  2 )) ,
(7)
где   (r ) – критическая нагрузка, определяемая из линейного приближения. В
докритическом состоянии (то есть при     0  0 ) минимум функции (7) достигается при
w0  0 (деформации отсутствуют). В послекритической стадии минимизация по r1 , r2 , w0
приводит к «шахматной» системе вмятин
 

r
w0     ,   0
, r1  r2   , F  F (r / 2 , r / 2 ) .
2 F

2
Амплитуда прогиба w0 зависит от относительного превышения  действующей нагрузки
над критической. Послекритическое поведение изотропной пластины, опирающейся на
основание через прокладку, приводит к тем же качественным результатам [9]. Различие
заключается лишь в более громоздком выражении для функции F в формуле (7).
По-видимому, для пластины или многослойной пластины, опирающейся на мягкое
основание (чтобы можно было использовать гипотезу о прямой нормали), шахматный
характер формы потери устойчивости можно считать установленным. Вопрос же о форме
потери устойчивости изотропного или трансверсально изотропного полупространства
нуждается в дополнительном изучении.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты 07.01.00250-а, 09.01.92002.ННС.а).
ЛИТЕРАТУРА
1. Морозов Н.Ф., Паукшто М.В., Товстик П.Е. Устойчивость поверхностного слоя
при термонагружении // МТТ. – 1998. – № 1. – С. 130–139.
2. Морозов Н.Ф., Паукшто М.В., Товстик П.Е. О депланации грани кристалла в
условиях поверхностной диффузии // МТТ. – 1999. – № 2. – С. 53–57.
3. Морозов Н.Ф., Паукшто М.В., Товстик П.Е. Влияние объемной диффузии на
потерю устойчивости поверхностного слоя при термонагружении // МТТ. – 1999. – № 4. –
С. 96–101.
4. Товстик П.Е. Устойчивость многослойной пластины на упругом основании // Тр. 3
всеросс. конф. по теории упругости. Ростов–на Дону, 2003. – С. 365–368.
5. Морозов Н.Ф., Семенов Б.Н., Товстик П.Е. Континуальные и дискретные модели в
задаче устойчивости трехслойной нанопластины // Теоретическая и прикладная механика.
Минск. – Вып. 19. – 2005. – С. 37–41.
6. Товстик П.Е. Локальная устойчивость пластин и пологих оболочек на упругом
основании // МТТ. – 2005. – № 1. – С. 147–160.
7. Товстик П.Е. Неклассические модели балок, пластин и оболочек // Изв. Сарат. ун–
та (Математика. Механика. Информатика) . – 2008. – Т. 8. – № 3. – С. 74–85.
8. Товстик П.Е. Колебания и устойчивость предварительно напряженной пластины,
лежащей на упругом основании // ПММ. – 2009. – Т.73. – № 1. – С. 106–120.
9. Морозов Н.Ф., Товстик П.Е. О формах потери устойчивости пластины на упругом
основании // МТТ (в печати).
10. Ильгамов М.А., Иванов В.А., Гулин Б.В. Прочность, устойчивость и динамика
оболочек с упругим заполнителем. – М.: Наука, 1978. – 332 с.
11. Товстик П.Е. Реакция предварительно напряженного ортотропного основания //
Вестн. С.Петерб. ун–та. – Сер. 1. – 2006. – № 4. – С. 98–108.